tjsp raciocínio lógico

raciocínio lógico

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S

UMÁRIO

Questões de Concurso – Lista 1 ...17

Gabarito – Lista 1 ...23

Gabarito Comentado – Lista 1 ...24

Diagramas Lógicos ...40

Quantificadores Lógicos ...42

Aplicação dos Quantificadores Lógicos ...53

Negação dos Quantificadores Lógicos ...60

Questões de Concurso – Lista 2 ...62

Gabarito – Lista 2 ...65

Gabarito Comentado – Lista 2 ...66

Autoavaliação ...71

Gabarito – Autoavaliação ...75

LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO

Lógica da Argumentação

Conceitos, demonstrações e aplicações. Construção de argumentos, sabendo reconhecer sua estrutura e identificando seus elementos. Definição de argumentos dedutivos e indutivos. Verificar quanto à validade dos argumentos dedutivos. Re-alizar inferências lógicas por meio de métodos práticos para otimização do tempo, isto por aplicação de teoria de conjuntos e técnicas inovadores.

Apresentação do Professor

Em continuação ao nosso curso de Raciocínio Lógico, teremos pela frente mais um desafio. Como de costume, vamos dar continuidade aos nossos estudos com muito entusiasmo e dedicação. Este módulo é muito importante devido à grande in-cidência de questões nas provas de concursos, independente da banca examinadora. Aproveito mais uma vez para citar um material de apoio que confeccionei: Raciocínio

Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm- 2016.

Seguindo a mesma linha de pensamento e com uma linguagem totalmente acessível, clara, simples e bem objetiva, iremos aprender o que é lógica de

argu-CLAUDIO ZORZO

Bacharel em Ciências Contábeis, pós-graduado em Análise Gerencial, Docência para Nível Superior, Auditoria e Perícia Contábil. É ex-servi-dor público do Executivo Federal – Ministério do Exército e ex-serviex-servi-dor público do Legislativo Federal – Assessor Parlamentar. Atualmente, é professor de Contabilidade e Auditoria Pública e Privada.

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

Para que o estudo seja produtivo e dinâmico, iremos apresentar alguns teore-mas da lógica formal, bem como métodos e caminhos práticos que serão essenciais nas resoluções de questões.

Exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada; 1. Definições;

2. Métodos e dicas de resolução rápida; 3. Esquemas estratégicos;

4. Autoavaliação.

Nessa nossa aula complementar, iremos abordar os seguintes assuntos:

Lógica de Argumentação (primeira parte): Compreensão do processo

lógi-co que, a partir de um lógi-conjunto de hipóteses, lógi-conduz, de forma válida, a lógi- conclu-sões determinadas.

Diagramas Lógicos (segunda parte): Linguagem natural, linguagem simbólica,

representação das proposições categóricas por diagramas lógicos. Análise de argumen-tos (validade) construídos por diagramas lógicos, inferências lógicas e suas negações.

Mais uma vez, lá vem o professor Josimar Padilha lhe desafiar com uma questão bem interessante, sendo assim, fique bem à vontade:

DESAFIO Cadê a saída?

Em cada uma de cinco portas A, B, C, D e E, está escrita uma sentença, confor-me a seguir:

Porta A: “Eu sou a porta de saída.” Porta B: “A porta de saída é a porta C.”

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.

Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente uma porta de saída. A porta de saída é a porta

a) D. b) A. c) B. d) C. e) E.

RESPOSTA NO FINAL DO MÓDULO.

Argumento Lógico

Um argumento possui a estrutura apresentada abaixo em que algumas proposi-ções são denominadas premissas (hipóteses) e outra denominada de conclusão (tese).

P₁: Proposição → Premissa (Hipótese) P₂: Proposição → Premissa (Hipótese) P₃: Proposição → Premissa (Hipótese) P₄: Proposição → Premissa (Hipótese) P₅: Proposição → Premissa (Hipótese) P_n: Proposição → Premissa (Hipótese) C: Proposição → Conclusão (Tese)

OOs.:

Os argumentos muitas vezes podem começar pela conclusão para depois

apresentar as premissas, isto fica claro com a presença de termos que são responsáveis em apresentar as premissas e a conclusão.

A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as senten-ças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas. Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P₁, P₂, P₃, ... Pn, chamadas premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese) do argumento. Isso significa que para ser um argumento basta ter estrutura.

ESTRUTURA DO ARGUMENTO

p₁ ^ p₂ ^ p₃ ^ p₄ ^ p₅ ... p_n → C (Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese) Vejamos um exemplo para melhor compreensão.

1. (FUNPRESP-EXE/2016) Considerando as características do raciocínio analítico e a estrutura da argumentação, julgue o item a seguir.

O raciocínio nenhum peixe é ave. Logo, nenhuma ave é peixe é válido.

Certo.

Partindo da premissa “nenhum peixe é ave” representada abaixo pelo seu respecti-vo diagrama lógico, assunto que veremos no próximo módulo, podemos inferir que não há elementos em comum entre os dois con juntos:

Dessa forma, a conclusão “nenhuma ave é peixe” apresentada pelo termo “logo” é con-sequência da premissa, o que faz o raciocínio ser válido, ou seja, um argumento válido.

O objetivo até o momento é que você consiga identificar um argumen-to, uma vez que, no exemplo apresentado, temos apenas uma premissa e uma conclusão.

Vejamos mais um exemplo para que você perceba que se trata de um argumen-to, porém nós iremos no decorrer deste módulo detalhar tudo sobre argumentação e até mesmo inferência lógica.

2. (MEC/TEMPORÁRIO/2015) O texto “O homem inteligente nunca recebe

penali-dades, pois somente o homem que erra recebe penalidades e o homem inteligente jamais erra” apresenta um argumento válido.

