Lajes de Forma Especial

(1)

Lajes de Forma Especial

Prof. Romel Dias Vanderlei

Capítulo 5

Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II

P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

Bibliografia:

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS.

Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2003. Rio de

Janeiro, ABNT, 2004.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS.

Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. NBR

6120:1980. Rio de Janeiro, ABNT, 1980.

ROCHA, A. M. Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol.

IV, Ed. Científica, 1975.

TRANALLI, P. P.; SOUZA R. A. Lajes Triangulares em

Concreto Armado. In: V Encontro Tecnológico da Engenharia

Civil e Arquitetura - ENTECA, 2005, Maringá - PR:

(2)

P

ro

f. Ro

_{5.1- Introdução}

5.2- Lajes Circulares

5.2.1- Generalidades

5.2.2- Carga uniforme total

5.2.3- Carga uniforme parcial

5.2.4- Exemplo 1

5.2.5- Exemplo 2

5.3- Lajes Triangulares

5.3.1- Generalidades

5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles

5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles

5.1- Introdução

Laje Circular

Laje Triangular

(3)

P

ro

f. Ro

5.2.1- Generalidades

Para cada ponto, consideram-se, os momentos

em planos verticais:

Momento radial M

_r

(contêm o raio)

Momento tangencial M

_t

(perpendiculares ao raio)

Pela simetria da carga ao centro da laje os

momentos são constantes ao longo de um

círculo de raio r.

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.1- Generalidades

As armaduras podem ser:

Radial e circular, ou

(4)

P

ro

f. Ro

5.2.2- Carga uniforme total

a) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:

l a r l P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme total

a) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:

Os momentos em cada ponto situado a uma

distância r do centro serão:

[

(

3 )

(

1

3 )

]

16 )

(

)

3 (

16

2

2 ν

ν

⋅

+

⋅

−

+

⋅

=

−

⋅

+

⋅

=

r

a

q

M

r

a

q

M

t

r

onde:

ν - coeficiente de Poisson

(5)

P

ro

f. Ro

5.2.2- Carga uniforme total

Para ν = 0,20:

(

)

2

26 ,

0

20 ,

0

20 ,

0 r

q

a

q

M

r

a

q

M

t

r

⋅

−

⋅

=

−

⋅

=

Momento máximo, no centro (r = 0):

20

20 ,

0

2

2 q

l

a

q

M

_r

=

_t

=

⋅

=

⋅

onde

l é o diâmetro da laje.

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme total

Flecha:

D

a

q

f

_máx

⋅

+

⋅

+

=

)

1 (

64 )

5 (

4 ν

ν

onde D é o coeficiente de rigidez da laje, dado pela fórmula:

Para ν = 0,20:

)

1 (

12

2

3 ν

−

⋅

=

E

d

D

3

4

3

4

049 ,

0

78 ,

0 d

E

l

q

d

E

a

q

f

_máx

⋅

=

⋅

=

(6)

P

ro

f. Ro

5.2.2- Carga uniforme total

b) Lajes Engastada no Contorno:

a

r

f

máx

l

a

r

f

máx

l

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme total

b) Lajes Engastada no Contorno:

Momentos em um ponto qualquer à distância r do

centro:

[

]

[

(

1 )

(

1

3 )

]

16 )

3 (

)

1 (

16

2

2 ν

ν

+

⋅

−

+

⋅

=

+

⋅

−

+

⋅

=

r

a

q

M

r

a

q

M

t

r

2

019 ,

0

075 ,

0 q

a

q

l

M

_r

=

_t

=

⋅

=

⋅

(7)

P

ro

f. Ro

5.2.2- Carga uniforme total

Momento negativo no contorno (ν = 0,20):

192

48

32

8

2

2 l

q

a

q

M

l

q

a

q

M

t

r

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme total

Flecha:

2

4

4 0114

,

0

64 E

d

l

q

D

a

q

f

_máx

⋅

=

⋅

=

(8)

P

ro

f. Ro

5.2.3- Carga uniforme parcial

Para:

momentos fletores radial e tangencial e

flecha em qualquer ponto de uma laje circular

Podem ser usadas as tabelas de N. V. Nikitin.

