A forma de escala completa de P′(l|r), que explica tamb´em os efeitos de tamanho
finito e o comportamento em p= pc, foi estudado para, d = 2, e proposto em [48, 49].
Especificamente, foi proposto que, para ξ > r, a probabilidade condicional, P′(l|r),
tem a forma de escala,
P′(l|r) ∼ 1 rdmin l rdmin −g′l f1 l rdmin f2 l Ldmin f3 l ξdmin , (4.8) com, g′ l = gl+ d− df dmin , (4.9) onde, df = 91 48, (4.10)
´e a dimens˜ao fractal do aglomerado percolante,
e,
ξ ∼ |p − pc|−ν,
´e o comprimento de correla¸c˜ao, sendo as fun¸c˜oes de escala da forma,
f1(x) = exp−ax−φ , (4.12)
f2(x) = exp−bxψ , (4.13)
f3(x) = exp (−cx) , (4.14)
onde, φ = (dmin− 1)−1 e ψ s˜ao constantes.
A fun¸c˜ao f1 diz respeito ao corte inferior devido `a restri¸c˜ao l > r, enquanto que f2
e f3 refletem o corte superior devido ao efeito de tamanho finito ou ao comprimento de
correla¸c˜ao finito, respectivamente. Uma das duas fun¸c˜oes, f2 ou f3 torna-se irrelevante,
dependendo dos tamanhos de L e de ξ. Para L < ξ, f2 domina o corte superior, caso
contr´ario f3 domina.
Considera-se que o efeito de tamanho finito e o efeito da concentra¸c˜ao dos s´ıtios ocupa- dos s˜ao independentes um do outro, de modo que a Equa¸c˜ao (4.8) pode ser representada como um produto dos termos que s˜ao respons´aveis pelo efeito de tamanho finito f2 e o
efeito da concentra¸c˜ao f3. Simula¸c˜oes para d = 2 foram feitas em [48, 49] e d˜ao suporte
a esta hip´otese.
A importˆancia da Equa¸c˜ao (4.8) para objetivos pr´aticos ´e que ela possibilita estimar a distribui¸c˜ao dos comprimentos dos caminhos m´ınimos de qualquer reservat´orio dado, a partir apenas das estat´ısticas das heterogeneidades geol´ogicas, quais sejam, a probabili- dade de ocupa¸c˜ao, p, e o tamanho do reservat´orio como um m´ultiplo das dimens˜oes dos arenitos.
Uma vez que os coeficientes a, b e c nas fun¸c˜oes de escala tenham sido encontrados atrav´es das simula¸c˜oes, ent˜ao a distribui¸c˜ao inteira pode ser determinada algebricamente. Obviamente este procedimento ´e muito mais r´apido do que o m´etodo tradicional de gerar um n´umero muito grande de realiza¸c˜oes para depois calcular os comprimentos dos caminhos m´ınimos.
Cap´ıtulo 5
Distribui¸c˜ao de Caminhos M´ınimos
em M´ultiplos Po¸cos
A alegria est´a na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido. N˜ao na vit´oria propriamente dita.
Mahatma Gandhi
5.1
Introdu¸c˜ao
No Cap´ıtulo 4 apresentamos uma no¸c˜ao de como a teoria da percola¸c˜ao pode ser utilizada para modelar reservat´orios de petr´oleo e o uso de m´etodos de recupera¸c˜ao de ´oleo pela inje¸c˜ao de um fluido em um po¸co para melhorar a performance da produ¸c˜ao em outro.
Como sabemos, este m´etodo ´e tradicional e largamente usado pelas companhias petrol´ıferas. O modelo de inje¸c˜ao de um fluido em um po¸co injetor para recupera¸c˜ao em um po¸co produtor j´a ´e bem estabelecido com farto material na literatura cient´ıfica.
Nos referimos a este caso padr˜ao no Cap´ıtulo 4, onde a Figura 4.4 mostra exatamente a situa¸c˜ao de um po¸co de inje¸c˜ao e um po¸co de produ¸c˜ao em um aglomerado percolante, separados por uma distˆancia geom´etrica, r, e um caminho m´ınimo l.
