Medidas Multifractais - Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo

Uma distribui¸cão de massa μ pode ser espalhada sobre uma região de tal maneira que a concentra¸cão de massa seja altamente irregular. Na verdade, o conjunto de pontos onde

a concentra¸c˜ao local de massa obedece a uma lei de potˆencia com ´ındice α, digamos μ(B(x, r))≃ rα_,

para r pequeno, pode determinar um fractal diferente para diferentes valores de α. Assim, uma varia¸cão completa de fractais pode surgir a partir de uma única medida, e podemos examinar a estrutura destes fractais e de suas inter-rela¸cões.

Uma medida μ com uma estrutura rica em detalhes ´e chamada uma medida multifractal ou simplesmente um multifractal.

Medidas multifractais são observadas em muitas situa¸cões f´ısicas, por exemplo, tur- bulência de fuidos, distribui¸cão de precipita¸cões pluviométricas, distribui¸cão de massas no universo, dedos viscosos, redes neurais, reservatórios de petróleo e em muitos outros fenômenos.

Existem duas abordagens básicas para a análise multifractal, a teoria fina, onde são examinadas a estrutura e as dimensões dos fractais que surgem com um determinado α, e a teoria grossa, onde são consideradas as irregularidades da distribui¸cão das medidas das bolas de pequenos raios positivos r e, então, toma-se um limite quando r _{→ 0.}

Em geral, a análise multifractal fina encontra um paralelo com a dimensão de Hausdorff dos conjuntos, enquanto a teoria grossa está relacionada com a dimensão de contagem de caixas.

A abordagem grossa é normalmente mais prática quando examina-se exemplos f´ısicos ou experiências em computadores e a teoria fina pode ser mais conveniente para uma análise matemática.

Existem muitos paralelos entre as abordagens fina e grossa, e em muitas medidas am- bas abordagens levam ao mesmo ‘espectro multifractal’.

Consideremos o exemplo de uma medida multifractal auto-similar em um conjunto de Cantor. Exatamente como o conjunto de Cantor, C, da Figura 1.1, ilustra muitas caracter´ısticas matem´aticas dos fractais, esta medida auto-similar, que tem como suporte o conjunto de Cantor C, ´e t´ıpica para uma classe muito grande de medidas multifractais, ver Figura 1.24.

Para obter este multifractal, sejam p1, p2 > 0 dados, onde p1+ p2 = 1. Constru´ımos

uma medida μ no conjunto de Cantor,

C ₌

∞

k=0

C_k_,

0 1

C

₀

C

₁

C

₂

C

₃

C

₄ • • • 0 1

C

₀

C

₁

C

₂

C

₃

C

₄ • • •

Figura 1.24: Constru¸cão da Medida Auto-similar do Conjunto de Cantor C_{. A massa em cada intervalo de C}_k _{na constru¸cão do Conjunto de} Cantor, indicada pela área do retângulo, é dividida na propor¸cão p1 : p2.

Neste exemplo tomamos p1 = 1₃ e p2 = 2₃, ou seja, usamos a propor¸c˜ao 1

3 : 2

3, entre os dois subintervalos de Ck+1. Continuando, este processo

Como vimos anteriormente, Ck compreende 2k intervalos do n´ıvel k de comprimentos

3−k_{. Atribu´ımos ao intervalo da esquerda de, C}

1, a massa p1, e ao intervalo da direita a

massa p2.

Dividimos a massa em cada intervalo de C1 entre seus dois subintervalos de C2 na

propor¸c˜ao p1 : p2. Continuamos com esta pr´atica, de maneira que a massa em cada

intervalo de Ck seja dividida na naz˜ao p1 : p2 entre seus dois subintervalos de Ck+1. Este

procedimento define uma distribui¸cão de massas em C . Se I for um intervalo do k-ésimo n´ıvel de Ck, então

μ(I) = p1rp2k−r,

onde, pela constru¸cão de I, um intervalo da esquerda é tomado r vezes e um intervalo da direita é tomado k_{− r vezes. Se p}1 = p2 e k é muito grande, as massas dos intervalos do

k-ésimo n´ıvel irão variar consideravelmente, e isto é uma manifesta¸cão de multifractali- dade.

