Resoluções das Atividades
Pré-Universitário | 1
Sumário
Aula 20 – Números binomiais ... 1 Aula 21 – Triângulo de Pascal e suas propriedades ... 3 Aula 22 – Binômio de Newton ... 5
01 A
n n
F ou
n n
4 6
4 6
4 6 10
=
=
+ =
=
( )02 B
Dados:
m p
m m p m
p
−
−
=
−
=
−
=
1 1 1055 1 ?
m m p
m
− p
=
, pois são binomiais complementares.
Pela Relação de Stifel, temos:
m p
m p
m p m
p
m m p
−
−
+ −
=
+ −
=
−
1 1
1
10 1
10++ −
=
−
= m
p m
p 1 55 1 45
Aula 20 Números binomiais Atividades para Sala
03 E
n
−
n n n
+ −
= −
15
1
6 2
2
Como os binomiais são consecutivos, temos:
n− n n
+ −
=
1
5
1
6 6
Comparando, temos:
n n n
n n n n n n n n
6 2
1 2 3 4 5
6 5 4 3 2 1
1
2
= −
⋅
(
−)
⋅ −( ) (
−) (
−) (
−)
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
((
−)
(
−) (
−) (
−) (
−)
= ⋅ ⋅ ⋅− = ∴ =
2
2 3 4 5 6 5 4 3
2 6 8
n n n n
n n
04 C
Nesse caso, é conveniente decompormos, pela Relação de Stifel, o segundo membro da equação.
16 6
15 5
15 6
=
+
Podemos, então, escrever:
15 5
15 15 5
15 6
+
=
+
x Logo: 15 15
6 6 6 15 9
x x ou x x
=
⇔ = + = ⇒ =
Portanto, a soma das raízes vale 15.
2 | Pré-Universitário VOLUME 5 | MATEMÁTICA 4
Atividades Propostas
01 D 100
97 2 100 98
100 99
102 98 100
97
+
+
+
+
+
+
+
100 98
100 98
100 99
102 98 101
98
+
+
+
= 101
99
102 98 102
99
102 98
103
99
02 C
Relação de Stifel
k k k
k k
+
+ +
= +
+
= +
1
2
1 3
2 5
2 3
2 5
⇔
= + = +
= +
= 3 5
3 5 2
8 2
6 ( )F ou
k k k 03 B
Aplicando a Relação de Stifel, temos:
7 2
7 3
8 4
9 5
8 3
8 3
+
+
+
=
+
88 4
9 5
9 4
9 5
9 4
10 5
+
=
+
=
=
= ⋅ =
10 5
10 5 5! 252
! ! 04 E
40 10
40 11
41
+
=
n
Aplicando a propriedade dos binomiais consecutivos, temos:
40 10
40 11
41 11
+
=
Comparando, temos:
41 11
41
=
n Binomiais complementares 11 = n
ou
11 + n = 41 ∴ n = 30 05 E
Queremos a quantidade de números ímpares entre 5.000 e 9.000 usando os algarismos 5, 6, 7 e 9.
Com isso, o número deve começar por 5, 6 ou 7.
5
3 2 1
6 + 6 + 6 = k
=
ou 6 ou
3 2 1 7
3 2 1
Logo: k = 18 k
k
−
−
=
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ 4
8 14 10
14 10 4
14 13 12 11 10 10 4 3 2
7
1
!
! !
!
! ⋅⋅ =
1 1 001.
06 A
D=
12
3 12
9 6
13 6
13
7 1
14 9
14 5
!
!
4!
Note que:
12 3
12 9 13
6 13
7 14
9 14
5
=
=
=
Com isso, teremos duas colunas iguais cujo determinante é zero.