A forma do gr´afico de P(l|r) ´e bem conhecida na literatura e ´e usada na estimativa do tempo de erup¸c˜ao e associada ao gerenciamento de po¸co na ind´ustria do petr´oleo [51].
Neste cap´ıtulo, na Figura 5.1 apresentamos um gr´afico log-log da distribui¸c˜ao dos caminhos m´ınimos, P(l|r) versus l/rdmin, no limiar de percola¸c˜ao, para este caso padr˜ao.
Figura 5.1: Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|r), no limiar de percola¸c˜ao para o caso padr˜ao de um po¸co injetor e um po¸co produtor.
Este gr´afico ´e o resultado de simula¸c˜oes que implementamos com a finalidade de fazer altera¸c˜oes na quantidade e na disposi¸c˜ao geom´etrica dos po¸cos produtores com rela¸c˜ao ao po¸co injetor e est´a perfeitamente de acordo com os gr´aficos log-log da literatura para este caso padr˜ao.
Especificamente para o caso da Figura 5.1, a distribui¸c˜ao de probabilidades, P(l|r), tem um m´aximo absoluto em,
l ∼ rdmin. (5.1)
Esperamos que todos os comprimentos caracter´ısticos da distribui¸c˜ao de probabilida- des escalem como na Equa¸c˜ao (5.1).
Ap´os o pico, a distribui¸c˜ao de probabilidades, P(l|r), exibe um decrescimento em lei de potˆencia. O expoente da lei de potˆencia, gl = 2, 14, ´e consistente com resultados da
literatura.
Nas pr´oximas se¸c˜oes, fazemos compara¸c˜oes deste gr´afico com os gr´aficos que imple- mentamos de configura¸c˜oes de po¸cos produtores mais complexas.
Ou seja, investigamos os efeitos do aumento do n´umero de po¸cos produtores e estu- damos a distribui¸c˜ao de probabilidades, P(l|A), para o caso de um po¸co de inje¸c˜ao e um arranjo, A, de po¸cos de produ¸c˜ao, cada um deles a uma distˆancia ri do po¸co de inje¸c˜ao.
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(a)
(a)
(b)(b)(b)
Figura 5.2: Em (a) a distribui¸c˜ao conhecida como “five-spot” e em (b) a distribui¸c˜ao conhecida como “nine-spot”.
Os caminhos m´ınimos agora s˜ao tomados como sendo os caminhos m´ınimos entre o po¸co injetor e qualquer um dos po¸cos produtores que fazem parte do arranjo A. Fo- calizamos nossa an´alise em configura¸c˜oes que distribuem os po¸cos produtores sobre um c´ırculo. Analisamos trˆes casos distintos, a saber.
O primeiro caso, consiste de um po¸co injetor localizado no centro do c´ırculo e uma dis- tribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores sobre o c´ırculo, e o denominamos, caso sim´etrico. No segundo caso, o po¸co injetor est´a localizado no interior do c´ırculo, por´em, n˜ao est´a localizado no centro do c´ırculo, enquanto os po¸cos produtores se mantˆem na mesma distribui¸c˜ao, e o chamamos de caso assim´etrico interno.
No terceiro e ´ultimo caso, o po¸co injetor est´a localizado fora do c´ırculo, e o denomi- namos caso assim´etrico externo.
Todos os estudos foram feitos no limiar de percola¸c˜ao em uma rede quadrada com lado L = 500. Mais de um milh˜ao de realiza¸c˜oes foram executadas para cada configura¸c˜ao es- tudada [52].
Neste ponto fazemos o registro que existem dois modelos de disposi¸c˜ao geom´etrica de po¸cos produtores conhecidos na literatura, o “five-spot” que utiliza um po¸co de inje¸c˜ao e quatro po¸cos de produ¸c˜ao e o “nine-spot”, onde s˜ao utilizados um po¸co de inje¸c˜ao e oito po¸cos de produ¸c˜ao. Em ambos os modelos o po¸co de inje¸c˜ao se localiza no centro de um quadrado, enquanto os po¸cos de produ¸c˜ao se localizam sobre o quadrado, conforme a Figura 5.2.