Certo.

Esta questão é importante para que possamos obervar que existem argumentos que começam com a conclusão, deixando claro que as bancas estão a cada dia exi-gindo mais dos candidatos os conceitos, princípios e fundamentos.

Representando o argumento: o termo “pois” anuncia premissas dentro de um ar-gumento, dessa forma podemos representá-lo da seguinte maneira:

Premissa 1: Somente o homem que erra recebe penalidades. Premissa 2: Homem inteligente jamais erra.

Conclusão: O homem inteligente nunca recebe penalidades.

Para que possamos verificar a validade do argumento, assunto detalhado mais à frente, iremos construir o diagrama abaixo:

Por meio do diagrama podemos inferir que a conclusão é consequência necessária das premissas, dessa forma o argumento é válido.

DICA DO PADILHA!

Termos que anunciam premissas em um argumento: “pois” e “porque”. Termos que anunciam conclusão em um argumento: “logo”, “assim”, “por-tanto” e “então”.

É importante ressaltarmos também algumas regras de inferências lógicas, isto se deve a presença de algumas questões de concursos que exigem dos candidatos tais conceitos.

Regras de Inferência

1. Modus Ponens A, A → B ∴ B

Teoremas

Nos teoremas a seguir, para compreendermos as notações, temos que:

• As premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ (lê-se, portanto), que anun-cia uma conclusão.

• Uma vírgula separa duas premissas (hipótese).

• Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior. T₁: A ∴ A T₂: ~(~A) ∴ A REC: A ∴ ~(~A) T₃: A, B ∴ A ^ B T₄: A ∴ A ∨ B T₅: A ^ B ∴ A T₆: A ∨ B, ~A ∴ B T_{7: A → B, B → C ∴ A → C} T_{8: A, (A → B) ∴ B} T_{9: (A ∨ B), B → C ∴ (A ∨ C)} T_{10: A → B ∴ ~B → ~A} REC: ~B → ~A ∴ A → B T_{11: A → B, (~A → B) ∴ B} T_{12: (A ^ B) → C ∴ A → (B → C)} REC: A → (B → C) ∴ (A ^ B) → C

T_{13: (A ^ ~B) → (C ^ ~C) ∴ A → B (Princípio da não contradição)} T_{14: A → (B ∨ C, ~B ∴ A → C)}

-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: “se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da con-clusão, então o raciocínio é correto”.

Formas de Argumentos

É importante entendermos as formas como são construídos os argumentos para que possamos analisá-los corretamente, uma vez que nas provas recentes temos questões que exigem do candidato os conceitos abaixo.

Argumento Dedutivo

Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações obtidas das premissas, ainda que implícitas. É um argumento de conclusão não ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadei-ras, a conclusão será necessariamente verdadeira.

Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apre-sentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos a conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica.

Argumento Indutivo

É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciên-cias descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da experiência e desses dados chega a enunciados universais. Além disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares do presente, as ciências fazem as conjecturas do futuro.

Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos, levam a conclusões cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço característico da indução que torna os argumentos indispensáveis para a fundamentação de uma significativa porção dos nossos conhecimentos. (SALMON, 1969, p. 76)

O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade como na dedução. Como vimos na dedução, a conclusão decorre necessariamente das premissas. Já na indução, isso é impossível, uma vez que ela enumera casos particulares e por probabilidade ela infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a probabilidade de ser verdadeira.

A partir das definições acima vamos comentar a questão seguinte:

3. (CESPE/2006) No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos. Isso ocorre porque o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos. Com relação ao ar-gumento anterior, julgue o item seguinte.

A afirmativa “No Brasil, os poOres têm mais poder que os ricos”, é uma premissa.

Errado.

Temos que esta afirmativa é a conclusão do argumento. Isto é perce bido pela pre-sença da palavra “porque”, que anuncia premissas dentro de um argumento.

4. (CESPE/2006) No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos. Isso ocorre porque o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos. Com relação ao ar-gumento anterior, julgue o item seguinte.

A oração “no Brasil, existem mais poOres que ricos” é a conclusão do texto.

Errado.

Temos que esta oração é uma premissa do argumento, que fundamenta a conclusão.

5. (2006) O trecho “o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece” é uma hipótese.

Certo.

A frase se trata de uma premissa, ou seja, hipótese.

6. (CESPE/2006) No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos. Isso ocorre porque o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos. Com relação ao ar-gumento anterior, julgue o item seguinte.

O argumento apresentado no texto é um exemplo de argumento indutivo.

Errado.

Sua conclusão não traz mais informações que as premissas fornecem. É um argu-mento de conclusão não ampliativa, um arguargu-mento dedutivo.

7. (TCU/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO/2015) Ado tando-se o pro-cesso de inferências do tipo indutiva, usado em ciências experimentais, parte-se do particular para o geral, ou seja, a partir da observação de casos particulares, chega-se a uma conclusão que os trans cende.

Certo.

Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informa ções que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa.

É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciências descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da experiência e desses dados chega a enuncia dos universais. Além disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares do presente as ciências fazem as conjecturas do futuro.

8. (2014/PROCEMPA/TÉCNICO ADMINISTRATIVO – ASSISTENTE EM DIVERSAS

ÁREAS DA EMPRESA) Assinale a opção que indica, dentre os textos listados a se-guir, o que se apoia no método indutivo.

a) “Os campeonatos esportivos são muito mal organizados no Brasil, daí que não se deva esperar uma tabela bem elaborada para o campeonato brasileiro de 2015.”