Portanto D = 0 Substituindo, temos:
(D + 2)! + 3D ⇒ (0 + 2)! + 30 ⇒ 2! + 1 ⇒ 2 + 1 = 3 07 D
q q
Note que
q q q
+
− +
=
+
= +
+ + 4
5
3
4 6
4 5
3 4
3 5 :
+
+ +
− +
= Substituindo temos
q q q
, :
3 4
3 5
3 4 66 3
5 6
3 5
6 5 q
q
+
=
+
=
q q
Note que
q q q
+
− +
=
+
= +
+ + 4
5
3
4 6
4 5
3 4
3 5 :
+
+ +
− +
= Substituindo temos
q q q
, :
3 4
3 5
3 4 66 3
5 6
3 5
6 5 q
q
+
=
+
=
q q
Note que
q q q
+
− +
=
+
= +
+ + 4
5
3
4 6
4 5
3 4
3 5 :
+
+ +
− +
= Substituindo temos
q q q
, :
3 4
3 5
3 4 66 3
5 6
3 5
6 5 q
q
+
=
+
=
Como os binomiais são iguais, temos:
q + 3 = 6 ∴ q = 3 08 D
50 10
50 39
51 41 50
10 50 40
+
+
= Sabemos que:
+
Com isso temos
Bino ais con
, :
secmin
50 40
50 39
uutivos
+
51 41
51 51 52 52
VOLUME 5 | MATEMÁTICA 4
Pré-Universitário | 3
5010 50 40
= Sabemos que:
+
Com isso temos
Bino ais con
, :
secmin
50 40
50 39
uutivos
Bino ais con
+
+
51 41
51 40
51 41
seecutivosmin
=
⇒
52 41
52 11
09 E n n
n n
n n
n n Colocan
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
3 2
5 2
4 3
3 1 d
do na ordem temos n
n
n n
Bino ais con
, :
secmin
+ +
+ + +
3 1
3 2
uutivos
n n
n n
n n
n
+ +
+
+ + +
+ +
+ +
4 3
5 2
4 2
4 nn
n n
n n
Bino ais con utivos
+
+ + +
+
3
5 2
5
secmin
++
+ + +
= + 3
5 2
6 n
n
n n
Bino ais con minutivos
sec
++
3 n
n
n n
n n
n n Colocan
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
3 2
5 2
4 3
3 1 d
do na ordem temos n
n
n n
Bino ais con
, :
secmin
+ +
+ + +
3 1
3 2
uutivos
n n
n n
n n
n
+ +
+
+ + +
+ +
+ +
4 3
5 2
4 2
4 nn
n n
n n
Bino ais con utivos
+
+ + +
+
3
5 2
5
secmin
++
+ + +
= + 3
5 2
6 n
n
n n
Bino ais con minutivos
sec
++
3
10 E
a n
n
n n n n
n n n
n n n n
b n
n
n
n
=
=
( )
(
−)
=( )
=( ) (
−)
=
2 2
2
2 2
1 2
!
! !
!
! !
!
! !
−−
=
( )
(
−)
− −( )
=( ) (
−) (
+)
⇒⇒
( )
1
2
1 2 1
2
1 1
2
n
n n n
n
n n
n
!
! !
!
! !
!!
! !
!
! !
!
! !
n n n
a b n
n n n
n
n n n
a b
n n
n
(
−) (
+)
− =
( )
(
−)
−( )
(
−) (
+)
−
1 1
2 1
2
1 1
nn
n n
n
n n n n
a b n
n n
n n
n n
=
( )
(
−)
− +
− =
( )
(
−)
⋅ + −+2 1
1 1
1 2
1
1 1
!
! !
!
! !
(( )
− =
( )
(
−)
⋅ ⋅ +( )
=( )
⋅ −
( )
a b n
n n n n
n n n n
n n
n
2 1
1 1
2 1
!
! !
!
! !
!
⋅ +
− =
( )
⋅+
− =
+ ⋅
1 1
2 1
1 1
1
n
a b n
n n n a b
n a
n n
n n n
!
! !
01 A
Seja n a quantidade de saladas de frutas que podem ser feitas considerando apenas os tipos de frutas. Segue que:
n
=
+
+
+
5 2
5 3
5 4
5 5
Segue pelo Teorema das Linhas do Triângulo de Pascal que:
5 0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
+
+
+
+
+
n
=
+ + = ⇒ =
2
1 5 32 26
5
n n
02 C
n ⇒ número de sanduíches C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 = n
C6,0 + C6,1 + C6,2 + C6,3 + ... + C6, 6 = n + C6,0 + C6,1 + C6,2 26 = n + 1 + 6 + 15
64 = n + 22 n = 64 – 22 n = 42 Cálculo auxiliar:
C6 2
6 2 4
6 5 4 2 4 15
,
!
! !
!
= = · ·! =
· 03 C
Pelo Teorema da Coluna, temos:
n n
n n
n n
n k n
n k n
+ +
+ +
+ + +
= + +
+
1 2 1
... 1
+
+
+
+
=
3 3
4 3
5 3
6 3
7 3
8 4 04 A
Se a = 0 e b = 18, temos: 18 0 18
18 0
!