5.2
O Caso Sim´etrico
Esta se¸c˜ao focaliza o caso de um po¸co injetor e uma distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores. Todos os po¸cos de produ¸c˜ao est˜ao localizados aproximadamente equidistantes do po¸co de inje¸c˜ao e tamb´em entre si. As distˆancias euclidianas entre o injetor e cada um dos produtores s˜ao denotadas por ri = R.
A Figura 5.3 ilustra o caso de simetria interna onde o po¸co injetor est´a localizado no centro do c´ırculo e os produtores est˜ao distribu´ıdos simetricamente sobre o c´ırculo. Em (a) s˜ao dois produtores, em (b) s˜ao quatro, em (c) s˜ao oito e em (d ) s˜ao dezesseis produtores.
A Figura 5.4 ilustra os tipos de caminhos entre o po¸co injetor e um dos po¸cos pro- dutores do arranjo A. Os caminhos do tipo Ω1 s˜ao aqueles que conectam o po¸co injetor
com um dos produtores sem sair do c´ırculo onde estes est˜ao distribu´ıdos, enquanto os caminhos do tipo Ω2 podem se tornar muito longos porque conseguem sair do c´ırculo para
somente depois encontrar um dos po¸cos de produ¸c˜ao. A ilustra¸c˜ao da Figura 5.4 foi feita considerando o caso da Figura 5.3(b).
A Figura 5.5 mostra os gr´aficos log-log das distribui¸c˜oes de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin, no limiar de percola¸c˜ao para os arranjos da Figura 5.3 e mais o caso padr˜ao
de um injetor e um produtor.
Os gr´aficos de P(l|A) exibem um m´aximo global e tamb´em os cortes exponenciais superior e inferior.
Esperamos que o valor m´aximo de P(l|A) para (l/Rdmin)
max ∼= 1. O corte superior ´e
decorrˆencia do tamanho finito do sistema, e o corte inferior deve-se ao fato que um cami- nho m´ınimo n˜ao pode ser menor que a distˆancia euclidiana r que separa o po¸co injetor de um po¸co produdor.
O m´aximo de P(l|A) fica mais acentuado quando temos um n´umero alto de po¸cos pro- dutores porque a probabilidade do fluido injetado alcan¸car um po¸co produtor aumenta proporcionalmente com esse n´umero.
Pela mesma raz˜ao, o m´aximo da distribui¸c˜ao de probabilidades P(l|A) ´e deslocado um pouco para a esquerda na Figura 5.5 quando o n´umero de produtores ´e aumentado.
Para um n´umero alto de produtores, a distribui¸c˜ao sim´etrica, P(l|A), apresenta dois regimes que podem ser caracterizados pelas taxas de decaimento das curvas.
Para l exatamente ap´os o pico de P(l|A) temos o primeiro regime e para l muito grande temos o segundo regime.
Figura 5.3: Simetria interna. Um po¸co injetor, c´ırculo vazio, no centro de uma distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores, c´ırculos cheios. (a) Dois po¸cos produtores; (b) Quatro po¸cos produtores; (c) Oito po¸cos produtores; (d ) Dezesseis po¸cos produtores.
Figura 5.4: Um po¸co injetor no centro de uma distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos de produ¸c˜ao. Os po¸cos produtores est˜ao em um c´ırculo de raio R. Dois caminhos t´ıpicos est˜ao indicados: Ω1 ´e um caminho
curto que n˜ao sai do c´ırculo e Ω2 ´e um caminho muito longo que
Figura 5.5: Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin,
no limiar de percola¸c˜ao para os arranjos da Figura 5.3. Nas simula¸c˜oes L = 500 e R = 64. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados na figura.
O primeiro regime ´e caracterizado por uma taxa de decaimento acentuada. Neste caso a probabilidade dos caminhos curtos alcan¸carem um po¸co produtor ´e maior do que no caso padr˜ao de um injetor e um produtor. Isto se explica devido a existˆencia de uma competi¸c˜ao entre os po¸cos produtores para captar os caminhos originados no po¸co injetor. No segundo regime temos uma lei de potˆencia com expoente g ≃ gl. A distribui¸c˜ao
de probabilidades P(l|A) apresenta um ponto de mudan¸ca de comportamento em lc, a
posi¸c˜ao que depende do n´umero de produtores.
