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Texto

(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Programa de Pós-Graduação em Matemática. Melissa Campos Alves. Transitividade Topológica do Fluxo Geodésico em Variedades Riemannianas sem Pontos Conjugados. Juiz de Fora 2013.

(2) Melissa Campos Alves. Transitividade Topológica do Fluxo Geodésico em Variedades Riemannianas sem Pontos Conjugados Dissertação. apresentada. ao. Programa. de. Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre, na área de Sistemas Dinâmicos.. Orientador: José Barbosa Gomes. Juiz de Fora 2013.

(3) Alves, Melissa Campos. Transitividade Topológica do Fluxo Geodésico em Variedades Riemannianas sem Pontos Conjugados / Melissa Campos Alves. - 2013. 74f. : il. Dissertação (Mestrado em Matemática) Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2013. 1. Matemática. 2. Fluxo Geodésico. 3. Transitividade Topológica. 4. Pontos Conjugados. 5. Visibilidade Uniforme. I. Título. CDU 51.

(4) Melissa Campos Alves. Transitividade Topológica do Fluxo Geodésico em Variedades Riemannianas sem Pontos Conjugados Dissertação aprovada pela Comissão Examinadora abaixo como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática pelo Mestrado Acadêmico em Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Juiz de Fora.. Prof. Dr. José Barbosa Gomes (Orientador) Mestrado Acadêmico em Matemática Instituto de Ciências Exatas - UFJF. Prof. Dr. Rogério Casagrande Mestrado Acadêmico em Matemática UFJF. Prof. Dr. Rafael O. Ruggiero Rodriguez PUC-RJ. Juiz de Fora, 26 de fevereiro de 2013..

(5) Agradecimentos Agradeço a Deus por todas as conquistas alcançadas. Por me capacitar e por ter me dado forças para superar as diculdades encontradas ao longo da caminhada. Ao professor José Barbosa Gomes pela disponibilidade que demonstrou, logo de início, em ser meu orientador de mestrado e por toda paciência e dedicação durante o período em que trabalhamos juntos. A meus pais, Flávio Alves e Rosangela Alves que sempre apoiaram minhas decisões e acreditaram na minha capacidade acadêmica. Pelo incentivo constante, o carinho e o amor. O apoio de vocês foi e é fundamental em tudo o que faço. Ao meu irmão e amigo Luciano Alves pelo apoio, e pela compreensão da minha ausência em alguns momentos e à minha irmã Vanessa Alves que sempre me ofereceu forças mesmo a distância, estando comigo em todos os momentos, desde antes do nascimento. Ao Paulo Cesar Filho (PC) por me orientar e me ajudar a decidir a área que eu iria seguir. Ao professor Ronald Pierre Petin que, mesmo sem o saber, foi uma fonte de inspiração ao longo de meu percurso acadêmico. A todos os mestres e doutores que ao longo da graduação e ao longo de todo curso de mestrado dividiram comigo seus saberes, propiciando meu desenvolvimento acadêmico e prossional, fazendo com que despertasse em mim, a cada dia, a paixão pela Matemática. Aos amigos que permaneceram sempre presentes, mesmo na ausência. Em especial à Juliana Pessôa e à Juliana Rosa que são mais que amigas, são minhas irmãs por escolha. À Universidade Federal de Juiz de Fora -UFJF- pelo auxílio e acolhida e ao Departamento de Matemática pela realização do curso e pela competência de seus prossionais. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior -CAPES- pelo apoio nanceiro. A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho e, embora pareça contraditório, agradeço, em especial, as pessoas que não acre-.

(6) ditaram em mim e que lançaram palavras negativas. Hoje posso perceber que estas me serviram de incentivo e posso armar: Posso todas as coisas Naquele que me fortalece!.

(7) Resumo Esta dissertação é dedicada ao estudo da transitividade dos uxos geodésicos em variedades Riemannianas sem pontos conjugados.. Baseada em estudos realizados por. Eberlein em [7] que ampliou os resultados obtidos em várias pesquisas realizadas, dedicadas a provar a transitividade topológica de uxos geodésicos em variedades compactas com curvatura. K 6 0,. exigindo que as variedades fossem de visibilidade uniforme.. Considerando a variedade de visibilidade. ϕt. M , SM. o brado tangente unitário de. M. e. SM , foram apresentados e desenvolvidos resultados para mostrar que se todo ponto de SM é não-errante mediante ϕt então ϕt é topologicamente transitivo em SM . Por último apresentamos situações onde não ocorrem a transitividade [2] e a o uxo geodésico em. visibilidade [20]. Palavras-Chave: Fluxo Geodésico. Transitividade Topológica. Pontos Conjugados. Visibilidade Uniforme..

(8) Abstract This dissertation treat the study of the transitivity of geodesic ows on Riemannian manifolds without conjugate points. Based on studies performed by Eberlein in [7], which extended the results obtained in various research, dedicated to proving the topological transitivity of geodesic ows on compact manifolds with curvature. K 6 0,. requiring that. the manifolds were of uniform visibility. We can consider the visibility of manifold the geodesic ow in of. SM. SM ,. M , SM. the unit tangent bundle. M. and. ϕt. results were presented and developed to show that every point. is not wandering through. ϕt. then. ϕt. is topologically transitive on. SM .. Lastly we. present situations that do not occur transitivity [2] and visibility [20]. Key-words: Geodesic Flow. Topological Transitivity. Conjugate Points. Visibility Uniform..

(9) Sumário Introdução. 9. 1 Preliminares. 10. 1.1. Alguns Conceitos de Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.2. Variedades Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.3. Homotopia, Recobrimento e Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.4. Grupo Quociente. 19. 1.5. Noções de Geometria Hiperbólica 1.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Classicação das Isometrias Positivas de. H2. 20. . . . . . . . . . . .. 25. 1.6. Classicação das Superfícies Compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.7. Noções Básicas de Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 1.7.1. Conexão Am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 1.7.2. Variedades sem Pontos Conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 1.7.3. Fluxo Geodésico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 1.7.4. Divergência Uniforme de Geodésicas. . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 1.8. Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 1.9. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 1.9.1. 36. A Forma Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Pontos no Innito e Visibilidade. 38. 2.1. Visibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 2.2. Geodésicas Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39.

(10) 2.3. Topologia do Cone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4. Continuidade de Algumas Funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Conjunto Limite. 43 46. 48. 3.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.2. A Condição de Dualidade. 49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Transitividade Topológica. 56. 5 Resultados complementares e Exemplos sobre Visibilidade e Transitividade. 61. 5.1. Axioma de Assintoticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.2. Visibilidade e Assintoticidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.3. Exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 5.4. Hiperbolicidade de Gromov e Visibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. Apêndice A. 69. Conclusão. 71. Referências. 72.

(11) 9. Introdução. O objetivo desta dissertação é estudar a transitividade topológica do uxo geodésico em variedades Riemannianas sem pontos conjugados. No Capítulo 1, expomos algumas noções básicas de Geometria Riemanniana necessárias para o desenvolvimento de todo o texto, além de conceitos de Variedades Diferenciáveis, Grupo Quociente e Topologia.. Ainda, apresentamos uma noção de Geometria. Hiperbólica e denimos Recobrimento, Grupo Fundamental, Forma Diferencial e Medida. No Capítulo 2, denimos assintoticidade entre geodésicas, apresentamos a Topologia do Cone e estudamos a continuidade da função. V : A → SH. denida por. V (p, q) =. 0 (0)) onde A = {(p, q) ∈ H ×H; p 6= q}, que utilizaremos para mostrar que γvn (tn ) → (p, γpq. γv (∞). onde. tn → ∞. e a sequência de vetores unitários. vn → v .. No Capítulo 3, apresentamos as propriedades do conjunto limite o grupo propriamente descontínuo de isometrias de. H.. L(D) de D, onde D é. Denimos dualidade e mostramos. a condição para a dualidade. Finalizamos com um estudo da densidade de. D. em. L(D).. No Capítulo 4, denimos a transitividade topológica de um uxo. Relacionamos a uxos geodésicos no brado tangente unitário de variedade de visibilidade uniforme transitivo em. M. onde. M = HD.. SM = Ω. L(D). Mostramos que para uma. o uxo geodésico é topologicamente. SM .. No Capítulo 5, apresentamos o axioma de assintoticidade, observamos que o axioma de visibilidade uniforme implica no axioma de assintoticidade. edade compacta. M,. com uma métrica. visibilidade uniforme se sequentemente, o unitário.. M. g ∗ -uxo. g∗,. Veremos que uma vari-. sem pontos conjugados, é uma variedade de. é uma variedade de visibilidade uniforme com métrica geodésico é topologicamente transitivo no. g ∗ -brado. g.. Con-. tangente. Apresentamos um exemplo sobre a não-transitividade do uxo geodésico em. uma superfície não compacta e um outro exemplo sobre a não visibilidade. Terminamos este capítulo comentando sobre hiperbolicidade de Gromov e visibilidade..

