Nesta se¸c˜ao apresentamos algumas propriedades do espa¸co (H (X), h) herdadas do espa¸co m´etrico subjacente (X, d). O espa¸co (H (X), h) ´e um cen´ario muito natural para o estudo dos conjuntos fractais.
As seq¨uˆencias de aproxima¸c˜oes dos conjuntos fractais s˜ao descritas como seq¨uˆencias de Cauchy de pontos em (H (X), h). Deste modo, a existˆencia de limites de tais seq¨uˆencias, e os pr´oprios fractais, dependem da completeza do espa¸co (H (X), h). Vamos trabalhar em um espa¸co m´etrico completo, o espa¸co H .
Defini¸c˜ao A.4.1 Seja (X, d), um espa¸co m´etrico completo. Ent˜ao, H (X) denota o es- pa¸co cujos pontos s˜ao os subconjuntos compactos de X, a n˜ao ser o conjunto vazio.
Defini¸c˜ao A.4.2 Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico completo, x ∈ X, e B ∈ H (X). Ent˜ao, definimos a distˆancia do ponto x ao conjunto B por,
d(x, B) = inf{d(x, y); y ∈ B} . (A.18) Defini¸c˜ao A.4.3 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico completo. Sejam A, B ∈ H (X). Defi- nimos a distˆancia do conjunto A ao conjunto B por,
d(A, B) = sup{d(x, B); x ∈ A} . (A.19) Em particular, existem pontos ˆx∈ A e ˆy ∈ B, tais que,
d(A, B) = d(ˆx, ˆy). (A.20)
Defini¸c˜ao A.4.4 Sejam x, y ∈ R. Denotamos o m´aximo dos dois n´umeros reais x e y por,
x∨ y.
Exemplo A.4.1 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico completo. Mostre que, se A, B, C ∈ H(X), ent˜ao
d (A∪ B, C) = d (A, C) ∨ d (B, C). (A.21) Prova:
Defini¸c˜ao A.4.5 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico completo. Ent˜ao, definimos a distˆancia de Hausdorff, que denotamos por h, entre os pontos A e B em H (X), como
Apˆendice B
Medida e Dimens˜ao de Hausdorff
B.1
Medida de Hausdorff
Defini¸c˜ao B.1.1 Se U ´e um subconjunto n˜ao vazio do espa¸co euclidiano n-dimensionl, Rn, e x, y ∈ U, denotamos a distˆancia entre x e y como d(x, y) = |x − y| e definimos o diˆametro de U como sendo, (ver Apˆendice A),
diam(U ) =|U| = sup {|x − y| ; x, y ∈ U} , (B.1) ou seja, ´e a maior distˆancia entre quaisquer dois pontos em U .
Defini¸c˜ao B.1.2 Se {Ui} ´e uma cole¸c˜ao finita ou enumer´avel de conjuntos de diˆametros
no m´aximo iguais a δ que cobre F , isto ´e,
F ⊂
∞
i=1
Ui, (B.2)
com 0≤ |Ui| ≤ δ para cada i, dizemos que {Ui} ´e uma δ-cobertura de F .
Suponhamos que F ´e um subconjunto do Rn e s ´e um n´umero n˜ao-negativo. Para
todo δ > 0 definimos,
Hsδ(F ) = inf
∞
i=1
|Ui|s ; {Ui} ´e uma δ-cobertura de F
. (B.3)
Assim, olhamos para todas as coberturas de, F , por conjuntos de diˆametros no m´aximo iguais a δ e buscamos minimizar a soma da s-´esima potˆencia dos diˆametros.
l
´
o
compriment
2área l´
s sH
´l
l
´
o
compriment
2área l´
s sH
´l
Figura B.1: Conjuntos reescalados por um fator λ, o comprimento cresce pelo fator λ, (comprimento× λ); a ´area por um fator λ2, (´area× λ2); e a
medida s-dimensional de Hausdorff por um fator λs, (Hs× λs).
Enquanto δ diminui, a classe das coberturas permiss´ıveis de F em (B.3) ´e reduzida. Conseq¨uentemente, o ´ınfimo Hs
δ(F ) aumenta, e ent˜ao se aproxima de um limite quando
δ→ 0. Escrevemos,
Hs(F ) = lim
δ→0H
s
δ(F ). (B.4)
Este limite existe para qualquer subconjunto F do Rn, embora o valor limite possa ser 0
ou∞, e geralmente ´e. Chamamos Hs(F ) a medida s-dimensional de Hausdorff de F .