O) “Os dias de inverno são bastante frios na Europa, daí que seja necessária a compra de agasalhos bem encorpados para nossa viagem de férias. ”

c) “O supermercado da esquina de minha rua abriu hoje às seis horas da manhã,

d) “A obra poética de Manoel de Barros é de muita sensibilidade, daí que seu último livro tenha atingido ótimos índices de venda. ”

e) “As guerras modernas mostram alto desenvolvimento tecnológico, daí que se possa esperar intenso uso de armas sofisticadas na guerra contra os extremistas árabes.”

Letra c.

Como já dito anteriormente, um argumento é indutivo quando sua conclusão traz mais informa ções que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão am-pliativa, ou seja, na letra c, a premissa “O supermercado da esquina de minha rua abriu hoje às seis horas da manhã” traz um pensamento particular e uma con-clusão de sentido ampliativo “daí que a vizinhança tenha pensado numa modifica-ção do horário do comércio nos fins de semana”.

O Que É um Silogismo?

É importante sabermos o que vem a ser um silogismo, pois bem, é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três propo-sições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é consequência necessária das premissas.

P₁: premissa P₂: premissa C: conclusão

P₁: Todos os homens são racionais (V)

P₂: Todos os racionais precisam de Deus (V)

---Conclusão: Todos os homens precisam de Deus (V)

Validade de um Argumento

É importante ressaltar que as proposições, as premissas e a conclusão serão formadas pelos conectivos lógicos, logo é necessário que você tenha domínio da linguagem da lógica formal, bem como as tabelas-verdade.

Validade de um Argumento

Primeiramente é necessário que você saiba o que é um argumento válido,

legí-timo ou Oem construído, ok? Vamos lá! Quando a conclusão é uma consequência

obrigatória do seu conjunto de premissas, temos que o argumento é válido.

Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamen-te que a conclusão será verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.

p₁ (V) ^ p₂ (V) ^ p₃(V) ^ p₄(V) ^ p₅(V) ^ ... ^ p_n(V) → C(V)

De acordo com a ilustração acima, percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, logo, para que a conclusão seja verdadeira, torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo porque, se uma das premissas for falsa, isso tornará a conclusão falsa. Logo, temos que a verdade das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.

Para que você possa compreender melhor o que é um argumento válido, iremos comentar algumas questões.

QUESTÕES DE CONCURSO – LISTA 1

9. (TSE /2007) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

O) se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e

hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

c) choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segun-da-feira não será feriado.

d) quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

10. (POLÍCIA FEDERAL/2009). Uma sequência de proposições A¹, A², ..., Ak é uma dedução correta se a última proposição, Ak, denominada conclusão, é uma conse-quência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas.

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa.

A partir dessas informações, julgue o item subsequente. Considere as proposições A, B e C a seguir.

a) Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

O) Jane foi aprovada em concurso público.

11. (POLÍCIA FEDERAL/2009) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol.

12. (TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimenta-do por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos movimenta-dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspon-dentes às proposições P, Q e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema. Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às pre-missas P_1, P_{2 e} P₃ seguintes:

P₁: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sa-bia do esquema.

P₂: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos.

P₃: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposi-ções lógicas.

A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.

13. (PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião ou Falcão – ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião. F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue o item subsequente, com base nas regras de dedução.

A proposição “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” é verdadeira.

(DELEGADO PF/2004). Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma senten-ça denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessaria-mente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

14. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

15. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

17. (POLÍCIA CIVIL – CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo téc-nico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P₁: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma de-cisões ruins.

P₂: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma de-cisões ruins.

P₃: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P₄: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue o item a seguir.

Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja con-clusão seja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é válido.

18. (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o defen-sor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.

P₁: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastra-dos em planos tarifacadastra-dos por ligações é quatro vezes superior à quantidade de in-terrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.

P₂: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de forma proposital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.

P₃: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadas-trados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifa-dos por minutos, então não ocorrerá falha técnica na chamada.

P₄: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.

Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital. Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo.

Em face das proposições apresentadas, é correto afirmar que o argumento do de-fensor é um argumento inválido.

19. (TRE–MA/2009) Gilberto, gerente de sistemas do TRE de deter minada região, após reunir-se com os técnicos judiciários Alberto, Bruno, Cícero, Douglas e Ernes-to para uma prospecção a respeiErnes-to do uso de siste mas operacionais, concluiu que:

• se Alberto usa o Windows, então Bruno usa o Linux;

• se Cícero usa o Linux, então Alberto usa o Windows;

• se Douglas não usa o Windows, então Ernesto também não o faz;

• se Douglas usa o Windows, então Cícero usa o Linux.

Com base nessas conclusões e sabendo que Ernesto usa o Windows, é correto con-cluir que

a) Cícero não usa o Linux.

O) Douglas não usa o Linux.

c) Ernesto usa o Linux.

d) Alberto usa o Linux.

20. (PREFEITURA DE SÃO PAULO/2016). As proposições seguintes constituem as premissas de um argumento.

• Bianca não é professora.

• Se Paulo é técnico de contabilidade, então Bianca é professora.

• Se Ana não trabalha na área de informática, então Paulo é técnico de conta-bilidade.

• Carlos é especialista em recursos humanos, ou Ana não trabalha na área de informática, ou Bianca é professora.

Assinale a opção correspondente à conclusão que torna esse argu mento um argu-mento válido.

a) Carlos não é especialista em recursos humanos e Paulo não é técnico de conta-bilidade.

O) Ana não trabalha na área de informática e Paulo é técnico de contabili dade.

c) Carlos é especialista em recursos humanos e Ana trabalha na área de informática.

d) Bianca não é professora e Paulo é técnico de contabilidade.