(12) 10. 1 Preliminares. Neste primeiro capítulo, introduziremos alguns conceitos que se fazem necessários para a leitura do texto.. 1.1 Alguns Conceitos de Topologia Uma referência para esta seção é [18].. Denição 1.1.. Sejam. (X, τ ). um espaço topológico e. fundamental de vizinhanças em x, é uma família aberto A que contém x, contém um elemento de. βx. x ∈ X.. Uma base local ou sistema. de vizinhanças de x tal que todo. βx .. Axiomas de Enumerabilidade Primeiro axioma : enumerável. βx. Um espaço X tem base enumerável em. x∈X. se existe uma coleção. de vizinhanças de x tal que para toda vizinhança V de x existe pelo menos. um elemento de. βx. contido em V, ou seja, existe B. Se X tem base enumerável em todo. Segundo Axioma :. x∈X. ∈ βx. tal que. x∈B ⊂V.. dizemos que X satisfaz o primeiro axioma.. Dizemos que o espaço topológico X satisfaz o segundo axioma de enu-. merabilidade se possui uma base enumerável para a sua topologia.. Denição 1.2.. Seja. (X, d). sequência de Cauchy em sempre que. espaço métrico.. (X, d). se dado. A sequência. > 0. (xn ). de pontos de. existe inteiro N tal que. X. é dita. d(xn , xm ) < . n, m > N .. O espaço métrico. Denição 1.3.. (X, d) é dito completo se toda sequência de Cauchy em X. Um espaço métrico. existe cobertura nita de. X. por. (X, d). -bolas.. converge.. é totalmente limitado se, para todo. > 0,.

(13) 11. Teorema 1.4.. O espaço métrico. (X, d). é compacto se, e somente se, é completo e total-. mente limitado.. Denição 1.5. pacto. C. ponto,. de. X. X. Um espaço X é dito localmente compacto em. que contém uma vizinhança de. Se. X. se existe subespaço com-. é localmente compacto em cada. é dito localmente compacto.. Denição 1.6. par. x.. x. x1 , x2. Um espaço topológico. de elementos distintos de. X. X. é dito espaço de Hausdor quando para cada. existem vizinhanças. U1. de. x1. e. U2. de. x2. tais que. U1 ∩ U2 = ∅.. Teorema 1.7.. Seja X espaço Hausdor. Então X é localmente compacto se, e somente. se, dado x em X, e dada uma vizinhança U de x, existe vizinhança V de x tal que compacto e. V ⊂. Denição 1.8.. Uma coleção. C. de subconjuntos de X satisfaz a propriedade da interseção. {C1 , C2 , . . . Cn } ⊂ C. vale que a interseção. C1 ∩ C2 ∩. é não vazia.. Teorema 1.9. coleção. é. U.. nita se, para toda subcoleção nita. . . . ∩ Cn. V. C. Seja X espaço topológico.. Então X é compacto se, e somente se, toda. de subconjuntos fechados de X possuindo a propriedade da interseção nita. possui interseção não vazia, isto é. \. C 6= ∅. C∈C. Teorema 1.10 em. n. R. e. .. (Teorema do ponto xo de Brouwer). f :B→B. Sejam B a bola unitária fechada. função contínua. Então, existe um ponto xo. x ∈ B.. 1.2 Variedades Diferenciáveis As referências para esta seção são [14] e [16].. Seja M um espaço topológico de Hausdor com base enumerável e conexo.. Denição 1.11.. Um sistema de coordenadas locais ou carta local em M é um homeo-. morsmo. x : U → x(U ) ⊂ Rn , Para cada p. onde. U ⊂M. é um aberto e n é a dimensão da aplicação.. ∈ M, tem-se que x(p) = (x1 (p), . . . , xn (p)) no qual os números xi (p) = xi. são chamados coordenadas do ponto p. ∈. M no sistema x..

(14) 12. Denição 1.12. P. = {xα }. S. Uα = M .. α. Um atlas de dimensão n sobre um espaço topológico M é uma coleção. xα : Uα → Rn. de cartas locais Os domínios. Uα. no qual a união dos domínios. Uα são P. são chamados vizinhanças coordenadas de. tais que. .. Um espaço topológico M no qual existe um atlas de dimensão n chama-se variedade topológica de dimensão n.. Denição 1.13. Uα. Xα : Uα ⊂ Rn →. Dada uma família de aplicações biunívocas. são abertos de. n. M, onde. em M, denimos uma variedade diferenciável de dimensão n como. R. um conjunto M tal que:. 1). S. Xα (Uα ) =. α. M;. 2) Para todo par. Xβ. −1. (W ). α, β ,. com. são abertos em. Xα (Uα )∩Xβ (Uβ ) = n. R. e a aplicação. Xβ. W. −1. 6= ∅,. ◦ Xα. Xα −1 (W ). os conjuntos. e. é diferenciável;. 3) A família {(Uα , Xα )} é maximal relativamente às condições (1) e (2).. (Xα , Vα , Uα ) Seja. α(t). é uma carta. A coleção de todas as cartas é dito um atlas.. tangente da curva. α(t). em. t. e. Tp M. = {(p, v); p ∈ M, v ∈ Tp M }.. Temos que. é o espaço tangente a. Denição 1.14 (Fibrado Tangente). TM. M n.. uma curva diferenciável em. Seja. Mn. M. v = α0 (t) ∈ Tp M. é o vetor. p.. em. uma variedade diferenciável e seja. Então, TM com uma estrutura diferenciável é chamado. brado tangente.. Denição 1.15. (Aplicações Diferenciáveis entre Variedades). dades diferenciávies. Uma aplicação uma parametrização Y: V. M1. ϕ: M 1 → M2. ⊂ Rm →M2. em. ϕ(p). .. Sejam. M1 n. e. M2 m. varie-. ∈ M1. se, dada. existe uma parametrização X: U. ⊂ Rn →. é diferenciável em p. em p tal que. ϕ(X(U )) ⊂ Y(V) e a aplicação Y −1 ◦ϕ◦X: X −1 (U ) ⊂ Rn → Rm é diferenciável em X −1 (p). Sejam. Mm. uma imersão se sobre. e. Nn. variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável. dϕp : Tp M → Tϕ(p) N. é injetiva para todo. p ∈ M.. Se. ϕ:M →N. ϕ for homeomorsmo. ϕ(M ) ⊂ N , onde ϕ(M ) tem a topologia induzida por N , então ϕ é um mergulho.. M ⊂N. e. i:M →N. imersão, então. m≤n. Denição 1.16.. é um mergulho, então e. n−m. M. é subvariedade de. é codimensão da imersão. Denimos a aplicação projeção por. N.. Seja. Se. ϕ : Mm → Nn. ϕ.. π : TM → M. é. no qual. π(p, v) = p..

(15) 13 ϕ M2. M1. 1111 0000 0000 1111 0000 1111 X(U). 11111 00000 00000 11111 00000 11111 Y(V). X. Y. 1111 0000 0000 1111 U 0000 1111 0000 1111. 1111 0000 0000 1111 V 0000 1111 0000 1111. −1. Y ϕ X. m. n. R. R. Figura 1: Aplicações Diferenciáveis entre Variedades. 1.3 Homotopia, Recobrimento e Grupo Fundamental Uma referência para esta seção é [15].. Denição 1.17. X→Y. Sejam. são homotópicas. I = [0, 1],. e. Y. (f ' g). espaços topológicos.. Duas aplicações contínuas. quando existe aplicação contínua. f, g :. H :X ×I → Y,. com. tal que. H(x, 0) = f (x) t∈I. Para. X. e. H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X .. podemos denir. Ht : X → Y. tal que,. Ht (x) = H(x, t).. A relação de homotopia é uma relação de equivalência no conjunto das aplicações contínuas de. X. em. Y.. As classes de equivalência segundo a relação de homotopia são chamadas. classes de homotopia. Seja. C(X; Y ). o espaço topológico formado pelas aplicações contínuas de. X. em. Y,. com a topologia compacto aberta.. Denição 1.18.. Duas aplicações contínuas. f, g : X → Y. (com. de Hausdor ou metrizável) são homotópicas se, e somente se componente conexa por caminhos no espaço. Proposição 1.19.. Sejam. f, g : X → Y. em componentes conexas distintas de. Proposição 1.20. e. g ' g0,. então. Sejam. Y.. f, f0 : X → Y. g ◦ f ' g0 ◦ f 0.. f. X e. localmente compacto. g. pertencem à mesma. C(X, Y ).. aplicações contínuas tais que Então e. f. e. g. f (x). e. g(x). estão. não são homotópicas.. g, g 0 : Y → Z. aplicações contínuas. Se. f ' f0.

