A estrutura dos aglomerados percolantes pode ser descrita atrav´es de conceitos fractais. Consideremos o aglomerado infinito na concentra¸c˜ao cr´ıtica pc. Um exemplo representa-
tivo do aglomerado infinito est´a mostrado na Figura 2.8.
Como visto na figura, o aglomerado infinito cont´em buracos de todos os tamanhos em todas as escalas, do mesmo modo como, por exemplo, os fractais Triˆangulo e Tapete de Sierpinski, vistos no Cap´ıtulo 1.
O aglomerado percolante ´e estatisticamente auto-similar em todas as escalas de com- primento maiores do que a unidade e menores do que o tamanho da rede, e pode ser
Figura 2.8: Os s´ıtios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada 400× 400. Os s´ıtios coloridos formam aglomerados fini- tos. Mesmo considerando os efeitos de tamanho finito o aglomerado percolante apresenta uma auto-similaridade estat´ıstica.
Figura 2.9: Esta figura ´e uma amplia¸c˜ao de uma parte da figura anterior. Podemos observar uma auto-similaridade estat´ıstica.
considerado como um fractal [25]. A dimens˜ao fractal df descreve como, em m´edia, a
massa M do aglomerado no interior de um disco de raio r escala com r,
M (r)∼ rdf. (2.4)
Como explicado no Cap´ıtulo 1, nos fractais aleat´orios M (r) representa uma m´edia sobre v´arias configura¸c˜oes diferentes de aglomerados ou, equivalentemente, sobre v´arios centros diferentes de discos no mesmo aglomerado infinito.
Abaixo e acima de pc, o tamanho m´edio dos aglomerados finitos no sistema ´e descrito
pelo comprimento de correla¸c˜ao ξ. Em pc, ξ diverge e ocorrem buracos no aglomerado
infinito de todas as escalas de tamanho. Acima de pc, ξ tamb´em representa o tamanho
linear dos buracos no aglomerado infinito. Uma vez que ξ ´e finito acima de pc, o aglome-
rado infinito pode ser auto-similar somente em escalas de comprimento menores do que ξ. Podemos interpretar ξ(p) como um comprimento t´ıpico, em que, para escalas de com- primento menores do que ξ o aglomerado ´e auto-similar e pode ser considerado um fractal. Para escalas de comprimento maiores do que ξ, a estrutura n˜ao ´e auto-similar e pode ser considerada como homogˆenea.
A passagem do comportamento fractal em pequenas escalas de comprimento para um comportamento homogˆeneo em grandes escalas de comprimento pode ser ilustrada atrav´es de uma rede composta de c´elulas unit´arias do Triˆangulo de Sierpinski de tamanho ξ.
Se a nossa escala de comprimento for menor do que ξ, temos uma estrutura fractal. Em escalas de comprimento maiores do que ξ, temos um sistema homogˆeneo que ´e com- posto de v´arias c´elulas unit´arias de tamanho ξ.
Matematicamente, isto pode ser resumido como,
M (r)∼ r
df, r << ξ,
rd, r >> ξ. (2.5)
Podemos relacionar a dimens˜ao fractal, df, dos aglomerados percolantes com os ex-
poentes β e ν.
A probabilidade que um s´ıtio arbitr´ario no interior de um disco de raio r, menor do que ξ, perten¸ca ao aglomerado infinito, ´e a raz˜ao entre o n´umero de s´ıtios no aglomerado infinito e o n´umero total de s´ıtios,
P ∞∼ M (r) M ∼ rdf rd , r < ξ. (2.6)
Esta equa¸c˜ao tamb´em estar´a certamente correta se considerarmos r = aξ, onde a ´e uma constante arbitr´aria menor do que 1. Susbstituindo r = aξ em (2.6), obtemos,
P ∞∼ ξdf ξd . (2.7) De (2.1), (2.2) e (2.7), temos que, (p− pc)β ∼ (p − pc)ν(d−df), ou seja, df = d− β ν. (2.8)
Deste modo, a dimens˜ao fractal, df, do aglomerado infinito em pc, ´e um expoente que
depende de β e ν.
Cap´ıtulo 3
Percola¸c˜ao em um Multifractal
Experiˆencia ´e o nome que damos aos nossos pr´oprios erros.
Oscar Wilde
3.1
Introdu¸c˜ao
A teoria da percola¸c˜ao ´e um modelo que, como j´a vimos, vem sendo aplicado em v´arios campos do conhecimento, tais como, qu´ımica, geologia, biologia, magnetismo, epidemias, ciˆencia dos materiais, pol´ımeros ramificados, econof´ısica e transporte de fluidos em meios porosos [26, 27, 28, 29, 30].