Observamos também que, os fractais aleatórios têm uma estrutura topológica complicada porque, em geral, são multiplamente conexos, ver Apêndice A.

Consideremos os aspectos topológicos de uma constru¸cão, semelhante à do Tapete de Sierpinski da Figura 1.5, com a diferen¸ca que esta é uma constru¸cão estatisticamente auto-similar e dependente de um parâmetro cont´ınuo p, onde 0 < p < 1.

Iniciamos com o quadrado unit´ario, T0, da Figura 1.25. No primeiro passo, dividimos

T0em 9 quadrados de lado 1/3. Em seguida selecionamos, aleatoriamente, um subconjunto

destes quadrados para formar T1, de tal maneira que, cada quadrado tenha probabilidade

independente, p, de ser selecionado.

Similarmente, cada quadrado de T1, ´e dividido em 9 quadrados de lado 1/9, e cada

um destes tem probabilidade independente, p, de ser escolhido para ser um quadrado de T2.

No terceiro passo, cada quadrado de T2, ´e dividido em 9 quadrados de lado, 1/27, de

onde selecionamos, aleatoriamente, com probabilidade independente p, um subconjunto destes para formar T3.

Continuamos com este processo, de modo que, Tk, seja uma cole¸c˜ao aleat´oria de

quadrados do k-´esimo n´ıvel com lado 3−k_.

Este procedimento define um fractal aleat´orio Tp, dependente da probabilidade p,

Tp = ∞

T₀ T₁

T₂ T₃

T₀ T₁

T₂ T₃

Figura 1.25: Os primeiros passos da constru¸c˜ao de um fractal dependente de uma probabilidade p. Neste exemplo, p = 0, 6.

Esta constru¸cão pode ser descrita mais precisamente em termos probabil´ısticos [3], considerando as poss´ıveis seqüências de quadrados, Tk, como o espa¸co amostral.

As dimensões de Hausdorff e de contagem de caixas de Tp coincidem e são dadas por,

dimHTp = dimBTp =

ln 9p

ln 3 . (1.74)

Seja N o número aleatório de quadrados em T1. Então,

P_{(N = j) =} 9 j pj(1− p)9−j_, _(1.75) onde, n k = n! k!(n− k)!, (1.76) é o coeficiente binomial, de modo que a probabilidade que Tp = ∅ é, a menor solu¸cão

positiva da equa¸c˜ao, t = 9 j=0 9 j pj(1_{− p)}9−jtj = (pt + 1_{− p)}9. (1.77) Cada quadrado de T1 tem lado 3−1 de onde resulta que,

1 = E _N λs_i = E _N 3−s = 3−s_E_{(N ) = 3}−s_9p,

onde cada um dos nove quadrados de lado 3−1 _{´e selecionado com probabilidade p, de}

maneira que o n´umero esperado escolhido ´e 9p. Assim,

dimHTp = dimBTp =

ln 9p

ln 3 . (1.78)

Um breve comentário qualitativo que fazemos a respeito deste conjunto aleatório, é que, Tp, muda significativamente quando p cresce de 0 para 1.

Para valores pequenos de p, temos que o conjunto Tp ´e totalmente desconexo, uma vez

que, poucos quadrados são selecionados em cada passo de sua constru¸cão. Por outro lado, para valores de p próximos de 1, muitos quadrados são selcionados em cada passo desta constru¸cão, de tal modo que, possivelmente, haja conectividade entre dois lados opostos de T0, através de Tp. Quando isto acontece, dizemos que ocorre percola¸cão entre estes

lados.

Nos cap´ıtulos seguintes faremos uma abordagem mais abrangente sobre a Teoria da Percola¸c˜ao e a usaremos em problemas espec´ıficos desta tese.

Algumas mudan¸cas de nomenclatura se processarão naturalmente. Por exemplo, o que chamamos de quadrado unitário subdividido em pequenas células quadradas neste cap´ı- tulo, adotaremos a denomina¸cão rede quadrada, onde as células quadradas serão chamadas de s´ıtios da rede.