Coeficientes em função dos valores:

a

b

a

r

e

=

ρ

onde:

r é a distância do ponto considerado ao centro da placa;

b o raio da superfície de carga; e

a o raio total da placa.

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.3- Carga uniforme parcial

Os momentos e a flecha em cada ponto são dados

pelas fórmulas:

Os coeficientes de K

_r

, K

_t

e K

_f

são encontrados na

TABELA 4 em função de a/b e

ρ.

2

2 r

r

t

f

M

K p b

M

K p b

p a b

f

K

D

=

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

=

⋅

(9)

P

ro

f. Ro

Tabela 4

: Placa circular com uma carga

uniformemente distribuída em uma superfície circular

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,0 0,0356 0,0382 0,0357 0,0335 0,0316 0,0300 0,0287 0,0277 0,0269 0,0265 0,0263 0,9 0,0675 0,0776 0,0783 0,0730 0,0684 0,0646 0,0614 0,0389 0,0572 0,0561 0,0558 0,8 0,0956 0,1123 0,1222 0,1310 0,1126 0,1054 0,0966 0,0950 0,0918 0,0808 0,0892 0,7 0,1200 0,1424 0,1603 0,1708 0,1677 0,1555 0,1455 0,1377 0,1321 0,1288 0,1271 0,6 0,1406 0,1678 0,1925 0,2129 0,2250 0,2202 0,2033 0,1902 0,1808 0,1752 0,1733 0,5 0,1575 0,1887 0,2189 0,2473 0,2719 0,2877 0,2816 0,2586 0,2422 0,2324 0,2291 0,4 0,1706 0,2049 0,2394 0,2741 0,3083 0,3402 0,3636 0,3579 0,3263 0,3073 0,3010 0,3 0,1800 0,2165 0,2541 0,2932 0,3344 0,3777 0,4222 0,4620 0,4624 0,4174 0,4024 0,2 0,1856 0,2234 0,2629 0,3047 0,3500 0,4002 0,4574 0,5245 0,6030 0,6375 0,5756 0,1 0,1875 0,2257 0,2658 0,3085 0,3552 0,4077 0,4691 0,5454 0,6499 0,8250 -0

K

_r

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa) ρ Coeficiente P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

Tabela 4

: Placa circular com uma carga

uniformemente distribuída em uma superfície circular

0,1250 0,1487 0,1700 0,1887 0,2050 0,2187 0,2300 0,2381 0,2450 0,2487 0,2500 1,0 0,1369 0,1632 0,1870 0,2079 0,2261 0,2414 0,2540 0,2638 0,2708 0,2749 0,2763 0,9 0,1470 0,1763 0,2033 0,2273 0,2481 0,2658 0,2802 0,2914 0,2994 0,3042 0,3058 0,8 0,1569 0,1879 0,2179 0,2460 0,2707 0,2917 0,3088 0,3221 0,3316 0,3373 0,3392 0,7 0,1650 0,1979 0,2306 0,2626 0,2927 0,3187 0,3399 0,3565 0,3683 0,3753 0,3771 0,6 0,1719 0,2064 0,2414 0,2767 0,3118 0,3452 0,3733 0,3952 0,4108 0,4202 0,4233 0,5 0,1775 0,2134 0,2502 0,2881 0,3274 0,3677 0,4066 0,4383 0,4609 0,4745 0,4791 0,4 0,1819 0,2188 0,2570 0,2971 0,3396 0,3852 0,4339 0,4829 0,5207 0,5434 0,5510 0,3 0,1850 0,2226 0,2619 0,3034 0,3485 0,3977 0,4534 0,5176 0,5874 0,6361 0,6524 0,2 0,1869 0,2249 0,2648 0,3073 0,3535 0,4052 0,4652 0,5384 0,6342 0,7625 0,8256 0,1 0,1875 0,2257 0,2658 0,3085 0,3552 0,4077 0,4691 0,5454 0,6499 0,8250 -0