!⋅ !=
Se a = 1 e b = 17, temos: 18 1 17
18 1
!
!⋅ !=
Se a = 2 e b = 16, temos: 18 2 16
18 2
!
!⋅ !=
.
. .
Se a = 18 e b = 0, temos: 18 18 0
18 18
!
! !⋅ =
Logo, a soma de todos os valores é dada por:
18 0
18 1
18 2
18
18 218 23 6 86
+
+
+ +
= =
( )
=...
Aula 21 Triângulo de Pascal e suas propriedades
Atividades para Sala
VOLUME 5 | MATEMÁTICA 4
01 C m
p x m
p m
p y
m p
m p
m
= +
= +
+
=
+ +
= + 1 1
1 1
?
11 1 1
1
p
x m
p y
m
p y x
+
+ +
= +
= − 02 C
n n n n
n Com isso temos
n
0 2 4 1
0
+
+
+ + −
...
, :
+
+
+ + −
+
=
n n n
n n n n
n
1 2 1 2
0
...
+
+ +
=
+
+ + −
n n −
n
n n n
n
n
2 2
1 3 1
... 1
...
=2n−1 03 D
Considerando o Triângulo de Pascal, temos:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Comparando com a linha dada na questão, temos:
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 10 45 k z 252 z k 45 10 1 k = 120
k + z = 330 z = 210
Atividades Propostas
114
11 10 9 8 4 3 2 1 330
3
= . . . =
. . . 04 D
N= i
=
+
+
+ +
= 40
2 40
0 40
2 40
4
40
... 40 22 2
39 39
40 1 39
0 20
2 2
2
2 12 39
−
=
=
= = =
∑
ilogN log log . Portanto,
05 D 11
0 12
1 13
2 14
3
110 99 2 1
+
+
+
+ +
+
... 111
100 111 101
111 99
111 100
111 100
+
+
+
+
+
111 101
112 100
112 101
113 101
06 B K
i
= +
=
+
+
+ +
∑
= 24 120 201 203 205 1920 09
...
⇒220 1− =219
⇒
Portanto, 38k=38219 = 2. 07 B
C C C C
C C C C
p p p p p
p p p p
, , , ,
, , ,
1 2 3 ... 1
0 1 2
+ + + + =510
+ + +
−
Sabemos que:
,, , ,
, ,
3 ... 1
0
2 2 510
2 510 1
+ + + =
= + +
= +
C + C
C C
p p p p p
p
p p p
p
Logo, temos:
++
=
= ⇒ =
1 2 512
2 29 9
p
p p
08 B
I. (V) É aplicado o Teorema da Linha:
n n n n
n n n n n
0 1 2 1 2
+
+
+ + −
+
= ∈
... , N
II. (V) Temos binomiais complementares.
Pré-Universitário | 5
01 BO termo geral do binômio x x
n 2+3
é:
T n
p x
p x
n p p
+
= −
⋅
( )
⋅ 1 2 3
Se os coeficientes binomiais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então n n
3 12 n 3 12 15
=
⇔ = + = .
Logo:
Tp+1 = 15 2 15 3
p x
x
p p
⋅
( )
− ⋅
15 3
15 3
30 2
30 3
p x x
p x
p p
p
p p
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de x, deve-se ter 30 – 3p = 0 ⇔ p = 10.
Portanto, o tempo pedido é o décimo primeiro.
02 E x – y = 1
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 = 16 ⇒ (x + y)4 = 16 x + y = 416 x + y = 2
Aula 22 Binômio de Newton Atividades para Sala
Atividades Propostas
01 B 5
0 2 5
1 2 5
2 2 5
5
5 4 3
⋅ −
( )
+
⋅ −
( )
+ (
−)
+ +
x x x ... =
(
−)
(
+ −)
=(
−) (
−)
=(
−)
7 13
1 2 7 13
1 7 13
5
5 5
5 5
x
x x
x x
n k
n n k k n k n k
ou k n k n
= −
= − ∴ = + − =
2
III. (F) 50 44
50 6
=
09 E
1444442444443 1444442444443
210 – 1 210 – 1
10 0
10 2
10 10
10 1
10 3
+
+ +
−
+
...