(16) 14. Denição 1.21.. f : X → Y. Uma aplicação. é uma equivalência homotópica quando. existe. g : Y → X, de. f. contínua tal que;. e os espaços topológicos. Denição 1.22.. g ◦ f ' idx X. Y. e. e. f ◦ g ' idy .. Então,. g. é um inverso homotópico. têm o mesmo tipo de homotopia.. Um espaço topológico. X. é contrátil se tem o mesmo tipo de homotopia. de um ponto.. Um espaço é contrátil se, e somente se a aplicação identidade a uma aplicação constante. Denição 1.23.. c : X → X.. Uma aplicação contínua. Quando a aplicação é tal que. Denição 1.24. a(0) = b(0). a : J = [s0 , s1 ] → X. a(s0 ) = a(s1 ). Uma homotopia. aplicação contínua. id : X → X é homotópica. H :a'b. H : I×I → X. tal que,. é dita um caminho.. dizemos que o caminho é fechado.. entre caminhos com extremos xos é uma. H(s, 0) = a(s), H(s, 1) = b(s), H(0, t) =. e. H(1, t) = a(1) = b(1), ∀s, t ∈ I . Para que. a'b. Proposição 1.25.. é necessário que Sejam. o seguinte começa. Sejam a origem e. y = [ey ]. y = a(1). a(0) = b(0) = x0. a, b, c : I → X ex , ey. a(1) = b(1) = x1. caminhos tais que cada um deles termina onde. α = [a], β = [b], γ = [c]. seu m,. e. suas classes de homotopia,. caminhos constantes sobre esses pontos e. x = a(0) x = [ex ],. as classes de homotopia dessas constantes. Então,. i.. αα−1 = x. ii.. α−1 α = y. iii.. x α = α = αy. iv.. (αβ)γ = α(βγ). O conjunto das classes de homotopia (com extremos xos) dos caminhos em um espaço topológico X, com a lei da composição acima denida, chama-se grupóide fundamental de X representado por. π(X)..

(17) 15 Considere os pares Os caminhos fechados subconjunto. (X, x0 ),. onde. x0 ∈ X. a : (I, ∂I) → (X, x0 ). π1 (X, x0 ) = {[α]; α : I → X. é ponto básico do espaço topológico X. são caminhos com base no ponto. é caminho fechado com base em. x0 .. O. x0 } do grupóide. fundamental constitui um grupo chamado grupo fundamental do espaço X com base no ponto. x0 .. O elemento neutro desse grupo é a classe de homotopia. = x0. do caminho. x0 .. constante no ponto. Proposição 1.26. Se x0 e x1 pertencem à mesma componente conexa por caminhos de X então. γ. π1 (X, x0 ). e. π1 (X, x1 ). de caminhos que ligam. por. são isomorfos. Mais precisamente, cada classe de homotopia. x0. a. x1. induz um isomorsmo. γ : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0 ),. dado. γ(α) = γαγ −1 .. Proposição 1.27.. Se dois espaços topológicos X, Y conexos por caminhos têm o mesmo. tipo de homotopia, então seus grupos fundamentais são isomorfos.. Corolário 1.28. O grupo fundamental de um espaço contrátil possui um único elemento. Um espaço topológico X é dito simplesmente conexo quando é conexo por caminhos e. π1 (X, x0 ) = {0}, ∀x0 ∈ X .. no ponto. x0 ,. Ou seja, para todo caminho fechado. Sejam X, Y espaços topológicos. Dizemos que,. Y e. f |U. com base. a ' ex0 .. tem-se. quando cada ponto. a : I → X,. x∈X. f :X→Y. é um homeomorsmo local. está contido em um aberto U tal que,. V = f (U ). é aberto em. é um homeomorsmo de U sobre V.. Sejam. f : X → Y, g : Z → Y. aplicação contínua. ge : Z → X. aplicações contínuas. Um levantamento de g é uma. tal que. f ◦ ge = g . ~ g. Z. X f. g. Y Figura 2: Levantamento de g. Seja conexo e. f :X→Y g:Z→Y. em um ponto. contínua, localmente injetiva, onde X é espaço Hausdor e sejam Z contínua. Então dois levantamentos. z ∈ Z,. são iguais.. ge, gˆ : Z → X. de g, que coincidem.

(18) 16. Método do Prolongamento Analítico: y ∈ f (X).. Para cada. f :U →V ramo de. x∈X. com. é homeomorsmo e. Dado um homeomorsmo local. f (x) = y ,. f :X →Y,. seja. existem vizinhanças U de x e V de y tais que. g = (f |U )−1 : V → U. é um inverso local de f chamado. f −1 .. Denição 1.29. cada ponto de abertos. x∈X. Uma aplicação. e → X p : X. pertence a um aberto. é uma aplicação de recobrimento quando. V ⊂X. tal que. p−1 (V ) =. S. α∈Λ. Uα. é uma reunião. Uα , dois-a-dois disjuntos, cada um dos quais se aplica por p homeomorcamente. sobre V.. Uma aplicação de recobrimento. e →X p:X. é um homeomorsmo local de. e X. sobre X.. ~ X. p. x. V. X. Figura 3: Aplicação de recobrimento. Denição 1.30. V ⊂X. Considere a aplicação de recobrimento. e → X. p : X. Se um aberto. é conexo e localmente conexo por caminhos e, além disso, todo caminho fechado. em V é homotópico a uma constante em X então, V é uma vizinhança distinguida.. Sejam V uma vizinhança distinguida e base e. p−1 (x). o espaço de recobrimento de X, onde X é a. as bras sobre x.. Proposição 1.31. as bras. e X. Se a base X de um recobrimento. p−1 (x), x ∈ X ,. e →X p:X. é conexa, então todas. possuem o mesmo número de folhas (ou número cardinal) do. recobrimento.. Propriedade de Levantamento de Caminhos (p.l.c.): sobrejetiva. Dados um caminho. Seja. f :X→Y. a : J → Y , com J = [s0 , s1 ], e x ∈ X. aplicação contínua e tal que. f (x) = a(s0 ),.

(19) 17 existe caminho. e a:J →X. tal que. e a(s0 ) = x. e. f ◦e a = a.. Propriedade de Levantamento Único de Caminhos (p.l.u.c.): sobrejetiva. Dados um caminho um único caminho. e a:J →X. a:J →X. e um ponto. f ◦e a=a. tal que. e. Seja. x∈X. f :X →Y. f (x) = a(s0 ),. com. V. existe. e a(s0 ) = x.. Dizemos que X é semi-localmente simplesmente conexo quando todo uma vizinhança. aplicação. tal que todo caminho fechado em. V. x ∈ X. possui. é homotópico a uma constante em. X. Se X for localmente conexo por caminhos e semi-localmente conexo, temos que. e →X X. p :. é um recobrimento se, e somente se, é homeomorsmo local com a p.l.u.c.. Dada uma aplicação de recobrimento a notação. H(e x). e → X, p:X. sejam. e x e∈X. para representar a imagem do homomorsmo. x = p(e x). Usaremos e x p# : π1 (X, e) → π1 (X, x), e. induzido pela projeção de recobrimento p.. Proposição 1.32. Seja p : Xe → X um recobrimento, onde o espaço X é conexo por caminhos. Sejam Z um espaço conexo e localmente conexo por caminhos e uma aplicação contínua. Dado. e x fe : (Z, z0 ) → (X, e0 ),. x e0 ∈ p−1 (x0 ),. a m de que f possua um levantamento. é necessário e suciente que. f# π1 (Z, z0 ) ⊂ H(e x0 ).. p. p. ~ ~ (X, x ). f : (Z, z0 ) → (X, x0 ). (X, x ) ~ f. #. ~ π1(X, x~ ). π1 (X, x ) ~ f#. f. f#. (Z, z ) π1(Z, z ) Figura 4: Projeção de recobrimento. Corolário 1.33.. Sejam X conexo por caminhos e Z simplesmente conexo, localmente. conexo por caminhos. Toda aplicação contínua mento. e x fe : (Z, z0 ) → (X, e0 ),. Sejam. onde. −1. x e0 ∈ p (x0 ). e1 → X, p2 : X e2 → X p1 : X. f : (Z, z0 ) → (X, x0 ). admite um levanta-. é escolhido arbitrariamente.. recobrimentos com a mesma base X. Um homomor-. e1 → X e2 tal que p2 ◦ f = p1 . f :X e3 → X é outro recobrimento com base X e g : X e2 → X e3 é um homomorsmo, a Se p3 : X e1 → X e3 é homomorsmo. Dizemos que f : X e1 → X e2 é um isomorsmo composta g ◦ f : X smo entre estes recobrimentos é uma aplicação contínua. quando f é um homeomorsmo tal que. p2 ◦ f = p1 ..