Cap´ıtulo 2

Percola¸c˜ao

Eu não contei para vocês toda verdade: vida é mais do que apenas uma rede quadrada.

Dietrich Stauﬀer

2.1 Introdu¸c˜ao

A teoria da percola¸cão é um ramo da teoria das probabilidades que trata das propriedades dos meios aleatórios. Os primeiros processos percolativos foram desenvolvidos por, Paul J. Flory (1941) e Walter H. Stockmayer (1943), com o objetivo de descre- ver como as ramifica¸cões de pequenas moléculas reagiam para formar moléculas muito grandes. Entretanto, Flory e Stockmayer não denominaram esta teoria como sendo um processo de percola¸cão.

Na literatura matemática os processos de percola¸cão foram introduzidos, com essa terminologia, por Simon R. Broadbent e John M. Hammersley, num artigo publicado em 1957 [10]. Broadbent e Hammersley introduziram também os relevantes conceitos ge- ométricos e probabil´ısticos ao modelo [11].

O desenvolvimento da teoria de transi¸cão de fases nos anos seguintes, em particular o método da expansão em série e a teoria dos grupos de renormaliza¸cão estimularam significativamente as atividades de pesquisa nas transi¸cões geométricas de percola¸cão.

Os conceitos fractais introduzidos por Mandelbrot, transformaram a teoria da percola¸c˜ao em uma ferramenta poderosa dispon´ıvel nos dias atuais.

aleatórios em geral, assim como, de áreas tipo engenharia de petróleo, fractais matemáti- cos, f´ısica da indu¸cão magnética e transi¸cões de fases.

Inicialmente, tratou-se o conceito de propaga¸cão de um fluido hipotético através de um meio aleatório. Os próprios pioneiros da teoria da percola¸cão, explicaram como percola¸cão e difusão, por exemplo, podiam ser vistos como modelos que tratam com fluidos em um meio poroso, no sentido mais geral, porém com diferen¸cas nos enfoques.

Na difusão, por exemplo, a aleatoriedade é atribu´ıda ao fluido, isto é, o fluido decide por onde as part´ıculas vão se deslocar no meio poroso.

Na percola¸cão, por sua vez, a ênfase está na aleatoriedade do meio, ou seja, o meio determina os caminhos para o fluxo das part´ıculas.

Esta era a nova situa¸c˜ao considerada por Broadbent e Hammersley, que decidiram chamar este novo enfoque de processo de percola¸c˜ao.

Para ilustrar melhor esta situa¸cão, suponha que colocamos uma rocha porosa em um balde com água e fa¸camos a seguinte indaga¸cão: Qual é a probabilidade que o centro da rocha esteja molhado?

A formula¸cão de um modelo estocástico para representar esta situa¸cão fez surgir os modelos de percola¸cão [12].

Os termos fluido e meio eram vistos como totalmente gerais. Um fluido poderia ser um l´ıquido, um gás, fluxo de calor, corrente elétrica, e assim por diante.

O meio, através do qual o fluido se propaga, poderia ser os espa¸cos dos poros de uma rocha, uma distribui¸cão de árvores em um campo, as regiões permeáveis em um ambiente impermeável etc [13, 14].

Alguns sistemas f´ısicos, qu´ımicos e biológicos, dentre muitos outros, são considera- dos sistemas complexos pelo fato de apresentarem um grande número de elementos que os compõem e que interagem entre si. Estes sistemas se caracterizam por apresentarem comportamento não linear e, geralmente, quando representados por modelos matemáticos não têm solu¸cões anal´ıticas e então recorremos às simula¸cões numéricas. Apesar de serem compostos por elementos simples, tais sistemas se comportam, globalmente, de forma muito complicada, com flutua¸cões que não estão dentro de um padrão conhecido.

Reservatórios de petróleo, por exemplo, se enquadram nessa classe de sistemas, porque apresentam grandes heterogeneidades geológicas em um amplo intervalo de escalas de com- primento, desde cent´ımetros até quilômetros [15].

