Nesta se¸c˜ao focalizamos nossa aten¸c˜ao nos resultados num´ericos obtidos do algoritmo exposto acima. Estamos interessados principalmente em analisar as propriedades de per- cola¸c˜ao do objeto multifractal Qmf.
A Figura 3.5 mostra o histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupa¸c˜ao p. A ´area sob o histograma est´a normalizada pela unidade. Usamos n = 10 e obtivemos a m´edia dos resultados sobre 40.000 amostras. Consideramos que uma rede percola quando ela percola do topo `a base ou da esquerda para a direita.
O histograma de redes percolantes ´e similar em ambas as dire¸c˜oes, mas, ligeiramente deslocado para a direita. Esta mudan¸ca ´e comum em percola¸c˜ao em rede quadrada.
Apresentamos na Figura 3.5 os resultados das simula¸c˜oes para os seguintes valores de (s, r): (1,1) que degenera para a rede quadrada; (2,1), (4,1) e (6,1) que correspondem a verdadeiros multifractais.
dos para a esquerda comparados com o histograma de (1,1). O pico do histograma de (1,1) corresponde, como esperado, ao valor do limiar de percola¸c˜ao da rede quadrada, pc = 0, 593, uma vez que este caso coincide com a rede quadrada exatamente. Os outros
valores de pc est˜ao mostrados na Tabela 3.1.
A raz˜ao pela qual Qmf apresenta grosseiramente o mesmo pc, para diversos ρ, vem
Tabela 3.1: Valores de pc, df, e β para v´arios multifractais
caracterizados pelos diferentes pares (s, r).
(s, r) (1,1) (2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (5,1) (6,1) pc 0,593 0,527 0,526 0,526 0,525 0,525 0,530
df 1,895 1,900 1,911 1,890 1,902 1,929 1,842
β 0,127 0,128 0,140 0,141 0,141 0,118 0,109
da topologia do multifractal. A topologia de um conjunto de blocos est´a relacionada com o n´umero de coordena¸c˜ao c, que ´e definido como o n´umero de vizinhos de cada bloco.
O multifractal Qmf tem a propriedade que o n´umero de coordena¸c˜ao, c, muda ao longo
do objeto e valores diferentes de ρ tamb´em produzem valores diferentes de c.
No entanto, computamos o n´umero de coordena¸c˜ao m´edio cmed. Estes resultados
n˜ao dependem significativamente nem de ρ, nem de n, o n´umero de passos usados para construir Qmf e que determina o n´umero de blocos.
O valor encontrado, cmed = 5.436 para o multifractal, ´e pr´oximo do valor de c para o
problema da percola¸c˜ao triangular, que tem c = 6 e cujo limiar de percola¸c˜ao anal´ıtico ´e pc = 0, 5.
A situa¸c˜ao (s, r) = (1, 1), a rede quadrada, trivialmente mostra c = 4. O fato da rede quadrada ter um c diferente, configura uma situa¸c˜ao particular comparada com os outros Qmf e mostra um pc diferente daquele mostrado na Figura 3.6.
Na Tabela 3.1 mostramos pc e a dimens˜ao fractal do aglomerado percolante, df, para
diversos ρ. Fizemos uma m´edia sobre 100.000 amostras e n = 16. A estimativa da dimens˜ao fractal df ´e feita pela rela¸c˜ao,
M ∼ Ldf, (3.8)
onde M ´e a “massa” do aglomerado percolante, que significa a ´area do aglomerado medida em unidades da rede quadrada subjacente, e L, o tamanho da rede subjacente.
Figura 3.6: Esta figura mostra, para os mesmos valores de (s, r) da Figura 3.5, um gr´afico da fra¸c˜ao das redes percolantes RL versus p. Foram usadas
multifractal, imerso no R2, pertence `a mesma classe de universalidade da percola¸c˜ao usual
em duas dimens˜oes.
O valor calculado de df para o caso (s, r) = (6, 1), ´e menor do que os outros, por causa
do efeito de tamanho finito. Nos pr´oximos par´agrafos discutiremos este tema com mais detalhes.
A teoria da percola¸c˜ao apresenta fenˆomenos cr´ıticos e s˜ao observadas v´arias rela¸c˜oes de escala. O expoente cr´ıtico β ´e definido pela equa¸c˜ao,
RL ∼ [pc(L)− pc]β, (3.9)
onde pc ´e o valor exato da probabilidade de ocupa¸c˜ao no limiar de percola¸c˜ao, pc(L) ´e o
valor de pc levando-se em considera¸c˜ao o efeito de tamanho finito e RL´e a probabilidade
que, para um s´ıtio com probabilidade de ocupa¸c˜ao p existe um aglomerado cont´ıguo de s´ıtios ocupados que cruza completamente a rede quadrada de tamanho L.
A lei de potˆencias 3.9 ´e satisfeita para pc(L) obtida a partir de RL. A estimativa
num´erica de β ´e baseada na Eq. 3.9, onde RL ´e um elemento chave da an´alise.
Para Qmf a probabilidade RL n˜ao ´e uma fun¸c˜ao bem comportada de p para valores
pequenos de L, como veremos nos pr´oximos par´agrafos.
Na realidade, RLpode apresentar, dependendo de ρ, um ponto de inflex˜ao em pc neste
regime. No entanto, no caso quando L→ ∞ a escala de [pc(L)− pc] recupera o comporta-
mento usual. Neste regime encontramos o mesmo β caracter´ıstico do caso bidimensional, β = 5/36 = 0, 13888.