(20) 18 Um homomorsmo. X. e1 → X e2 f :X. relativamente ao recobrimento. é um levantamento da aplicação contínua. e1 → p1 : X. e2 → X . p2 : X ~ X2 f. p. 2. ~ X1. X. p1. Figura 5: f: levantamento da aplicação contínua. Quando. e1 x e1 ∈ X. e1 X. em relação ao recobrimento. p2. é conexo, dois homomorsmos que assumam o mesmo valor em um ponto. são iguais.. Proposição 1.34. X. Se. p1. e2 X. Sejam. e1 → X, p2 : X e2 → X p1 : X. recobrimentos com a mesma base. é conexo e localmente conexo por caminhos, todo homomorsmo. e1 → X e2 f :X. é um recobrimento. Em particular, f é sobrejetivo.. Proposição 1.35.. Sejam. e1 , X e2 X. que exista um homomorsmo. conexos e localmente conexos por caminhos. A m de. e1 → X e2 f :X. com. f (e x1 ) = x e2. é necessário e suciente que. H1 (e x1 ) ⊂ H2 (e x2 ).. Corolário 1.36.. Seja. e → X p : X. um recobrimento cujo domínio. conexo e localmente conexo por caminhos. Para todo recobrimento conexo, existe um recobrimento. Teorema 1.37.. e → Ye f :X. Um recobrimento. tal que. e →X p:X. com. e X. é simplesmente. q : Ye → X. com. Ye. q ◦ f = p. e X. simplesmente conexo e localmente. conexo por caminhos é um recobrimento universal.. Um endomorsmo é um homomorsmo de um recobrimento em si mesmo. o recobrimento. e →X e f :X. e → X, p : X. tal que. p◦f = p.. um endomorsmo é, portanto, uma aplicação contínua. Quando o endomorsmo f for um homeomorsmo de. si mesmo, diremos que f é um automorsmo. O conjunto recobrimento. e →X p:X. Dado. e X. sobre. e G(XX) dos automorsmos do. constitui um grupo relativamente à composição de aplicações.. Às vezes os automorsmos são chamados as transformações de recobrimento ou translações de recobrimento.. p2 ◦ f = p1. signica que f aplica cada bra. p−1 1 (x). na bra. p−1 (x). em si própria. Um isomorsmo f induz, para cada. p−1 1 (x). sobre a bra. em cada bra. p−1 2 (x).. A condição. Em particular, um endomorsmo. p−1 2 (x).. p−1 (x).. e →X e f :X x ∈ X,. aplica cada bra. uma bijeção da bra. Um automorsmo, por sua vez, determina uma permutação.

(21) 19 Note que um homomorsmo. e1 → X p1 : X. e1 → X e2 f :X. relativamente ao recobrimento. é um levantamento da aplicação contínua. e2 → X . p2 : X. Assim, quando. dois homomorsmos que assumam o mesmo valor em um ponto. e1 x e1 ∈ X. e1 X. é conexo,. são iguais.. 1.4 Grupo Quociente Uma referência para esta seção é [15]. Sejam. Y. (X, τ ). espaço,. Y. conjunto não vazio e. f :X →Y. sobrejetiva. Denamos em. a seguinte topologia:. τf = {V ⊂ Y ; f −1 (V ) ∈ τ } τf. é topologia sobre. Denição 1.38.. Y,. Y. dita topologia quociente em. Sejam. (X, τ ), (Y, τY ). e seja. induzida por. f : X → Y. induz a topologia quociente é chamada uma identicação. f.. sobrejetiva.. A função. f. que. τY = τf .. Propriedade Universal da Topologia Quociente Sejam. X, Y, Z. espaços topológicos e. é contínua se, e somente se, Sejam. ∼. uma identicação. Então,. X.. Denimos. equivalência que contém. Denição 1.39.. Seja. x. π. g:Y →Z. é contínua.. uma relação de equivalência sobre X e. equivalência em. de. g◦f. f :X→Y. π : X → X∼. X∼. que leva. o conjunto das classes de. x 7→ [x]. onde. [x]. é a classe de. é dita projeção canônica e é naturalmente sobrejetiva.. (X, τ ) espaço topológico.. O par. (X∼ , τπ ) é dito espaço quociente. X.. Observação 1:. Toda variedade Riemanniana conexa pode ser obtida como quociente de. uma variedade Riemanniana simplesmente conexa por um subgrupo discreto de isometrias.. Proposição 1.40. Hausdor de. g,. X.. Se. Seja. f :X→Y. Z é conexo e g : Z → Y. que coincidem em um ponto. Denição 1.41. para todo. contínua, localmente injetiva denida em um espaço. O grupo. x ∈ X, G. identidade, tem-se conjunto discreto.. é contínua então dois levantamentos. z ∈ Z,. ge, gˆ : Z → X. são iguais.. G é um grupo propriamente descontínuo do espaço X ,. possui uma vizinhança. g.V ∩ V = ∅.. V. tal que para todo. g ∈ G,. quando. diferente da. Ou seja, a órbita de cada ponto do espaço. X. é um.

(22) 20. Proposição 1.42. X.. Seja. G. um grupo de homeomorsmos operando livremente no espaço. As armações que seguem são equivalentes:. i. G é propriamente descontínuo; ii. A projeção canônica iii.. p : X → XG. Lema 1.43.. Seja. topológico conexo. XG. X.. um grupo propriamente descontínuo de homeomorsmos do espaço Armamos que o grupo de automorsmos do recobrimento. Logo. g ∈ G.. Seja. p◦g =p. é uma aplicação de recobrimento;. é localmente injetiva.. é precisamente o grupo. Demonstração. p(x).. G. p : X → XG. e daí,. G.. Então, para todo. x1. Então,. pertence à mesma bra que. Portanto, pela Proposição 1.40,. x0 .. x∈X. temos que. f : X → X,. f. e. g. x0 ,. logo existe. grupo. Se. e G((X)X) ,. fundamental. g∈G. x0 ∈ X. com. e seja. x1 =. gx0 = x1 .. f = g,. onde. f ∈ G.. é simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos, então o dos automorsmos do recobrimento. e →X p:X. é isomorfo ao grupo. Π1 (X, x0 ).. Demonstração.. e e α ∈ Π1 (X, x0 ) correspondente ao automorsmo f : xe0 , x e ∈ X e que liga x caminho e b em X eax e0 tal que b = p ◦ eb. Tomemos a ∈ α e. Sejam. e →X e. X. Seja o. x = p(e x).. Então,. bab−1. e X. xemos. são levantamentos de p que coincidem no ponto. Como X é conexo, pela Proposição 1.42 temos que. Lema 1.44.. p(gx) = G.gx = G.x =. g ∈ G(X \ XG).. Reciprocamente, dado um automorsmo. f (x0 ).. p:X→. a partir de. bab−1. é um caminho fechado com base no ponto x. O levantamento de. x e termina. em. f (e x) = ye ∈ p−1 (x).. 1.5 Noções de Geometria Hiperbólica Seja. Hn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ; xn > 0}.. Para. H2 = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0},. denimos. − − h→ u ,→ vi → − − − h→ u ,→ v iH = , ∀− u ,→ v ∈ T(x0 ,y0 ) H2 2 y0 em cada ponto A métrica lico.. (x0 , y0 ) ∈ H2. gH. e a métrica. − − − − gH (→ u ,→ v ) = h→ u ,→ v iH .. é chamada métrica hiperbólica. Chamamos. (H2 , gH ). o espaço hiperbó-.

(23) 21 Seja. γ : [a, b] → H2. C1. uma curva. O comprimento hiperbólico de. γ. por partes sobre. H2 , γ(t) = (x(t), y(t)).. é dado por:. Z bp Z bp Z LH (γ) = gH (γ 0 (t), γ 0 (t))dt = hγ 0 (t), γ 0 (t)iH dt = a. a. Dados dois pontos. z1 , z2 ∈ H2 ,. b. a. hγ 0 (t), γ 0 (t)i dt y(t). denimos a distância hiperbólica entre. z1. e. z2. da seguinte. forma:. dH (z1 , z2 ) = inf {LH (C); C : [a, b] → H2 , C 1. Denição 1.45.. Um difeomorsmo. (M, h, i). Riemannianas. e. (N, hh, ii). por partes com. C(a) = z1. f : (M, h, i) → (N, hh, ii). e. C(b) = z2 }.. entre duas variedades. é chamado uma isometria se. − − − − − − h→ u ,→ v ip = hhdfp (→ u ), dfp (→ v )iif (p) , ∀p ∈ M, → u ,→ v ∈ Tp M. Proposição 1.46. a, b, c.d ∈ R trias de. H2. e. Toda transformação. ad − bc = 1. Denição 1.47.. −az+b , com −cz+d. H2 .. Se. z,. e onde os coecientes. Uma curva. z 7→. h(z) = −z ,. as outras isome-. a, b, c, d ∈ R. a, b, c, d ∈ R. γ : I = (a, b) ⊂ R → H2 , C 1. sica minimizante) quando para cada par de pontos em. az+b , com cz+d. denida por. ad − bc = 1.. e. Uma transformação de Mobius é uma função da forma. uma variável complexa. Denição 1.48.. é uma isometria de. f ◦ h : z 7→. são da forma. f : H2 → H2. e. f (z) =. az+b de cz+d. ad − bc 6= 0.. por partes, é geodésica (geodé-. γ((a, b)). a curva. γ. é minimizante. entre esses dois pontos.. A distância hiperbólica é dada por:. dH (γ(t1 ), γ(t2 )) = LH (γ)[γ(t1 ), γ(t2 )], ∀t1 , t2 ∈ (a, b) onde. LH (γ)[γ(t1 ), γ(t2 )]. é o comprimento hiperbólico de. γ. entre. γ(t1 ). e. γ(t2 ).. Lema 1.49. Seja f : H2 → H2 uma isometria de H2 e seja γ uma geodésica de H2 . f (γ). é uma geodésica de. Demonstração. Seja. Seja. γ : (a, b) → H2. Então,. H2 .. f : H2 → H2. uma isometria de. uma geodésica. Então, dados. H2 ,. então f preserva comprimento.. t1 , t2 ∈ (a, b),. temos que. dH (γ(t1 ), γ(t2 )) = LH (γ)[γ(t1 ), γ(t2 ]. Considere. f (γ) em H2. de classe. C 1.. Como f é isometria e. f (γ) é difeomorsmo temos. que,. LH (f (γ))[f (γ(t1 )), f (γ(t2 ))] = LH (γ)[γ(t1 ), γ(t2 )] = dH (γ(t1 ), γ(t2 )) = dH (f (γ(t1 )), f (γ(t2 ))). Logo,. f (γ). é uma geodésica de. H2 ..