Explicamos este ponto de mudan¸ca de comportamento com a ajuda do seguinte quadro. Existem dois tipos de caminhos, (a) aqueles que permanecem dentro do arranjo de po¸cos produtores e (b), aqueles que n˜ao ficam restritos a esta regi˜ao, isto ´e, caminhos que saem do c´ırculo onde est˜ao distribu´ıdos os po¸cos produtores. Ilustramos estes dois tipos de caminhos esquematicamente com Ω1 e Ω2 na Figura 5.4.
Quanto maior o n´umero de po¸cos produtores maior ser´a a probabilidade dos caminhos do tipo Ω1 contribu´ırem para o pico de P(l|A).
Os caminhos do tipo Ω2 est˜ao relacionados com a lei de potˆencia da Figura 5.5. Para
um n´umero grande de po¸cos produtores existe uma probabilidade muito baixa de um caminho com origem no po¸co injetor escapar do interior da regi˜ao delimitada pelos po¸cos produtores.
A probabilidade de um caminho, que se origina no po¸co injetor, alcan¸car pelo menos um po¸co produtor, antes de sair do interior do c´ırculo de produtores, ´e muito alta. Os caminhos que escapam s˜ao raros mas, podem ser muito longos ap´os escaparem do c´ırculo de produtores. De todo modo, estes caminhos muito longos “enxergam” o conjunto de po¸cos produtores como se fosse um ´unico lugar de coleta.
Deste modo, para l muito grande, do tipo Ω2, este caso torna-se equivalente `a situa¸c˜ao
padr˜ao de um po¸co de inje¸c˜ao e um po¸co de produ¸c˜ao.
Em resumo, a F´ısica que est´a por tr´as dos dois regimes ´e distinta e implica em com- portamentos diferentes.
Para os caminhos internos do tipo Ω1, ou seja, l < lc, existe um pico maior, seguido
por um decaimento r´apido de P(l|A) devido ao forte encurralamento e `a quase completa captura dos caminhos pelos po¸cos produtores.
Para os caminhos externos do tipo Ω2, isto ´e, l > lc, o conjunto de po¸cos produtores se
comporta como um ´unico po¸co produtor m´edio e como uma conseq¨uˆencia temos g ∼= gl.
5.3
Os Casos Assim´etricos
Para melhorar o entendimento das distribui¸c˜oes em situa¸c˜oes gen´ericas, estudamos agora a configura¸c˜ao na qual o po¸co de inje¸c˜ao n˜ao se encontra no centro do c´ırculo onde est˜ao distribu´ıdos os po¸cos de produ¸c˜ao e comparamos nossos resultados com os do caso sim´etrico anterior.
A caracter´ıstica mais importante das distribui¸c˜oes P(l|A) para o caso sim´etrico ´e a presen¸ca de um ´unico m´aximo. Para o caso assim´etrico encontramos m´ultiplos m´aximos.
5.3.1
Assimetria Interna
Esta subse¸c˜ao trata o caso de um arranjo de produtores distribu´ıdos simetricamente entre si sobre um c´ırculo onde o injetor se encontra no interior deste c´ırculo por´em, n˜ao
se encontra no centro do c´ırculo.
A Figura 5.6 mostra as configura¸c˜oes para os casos, (a) dois produtores, (b) quatro produtores, (c) oito e (d ) dezesseis po¸cos produtores. Os po¸cos produtores est˜ao dis- tribu´ıdos simetricamente em um c´ırculo e o po¸co injetor encontra-se deslocado do centro deste c´ırculo. Deste modo, a distˆancia do po¸co injetor ao po¸co produtor mais pr´oximo ´e a mesma para todos os casos.
A Figura 5.7 ilustra a situa¸c˜ao da Figura 5.6(b), considerando R = 64 e r1 = 32. A
Figura 5.8 mostra os gr´aficos log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin dos arranjos da Figura 5.6.