K

_t

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa) ρ

(10)

P

ro

f. Ro

Tabela 4

: Placa circular com uma carga

uniformemente distribuída em uma superfície circular

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,0 0,0124 0,0148 0,0169 0,0188 0,0204 0,0218 0,0229 0,0238 0,0244 0,0248 0,0250 0,9 0,0245 0,0292 0,0335 0,0373 0,0406 0,0433 0,0456 0,0474 0,0486 0,0494 0,0496 0,8 0,0359 0,0429 0,0493 0,0550 0,0600 0,0642 0,0677 0,0703 0,0722 0,0734 0,0738 0,7 0,0464 0,0554 0,0639 0,0716 0,0783 0,0840 0,0887 0,0923 0,0949 0,0965 0,0970 0,6 0,0557 0,0666 0,0769 0,0864 0,0941 0,1023 0,1083 0,1130 0,1163 0,1183 0,1190 0,5 0,0635 0,0760 0,0879 0,0991 0,1093 0,1183 0,1258 0,1317 0,1358 0,1383 0,1392 0,4 0,0698 0,0836 0,0968 0,1094 0,1210 0,1315 0,1409 0,1477 0,1529 0,1560 0,1571 0,3 0,0744 0,0891 0,1033 0,1169 0,1296 0,1413 0,1516 0,1602 0,1667 0,1706 0,1719 0,2 0,0772 0,0924 0,1072 0,1214 0,1349 0,1473 0,1585 0,1682 0,1759 0,1810 0,1827 0,1 0,0781 0,0936 0,1086 0,1230 0,1366 0,1493 0,1608 0,1709 0,1791 0,1850 0,1875 0

K

_f

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa) ρ Coeficiente P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Calcular uma laje circular apoiada nas bordas,

considerando f

_ck

= 20MPa, aço CA-50, sobrecarga de

3,0 kN/m

2 _{, h = 12cm e cobrimento de armaduras de}

2,5 cm. Detalhar as armaduras e verificar a flecha.

(11)

P ro f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Resolução:

Ações:

Carga Total (p):

2

2 0,12 25

3, 0

/

3, 0

/

c

g h

KN m

q

KN m

γ

= ×

=

×

=

2 6, 0

/

P g q

= + =

KN m

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Momento máximo no centro:

2

2 6, 0 6

10,8

/

20

20 2, 0

1, 43

/

1, 4

50 43, 48

/

1,15

r

t

c

s

q l

M

KN m m

fck

fcd

KN cm

fyk

fyd

KN cm

γ

⋅

×

=

⋅

=

(12)

P

ro

f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Altura útil (supondo barras de 10 mm):

Área da armadura:

1, 0

'

2, 5

3, 0

2 '

9 d

cm

d h d

cm

≅

+

=

= −

=

2 2

1, 4 100 10,8

1, 25

1

1 1, 25 9 1

1 0, 425

0, 425 100 9 1, 43

1,88

d w

M

X

d

b d

fcd

X

cm

Domínio II

⎡

⎤

⎡

×

⎤

=

⋅ ⋅ −

_⎢

−

_⎥

=

⋅ ⋅ −

_⎢

−

_⎥

⋅ ⋅

⋅

_⎣

⋅

⋅ ⋅

_⎦

⎣

⎦

=

→

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Área da armadura:

(

)

(

)

2

2 1, 4 100 10,8

0, 4

43, 48 9 0, 4 1,88

4, 21

/

10 / 16

0,15

100 15

2, 25

/

100 d

mín

M

As

fyd d

X

As

cm m

mm c

cm

As

cm c

φ

×

=

⋅

−

⋅

⋅ −

⋅

=

→

=

×

=

m

φ10mm c/ 18cm

12 = 1,8 cm

2 / cm

cm

c

mm

cm

A

_s

_,

_efet

_.