(24) 22. Proposição 1.50.. a) Toda semi-reta vertical. γ(t) = x0 + it, t ∈ (0, ∞), x0 ∈ R. é uma. (H2 , gH ).. geodésica de. b) Sejam p e q dois pontos distintos de. H2. alinhados verticalmente. Existe exatamente. uma geodésica passando por esses dois pontos, que é a semi-reta vertical por esses dois pontos.. Demonstração. γ(t1 ). e. a) Basta mostrarmos que,. γ(t2 ). ∀t1 , t2 ∈ (0, ∞). o comprimento de. γ. entre. é menor que ou igual ao comprimento de qualquer curva C ligando. esses dois pontos. Então, seja C uma curva. C1. por partes ligando os pontos. 2. C : [0, 1] → H , C(s) = (x(s), y(s)), C(0) = γ(t1 ) Z LH (C) = 0. Z. 1. Z p 0 0 hC (s), C (s)iH ds =. e. γ(t1 ). e. γ(t2 ). C(1) = γ(t2 ). 1. p. h(x0 (s), y 0 (s)), (x0 (s), y 0 (s))iH ds =. 0. p Z 1p 0 Z 1 0 ((x0 (s))2 , (y 0 (s))2 ) (y (s))2 | y (s) | ds > ds = = y y(s) y(s) 0 0 Z 1 0 Z 1 0 y (s) y (s) | | ds >| ds | y(s) 0 0 y(s). 1. 0. u = y(s) temos R y(1) 1 y(1) LH (C) >| y(0) u du |= | ln | u ||y(0) |= | ln | y(1) | −ln | y(0) ||=| lny(1) − lny(0) |=. Logo, fazendo. y(1) | ln y(0) |= ln y(1) = LH (γ)[γ(t1 ), γ(t2 )] y(0) b) Seja a semi-reta vertical pontos distintos de. H2. alinhados verticalmente,. Pelo item (a) temos que Suponhamos. γ(t) = x0 + it, t ∈ (0, ∞). γ. é uma geodésica de. C(0) = p. e. x0 ∈ R,. p = γ(t1 ). e. passando por dois. q = γ(t2 ).. H2 .. C : [0, 1] → H2 , C(s) = (x(s), y(s)). sando por p e q, com. e. outra geodésica de. (H2 , gH ). pas-. C(1) = q .. Então,. LH (C)[C(0), C(1)] = LH (C)[p, q] = LH (C)[γ(t1 ), γ(t2 )] que é menor do que ou igual ao comprimento de qualquer outra curva ligando esses pontos. Mas, por (a), Logo,. LH (C) = LH (γ). LH (γ) 6 LH (C). e temos que C é a semi-reta vertical. γ,. a menos de parame-. trização. Portanto, a única geodésica que passa por p e q é a semi-reta vertical que passa por esses dois pontos..

(25) 23. Proposição 1.51. Demonstração.. Os semi-círculos ortogonais ao eixo real são geodésicas de. Seja. x0 ∈ R. o centro do círculo correspondente ao semi-círculo ortogonal. ao eixo real dado de raio R. Seja I a inversão em relação a. (2R)2 I(z) = + (x0 + R) = z − (x0 + R) Temos que I é uma isometria de. I(L). é. (H2 , gH ).. H2 .. C2R (x0 + R), ∀z ∈ H2 ,. 2 2 (x0 +R)z + (x0 +R)2R−(2R) −2R +R) −z + (x02R 2R. Seja L a semi-reta baseada em. (x0 −R, 0).. Então,. CR (x0 ).. Como L é uma geodésica, (pela Proposição 1.50) e I é uma isometria de (pelo Lema 1.49) que. CR (x0 ). é uma geodésica de. H2 , concluímos. H2 . Invariante. L. x. x−R. x+R. x + R + 2R. Figura 6: A inversão I. Teorema 1.52. geodésicas de. H. Demonstração.. 2. Por dois pontos de. H2. passa exatamente uma geodésica.. As únicas. são as semi-retas verticais e os semi-círculos ortogonais ao eixo real.. Usando que por dois pontos distintos. p, q ∈ H2. passa uma única geodé-. sica (se eles estão na mesma reta vertical, pela Proposição 1.50), ou um semi-círculo ortogonal ao eixo real (caso contrário) que é uma geodésica, pela Proposição 1.51.. γ.

(26) 24. L. mediatriz. q γ p. R. x− R. x+R. x. Figura 7: Contrução da geodésica que passa por dois pontos de. R é a distância Euclidiana entre p e. x0 .. H2. Assim, mostramos a existência e a unicidade. no caso em que os dois pontos estão alinhados verticalmente e mostramos a existência no caso contrário. Consideremos uma inversão I que leva. γ. sobre a semi-reta vertical L passando pelo. ponto. (x0 −R, 0).. Se. γ˜ é uma geodésica que também passa por p e q, I(γ) e I(˜ γ ) são geodésicas de. H2 , já que I é uma isometria, passando por I(p) e I(q), que estão alinhados verticalmente. I(˜ γ ) ⊂ I(γ). Pela Proposição 1.50,. e, como I é uma bijeção,. γ˜ ⊂ γ ,. seguindo a unicidade.. Segue, também, da demonstração, a segunda armação do teorema.. Seja. D = {w ∈ C; | w |< 1}.. Seja o difeomorsmo. Proposição 1.53. (H2 , gH ). sobre. ϕ : H2 → D. denido por. Existe uma única métrica. ϕ(z) = gD. em. z−i z+i. D. tal que. ϕ. seja uma isometria de. (D, gD ): 4hu, vi , | w |< 1 (1− | w |2 )2. (D, gD ) é o disco de Poincaré ou o modelo do disco do espaço hiperbólico.. Teorema 1.54. As geodésicas de (D, gD ) são os diâmetros e os arcos de círculos ortogonais ao bordo de. D.. A demonstração se dá usando a isometria retas e círculos em retas e círculos.. ϕ. e que a transformação de Mobius. ϕ. leva.

(27) 25. 0110 1010 1010 1010 1111111111 0000000000. i 111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 ID 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 0 −1 1 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 −i Figura 8: Bordo assintótico:. Denição 1.55.. P SL(2, R) := {z 7→ T (z) =. Seja. Um grupo Fuchsiano é um subgrupo discreto. Γ ⊂ P SL(2, R) quando. n→∞. ∂∞ D = S 1 → R ∪ {∞}. Γ. de. az+b ; onde cz+d. P SL(2, R).. é discreto se para toda sequência. então. Tn = T. a partir de algum. a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1}.. Tn. em. Γ. tem-se que se. Tn → T. n0 .. 1.5.1 Classicação das Isometrias Positivas de H2 Classicaremos as isometrias positivas (isto é, que preservam orientação) de. H2. con-. forme o seu número de pontos xos. Essas isometrias são dadas por. T (z) = com. ad − bc = 1. e. az + b cz + d. a, b, c, d ∈ R.. Toda transformação de Mobius possui 1 ponto xo ou 2 pontos xos, se possuir 3 pontos xos temos a identidade. Para. c 6= 0 T (z) = z ⇔. a−d±. p (a + d)2 − 4 2c. Temos os seguintes três casos:. i.. (a + d)2 − 4 > 0,. então. T. possui dois pontos xos. x1 6= x2. T (z) = az + b, a 6= 1. reais. Se.

(28) 26 então. T. possui um ponto xo. ∂∞ H2. xos no bordo. x ∈ R além do ∞.. e nenhum ponto xo em. Nesses casos,. H2 . T. T. possui dois pontos. é chamada transformação. hiperbólica (ou axial). ii.. (a + d)2 − 4 = 0,. então. T. possui um único ponto xo. x1 6= x2 ∈ R.. Se. T (z) = z + b, b 6= 0 então. T iii.. T. possui. ∞ como um único ponto xo em ∂∞ H2. e nenhum ponto xo em. H2 .. é chamada uma transformação parabólica.. (a + d)2 − 4 < 0,. então. T. possui dois pontos xos. então, necessariamente um único ponto xo em. z1 6= z1. H2 .. complexos conjugados e,. Chamamos. T. de transformação. elíptica.. 1.6 Classicação das Superfícies Compactas Consideramos como superfície, variedades topológicas de dimensão espaço topológico de Hausdor localmente homeomorfo ao plano. R2 .. 2,. ou seja, um. Temos que toda. superfície compacta é o espaço quociente de um polígono plano por uma relação de equivalência segundo a qual os lados que constituem o bordo do polígono são identicados dois a dois.. Teorema 1.56 (Teorema de classicação das superfícies compactas). Qualquer superfície conexa e compacta é homeomorfa à esfera, ou a uma soma conexa de toros, ou a uma soma conexa de planos projetivos.. Caracterização dos grupos fundamentais das superfícies compactas (a menos de homeomorsmos) Seja de. M. M. uma superfície conexa e compacta. Se. é o trivial, se. apresentação com. −1 ai bi a−1 i bi ; i. M. M. é a esfera então o grupo fundamental. é a soma conexa de n-toros então o grupo fundamental tem uma. 2n geradores a1 , b1 , ..., an , bn e a relação dada pelo produto dos elementos. = 1, ...n;. e se é a soma conexa de n-planos projetivos então o grupo tem uma. apresentação com n geradores. a1 , ..., an ,. e a relação. (a1 )2 ...(an )2 .. Demonstra-se em Topologia Combinatória (vide [10]) que toda superfície compacta é o espaço quociente de um polígono plano por uma relação de equivalência segundo a qual os lados que constituem o bordo do polígono são identicados dois a dois, de acordo com esquemas como os ilustrados na gura 9.