GABARITO – LISTA 1

GABARITO COMENTADO – LISTA 1

9. (TSE /2007) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

O) se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e

hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

c) choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segun-da-feira não será feriado.

d) quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

Letra a.

Para analisarmos a validade dos argumentos abaixo, iremos partir de premissas verdadeiras para verificar se a conclusão também é verdadeira, observando que as premissas são proposições construídas por operadores lógicos, logo temos que aplicar as regras de valorações vistas nas tabelas-verdade.

a) Certa. Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me ali-mentei bem.

Temos:

P₁: estudo → obtenho boas notas.

P₂: me alimento bem → me sinto disposto. P₃: Ontem estudei ∧ não me senti disposto.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos: P₁: Estudo (V) → obtenho boas notas. (V) = (V)

P₂: Me alimento bem (F) → me sinto disposto. (F) = (V) P₃: Ontem estudei (V) ∧ não me senti disposto (V) = (V)

Após a valoração das premissas, podemos verificar se a verdade das premissas realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Conclusão: Obterei boas notas (VERDADE) ∧ não me alimentei bem.

(VERDA-DE) = VERDADE.

Sendo assim, o argumento é válido.

O) Errada. Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem

choveu e hoje fez frio. Logo, estamos em junho. Temos:

P₁: (ontem choveu ∧ estamos em junho) → hoje fará frio. P₂: ontem choveu ∧ fez frio.

Conclusão: estamos em junho.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos: P₁: (ontem choveu (V) ∧ estamos em junho (V/F) → hoje fará frio. (V) = (V) P₂: ontem choveu (V) ∧ fez frio (V) = (V)

Conclusão: estamos em junho(V/F)

Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas re-almente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Logo, C: estamos em junho (V/F)

c) Errada. Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem,

logo segunda-feira não será feriado. Temos:

P₁: (choveu ontem ∨ segunda-feira é feriado). P₂: não choveu ontem.

Conclusão: segunda-feira não é feriado.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos: P₁: choveu ontem (F) ∨ segunda-feira é feriado (V). = (V)

P₂: não choveu ontem = (V)

Conclusão: segunda-feira não é feriado (F).

Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas re-almente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Conclusão: segunda-feira não é feriado = F

Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

d) Errada. Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

Temos:

P₁: (Chove ∨ árvores ficam verdinhas). P₂: As árvores estão verdinhas.

Conclusão: Choveu.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos: P₁: Chove (V/F) ∨ árvores ficam verdinhas (V). = (V)

P₂: As árvores estão verdinhas.

Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas re-almente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Conclusão: Choveu (V/F).

Sendo assim temos que o argumento é inválido.

10. (POLÍCIA FEDERAL/2009). Uma sequência de proposições A¹, A², ..., Ak é uma dedução correta se a última proposição, Ak, denominada conclusão, é uma conse-quência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas.

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa.

A partir dessas informações, julgue o item subsequente. Considere as proposições A, B e C a seguir.

A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

Errado.

Representando as proposições com seus respectivos operadores lógicos temos:

V/F V

V

Premissa B: [ (Jane foi aprovada em concurso) ] = V

V/F

Conclusão C: [ (Jane é policial federal) v (Jane é procuradora de justiça) ]

Valorando as premissas com verdadeiro, conforme a estrutura acima, aplicaremos as tabelas-verdade. Dessa forma, verifica-se que a verdade das proposições A e B não garante a verdade da proposição C.

11. (POLÍCIA FEDERAL/2009) A sequência de proposições a seguir constitui uma

dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol.

Certo.

Uma dedução correta, argumento válido, é quando a conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamente que a conclusão será verdadeira. A va-lidade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as pre-missas e a conclusão.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3, ... Pn, chamadas de premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada de conclusão (tese) do argumento, nesse caso dedutivo.

F F

Premissa 1: Carlos não estudou → ele fracassou na prova de Física = V.

F F

Premissa 2: Carlos jogou futebol → ele não estudou = V.

V

Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física = V. Conclusão: Carlos não jogou futebol – será verdadeira.

Valorando as premissas como verdadeiras, verificamos que a conclusão foi verda-deira, logo a dedução é correta.

12. (TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimenta-do por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos movimenta-dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspon-dentes às proposições P, Q e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema. Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às pre-missas P_1, P_{2 e} P₃ seguintes:

P₁: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sa-bia do esquema.

P₃: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposi-ções lógicas.

A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.

Errado.

DICA DO PADILHA!!!

Representando as premissas e a conclusão, podemos analisar da seguinte for-ma: por exclusão, ou seja, se a verdade das premissas não garantir a ver-dade da conclusão, se tratando de um argumento será inválido. Logo, iremos tentar invalidar o argumento, ou partir de uma conclusão falsa, caso

seja uma inferência. Caso não consigamos, então o argumento será válido

ou a inferência estará de acordo.

Isso se torna muito eficiente uma vez que temos todas as premissas (proposi-ções) compostas em que para serem verdadeiras temos mais de uma possibili-dade, logo gastaríamos muito tempo testando.

Veja alguns exemplos abaixo.

Representando

P₁ = F_{P →} F_{Q = V} P₂ = F_R

˅

¬

Vamos tentar contradizer a conclusão. Se conseguirmos, então o item estará errado. Ao valorar as premissas como verdadeiras e a conclusão como falsa, percebemos que não tivemos nenhum problema e partir de premissas verdadeiras e chegar em uma conclusão falsa. Dessa forma, podemos inferir que a conclusão é falsa, não podemos inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema, e, se tratando de um argumento, poderíamos afirmar que é inválido.

DICA DO PADILHA!!!