=

4 ,

36

2 →

φ

10 /

18

(13)

P

ro

f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Recomenda-se armadura negativa de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamento

parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2 1, 5

/

0,15

100 15

2, 25

/

10 / 30

100 borda

borda

As

cm m

mínimo

As

cm m

φ

mm c

cm

=

→

=

×

12 = 1,8 cm

=

2 / cm

→

φ6.3mm c/ 17cm

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Flecha imediata:

3

4

049 ,

0 d

E

l

p

a

_i

⋅

=

Combinação de ações quase permanente:

∑

+

∑

=

_gi

_k

_j

_qj

_k

ser

d

F

(14)

P

ro

f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Flecha Diferida:

Deformação lenta: pode ser considerado de modo

aproximado, dobrando-se a flecha imediata.

i

f

i

total

i

f

a

⋅

=

+

=

2 Módulo de elasticidade:

2 3

10

37 ,

287 .

21

37 ,

287 .

21

20 4760

4760

(MPa)

5600

85 ,

0

85 ,

0 m

kN

MPa

f

E

f

E

ck cs ck ci cs

×

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Combinação quase permanente:

2

9 ,

3

3 ,

0

3

2 j

kN

m

QP

g

ψ

q

p

=

+

=

+

×

=

Flecha imediata:

cm

m

d

E

l

p

a

i QP

0 ,

016

1 ,

6

09 ,

0

10

37 ,

287 .

21

6

9 ,

3

049 ,

0

049 ,

0

₃ ₃ 4 3 4

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

Flecha total:

cm

a

_total

=

2 ⋅

_i

=

2 ×

1 ,

6 =

3 ,

2

(15)

P

ro

f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Flecha devido apenas a carga acidental:

2

3 kN

_m

q

=

Flecha imediata:

cm

m

d

E

l

q

a

_q

0 ,

012

1 ,

2

09 ,

0

10

37 ,

287 .

21

6

3

049 ,

0

049 ,

0

₃ ₃ 4 3 4

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Verificações NBR 6118:2003

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

>

=

<

=

cm

a

cm

l

a

cm

a

cm

l

a

seja

ou

q q ite total Pqp ite

2 ,

1

7 ,

1

350

600

350

2 ,

3

4 ,

2

250

600

250 :

, lim , lim

(16)

P

ro

f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Verificações:

Portanto será necessário aumentar a altura da laje

para que se cumpra a flecha a longo prazo!

Para h = 13cm

2 2

25 ,

6

3

25 ,

3

25 ,

3

13 ,

0

25

m kN m kN

q

g

p

g

=

+

=

+

=

×

=

p

_QP

=

3 ,

25 +

0 ,

3 ×

3 =

4 ,

15 kN

_m

2

cm

m

d

E

l

p

a

i QP

0 ,

012

1 ,

2

09 ,

0

10

37 ,

287 .

21

6

15 ,

4

049 ,

0

049 ,

0

₃ ₃ 4 3 4

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

)

(

4 ,

2

2 ,

1

2

2 a

cm

a

_lim

OK

a

_total

=

⋅

_i

=

×

=

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Detalhamento:

Ø6.3 c/17 - 120

(17)

P

ro

f. Ro

_{5.2.5- Exemplo 2}

Calcular e dimensionar a laje do exemplo 1, levando

em consideração que exista condições de

engastamento nas bordas.