As propriedades de escala de comprimento, ´area e volume s˜ao bem conhecidas. Numa amplia¸c˜ao por um fator λ, o comprimento de uma curva fica multiplicado por λ, a ´area de uma regi˜ao plana ´e multiplicada por λ2 e o volume de um objeto 3D ´e multiplicado
por λ3. A medida s-dimensional de Hausdorff escala com um fator λs. Tais propriedades
de escala s˜ao fundamentais para a teoria dos fractais, ver Figura B.1.
escala λ > 0. Se F ⊂ Rn, ent˜ao
Hs(S(F )) = λsHs(F ). (B.5) Proposi¸c˜ao B.1.1 Sejam F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplica¸c˜ao, tal que,
|f(x) − f(y)| ≤ c |x − y|α, (B.6) para x, y ∈ F e as constantes c > 0 e α > 0. Ent˜ao, para cada s, temos,
Hs/α(f (F ))≤ cs/αHs(F ). (B.7)
B.2
Dimens˜ao de Hausdorff
Retornando `a equa¸c˜ao (B.3) temos que para qualquer conjunto dado F ⊂ Rn e δ < 1,
Hs
δ(F ) ´e n˜ao crescente com s, de modo que por (B.4) Hs(F ) ´e tamb´em n˜ao crescente.
Tamb´em ´e verdadeiro que, se t > s e {Ui} ´e uma δ-cobertura de, F , temos,
i |Ui|t≤ i |Ui|t−s|Ui|s≤ δt−s i |Ui|s, (B.8)
de modo que, tomando o ´ınfimo, Ht
δ(F )≤ δt−sHδs(F ).
Fazendo, δ → 0, vemos que se Hs(F ) <∞ ent˜ao Ht(F ) = 0 para t > s. Deste modo
um gr´afico Hs(F ) versus s, ver Figura B.2, mostra que existe um valor cr´ıtico de s no
qualHs(F ) ‘salta’ de ∞ para 0.
Este valor cr´ıtico ´e chamado a dimens˜ao de Hausdorff de F , escrita, dimHF , e ´e
definida para qualquer conjunto F ⊂ Rn. Esta dimens˜ao tamb´em ´e conhecida como
dimens˜ao de Hausdorff-Besicovitch. Formalmente,
dimHF = inf{s ≥ 0 ; Hs(F ) = 0} = sup {s ; Hs(F ) =∞} , (B.9)
tomando o supremo do conjunto vazio como 0, de modo que,
Hs(F ) = ∞ se 0 ≤ s < dimHF,
0 se s > dimHF. (B.10)
Se s = dimHF , ent˜ao Hs(F ) pode ser zero ou infinito, ou satisfazer `a desigualdade,
Figura B.2: Gr´afico de Hs(F ) versus s para um conjunto F . A
dimens˜ao de Hausdorff ´e o valor de s no qual ocorre o ‘salto’ de∞ para 0.
Apˆendice C
Teoria das Probabilidades
C.1
Introdu¸c˜ao
Para um melhor entendimento de alguns temas tratados em alguns cap´ıtulos desta tese fazemos, neste apˆencdice, uma pequena introdu¸c˜ao ao conhecimento b´asico de teoria das probabilidades e damos um breve resumo dos conceitos necess´arios.
A teoria das probabilidades come¸ca com a id´eia de uma experiˆencia ou ensaio. Isto ´e, uma a¸c˜ao cujo resultado ´e, em termos pr´aticos, n˜ao predeterminado.
Matematicamente, uma determinada experiˆencia ´e descrita por um espa¸co de pro- babilidades, que tem trˆes componentes: (a) o conjunto de todos os resultados poss´ıveis da experiˆencia, (b) a lista de todos os eventos que podem ocorrer como conseq¨uˆencia da experiˆencia, e (c) uma avalia¸c˜ao da probabilidade destes eventos.
Por exemplo, se um dado ´e lan¸cado, os poss´ıveis resultados s˜ao {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A lista dos eventos inclui ‘ocorreu um 3’, ‘ocorreu um n´umero par’ e ‘ocorreu no m´ı- nimo um 4’. Para um ‘dado honesto’ ´e razo´avel avaliar os seis resultados poss´ıveis como eq¨uiprov´aveis.