Quando tivermos que realizar uma inferência lógica, ou analisarmos um argumento e tivermos entre as premissas, alguma delas, “simples” podemos de uma maneira convencional partir das premissas verda-deiras e verificar se a conclusão é também verdadeira, porém se achar melhor ir pela exclusão, tentar mostrar o contrário, fique à vontade.

13. (PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião ou Falcão – ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguin-tes fatos:

F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião. F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião.

A proposição “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” é verdadeira.

Certo.

Vamos fazer essa questão pela forma convencional, isto é, partir de premissas ver-dadeiras e verificar se a conclusão é também verdadeira, até mesmo porque temos premissas simples na questão em lide, F₃, terceira premissa.

Trata-se de uma inferência, logo temos as proposições sendo verdadeiras e iremos verificar se a conclusão: “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” também será verdadeira.

Dadas as proposições temos:

F1 – Gavião e Falcão saíram da cidade (V) → o dinheiro não ficou com Gavião (V) = V

F2 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) → o dinheiro ficou com Ga-vião (F) = V

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade = V

F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) v o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião (V) = V

Logo, podemos inferir que a proposição “o dinheiro foi entregue à mulher de Ga-vião” também será verdadeira.

(DELEGADO PF/2004). Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma senten-ça denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessaria-mente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

14. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

15. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

16. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

14. Errado.

15. Errado.

16. Errado.

FIQUE LIGADO!!!!

Para uma análise mais profunda referente a validade de um argumento, temos uma tabela retirada do livro: Introdução a Lógica de Irving M. Copi, que nos proporciona informações valiosas para responder uma questão de Delegado da Polícia Federal, confeccionada pela banca CESPE. Vejamos abaixo:

A tabela abaixo resume as possíveis situações de um argumento quanto a sua va-lidade, sendo importante para questões de concursos de maior complexidade.

Quando um argumento é E as hipóteses… Então a tese será:

Válido

(Bem construído)

São todas verdadeiras Necessariamente verdadeira Não são todas verdadeiras Ou Verdadeira ou Falsa

Inválido

(Mal construído)

São todas verdadeiras Ou Verdadeira ou Falsa Não são todas verdadeiras Ou Verdadeira ou Falsa

De acordo com a tabela, analisando cada situação, podemos responder tranquila-mente os itens, logo temos:

14. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

De acordo com a segunda linha, podemos ter premissas também falsas e ainda assim, termos um argumento válido, logo este está item errado.

15. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

De acordo com a segunda linha, podemos ter premissas também falsas e, ainda sim, termos um argumento válido, logo este está item errado.

16. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

De acordo com a terceira e quarta linha da terceira coluna, podemos ter a possibi-lidade de uma conclusão verdadeira e ainda assim o argumento ser inválido, logo este item está errado.

17. (POLÍCIA CIVIL – CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo téc-nico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P₁: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma de-cisões ruins.

P₂: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma de-cisões ruins.

P₃: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P₄: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue o item a seguir.

Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja con-clusão seja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é válido.

Certo.

Representando as premissas e a conclusão, podemos analisar da seguinte forma por exclusão: se a verdade das premissas não garantir a verdade da conclusão, o argumento será inválido. Logo, iremos tentar invalidar o argumento. Caso não con-sigamos, então o argumento será válido.

Vamos tentar então invalidar o argumento: as premissas verdadeiras e a con-clusão falsa.

P1: se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões → então o policial toma de-cisões ruins = V.

P2: não tem informações precisas ao tomar decisões → então o policial toma deci-sões ruins = V.

P3: (está em situação de estresse ^ não teve treinamento adequado) → (o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões) = V.

P4: (teve treinamento adequado ^ se dedicou nos estudos) → (o policial tem infor-mações precisas ao tomar decisões) = V.

Conclusão: (o policial está em situação de estresse ^ não toma decisões ruins) → (teve treinamento adequado) = F.

Percebemos que, ao tentarmos invalidar o argumento, verificamos uma contradi-ção, ou seja, uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, fere um dos princípios fundamentais da lógica proposicional. Logo, se o argumento não é inválido, será válido.

18. (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o

defen-sor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.

P₁: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos. P₂: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de forma proposital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.

P₃: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadas-trados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de

dos por minutos, então não ocorrerá falha técnica na chamada. P₄: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.

Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital. Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo.

Em face das proposições apresentadas, é correto afirmar que o argumento do de-fensor é um argumento inválido.

Certo.

Vamos fazer mais uma vez uma questão pela forma convencional, isto é, partir de pre-missas verdadeiras e verificar se a conclusão é também verdadeira, até mesmo porque temos premissas simples na questão em lide, P₁ e P₄, primeira e quarta premissas. Representando as proposições e considerando que todas as premissas são verda-deiras vamos verificar se a conclusão também será verdadeira:

V

P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos

tarifados por minutos.

= (V)

F ? V

P2: [(ocorrer falha técnica na chamada)

v (a operadora

interromper a chamada de forma proposital)]

 [ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente]

= (V)

V V

P3: [(a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas

chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos)]

([não ocorrerá falha técnica na

chamada)].

P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente. = (V)

Conclusão: a operadora interrompeu a chamada de forma proposital. = (?) A verdade das premissas não garante a verdade da conclusão.

19. (TRE–MA/2009) Gilberto, gerente de sistemas do TRE de deter minada região, após reunir-se com os técnicos judiciários Alberto, Bruno, Cícero, Douglas e Ernes-to para uma prospecção a respeiErnes-to do uso de siste mas operacionais, concluiu que:

• se Alberto usa o Windows, então Bruno usa o Linux;

• se Cícero usa o Linux, então Alberto usa o Windows;

• se Douglas não usa o Windows, então Ernesto também não o faz;

• se Douglas usa o Windows, então Cícero usa o Linux.