Verificamos em nossas simula¸c˜oes que, para n = 18, β fica em torno de 5% do valor exato. O conjunto completo de valores de β est´a na Tabela 3.1. Isto equivale a dizer que, a despeito das pequenas flutua¸c˜oes nos valores mostrados na tabela, n˜ao h´a uma tendˆencia nos n´umeros.
A conclus˜ao que tiramos destes dados ´e que os erros s˜ao causados por efeitos de tamanho finito e o baixo n´umero de estat´ısticas.
A dispers˜ao do histograma muda significativamente com (s, r), como esperado intuiti- vamente. Para ilustrar a mudan¸ca na largura do histograma de um multifractal gen´erico (s, r), analisamos as ´areas de seus blocos.
No passo n da constru¸c˜ao de Qmf o maior elemento tem ´area sn/(s + r)n e o menor
rn/(s + r)n, usando unidades de L2.
Deste modo, a maior raz˜ao entre as ´areas dentre os blocos aumenta com (s/r)n. Como
Figura 3.7: Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupa¸c˜ao p para diferentes tamanhos da rede. O gr´afico mostra os picos em corcova que se aproximam quando n cresce. Nesta figura (s, r) = (6, 1) e 8 < n < 18. Foram usadas 40.000 redes para se tomar a m´edia.
`a area dos blocos, esperamos que a largura dos histogramas na Figura 3.5 aumente com (s/r)n. Este acr´escimo na dispers˜ao ´e claramente visualizado nas curvas (2, 1) e (4, 1) na
figura.
A curva mais singular na Figura 3.5 ´e (6, 1), que claramente apresenta dois picos. Enfatizamos este ponto quando comentamos a Figura 3.7.
A Figura 3.6 usa os mesmos dados da Figura 3.5, mas em vez dos histogramas das redes percolantes apresentamos a soma cumulativa RL. Como RL ´e normalizado, este
parˆametro ´e tamb´em chamado de fra¸c˜ao das redes percolantes.
Da mesma maneira como na Figura 3.5, o caso (s, r) = (1, 1), a rede quadrada, reproduz os resultados da literatura. Nesta situa¸c˜ao, o tamanho L da rede ´e L = (s + r)10= 1024.
Para este caso especial o n´umero de blocos ´e igual ao n´umero de caixas unit´arias que formam uma cobrertura da superf´ıcie.
O caso do duplo pico, (s, r) = (6, 1), apresenta um ponto de inflex˜ao no gr´afico de RL
versus p. Na Figura 3.7 exploramos este ponto com mais detalhe.
A marca mais vis´ıvel de percola¸c˜ao no multifractal Qmf ´e o duplo pico observado no
caso (s, r) = (6, 1) da Figura 3.7. Nesta figura apresentamos o gr´afico dos histogramas das redes percolantes versus p para diversos valores de n como indicado. A distˆancia entre os picos decresce quando n cresce.
Este quadro indica que o duplo pico ´e um fenˆomeno relevante para percola¸c˜ao no mul- tifractal, quando ρ ´e pequeno, na condi¸c˜ao de rede de tamanho finito usada na simula¸c˜ao. De um ponto de vista anal´ıtico, a curva (6, 1) da Figura 3.7 ´e diferente da curva (1, 1). Na curva (6, 1) existem trˆes pontos extremos, enquanto no caso (1, 1) a curva apresenta um ´unico ponto de m´aximo. Conjecturamos que, no limite quando n → ∞, estes trˆes pontos se juntam em um ´unico ponto e todas as curvas apresentam comportamentos pare- cidos.
Os dois picos no histograma s˜ao uma conseq¨uˆencia da enorme diferen¸ca entre as ´areas dos blocos de Qmf. Para (s/r)n grande a diferen¸ca entre as ´areas ´e t˜ao acentuada que
modelamos o histograma das redes percolantes com estat´ıstica bimodal.
No caso de ser escolhido o maior bloco, o multifractal facilmente percola comparado com a possibilidade oposta. Para estimar o efeito do bloco de maior ´area nas estat´ısticas, usamos a Tabela 3.2.
A diferen¸ca entre o primeiro pico em p1 e o segundo pico em p2 ´e ∆pmax. Na Tabela
3.2 comparamos ∆pmax com a fra¸c˜ao da ´area do maior bloco pela ´area total do quadrado
Tabela 3.2: Estimativa de ∆pmax e [s/(s + r)]n para v´arios passos n.
n 8 10 12 14 16 18
∆pmax 0,290 0,220 0,150 0,110 0,070 0,040
[s/(s + r)]n 0,291 0,211 0,157 0,115 0,084 0,062
tifractal. Quando n cresce a diferen¸ca entre as ´areas decresce, assim como, a distˆancia entre os picos.
A Tabela 3.2 mostra uma boa concordˆancia entre os valores de ∆pmax e [s/(s + r)]n .
Conclu´ımos que a estat´ıstica bimodal ´e causada pela enorme massa do bloco maior. Salientamos, no entanto, que a concordˆancia entre os dois valores decresce `a medida que n cresce. Interpretamos a discordˆancia entre as hip´oteses de estat´ıstica bimodal e as num´ericas para n grande, como o limite das hip´oteses.
Na realidade, o maior bloco n˜ao ´e o ´unico que produz anisotropias no multifractal, e quando n cresce este fato fica mais evidente ainda. Para n pequeno o bloco maior pode ser tomado como o fator principal na anisotropia, e se aplica a estat´ıstica bimodal. Valores grandes de n, no entanto, implicam em verdadeiros multifractais e a´ı deve ser usada uma estat´ıstica mais complexa para tratar o problema.