Cinco gr´aficos est˜ao contidos na Figura 5.8. Um deles representa o caso padr˜ao de um injetor e um produtor e as configura¸c˜oes com dois, quatro, oito e dezesseis produtores.
O caso de um po¸co injetor e dois po¸cos produtores assim´etricos mostra claramente dois m´aximos de P(l|A) localizados em (l/Rdmin)
max1 e (l/R
dmin)
max2.
As posi¸c˜oes dos dois m´aximos escalam como,
(l/Rdmin) max ∼= (ri/R)dmin, para i = 1, 2. Vemos que, (l/Rdmin) max1 ∼= (32/64) 1,13∼ = 0.45, e, (l/Rdmin) max2 ∼= (96/64) 1,13 ∼ = 1, 6.
Similarmente, o caso de um po¸co injetor e quatro po¸cos produtores, exibe trˆes m´aximos que correspondem a r1, r2 = r3 e r4. Esperamos que estes m´aximos se localizem em
(l/Rdmin) max1 ∼= (32/64) 1,13∼ = 0, 45, (l/Rdmin) max2 ∼= (70/64) 1,13 ∼ = 1, 1, e, (l/Rdmin) max1 ∼= (96/64) 1,13 ∼ = 1, 6.
Podemos identificar o primeiro m´aximo no gr´afico mas, os outros dois m´aximos se sobrep˜oem e n˜ao pode ser resolvido.
Eles n˜ao s˜ao vistos como picos separados, por´em, como um ´unico pico integrado. Pela mesma raz˜ao, os casos de oito e dezesseis po¸cos produtores tamb´em apresentam
Figura 5.6: Assimetria interna. Um po¸co injetor, c´ırculo vazio, deslo- cado do centro, c´ırculo sombreado, e uma distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores, c´ırculos cheios. (a) Dois po¸cos produtores; (b) Quatro po¸cos produtores; (c) Oito po¸cos produtores; (d ) Dezesseis po¸cos pro- dutores.
Figura 5.7: Assimetria interna. O centro da distribui¸c˜ao est´a repre- sentado pelo c´ırculo sombreado, o injetor est´a deslocado do centro e quatro produtores distribu´ıdos simetricamente sobre um c´ırculo de raio R. As distˆancias euclidianas ri, 1 ≤ i ≤ 4 est˜ao indicadas
por setas.
grosseiramente dois picos. O que temos de fato s˜ao m´aximos que se sobrep˜oem com o primeiro sendo progressivamente incorporados `a “montanha” n˜ao resolvida da distribui¸c˜ao quando o n´umero de po¸cos produtores aumenta.
´
E interessante observar no gr´afico que, a separa¸c˜ao entre m´aximos relativos decresce quando o n´umero de produtores torna-se grande. A presen¸ca de v´arios m´aximos no caso assim´etrico tamb´em implica que o primeiro m´aximo de P(l|A) ´e menos acentuado para um n´umero maior de po¸cos produtores.
Para l grande vemos na Figura 5.8 que as distribui¸c˜oes seguem uma lei de potˆencia com g ∼= gl. Este regime, tal como no caso sim´etrico, corresponde aos caminhos longos
que conseguem escapar da regi˜ao interna `a distribui¸c˜ao de po¸cos produtores.
5.3.2
Assimetria Externa
Esta subse¸c˜ao focaliza o caso de um po¸co injetor posicionado fora do conjunto de po¸cos produtores. A Figura 5.9(a) ilustra a situa¸c˜ao em que o po¸co injetor est´a fora do c´ırculo e alinhado com dois po¸cos produtores. As Figuras 5.9(b),(c) e (d ) mostram o po¸co injetor e quatro, oito e dezesseis produtores, respectivamente.
Figura 5.8: Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin,
no limiar de percola¸c˜ao para os arranjos da Figura 5.6. Nas simula¸c˜oes L = 500, R = 64 e R1 = 32. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados
Na Figura 5.10 os po¸cos produtores est˜ao distribu´ıdos sobre um c´ırculo de raio R = 16. O po¸co injetor est´a posicionado fora do c´ırculo onde se localizam os po¸cos de produ¸c˜ao, a uma distˆancia r = 32 do centro do c´ırculo. A distˆancia do po¸co injetor ao po¸co produtor mais pr´oximo ´e, deste modo, r1 = 16 para todos os casos da Figura 5.9.