Com base nessas conclusões e sabendo que Ernesto usa o Windows, é correto concluir que

a) Cícero não usa o Linux.

O) Douglas não usa o Linux.

c) Ernesto usa o Linux.

d) Alberto usa o Linux.

e) Bruno usa o Linux.

Letra e.

Representando as proposições temos:

(V) ( V ) P₁: Alberto usa Windows → Bruno usa Linux = V (V) ( V ) P₂: Cícero usa Linux → Alberto usa Windows = V (F) ( V )

(V) ( V ) P₄: Douglas usa Windows → Cícero usa Linux = V (V)

P₅: Ernesto usa o Windows = V

Considerando que as proposições são todas verdadeiras, partindo de P₅ podemos valorar as demais. Analisando as opções temos:

a) F

O) V/F (não temos certeza)

c) V/F (não temos certeza)

d) V/F (não temos certeza)

e) V

20. (PREFEITURA DE SÃO PAULO/2016). As proposições seguintes constituem as

premissas de um argumento. • Bianca não é professora.

• Se Paulo é técnico de contabilidade, então Bianca é professora.

• Se Ana não trabalha na área de informática, então Paulo é técnico de conta-bilidade.

• Carlos é especialista em recursos humanos, ou Ana não trabalha na área de informática, ou Bianca é professora.

Assinale a opção correspondente à conclusão que torna esse argu mento um argu-mento válido.

a) Carlos não é especialista em recursos humanos e Paulo não é técnico de conta-bilidade.

O) Ana não trabalha na área de informática e Paulo é técnico de contabili dade.

c) Carlos é especialista em recursos humanos e Ana trabalha na área de informática.

Letra c.

Considerando todas premissas verdadeiras e valorando-as conforme as tabelas--verdade temos:

P1: Bianca não é professora. = V

P2: Se Paulo é técnico de contabilidade (F), então Bianca é professora (F). = V P3: Se Ana não trabalha na área de informática (F), então Paulo é téc nico de con-tabilidade (F). = V

P4: Carlos é especialista em recursos humanos (V), ou Ana não trabalha na área de informática (F), ou Bianca é professora (F). =V

A partir das premissas verdadeiras vamos encontrar uma conclusão também ver-dadeira, logo temos:

f) Certa. Carlos é especialista em recursos humanos (V) e Ana trabalha na área de informática (V) = V

a) Errada. Carlos não é especialista em recursos humanos (V) e Paulo não é téc-nico de contabilidade (F) = F.

O) Errada. Ana não trabalha na área de informática (F) e Paulo é técnico de conta-bilidade (F) = F

c) Errada. Bianca não é professora (F) e Paulo é técnico de contabilidade (F) = F

d) Errada. Paulo não é técnico de contabilidade (V) e Ana não trabalha na área de informática (F) = F.

Diagramas Lógicos

Diagramas Lógicos: Linguagem natural, linguagem simbólica, representação

das proposições categóricas por diagramas lógicos. Análise de argumentos (valida-de) construídos por diagramas lógicos, inferências lógicas e suas negações.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sen-tenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças relacionam-se em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a es-trutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando os conectivos lógicos: “e”, “ou” e “não”, mas não podia quebrar sentenças em partes menores. O trabalho de Friedrich Ludwig Gottlob Frege foi um dos que deu início à lógica formal contem-porânea. Sendo assim, percebemos a grande incidência de questões de concursos públicos voltadas para esta linguagem e raciocínio.

O grande contributo de Friedrich Ludwig Gottlob Frege para a lógica matemática foi a criação de um sistema de representação simbólica (Begriffsschrift, conceito grafia ou ideografia) para representar formalmente a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a contribuição para a implementação do cálculo dos predicados. Esta parte da decomposição funcional da estrutura interna das frases (em parte substituindo a velha dicotomia sujeito-predicado, herdada da tradição lógica Aristotélica pela oposição matemática função-argumento) e da articulação do conceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), possi-bilitou sua manipulação em regras de dedução formal (as expressões “para todo o x”, “existe um x”, que denotam operações de quantificação sobre variáveis, têm na obra de Frege uma de suas origens)1_.

Nesta 2ª parte, iremos entender como são formadas as proposições categóricas a partir dos quantificadores lógicos, suas simbologias, além da representação geo-métrica, ou seja, seus diagramas lógicos.

Aplicações das proposições categóricas na construção de argumentos, sabendo re-conhecer sua estrutura e identificando seus elementos, além da validade do argumento.

Será apresentada as negações das proposições categorias e suas aplicações. As inferências lógicas serão realizadas por meio de métodos práticos (diagramas lógicos).

Quantificadores Lógicos

Em um texto escrito pela banca CESPE temos:

Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão inclu-ídas apenas as proposições afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode-se decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: ‘Ele é juiz do TRT da 5ª Região’, ou ‘x + 3 = 9’. O sujeito é uma variável que pode ser substi-tuído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais.

Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores ‘qualquer que seja’, ou ‘para todo’, indicado por Ɐ , e ‘existe’, indicado por ∃.

Exemplo: a proposição Ɐ(x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ∃(x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como V.

Nesse momento, nos deparamos mais uma vez com as sentenças abertas, po-rém, nessa parte, iremos lançar mão dos quantificadores lógicos, que são res-ponsáveis em transformar sentenças abertas em sentenças fechadas.

Será de suma importância a questão da linguagem, ou seja, a representação simbólica, vejamos alguns exemplos abaixo:

“Todos os seres humanos são mortais” se torna “Para todo x, se x é ser humano, então x é mortal.”, o que pode ser escrito simbolicamente como: Ɐx(H(x) → M(x)).