O modelo de percola¸c˜ao em uma rede quadrada j´a foi estendido para v´arios outros tipos de redes, regulares e aleat´orias, meios cont´ınuos e outros sistemas complexos.
Neste cap´ıtulo apresentamos um multifractal que criamos com o objetivo de servir de suporte para um modelo de percola¸c˜ao, configurando-se assim, em mais uma extens˜ao do modelo original de percola¸c˜ao com base em uma rede quadrada [31, 32, 33].
Fizemos uma generaliza¸c˜ao da teoria de percola¸c˜ao para cobrir um n´umero ainda maior de sistemas complexos. Criamos uma abordagem para investigar como ocorre percola¸c˜ao em um suporte que ´e, por si s´o, um multifractal. Com este prop´osito constru´ımos um multifractal imerso no espa¸co bidimensional (2D) [34].
Nosso trabalho foi inspirado pela modelagem de objetos geof´ısicos naturais que apre- sentam propriedades multifractais [35, 36, 37].
tais como, camadas sediment´arias.
Reservat´orios de petr´oleo s˜ao, naturalmente, poss´ıveis candidatos para serem mo- delados desta forma, uma vez que as medidas de algumas grandezas f´ısicas observadas nos testemunhos retirados dos po¸cos explorat´orios apresentam comportamento multifrac- tal. Al´em do potencial de aplica¸c˜oes, o pr´oprio problema, por si s´o, desperta uma certa aten¸c˜ao.
O estudo dos fenˆomenos de percola¸c˜ao em redes multifractais ´e relevante em F´ısica Estat´ıstica, especialmente quando o tamanho dos blocos e o n´umero de vizinhos podem variar, ou seja, a topologia da rede varia.
Este multifractal que criamos com o objetivo de fazer esta an´alise, pode ser usado como um modelo de testes e pode servir como um laborat´orio para a teoria da percola¸c˜ao. Uma caracter´ıstica importante deste objeto ´e que suas propriedades topol´ogicas, isto ´e, o n´umero de vizinhos em cada bloco, muda ao longo do objeto.
A referˆencia apresenta um algoritmo que tem alguma semelhan¸ca com o nosso. O multifractal constru´ıdo com este algoritmo come¸ca com a parti¸c˜ao de um quadrado, mas o objeto gerado tem uma topologia trivial. Al´em disso, o objeto usado na referˆencia [38] ´e estoc´astico, enquanto o nosso ´e determin´ıstico.
Embora ambos os modelos apresentem multifractalidade, nosso modelo tem as seguintes diferen¸cas: (a) o multifractal que criamos apresenta uma topologia n˜ao trivial, (b) pode- mos determinar seus espectros de dimens˜oes fractais analiticamente, (c) generaliza a rede quadrada, e (d) sua constru¸c˜ao ´e recursiva e simples.
O objeto multifractal que desenvolvemos ´e uma generaliza¸c˜ao da rede quadrada regular se considerarmos do ponto de vista algor´ıtmico. O algoritmo que gera uma rede quadrada com, 2n× 2n, s´ıtios, ou c´elulas, come¸ca com um quadrado de tamanho fixo.
Iniciamos com um quadrado, L× L, e o seccionamos em quatro partes, ou c´elulas, iguais. Em cada passo todas as c´elulas s˜ao divididas igualmente em quatro subc´elulas usando segmentos de retas verticais e horizontais. Este procedimento gera uma rede qua- drada a partir de um processo de parti¸c˜ao do quadrado.
O multifractal que produzimos tamb´em ´e resultado de um processo de parti¸c˜ao do quadrado, por´em, a raz˜ao na qual as c´elulas s˜ao divididas ´e diferente de 1/2. O parˆame- tro, ρ, que caracteriza o multifractal est´a relacionado com a propor¸c˜ao desta divis˜ao.
O que torna este problema atraente ´e o seguinte. O suporte dos aglomerados de per- cola¸c˜ao ´e composto de subconjuntos de diferentes dimens˜oes fractais. ´E importante saber como estes diferentes subconjuntos est˜ao conectados e como eles participam do processo
de condu¸c˜ao.
Existem caracter´ısticas curiosas neste suporte devido ao fato que todas as c´elulas tˆem forma retangular, contudo, a ´area e o n´umero de vizinhos variam, formando um reticulado interessante. Na pr´oxima se¸c˜ao apresentamos o multifractal.