A Figura 5.11 ´e um gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin para os arranjos da Figura 5.9, al´em do caso padr˜ao. O caso de um po¸co
de inje¸c˜ao e dois po¸cos de produ¸c˜ao claramente exibe dois m´aximos de P(l|A) localizados em (l/Rdmin)
max1 e (l/R
dmin)
max2.
Do mesmo modo como antes, as localiza¸c˜oes desses dois m´aximos correspondem a, (l/Rdmin) maxi ∼= (ri/R) dmin. Esperamos que, (l/Rdmin) max1 ∼= (16/16) 1,13∼ = 1, e, (l/Rdmin) max2 ∼= (48/16) 1,13 ∼ = 3, 4. Esperamos tamb´em ver um pico em,
(l/Rdmin)
max∼= (ri/R)dmin,
para cada distˆancia distinta, ri, a um produtor. Mas, como vimos anteriormente, alguns
dos picos n˜ao podem ser identificados.
Como no caso da assimetria interna, a amplitude do primeiro pico de P(l|A) decresce com o n´umero de po¸cos produtores.
Para l grande, vemos nas curvas da Figura 5.11 que g ∼= gl. Este regime corresponde
aos caminhos que passam por pontos muito distantes da regi˜ao onde se localizam os po¸cos produtores.
Em todos os casos estudados, simetria interna, assimetria interna e assimetria externa, os caminhos muito longos s˜ao respons´aveis por um comportamento de lei de potˆencia com expoente,
g ≃ gl.
5.4
Observa¸c˜oes Finais
Neste cap´ıtulo apresentamos a distribui¸c˜ao de probabilidades dos caminhos m´ınimos em problemas de m´ultiplos po¸cos de petr´oleo usando t´ecnicas de percola¸c˜ao.
Figura 5.9: Assimetria externa. Um po¸co injetor, c´ırculo vazio, ´e ex- terior `a distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores, c´ırculos cheios. O c´ırculo sombreado representa o centro da distribui¸c˜ao. (a) Dois po¸cos produtores; (b) Quatro po¸cos produtores; (c) Oito po¸cos produtores; (d ) Dezesseis po¸cos produtores.
Figura 5.10: Assimetria externa. O centro da distribui¸c˜ao est´a representado pelo c´ırculo sombreado, o injetor est´a localizado fora da distribui¸c˜ao de quatro po¸cos produtores distribu´ıdos simetrica- mente sobre um c´ırculo de raio R. As distˆancias euclidianas ri,
Figura 5.11: Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P(l|A), versus l/Rdmin,
no limiar de percola¸c˜ao para os arranjos da Figura 5.9. Nas simula¸c˜oes L = 500, R = 16 e R1 = 16. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados
Este problema ´e uma extens˜ao da distribui¸c˜ao, P(l|r), das distˆancias qu´ımicas l, no aglomerado percolante para o caso padr˜ao de um po¸co de inje¸c˜ao e um po¸co de produ¸c˜ao separados por uma distˆancia euclidiana r.
Esta an´alise se caracteriza como um problema importante para a ind´ustria do petr´oleo, uma vez que, um reservat´orio de petr´oleo t´ıpico ´e muito mais complexo do que apenas um par de po¸cos injetor e produtor.
Realizamos extensivas simula¸c˜oes para o caso padr˜ao e os casos de um po¸co de inje¸c˜ao e diferentes arranjos de po¸cos de produ¸c˜ao e estimamos as distribui¸c˜oes P(l|A).
Conclu´ımos que um arranjo sim´etrico de po¸cos produtores em torno de um ´unico po¸co injetor, posicionado no centro da distribui¸c˜ao de produtores, leva a um ´unico m´aximo em P(l|A), enquanto que os casos assim´etricos levam a m´ultiplos m´aximos.
Observamos ainda que o n´umero de m´aximos est´a relacionado com o n´umero de dis- tˆancias distintas, ri, do po¸co injetor aos po¸cos produtores.