“Alguns humanos são vegetarianos” se torna “Existe algum (ao menos um) x tal que x é humano e x é vegetariano”, o que pode ser escrito simbolicamente como: ∃x(H(x) ∧ V(x)).

Não fique assustado(a) com as simbologias acima, pois iremos, no decorrer deste módulo, explanar de forma simples e prática.

As proposições categóricas são formadas pelos quantificadores lógicos, ou seja, os quantificadores lógicos são: todo, algum e nenhum.

Esses quantificadores são classificados em Universais e Particulares, sendo tam-bém subdivididos em afirmativos ou negativos.

OOs.:

é importante ressaltar que não temos proposições formadas com

conecti-vos, e sim proposições formadas com quantificadores. Dessa forma, não teremos uma interpretação lógica por meio de tabelas-verdade, e sim por intermédio dos quantificadores lógicos, isto é, os diagramas de Euller Veen. As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas Proposições Universais (A) Todo “A” é “B” (E) Nenhum “A” é “B”

Todo “A não é B”

Proposições Particulares (I) Algum “A” é “B” (O) Algum “A” não é “B” Nem todo A é B

Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Algum” (chamado de quantificador particular).

As vogais {a,e ,i ,o} que aparecem são denominadas de vogais de quantificação e aparecem em algumas provas, inclusive no concurso da Polícia Civil de São Paulo em 2013 , realizada pela banca Vunesp.

Vamos falar de cada uma das proposições categóricas e seus respectivos dia-gramas lógicos:

1. Universal Afirmativo: Todo A é B

(A U B = B) e (A ∩ B = A)

INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A ⊂ B)

Temos também duas relações importantes para entendermos como é formada a proposição categórica Universal afirmativa.

Dica!!!

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concur-sos públicos:

• para todo;

• qualquer que seja; • tudo.

Simbologicamente, temos a seguinte representação: Ɐ(x) (A(x) → B(x)) OOs.:

Ɐx(A(x) → B(x)) ≠ Ɐx(B(x) → A(x)) não possui a propriedade comutativa.

Vejamos um exemplo.

Representar a proposição: “Todo aluno dedicado é bem sucedido”

SimOologia: Ɐx(A(x) → B(x)), em que temos A(x) a proposição: “aluno dedicado” e B(x) a proposição: “aluno Oem-sucedido”.

2. Universal Negativo: Nenhum A é B Conjuntos Disjuntos

O termo “nenhum” pode ser substituído pelas palavras “não existe”, “não

há”, “ninguém” nas provas de concursos públicos:

A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅ conjunto vazio)

Simbologicamente: ¬∃x (A(x) ∧ B(x))

OOs.:

¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ↔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x)) possui a propriedade comutativa.

Temos também duas relações importantes para entendermos como são forma-das as proposições categóricas.

Vejamos um exemplo.

Representar a proposição: “Nenhum aluno dedicado é bem-sucedido”

SimOologia: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) em que temos A(x) a proposição: “alu-no dedicado” e B(x) a proposição: “alu“alu-no Oem-sucedido”.

3. Particular Afirmativo: Algum A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-sos públicos:

• ao menos um; • pelo menos um; • existe;

• alguém.

INTERSEÇÃO (A ∩ B) ≠ { } “conjunto vazio”

(A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}

OOs.:

∃_{x (A(x) ∧ B(x)) ↔ ∃x (B(x) ∧ ¬ A(x)), possui a propriedade comutativa.}

Temos também duas relações importantes para entendermos como são forma-das as proposições categóricas.

Vejamos um exemplo.

Representar a proposição: “Algum aluno dedicado é bem-sucedido”

SimOologia: ∃x (A(x) ∧ B(x)) em que temos A(x) a proposição: “aluno dedicado” e B(x) a proposição: “aluno Oem sucedido”.

4. Particular Negativo: Algum A não é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-sos públicos:

• ao menos um; • pelo menos um; • existe;

• alguém.

A – B = {x/x ∈A e x ∉ B}

con-junto A e não pertencem ao concon-junto B, isto é, operação de diferença.

Simbologicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))

OOs.:

∃_{x (A(x) ∧ ¬ B(x)) ↔ ∃x (B(x) ∧ ¬A(x)), NÃO possui a propriedade}

comutativa.

Temos também duas relações importantes para entendermos como são forma-das as proposições categóricas.

Vamos treinar um pouco!

A linguagem das proposições categóricas é de suma importância para entendermos as inferências, deduções e negações que virão pela frente.

Considere-se que U seja o conjunto de todos os policiais, P(x) seja a proprie-dade “x é um policial dedicado”, Q(x) seja a proprieproprie-dade “x tem disposição para trabalhar” e R(x) “x passa em concurso interno para promoção”. Desse modo, es-creva na linguagem da lógica formal, ou seja, simbolicamente.

Ɐx(P(x) → R(x))

b) Alguns policiais que têm disposição para trabalhar não são dedicados. ∃x(Q(x) ∧ ¬ P(x))

c) Nenhum policial dedicado é disposto para trabalhar.

¬∃x(P(x) ∧ Q(x))

d) Todo policial que tem disposição para trabalhar não passa em concurso inter-no para promoção.

Ɐx(Q(x) → ¬R(x))

e) Existem policiais que passam em concurso interno para promoção que são dedicados.

∃x(R(x) ∧ P(x))

f) Todos policiais que são dedicados e têm disposição para trabalhar, passam em concurso interno para promoção.