Esforço:

Máximo momento positivo no centro:

m

kN

l

p

M

_r

_t

4 ,

10 /

86 ,

54

6

25 ,

6

86 ,

54

2

2 ⋅

=

⋅

=

⋅

=

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2

Momentos negativos no contorno:

φ

6.3 mm c/ 17cm

0,40

1,80

II

0,18

-1,17

φ

6.3 mm c/ 12cm

2,54

1,80

II

1,13

-7,03

φ

6.3mm c/ 17cm

1,44

1,80

II

0,64

4,10

As

_adotado

As

_cálc

As

_mín

Domínio

X

(cm)

M

_k

(KN.m/m)

Área da armadura:

m

kN

l

p

M

m

kN

l

p

M

t r

/

17 ,

1

192

6

25 ,

6

192 /

03 ,

7

32

6

25 ,

6

32

2 2 2 2

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

(18)

P

ro

f. Ro

5.2.5- Exemplo 2

Combinação quase permanente:

2

15 ,

4

3

3 ,

0

25 ,

3

2 j

kN

m

QP

g

ψ

q

p

=

+

=

+

×

=

Flecha imediata:

cm

m

d

E

l

p

a

i QP

0 ,

003

0 ,

3

1 ,

0

10

37 ,

287 .

21

6

15 ,

4 0114

,

0 0114

,

0

₃ ₃ 4 3 4

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

Flecha total:

cm

a

_total

=

2 ⋅

_i

=

2 ×

0 ,

3 =

0 ,

6 5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1

Flecha devido apenas a carga acidental:

2

3 kN

_m

q

=

Flecha imediata:

cm

m

d

E

l

q

a

_q

0 ,

002

0 ,

2

1 ,

0

10

37 ,

287 .

21

6

3 0114

,

0 0114

,

0

₃ ₃ 4 3 4

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

(19)

P ro f. Ro

5.2.4- Exemplo 1

Verificações NBR 6118:2003

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

>

=

>

=

cm

a

cm

l

a

cm

a

cm

l

a

q

ite

total

Pqp

ite

2 ,

0

7 ,

1

350

600

350

6 ,

0

4 ,

2

250

600

250 ,

lim

,

lim

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2

Detalhamento:

Armadura positiva - Ø6.3 c/17 cm

Armadura negativa

Ø6.3 c/12 - 120

(20)

P

ro

f. Ro

5.3.1- Generalidades

Classificação das lajes triangulares quanto ao

formato:

Eqüilátero (três lados iguais),

Isósceles (dois lados iguais) e

Retângulo isósceles (dois lados iguais unidos a 90°)

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero

Para bordas simplesmente apoiada no contorno:

Armaduras em duas direções, de maneira paralela e

perpendicular a um dos lados.

My Mx x y B C b 0,46.a L P1 P2

(21)

P

ro

f. Ro

Na direção y

O momento máximo M

_y

ocorre a uma distância igual

a 0,46.a.

5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero

Momentos máximos (para ν = 0,20 ):

Na direção x

O momento máximo M

_x

ocorre para uma distância

igual a 0,27.a

sendo “a” igual a altura do triângulo equilátero.

44 a

p

M

2 x

⋅

=

46 a

p

M

2 y

⋅

=

Momentos fletores:

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero

No centro de gravidade do triângulo equilátero:

Flecha máxima:

29

46

54

1 M

M

2

2 y

x

,

a

p

a

p

ν)

(

+

⋅

=

⋅

=

3

4

4 0120

0

972 E

d

a

p

,

D

a

p

f

⋅

=

⋅

=

)

ν

(

E.d

D

₂

3

1

12 −

=

(22)

P

ro

f. Ro

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles

As armaduras podem ser dispostas de maneira

paralela e perpendicular à hipotenusa.

a Mx Xx y a a y Xy My c A b x x P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles

Na direção x da normal à hipotenusa:

Os momentos são negativos junto ao canto A

(vértice do ângulo reto)

Se tornam positivos junto à diagonal.