Estas heterogeneidades, causadas pelos processos sedimentares responsáveis pelas de- posi¸cões das rochas e das subseqüentes a¸cões sobre as mesmas, têm um impacto significa-

tivo sobre a recupera¸c˜ao de hidrocarbonetos.

Um sistema é considerado homogêneo quando suas propriedades são independentes do seu tamanho linear. Quando existem heterogeneidades que persistem em diferentes comprimentos de escala, o comportamento global do sistema depende dos processos de transporte, tais como, difusão, condu¸cão etc, que são os modos como os fluidos se dis- tribuem no meio poroso.

Tomando-se como exemplo o fluxo de um fluido num reservatório de petróleo, vemos que o mesmo é afetado por estas heterogeneidades em todos os seus aspectos, tornando- se necessária a constru¸cão de modelos matemáticos para se fazer predi¸cões de determi- nadas realiza¸cões. Entretanto, as medidas obtidas diretamente das propriedades do fluxo, dispon´ıveis através das amostras colhidas em po¸cos de explora¸cão, representam muito pouco do volume total de um reservatório t´ıpico, na ordem de 10−13 _{[16, 17].}

Testemunhos e po¸cos de testes tˆem maior representatividade, da ordem de 10−4_{e 10}−7_,

respectivamente, do volume total de um reservatório t´ıpico, mas os resultados devem ser interpretados para inferir propriedades de fluxo, quando, por sua vez, o fluxo ocorre na escala dos poros que é da ordem de 10−21_{do volume do reservatório [18]. Portanto, existe}

uma grande incerteza a ser considerada quando tratamos a respeito da distribui¸c˜ao espa- cial das heterogeneidades que influenciam o fluxo.

A abordagem convencional no tratamento destas incertezas é feita através da constru- ¸cão de modelos detalhados de reservatórios que necessitam de uma probabilidade adequada agregada a cada uma incerteza para se obter a melhor performance.

O problema com este tipo de abordagem é que torna-se computacionalmente muito caro e muito pesado. Por isto, existe um grande est´ımulo à produ¸cão de modelos alterna- tivos mais simples que possam predizer as incertezas. Estes modelos se baseiam na f´ısica que determina o processo de deslocar um fluido através de outro.

Sabe-se que o fluxo de um fluido num meio poroso heterogêneo é determinado pelos contrastes de permeabilidade. Ou seja, locais de baixa ou nenhuma permeabilidade, e locais de alta permeabilidade. Embora existam outras influências, estas são as caracter´ıs- ticas predominantes que afetam o fluxo.

Utiliza-se exatamente estes contrastes de conectividade para modelar o fluxo em reser- vatórios de petróleo, isto é, considera-se que o meio é distribu´ıdo espacialmente de forma aleatória entre permeável e impermeável [19, 20]. O modelo matemático básico para representar as conectividades e transporte em sistemas geometricamente complexos é a teoria da percola¸cão. Ou seja, percola¸cão é um modelo matemático que pode ser útil na repre-

senta¸cão de alguns sistemas muito complexos, dentre os quais podemos citar, transi¸cão de fases, difusão em meios desordenados, recupera¸cão de petróleo através da inje¸cão de água ou de um gás misc´ıvel e fluxo de fluidos em meios porosos.

Este modelo tem uma defini¸cão simples em termos geométricos, porém não tem solu¸cão anal´ıtica no caso geral.

O problema da percola¸cão apresenta caracter´ısticas f´ısicas, tais como, fenômeno cr´ıtico, fractalidade e não linearidade.

Alguns tipos de percola¸cão que podemos citar dentre os modelos discretos são, percola¸cão por s´ıtios, percola¸cão por liga¸cões e percola¸cão por s´ıtios e liga¸cões. Em meios cont´ınuos existe a percola¸cão cont´ınua. Uma caracter´ıstica interessante é que todas estas variantes de modelos se mostram idênticas em quase todos os aspectos importantes.

Na próxima se¸cão, descrevemos a versão mais simples de um exemplo de percola¸cão.

No documento Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo (páginas 67-76)