(29) 27. a. b. a. b. a2. a1 b2. a. Toro (genero 1). Esfera (genero 0). b1. a1. b2. a. b1. a2. Bitoro (genero 2). Figura 9: Identicações. Teorema 1.57.. Toda superfície compacta. S. orientável de gênero maior ou igual a 2. admite uma métrica de curvatura constante igual a discreto. Γ. 2. de isometrias de. H. −1.. Ou seja, existe um subgrupo. H2 tal que o quociente é difeomorfo a Γ. S.. A ideia é usar o teorema de classicação das superfícies - que fornece uma descrição topológica de um domínio fundamental de. S e de um conjunto de geradores de π1 (S) - para. tentar achar uma representação ou realização hiperbólica de um domínio fundamental de. S. como um subconjunto de. H2 .. O Teorema de classicação das superfícies, descreve como obter uma superfície compacta. S. de gênero. n orientável à partir de um polígono e identicações neste polígono, tal. como no caso do Toro regular. P. no plano de. T 2. 4n. Para construir uma superfície de gênero. n,. tomar um polígono. lados, enumerar os lados à partir de um vértice. p0. da forma. −1 −1 −1 −1 −1 a1 , b1 , a−1 1 , b1 , a2 , b2 , a2 , b2 , . . . , an bn , an , bn e denir uma relação de equivalência. bi. e. b−1 i .. P ∼. A notação. −1 ai , a−1 i , bi , bi. ∼. em. P. identicando os lados. é um reexo do fato que as curvas. são laços fechados com classes de homotopia. {A − i, Bi }. é um conjunto de geradore de. πi (S). Ai , Bi. ai. e. a−1 i ,. ai ∼. e. e os lados. bi ∼. respectivamente, e o conjunto. satisfazendo. −1 Πni=1 Ai Bi A−1 = I. i Bi. Esta construção é puramente topológica, e para realizá-la geometricamente em utilizemos o modelo de Como. f. f. H2 ,. chamado de disco de Poincaré.. é uma transformação de Mobius, transforma retas e círculos perpendiculares. ao eixo horizontal em Sendo. H2. em. R2+. em retas ou círculos perpendiculares ao círculo. uma isometria entre. H2. e. (D, gH ),. temos que as geodésicas em. x2 + y 2 = 1 .. (D, gH ). são retas. e círculos perpendiculares ao círculo unitário. (ver gura 10). Corolário 1.58. todos iguais a. 2π 4n. Se. =. n > 2,. π . 2n. existe um polígono regular. C4n,tn. tal que os ângulos. 4n αtn. são.

(30) 28. Figura 10: (D, g). Utilizando o corolário 1.58 conseguimos mostrar o Teorema 1.57: existe uma métrica de curvatura. −1. em. a região limitada po. S.. Com efeito, seja. Cn. em. D. C4n,tn = Cn. que contém. o polígono regular da gura 11 e. (0, 0). m. ,t 0~ ~ αt. (. m−1 ~ m )π ~ αt , t m. Sn. + oo. 0. Figura 11: Ângulos e Polígonos Regulares em. Vamos mudar a notação das geodésicas. (D, g). γi,tn , 1 6 i 6 4n e denotá-las por ai , bi , ai−1 , b−1 i. de acordo com a notação do Teorema de classicação das superfícies, começando com. a1 = γ1,tn. e extendendo a nova notação para o resto das. D, bi : [0, 1] →. D, a−1 i. : [0, 1] →. D, b−1 i. γi0 s.. Parametrizar. ai : [0, 1] →. :→ [0, 1] → D, com velocidade constante, de forma. tal que o conjunto das parametrizações determine uma orientação anti-horária de o conjunto de pontos dos vértices de. Cn .. orientação tal que. −1 −1 −1 ai (0), ai (1), bi (0), bi (1), a−1 i (0), ai (1), bi (0), bi (1). Existe uma única transformação de Mobius. Tai. em. C4n,tn , e. seja o conjunto. (D, g) que preserva. −1 −1 Tai (ai ) = a−1 i , Tai (ai (0)) = ai (1), Tai (ai (1)) = ai (0).. (Lembremos. que toda transformação de Mobius é determinada pelas imagens de três pontos diferentes, ver gura 12)..

(31) 29. −1. a1. −1. b1 a2. b1. a. b. 1. 2 −1 a2. −1. b2. Figura 12: Transformações de Mobius e Identicações. Conclusão: O grupo. Γ = hTai , Tbi , i = 1, 2, . . . , 2ni gerado pelas transformações Tai , Tbi. é um subgrupo discreto de. D,. e o quociente. DΓ. é difeomorfo a. S.. 1.7 Noções Básicas de Geometria Riemanniana As referências para esta seção são [1] e [4].. Denição 1.59.. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é uma. correspondência que associa a cada ponto p tangente. Tp M. ∈. que varia no seguinte sentido. Se. denadas locais em torno de p, com. M, um produto interno. x : U ⊂ Rn → M. x(x1 . . . xn ) = q ∈ x(U ). h, ip. no espaço. é um sistema de coor-. ∂ (q) e ∂xi. = dx(0, . . . , 1, . . . , 0). então. h. ∂ ∂ (q), (q)iq = gij (x1 , . . . , xn ) ∂xi ∂xj. é uma função diferenciável em U, onde. Denição 1.60.. gij. é a expressão da métrica Riemanniana.. Uma variedade diferenciável M munida de uma métrica Riemanniana é. chamada variedade Riemanniana.. Denição 1.61.. Duas métricas. valentes se existirem constantes. g. e. g∗. em uma variedade riemanianna M são ditas equi-. 0<a6b. tais que para qualquer vetor tangente. v. em. TM a || v ||6|| v ||∗ 6 b || v || onde. ||; ||, ||; ||∗. denotam as normas com as métricas. g. e. g∗,. respectivamente.. Se M é variedade compacta, então duas métricas quaisquer em M são equivalentes.. Denição 1.62.. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma. correspondência que a cada ponto. p ∈ M,. associa um vetor. X(p) ∈ Tp M ..

(32) 30. Denição 1.63.. Sejam M, N variedades Riemannianas. O difeomorsmo. f :M →N. é. uma isometria se. − − − − − − h→ u ,→ v ip = hdfp (→ u ), dfp (→ v )if (p) , ∀p ∈ M ; → u ,→ v ∈ Tp M. Denição 1.64.. f :M →N. Seja. onde. dfp : Tp M → Tf (p) N. é injetiva para todo. p ∈ M.. Então f é dita uma imersão.. 1.7.1 Conexão Am Sejam agora reais de classe. C. X(M ) o conjunto dos campos vetoriais em M, e D(M) o anel das funções ∞. denidas em M.. Denição 1.65. Uma conexão am 5 em uma variedade diferenciável M é uma aplicação 5 : X(M ) × X(M ) → X(M ) que se indica por (X, Y ) → 5X Y. e que satisfaz as seguintes. propriedades:. 1). 5f X+gY Z = f 5X Z + g 5Y Z. 2). 5X (Y + Z) = 5X Y + 5X Z. 3). 5X (f Y ) = f 5X Y + X(f )Y. Onde. X, Y, Z ∈ X(M ). Proposição 1.66.. e. f, g ∈ D(M ).. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão am. 5.. Então,. existe uma única correspondência que associa a cada campo vetorial V ao longo da curva diferenciável. α:I⊂R→M. covariante de V ao longo de. um campo vetorial. α. DV ao longo de dt. α,. chamado de derivada. tal que, se w é um campo ao longo de. α. e. f : I ⊂ R → R,. então. 1). Df V dt. 2). D(V +W ) dt. =. df V dt. +. f DV dt. =. DV dt. +. DW dt. 3) Se dado um campo. Y ∈ X(M ). tal que. Y (α(t)) = V (t),. então. DV dt. = 5 dα Y dt. A conexão é dita compatível com a métrica quando para quaisquer campos de vetores. X, Y, Z ∈ X(M ). a equação. XhY, Zi = h5X Y, Zi + hY, 5X Zi. é sempre válida.. A conexão é dita simétrica, quando para quaisquer campos de vetores acontece. 5X Y − 5Y X = [X, Y ]. onde. [X, Y ] = XY − Y X .. X, Y, Z ∈ X(M ).