Momento máximo:

53

2 a

p

M

_x

=

⋅

80

2 a

p

X

_x

=

⋅

a Mx Xx y a x

(23)

P

ro

f. Ro

_{5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles}

Na direção paralela à hipotenusa:

o momento M

_y

é positivo,

partindo de zero na hipotenusa e crescendo

rapidamente até se manter quase constante ao se

aproximar do vértice A do ângulo reto.

Momento máximo:

63

2 a

p

M

_y

=

⋅

y Xy My c x P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles

Flecha máxima:

3

4 max

0

01 E.d

p.a

.

,

f

=

Observação:

Os momentos na laje em triângulo retângulo

isósceles se aproximam da metade do momento

fletor que seria obtido para uma laje quadrada de

lado a.

Assim, o cálculo pode ser feito, de um modo

aproximado, tomando uma laje quadrada de lado

(24)

P

ro

f. Ro

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles

Armação negativa no canto do ângulo reto:

Armação na direção da bissetriz deste ângulo

Espaçamento igual ao das armaduras positivas

Comprimento dos ferros maior ou igual a “a/4”.

A

b

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles

A Tabela 1 fornece os coeficientes para

obtenção:

Momentos máximos M

_x

na direção normal à base,

M

_y

na direção paralela à base de lajes em forma de

triângulo isósceles apoiada nos três lados.

Flecha máxima;

Reações totais R

_b

na base e R

_l

nos lados do

(25)

P

ro

f. Ro

5.3.4- Lajes em

Triângulo Isósceles

Tabela 1 - Coeficientes para obtenção

de esforços em lajes triangulares

isósceles

B = base e H = altura do triângulo

0,075 0,100 0,0094 0,0081 0,000159 2,00 0,079 0,104 0,0099 0,0090 0,000170 1,90 0,084 0,108 0,0105 0,0099 0,000192 1,80 0,090 0,113 0,0111 0,0108 0,000225 1,70 0,097 0,118 0,0118 0,0118 0,000270 1,60 0,105 0,123 0,0126 0,0128 0,000326 1,50 0,115 0,128 0,0135 0,0141 0,000393 1,40 0,126 0,134 0,0145 0,0155 0,000469 1,30 0,139 0,140 0,0154 0,0172 0,000555 1,20 0,154 0,148 0,0161 0,0192 0,000652 1,10 0,172 0,157 0,0166 0,0214 0,000762 1,00 0,193 0,161 0,0169 0,0227 0,000840 0,95 0,195 0,165 0,0172 0,0241 0,000932 0,90 0,209 0,170 0,0175 0,0255 0,000104 0,85 0,225 0,176 0,0178 0,0270 0,00116 0,80 0,242 0,183 0,0181 0,0286 0,00129 0,75 0,263 0,190 0,0186 0,0303 0,00144 0,70 0,286 0,198 0,0191 0,0322 0,00160 0,65 0,314 0,206 0,0197 0,0343 0,00177 0,60

2 .p.B

m

M

_x

=

_x

_M

_m

_.p.B

2 y

y

=

2 .p.B

r

R

_B

=

_b

R

L

=

r

l

.p.B

2 D

p.B

f.

f

4 max

=

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Calcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato

de triângulo equilátero apoiada nas três bordas.

Dados:

C20; CA-50;

q = 3,0kN/m

2 h = 10cm;

c

_nom

= 2cm;

x

y

3,0m

3,0

_m

3,0

m

2,59m

(26)

P

ro

f. Ro

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Resolução:

Ações:

Momentos máximos nas direções x e y:

2 2

5 ,

5

3

5 ,

2

5 ,

2

10 ,

0

25 m

kN

m

kN

q

g

p

g

=

+

=

+

=

×

=

44 a

p

M

2 x

⋅

=

46 a

p

M

2 y

⋅

=

Sendo a = 2,59m altura do triângulo equilátero

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Resolução:

Momentos máximos nas direções x e y:

m

kN

.

/

83 ,

0

44

59 ,

2 5,5

44 a

p

M

2

2 x

=

⋅

=

⋅

=

m

kN

.