O conjunto de todos os resultados poss´ıveis de uma experiˆencia ´e chamado de espa¸co amostral, denotado por Ω.
Quest˜oes de interesse relacionadas com o resultado de uma experiˆencia podem sempre ser formuladas em termos dos subconjuntos de Ω.
No caso do exemplo acima a express˜ao ‘ocorreu um n´umero ´ımpar?’ pergunta se ‘o resultado pertence ao subconjunto{1, 3, 5}?’
Associando, desta maneira, eventos dependentes dos resultados da experiˆencia com subconjuntos de Ω, naturalmente imaginamos a uni˜ao A∪ B como ‘A ou B ocorre’, a
interse¸c˜ao A∩ B como ‘ambos A e B ocorrem’, e o complemento Ω\A como o evento ‘A n˜ao ocorre’, para quaisquer eventos A e B.
Em geral, existe uma cole¸c˜aoF de subconjuntos de Ω, de particular interesse, que s˜ao os assim chamados eventos.
No exemplo do dado, F normalmente seria a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de Ω, mas em situa¸c˜oes mais complicadas, uma cole¸c˜ao relativamente pequena de subconjuntos pode ser relevante. Geralmente, F satisfaz determinadas condi¸c˜oes. Por exemplo, se a ocorrˆencia de um evento ´e de interesse, ent˜ao a sua n˜ao-ocorrˆencia tamb´em ´e de interesse, assim se A est´a emF, espera-se que o complemento Ω\A tamb´em esteja em F.
Uma cole¸c˜ao n˜ao-vazia,F, de subconjuntos do espa¸co amostral Ω, chama-se um espa¸co de eventos, se Ω\A ∈ F, (C.1) sempre que A∈ F, e ∞ i=1 Ai ∈ F, (C.2)
sempre que Ai ∈ F, com 1 ≤ i < ∞.
Segue-se destas condi¸c˜oes que, ∅ e Ω est˜ao em F, e que A\B e ∞
i=1Ai est˜ao em F,
sempre que A, B e Ai est˜ao em F.
Associamos probabilidades com os eventos de F, escrevendo P(A) como a probabili- dade, que o evento A ocorra.
Denominamos P uma probabilidade, ou medida de probabilidade, se P atribui um n´umero P(A) a cada evento A em F, de modo que, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao obser- vadas:
0≤ P(A) ≤ 1, (C.3)
para todo A∈ F,
P(∅) = 0 e P(Ω) = 1, (C.4) e, se A1, A2, . . . s˜ao eventos disjuntos em F,
P ∞ Ai = ∞ P(Ai). (C.5)
Chamamos uma tripla (Ω,F, P) um espa¸co de probabilidades se F for um espa¸co de eventos de subconjuntos de Ω e P ´e uma medida de probabilidade definida nos conjuntos deF.
Para a experiˆencia do lan¸camento do dado, podemos ter Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} com o espa¸co de eventos consistindo de todos os subconjuntos de Ω, e com P(A) =
1
6 × o n´umero de elementos em A. Isto descreve a situa¸c˜ao do ‘dado honesto’ com cada
resultado igualmente prov´avel.
Geralmente, Ω ´e um conjunto infinito. Por exemplo, podemos ter Ω = [0, 1] e pensar um n´umero aleat´orio retirado do intervalo [0, 1], com a probabilidade do n´umero em um conjunto A, como P(A) = comprimento de A. Neste caso, o espa¸co de eventos pode ser os subconjuntos de Borel do intervalo [0, 1].
A semelhan¸ca da defini¸c˜ao de probabilidade com a defini¸c˜ao de uma medida, vista em (B.1), (B.2), (B.3) e (B.4), e o uso do termo medida de probabilidade, n˜ao ´e apenas coincidˆencia. Probabilidades e medidas podem ser postas no mesmo contexto, com Ω correspondendo ao Rn e com o espa¸co de eventos correspondendo aos conjuntos de Borel.
Dizemos que um evento A ocorre seguramente, se tivermos a certeza que P(A) = 1. Por´em, `as vezes dispomos apenas de informa¸c˜oes parciais a respeito do resultado de uma determinada experiˆencia. Por exemplo, podemos dizer que o n´umero mostrado no dado ´e par. Isto leva a uma reavalia¸c˜ao das probabilidades dos v´arios eventos.