(33) 31. Teorema 1.67 (Levi-Civita).. Dada uma variedade M existe uma única conexão am. 5. em M que satisfaz:. 1). 5. é simétrica;. 2). 5. é compatível com a métrica.. A única conexão am. 5. que satisfaz o teorema anterior chama-se conexão de Levi-. Civita. Uma curva parametrizada no ponto. t0 .. Se. γ. γ : [a, b] → M. é uma geodésica em. é geodésica em t, para todo. t ∈ [a, b],. t0 ∈ [a, b]. dizemos que. γ. se. D dγ ( ) dt dt. =0. é uma geodésica.. Neste trabalho, todas as geodésicas serão consideradas de velocidade unitária.. 1.7.2 Variedades sem Pontos Conjugados Denição 1.68. Um tensor R de ordem r em uma variedade Riemanniana é uma aplicação multilinear. R : X(M ) × . . . × X(M ) → D(M ) | {z } r−vezes. Isto quer dizer que, dados. Y1 , . . . , Yr ∈ X(M ), R(Y1 , . . . , Yr ),. é uma função diferenciável. em M, e que R é linear em cada argumento, isto é:. R(Y1 , . . . , f X + gY, . . . , Yr ) = f R(Y1 , . . . , X, . . . , Yr ) + gR(Y1 , . . . , Y, . . . , Yr ) para todo. X, Y ∈ X(M ), f, g ∈ D(M ).. Denição 1.69.. Um campo de vetores J ao longo de uma geodésica. γ. é um campo de. Jacobi se. J 00 + R(γ 0 , J)γ 0 = 0 onde R é o tensor de curvatura Riemanniana de M e longo de. J0. é a derivada covariante de J ao. γ.. Denição 1.70. escrevemos. Se. v ∈ Tp S , v 6= 0,. expp (v) = γ(1, v). Lema 1.71.. e. é tal que. v γ(| v |, |v| ) = γ(1, v). está denido,. expp (0) = p.. Campos de Jacobi com condições iniciais perpendiculares ao vetor tangente. a geodesica são sempre perpendiculares..

(34) 32 Note que. γ(t). e. tγ(t). são campos de Jacobi ao longo de. apenas sobre a própria geodésica. γ.. Dois pontos p e q em. não-nulo, J ao longo de. γ. que nos dão informações. Por este motivo, ao estudarmos uxos geodésicos só. nos interessamos por campos de Jacobi perpendiculares a. Denição 1.72.. γ,. γ. γ.. são conjugados se existir um campo de Jacobi,. que se anula em p e em q.. Dizemos que uma variedade M é sem pontos conjugados se, para toda geodésica M, dois pontos quaisquer de para todo raio geodésico. γ. não são conjugados ao longo de. γ.. γ. de. De forma equivalente,. γ , e todo campo de Jacobi não trivial ao longo de γ com J(0) = 0, hJ, Ji(t) > 0, ∀t > 0. Seja M variedade sem pontos conjugados. Então, para cada p em M,. expp : Mp → M. é um recobrimento. Se M é variedade simplesmente conexa e sem pontos conjugados, vale que. i. Para todo p em M,. expp : Tp M → M. é um difeomorsmo;. ii. Dois pontos quaisquer de M são ligados por uma única geodésica.. 1.7.3 Fluxo Geodésico Denição 1.73. 0 (γ(p,v) (t), γ(p,v) (t)),. γ(p,v) (0) = p Sejam. v ||= 1},. O uxo geodésico da métrica g é o uxo tal que. 0 e γ(p,v) (0). γ(p,v). uma variedade Riemanniana completa,. o brado tangente unitário e. o recobrimento universal de. onde. γv. é geodésica para a métrica g, com as condições iniciais. = v.. M = HD. Temos que. ϕt : T M → T M : (p, v) →. {ϕt }. SM = {(p, v) ∈ SM ; ||. o uxo geodésico denido em. SM ,. onde. H. é. M.. {ϕt : SM → SM } são difeomorsmos denidos por, ϕt (p, v) = (γv (t), γv0 (t)),. é a geodésica em M com. γv (0) = p. e. γv0 (0) = v .. 1.7.4 Divergência Uniforme de Geodésicas A sequência. {pn } de pontos de H é dita divergente se não tem limite.. O raio geodésico,. começando em p, é chamado raio limite de tal sequência, se os segmentos geodésicos. γn ,.

(35) 33 ligando p a. pn. convergem para. γ,. isto é. γ 0 (0) = lim γn0 (0) n→∞. Os raios geodésicos começando em. p ∈ H. divergem uniformemente, se cada raio. geodésico com uma distância limitada a partir de uma sequência divergente. {pn }. é raio. limite dessa sequência. A divergência uniforme em p implica que quaisquer dois raios geodésicos. γ1 (t). e. γ2 (t). começando em p, divergem, isto é. lim d(γ1 (t), γ2 (t)) = ∞. n→∞. Proposição 1.74 (Resultado de Green).. Seja (M, g) uma superfície compacta, sem pon-. tos conjugados. Então os raios geodésicos divergem uniformemente em. f. M. maior do que 1 admite métrica de curvatura negativa. Para uma prova ver [22].. 1.8 Formas Diferenciais As referências para esta seção são [3] e [16].. Denição 1.75. α: U ÖRn → R. Uma. 1 − f orma. diferencial em um aberto. αp 0 ,. dada por. αp0 = α(p0 , v). ii.. αv0 ,. dada por. αv0 (p) = α(p, v0 ),. dxi. é uma aplicação. tal que,. i.. Seja. U ⊂ Rn. com. p0. xado, é linear;. é diferenciável.. denido como;. dxi (b1 e1 + . . . + bn en ) = bi Por (i),. α(p, v) = α(p, b1 e1 +. . .+bn en ) = α(p, b1 e1 )+. . .+α(p, bn en ) = α(p, e1 )b1 +. . .+α(p, en )bn = α(p, e1 )dx1 (v) + . . . + α(p, en )dxn (v) = a1 (p)dx1 (v) + . . . + an (p)dxn (v) Assim, podemos escrever.

(36) 34. α = a1 dx1 + . . . + an dxn =. Denição 1.76.. Uma. β : U ÖR ÖR → R n. i. ii.. n. βp 0 ,. dada por. β(v0 ,w0 ) ,. 2 − f orma. diferencial em. n X. ai dxi. i=1 n. U ⊂R. é uma aplicação. tal que,. βp0 = β(p0 , v, w),. dada por. β(p, v0 , w0 ). é bilinear alternada;. é aplicação diferenciável.. Escrevendo. v = a1 e1 + . . . + an en e. w = b1 e 1 + . . . + bn e n e denindo. dxi ∧ dxj (v, w) = ai bj − aj bi Temos que,. X. β(p, v, w) =. aij (p)dxi ∧ dxj (v, w). 16i<j<n Logo, podemos escrever. X. β=. aij dxi ∧ dxj. 16i<j<n Dadas duas 1-formas. α. e. β,. denimos. det. (α ∧ β)(p, v, w) = !. α(p, v) α(p, w) β(p, v) β(p, w). = α(p, v).β(p, w) − α(p, w).β(p, v) α∧β. é uma 2-forma, chamada o produto exterior de. Denição 1.77.. Uma n-forma diferencial em. η : U × Rn × . . . × Rn → R i. ii.. ηp0. tal que. é n-linear alternada;. ηv10 ,...,vn0. é aplicação diferenciável.. 1.9 Medida Uma referência para esta seção é [12].. α. U ⊂ Rn. e. β.. é uma aplicação.

(37) 35. Denição 1.78. coleção não vazia. Se X é um conjunto não-vazio, uma álgebra de conjuntos em X é uma. A ⊂ P(X). de subconjuntos de X que é fechada sob uniões nitas e. complementares, isto é:. i. Se. E1 , . . ., En ∈ A. ii. Se E. ∈ A,. então. Denição 1.79.. Sn. então. Ec =. X. i=1. \. E. Ei ∈ A.. ∈ A. σ -álgebra em X é uma álgebra que S se {Ei }i∈N ⊂ A, então i∈N Ei ∈ A.. Seja X um conjunto não-vazio. Uma. é fechada também sob uniões enumeráveis, ou seja,. Seja X um espaço topológico. abertos de X é chamada a. Então a. σ -álgebra. σ -álgebra. gerada pela família de conjuntos. de Borel de X, denotada por. são chamados de conjuntos de Borel.. Portanto,. Bx. Bx ,. seus elementos. inclui conjuntos abertos, conjuntos. fechados, interseções enumeráveis de conjuntos abertos, uniões enumeráveis de conjuntos fechados, e assim por diante.. Denição 1.80.. Seja X um conjunto equipado com uma. M. µ:M → [0, ∞]. é uma função. i.. σ -álgebra M.. Uma medida em. que satisfaz:. µ(∅) = 0;. ii. Se. P∞ S {Ei }i∈N ⊂ M é uma coleção enumerável disjunta, então µ( ∞ i=1 µ(Ei ) i=1 Ei ) =. (Propriedade da aditividade enumerável).. (X, M). M. é chamado um espaço mensurável. Os conjuntos em. juntos mensuráveis e. Denição 1.81.. (X, M, µ). Seja. são chamados con-. é chamado um espaço de medida.. (X, M, µ). um espaço de medida. Se. µ(X) < ∞. dizemos que. µ. é. uma medida nita.. Proposição 1.82.. Seja. (X, M, µ). i. (monotonicidade) Se ii. (subaditividade) Se. um espaço de medida. Valem as propriedades:. E, F ∈ M. e. E ⊂ F,. {Ei }i∈N ⊂ M,. iii. (continuidade por baixo) Se. então. então. µ(E) ≤ µ(F );. S P∞ µ( ∞ i=1 Ei ) ≤ i=1 µ(Ei );. {Ei }i∈N ⊂ M. e. E1 ⊂ E2 ⊂ . . .. , então. S µ( ∞ i=1 Ei ) = limi→∞ µ(Ei ); {Ei }i∈N ⊂ M e E1 ⊃ E2 ⊃ . . . e µ(En ) < ∞ para algum T∞ µ( i=1 Ei ) = limi→∞ µ(Ei ).. iv. (continuidade por cima) Se n, então.