/

80 ,

0

46

59 ,

2 5,5

46 a

p

M

2

2 y

=

⋅

=

⋅

=

Altura útil (supondo barras de 6,3 mm):

cm

c

h

cm

c

h

y x nom

05 ,

7

63 ,

0

63 ,

0

0 ,

2

10 d

68 ,

7

2

63 ,

0

0 ,

2

10

2 d

x

=

−

=

−

=

−

=

−

=

φ

(27)

P

ro

f. Ro

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Área da armadura:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

−

⋅

=

cd w d

f

d

b

M

d

₂

425 ,

0

1

25 ,

1 X

(

d

X

)

f

M

yd

d

⋅

−

⋅

=

4 ,

0 A

_s

1,5

A

_s,min

(cm

2

_/m)

φ6.3 c/20cm

0,36

2 0,16

M

_y

= 0,80

φ6.3 c/20cm

0,35

2 0,15

M

_x

= 0,83

Barras

A

_s

(cm

2

_/m)

Domínio

X (cm)

M

_k

(kN.m/m)

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Armadura de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamento

parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2 1, 5

/

0,15

100 15

2, 25

/

10 / 30

100 borda

borda

As

cm m

mínimo

As

cm m

φ

mm c

cm

=

→

=

×

10 = 1,5 cm

=

2 / cm

→

φ6.3mm c/ 20cm

L = a/4 = 259/4=64,75cm - 65cm

(28)

P

ro

f. Ro

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Flecha imediata:

3

4 0120

0 d

E

a

p

,

a

_i

⋅

=

Combinação de ações quase permanente:

2

4 ,

3

3 ,

0

5 ,

2

2 j

kN

m

QP

g

ψ

q

p

=

+

=

+

×

=

Módulo de elasticidade:

2 3

10

37 ,

287 .

21

37 ,

287 .

21

20 4760

4760

(MPa)

5600

85 ,

0

85 ,

0 m

kN

MPa

f

E

f

E

ck cs ck ci cs

×

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Flecha imediata:

cm

m

a

d

E

l

p

a

i

QP

i

025 ,

0 00025

,

0 0705

,

0

10

37 ,

287 .

21

59 ,

2

4 ,

3 0120

,

0 0120

,

0

3

4

3

4 =

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

Flecha total:

cm

a

_total

=

2 ⋅

_i

=

2 ×

0 ,

025 =

0 ,

05

(29)

P ro f. Ro 2

3 kN

_m

q

=

Flecha imediata:

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Flecha devido apenas a carga acidental:

cm

m

a

_q

0 ,

00022

0 ,

022 0705

,

0

10

37 ,

287 .

21

59 ,

2

3 0120

,

0

₃ ₃ 4

=

⋅

×

⋅

×

=

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Verificações NBR 6118:2003

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

>

=

>

=

cm

a

cm

l

a

cm

a

cm

l

a

q q ite total Pqp ite

022 ,

0

74 ,

0

350

259

350

05 ,

0

04 ,

1

250

259

250

, lim , lim

(30)

P

ro

f. Ro

5.3.5- Exemplo de Triângulo Equilátero

Detalhamento:

Armadura positiva Ø6.3mm c/ 20cm

Ø6.3mm c/20cm

Armadura negativa Ø6.3mm c/ 20cm

Ø6.3mm c/20cm - 65 9 P ro f. Ro m e l Di a s Van d e rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Calcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato

de triângulo retângulo isósceles, apoiada nas três bordas.