Ɐx[(P(x) ∧ Q(x)) → R(x)]

1. (2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de

interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma Ɐx P(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma proprie-dade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja

possível fazer o julgamento como V ou F. A partir das definições anteriores, julgue o item a seguir.

Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a proprie-dade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a proprieproprie-dade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. ”

I – Ɐx (se Q(x) então P(x)). II – Ɐx (P(x) ou Q(x)).

III – Ɐx (se P(x) então Q(x)).

Errado.

A proposição: “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um quantificador Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia:

Ɐx ((P(x) → Q(x)) ou pode ser escrita Ɐx (se P(x) então Q(x)). Sendo assim, analisaremos os seguintes itens:

I – Ɐx (se Q(x) então P(x)): esta forma não simboliza corretamente a propo-sição, pois o quantificador universal afirmativo não permite a propriedade comutativa.

II – Ɐx (P(x) ou Q(x)): esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois o quantificador universal afirmativo não é uma união de conjuntos, mas sim uma inclusão de conjuntos.

III – Ɐx (se P(x) então Q(x)): esta forma está correta.

Logo, o item está errado, pois não temos duas formas que representam a pro-posição encontrada no enunciado.

2. (2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma Ɐx P(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou F. A partir das definições anteriores, julgue o item a seguir.

Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P (x) for a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a sentença Ɐx P (x).

Certo.

Construindo um diagrama para representar a sentença correta, temos:

O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o

que torna a sentença falsa, uma vez que ser funcionário público não garante ser

3. (2008) Julgue o item. Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M (x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é de-sempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente simbolizada por ¬∃x(M(x) ∧ D(x)).

Errado.

A simbologia utilizada está correta, pois temos o quantificador universal negativo ¬∃x e as propriedades (proposições) M (x) “x é mulher” e D(x) a propriedade “x é desempregada”.

Item correto.

4. (2008) Julgue o item. A proposição “Não existem mulheres que ganham menos

que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma ∃x (M (x) ∧ G(x)).

Errado.

A simbologia utilizada errada, uma vez que o correto seria: ¬∃x (M (x) ∧ G(x)).

5. (2008) Julgue o item. Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (Ɐx) (x ∈ R)(∃y)(y ∈ R)(x + y = x) é valorada como V.

Certo.

Nesse item é importante saber interpretar a simbologia para que se possa julgar corretamente o item, logo vou explicitar o significado da proposição (Ɐx) (x ∈ R)

Para todo x, pertencente ao conjunto dos números reais, existe um y também per-tencente ao conjunto dos números reais, em que x somado com y será igual ao próprio x. Temos uma soma em que x + y = x, ou seja, podemos inferir que y é o elemento neutro da adição (o número zero), pois para qualquer x, existe um y igual a 0 que se somarmos x+ y (0) = x. Essa proposição realmente é verdadeira, pois qual-quer valor real somado com o número zero, será o próprio zero. O item está certo.

Aplicação dos Quantificadores Lógicos

Vamos realizar algumas inferências utilizando os diagramas lógicos, ok?

6. (PC-ES/2010). Um argumento constituído por uma sequência de três

proposi-ções – P1, P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão – é consi-derado válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, ob-tém-se a conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A respeito das formas válidas de argumentos, julgue o próximo item.

Considere a seguinte sequência de proposições P1 – Existem policiais que são médicos.

P2 – Nenhum policial é infalível. P3 – Nenhum médico é infalível.

Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e con-clusão P3 é válido.

Errado.

Dadas as proposições categóricas P1, P2 e P3, temos os seguintes diagramas que as representam:

P: Policiais. M: Médicos. I: Infalível.

Segundo os diagramas acima, podemos inferir que P3 não é uma consequência das premissas P1 e P2, logo o argumento não é válido.

O conjunto infalível pode ficar nas posições pontilhadas, o que não garante a ver-dade da conclusão.

7. (PC-ES/2010) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas,

respec-tivamente, por “Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido.

Errado.

Temos os diagramas abaixo que representam as proposições do argumento e verifi-camos que P3 pode ser verdadeira ou não. Logo, o argumento não pode ser válido.

8. (2008). Considere as seguintes proposições:

I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II – Joaquina não tem garantido o direito de herança.

III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logica-mente que

a) Joaquina não é cidadã brasileira.

O) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.

c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Pelas as premissas podemos construir o diagrama acima.

Pela premissa I, temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro tem garantido o direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança.

Pela premissa II, temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de herança”, podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama. Pela premissa III temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possuir ou não Joaquina.

Julgando os itens, temos:

a) Certo. Joaquina não pertence ao conjunto: Cidadão brasileiro.

O) Errado. Foi comutado o quantificador universal afirmativo, em que o mesmo

não aceita tal propriedade.

c) Errado. Pelo diagrama podemos inferir que Joaquina não é uma cidadã

brasilei-ra, porém pode ser ou não uma cidadã de muita sorte.

9. (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:

a) algum administrador é matemático.

c) nenhum administrador é matemático.

d) algum administrador não é matemático.

e) todo administrador não é matemático.

f)

Letra d.

Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógi-cos (utilizando as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, analisaremos as premissas formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.

O que analisar?

Vamos construir os diagramas para cada premissa:

P₁: Nenhum matemático é aluno (não há nada em comum).

P₂: Algum administrador é aluno (pelo menos um {x}. Conjunto unitário).

A conclusão será fruto da relação entre as premissas, sendo que essa deverá ser uma nova proposição, consequência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e, dessa forma, a resposta da questão será: Algum administra-dor não é matemático.

10. (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:

a) todo responsável é artista.

O) todo responsável é filósofo ou poeta.

c) todo artista é responsável.

d) algum filósofo é poeta.