(38) 36. Medidas completas. Denição 1.83.. Seja (X,. M, µ ). um espaço de medida.. Se. µ(E) = 0,. dizemos que E. é um conjunto de medida nula. Uma armação que é válida para todos os pontos x. ∈. X com exceção de pontos pertencentes a um conjunto de medida nula é dita armação verdadeira para quase todo ponto (q.t.p.).. Denição 1.84.. Uma medida que contém todos os subconjuntos de conjuntos de medida. nula é chamada uma medida completa.. 1.9.1 A Forma Elemento de Volume As referências para esta subseção são [16] e [24]. Orientar um espaço vetorial é escolher nele uma base, chamá-la de positiva e declarar também positivas todas as demais bases que dela se obtenham por meio de uma matriz de passagem com Seja. E. det > 0.. As demais bases chamamos de negativas.. um espaço vetorial de dimensão. Denimos uma forma. µ ∈ Am (E),. m, orientado e munido de um produto interno.. chamado o elemento de volume de. Tomemos uma base ortonormal positiva vetores. v1 , . . . , v m ∈ E ,. Seja. tem-se. i=2. {e1 , . . . , em }. aij ei ,. a = (aij ) a matriz m×m assim obtida.. A igualdade dene uma forma Provemos que matriz. vj =. Pm. µ. E.. Dada a sequência de. j = 1, . . . , m.. Por denição pomos. µ(v1 , . . . , vm ) = deta.. µ ∈ Am (E).. independe da escolha de base que zemos. Para isto introduzimos a. g = (hv1 , vj i),. produto interno. para cada. em. E.. na qual o elemento situado na i-ésimalinha e na j-ésima coluna é o. hvi , vj i.. Como. X X X hvi , vj i = h aki ek , asj es i = ak i ak j s. k vemos que. g = a∗ .a,. Em particular,. a∗. onde. detg > 0,. k. é a transposta da matriz. sendo. detg = 0. a.. Daí resulta que. se, e somente se, os vetores. detg = (deta)2 . v1 , . . . , vm. são. linearmente dependentes. Concluímos que. µ(v1 , . . . , vm ) > 0 de. E. e. µ(v1 , . . . , vm ) =. quando os vetores. µ(v1 , . . . , vm ) < 0. se a base. linearmente dependentes, tem-se. p. det(hvi , vj i); onde o sinal. é o sinal de. deta.. Assim,. v1 , . . . , vm. formam (nesta ordem) uma base positiva. v1 , . . . , vm. é negativa. (No caso de. µ(v1 , . . . , vm ) = 0). v1 , . . . , vm. serem.

(39) 37 A igualdade. µ(v1 , . . . , vm ) =. √. detg. mostra que a denição de. µ independe da escolha. de uma base. No caso. E = Rn , | deta | é o volume do paralelepípedo que tem como arestas os vetores. v1 , . . . , vm , de modo que µ(v1 , . . . , vm ) é o volume orientado. desse paralelepípedo, ou sej,. µ(v1 , . . . , vm ). um volume dotado de sinal. No caso geral tomaremos. como denição desse. volume. Seja. Tp M. M. uma superfície orientada. Para todo ponto. possui um produto interno (já que é um subespaço de. U0 → U. forma diferencial. µ,. de grau. volume do espaço vetorial Para. p ∈ M. paralelepípedo. M. e. m = dim.M. Tp M ,. de. µ1 , . . . , µm ∈ Tp M ,. [µ1 , . . . , µm ].. então, para cada. Se. ∂ϕ (u)). ( ∂u i. M ∈ Ck. p = ϕ(u) ∈ U ,. U. temos. e é orientado.. p = ϕ(u) ∈ U. Se. ϕ :. a base. Logo podemos introduzir uma. p ∈ M , µ(p) =. e. µ(p)(µ1 , . . . , µm ) =. ϕ : U0 → U. elemento de. volume orientado do. é uma parametrização de classe. Ck. temos. p g(u)du1 ∧ . . . ∧ dum e. Isto mostra que a forma é de classe. U ⊂ Rm. Tp M .. pondo, para cada. g(u) = det(gij (u), gij (u)) = h ∂u∂ϕ , ∂ϕ i, i (u) ∂uj (u). Se. Rn ). nos termos exibidos acima.. µ(x) = onde. o espaço vetorial tangente. é uma parametrização positiva em M, em cada ponto. { ∂u∂ϕ , . . . , ∂u∂ϕ } dene a orientação positiva de m (u) 1 (u). em. p ∈ M,. {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tp M )∗. é a base dual. C k−1 .. é um aberto, munido de sua orientação natural, o elemento de volume de. é a forma diferencial. µ = dx1 ∧ . . . ∧ dxm ..

(40) 38. 2 Pontos no Innito e Visibilidade. Seja M uma variedade Riemanniana conexa, completa de dimensão. n ≥ 2.. Assumire-. mos que as geodésicas têm velocidade unitária. Dizemos que uma geodésica é uma geodésica maximal se seu domínio for raio geodésico se seu domínio for o intervalo. R,. é um. [0, ∞), e que é um segmento geodésico se seu. domínio for um intervalo compacto. Seja H uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa e sem pontos conjugados. Se M não for simplesmente conexa podemos representar M como uma variedade quociente H. /. D, onde H é o recobrimento universal de M e D é o grupo das transformações de. recobrimento, isomorfo ao grupo fundamental. π1 (M ).. 2.1 Visibilidade Denição 2.1. .. (Axioma da Visibilidade Uniforme). Seja. f = H M. brimento universal de M. H é dita de visibilidade se, dados. R = R(p, ε) > 0. tal que se. σ : [a, b] → H. denotando o reco-. p ∈ H. é uma geodésica com. ε > 0,. existe. d(p, σ) ≥ R. então. e. ]p (σ(a), σ(b)) ≤ ε. Ou seja, se um segmento de geodésica importando o tamanho de. σ,. arbitrariamente pequeno em. σ. está sucientemente longe de. p. então, não. quaisquer dois de seus pontos subentendem um ângulo. p.. H é de visibilidade uniforme se, na Denição 2.1, R não depende de p.. M é de. visibilidade (uniforme) se H for de visibilidade (uniforme). Uma variedade M, sem pontos conjugados, satisfaz o axioma da visibilidade uniforme se seu recobrimento H, simplesmente conexo, o satisfaz.. Observação 2:. Uma variedade compacta M, com curvatura. K 6c<0. é variedade de.

(41) 39 visibilidade uniforme. No apêndice, mostraremos que uma superfície compacta de curvatura negativa igual a. −1. é de visibilidade.. Proposição 2.2. sicos em. f temos M. Seja. M. que. γ. e. uma variedade de visibilidade. Então dados. σ. Como tão. M. δi. é de visibilidade, dado. concluímos então que Daí. Se. σ. raios geodé-. e. > 0,. σ δi. existe. em. f saindo M. ligam. R > 0. γ(ti ). a. de um ponto. f p∈M. σ(ti ).. tal que se. d(p, δi ) > R. en-. Como estamos supondo que os raios geodésicos não divergem,. ]p (γ(t), σ(t)) → 0.. γ(t) = σ(t), ∀t.. Corolário 2.3.. γ. os raios geodésicos tais que. ]p (γ(t), σ(t)) 6 .. e. divergem.. De fato, suponhamos que os raios geodésicos não divergem. Sejam. γ. M. Logo,. γ. e. σ. divergem.. é uma variedade de visibilidade, não existe geodésica em. M. com. um único ponto no innito.. Observemos que em. (D, gH ),. as geodésicas não possuem um único ponto no bordo de. D. D γ. σ Nao ocorre. Figura 13: Um fato que não ocorre em. D. 2.2 Geodésicas Assintóticas Em toda esta seção H é de visibilidade uniforme. Se p e q são pontos distintos de H, tal que. γpq (0) = p, γpq (d) = q. com. γpq. denota a única geodésica de velocidade unitária. d = d(p, q)..