Dados:

C20; CA-50;

q = 5,0kN/m

2 h = 10cm;

c

_nom

= 2,5cm;

5, 0m 7,0 7m

(31)

P

ro

f. Ro

_{5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles}

Resolução:

Ações:

2 2

5 ,

7

5

5 ,

2

5 ,

2

10 ,

0

25 m

kN

m

kN

q

g

p

g

=

+

=

+

=

×

=

Momentos máximos na direção x normal à hipotenusa:

m

kN

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

2 ,

34

80

5 7,5

80 a

p

X

2

2 x

m

kN

⋅

=

⋅

=

⋅

=

3 ,

53

5 7,5

53 a

p

M

2

2 x

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Resolução:

Momento máximo na direção y, paralela à hipotenusa:

m

kN

.

/

97 ,

2

63

0 ,

5 7,5

63 a

p

M

2

2 y

=

⋅

=

⋅

=

Altura útil (supondo barras de 8 mm):

cm

c

h

_nom

x

7 ,

10

2

8 ,

0

5 ,

2

10

2 d

≅

−

φ

=

−

=

(32)

P

ro

f. Ro

_{5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles}

Área da armadura:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

−

⋅

=

cd w d

f

d

b

M

d

₂

425 ,

0

1

25 ,

1 X

(

d

X

)

f

M

yd

d

⋅

−

⋅

=

4 ,

0 A

_s

φ6.3 c/16cm

1,50

1,67

2 0,74

M

_x

= 3,53

1,50

A

_s,min

(cm

2

_/m)

φ6.3 c/20cm

1,39

2 0,62

M

_y

= 2,97

φ6.3 c/20cm

1,09

2 0,48

X

_x

= -2,34

Barras

A

_s

(cm

2

_/m)

Domínio

X (cm)

M

_k

(kN.m/m)

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Armadura de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamento

parcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2 1, 5

/

0,15

100 15

2, 25

/

10 / 30

100 borda

borda

As

cm m

mínimo

As

cm m

φ

mm c

cm

=

→

=

×

10 = 1,5 cm

=

2 / cm

→

φ6.3mm c/ 20cm

L = a/4 = 353/4=88,25cm - 88cm

Na direção x normal à hipotenusa.

(33)

P

ro

f. Ro

_{5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles}

Flecha imediata:

3

4

01

0 d

E

a

p

,

a

_i

⋅

=

Combinação de ações quase permanente:

2

0 ,

4

5

3 ,

0

5 ,

2

2 j

kN

_m

QP

g

ψ

q

p

=

+

=

+

×

=

Módulo de elasticidade:

2 3

10

37 ,

287 .

21

37 ,

287 .

21

20 4760

4760

(MPa)

5600

85 ,

0

85 ,

0 m

kN

MPa

f

E

f

E

ck cs ck ci cs

×

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Flecha imediata:

cm

m

a

d

E

l

p

a

i

QP

i

33 ,

0 0033

,

0

071 ,

0

10

37 ,

287 .

21

0 ,

5

0 ,

4

01 ,

0

01 ,

0

3

4

3

4 =

=

⋅

×

⋅

×

=

⋅

=

Flecha total:

cm

a

_total

=

2 ⋅

_i

=

2 ×

0 ,

33 =

0 ,

66

(34)

P ro f. Ro

2

5 kN

_m

q

=

Flecha imediata:

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Flecha devido apenas a carga acidental:

cm

m

a

_q

0 ,

0041

0 ,

41

071 ,

0

10

37 ,

287 .

21

0 ,

5

0 ,

5

01 ,

0

3

4 =

=

⋅

×

⋅

×

=

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Verificações NBR 6118:2003

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

>

=

>

=

cm

a

cm

l

a

cm

a

cm

l

a

q

ite

total

Pqp

ite

41 ,

0

43 ,

1

350

500

350

66 ,

0

0 ,

2

250

500

250 ,

lim

,

lim

(35)

P

ro

f. Ro

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo Isósceles

Detalhamento:

Armadura positiva Ø6.3mm Ø6.3mm c/20cm Armadura negativa Ø6.3mm Ø6.3mm c/20cm -125 9 Ø6.3mm c/16cm Ø6.3mm c/20cm 88cm

Lajes de Forma Especial