+ +
= ... 10
9 0
10 C
A soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1:
2n + 2n+1 = 2n + 2n · 2 = 3 · 2n
x – y = 1 x + y = 2 2x = 3 x = 3 2 03 B
O termo geral do binômio é dado por:
Tp p p p
p p
+ = − p
⋅ ⋅
=
(
−)
⋅1 10 10
1 1
3
10 10
1 3
!
! !
Como 10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 34 · 10 · 8 · 7 · 2 · 5 · 4 · 2, segue que a maior potência de 3 que divide 10! é 34. Assim, p ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Desses valores, os únicos que pro- duzem parcelas inteiras são 0 e 2. Portanto, duas parcelas do binômio dado são números inteiros.
04 A Dados:
C
i am am
t meses
=
= =
=
1 000 00
1 1
100 100
. ,
% . . . .
M C
= ⋅ + =
it⋅ +
(1 ) 1 000 1. 1
100
100
1442443
1442443 1442443 1442443
1 1
M= ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
1 000 100
0 1 1
100
100
1 1 1
100
100
0
. 99
+
⋅ ⋅
+ +
⋅ ⋅
1
98
2
100 0
2 1 1
100
100
100 1 1
... 100
100
99
200 1001
100
M
M
= ⋅ + + + +
= + +
1 000 1 1 99 200
1 100 1 000 1 000
100
. ...
( . . 4495 1 000 1 100 2 495 1 000 1
100
100
100
) .
. .
+ ⋅
= +
M
M= ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
1 000 100
0 1 1
100
100
1 1 1
100
100
0
. 99
+
⋅ ⋅
+ +
⋅ ⋅
1
98
2
100 0
2 1 1
100
100
100 1 1
... 100
100
Logo, o montante resgatado é maior que 2.495 e menor que 4.600.
VOLUME 5 | MATEMÁTICA 4
Comparando, temos:
x – 1 = 7x – 13 13 – 1 = 7x – x 6x = 12 ∴ x =2
Portanto, (x – 2)6 = (2 – 2)6 = 06 = 0.
02 B
Utilizando o Binômio de Newton, temos:
(a + b)5 = a5 + 5 · a4 · b + 10 · a3 · b2 + 10 · a2 · b2 + 5 · a · b4 + b5 (a – b)5 = a5 – 5 · a4 · b + 10 · a3 · b2 – 10 · a2 · b2 + 5 · a · b4 – b5 (a + b)5 – (a – b)5 = 10a4 · b + 20 · a2 · b3 + 2b5
Logo:
2 3 5 2 3 5 10 2 3 5 20 2 3 5 2 5
2 3 5 2 3 5
5 5 4 2 3 5
5 5
(
+)
−(
−)
= ⋅( )
⋅ + ⋅( )
⋅ + ⋅(
+)
−(
−)
== + +(
+)
−(
−)
=1 440 5 1 200 5 50 5 2 3 55 2 3 55 2 690 5
. .
. 03 A
0 2 4 0
4 1
4 2
4 3
4 3 2
,
cos cos cos
[
π]
⋅ −
⋅ +
⋅ −
x x x ⋅cos x 1 0+ = (cos x – 1)4 = 0
cos x – 1 = 0 cos x = 1 x = 360o
Portanto, sen 3 360o sen o sen o
4 3 90 270 1
⋅
= ⋅ = = − .
04 C
Pelo termo geral, temos:
10 4 10 1 10 40 5
p x
x p x
p p
p
( )
− ⋅ ⇔ ( )
−Considerando 40 – 5p = 0, temos p = 8.
Fazendo p = 8, temos:
10
8 40 5 8 45
⋅x − ⋅ = 05 E
(αx + βy)5
T p y x
T y x x y
T
p
p +
= −
⋅
( )
⋅( )
=
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
1
2 5
2 4 4 4 4
3
5
5
1 5
β α
β α βα
==
⋅
( )
⋅( )
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅5 2
5 2
5 4 2
2 3 2 2 3 3
2
2 3 3 2
βy αx β y α x β α x y
==
= ∴ ⋅ = ∴
10 5 10
240 720
1 2
1 3
2 3 3 2
4 2 3
β α
βα β α
α β
α β x y
Comparando temos, :
==2 3 Para p = 1, temos:
Para p = 2, temos:
06 A
(2000)11 = (2 · 103)11 = 211 · 1033 2048 · 1033 = 2048000 0
33 ...
zeros 20 48 7
14 293 6463
18 21 3
’ ____
____
_____−
−
Portanto, (7 · 293 – 3)11 logo, o algarismo é 3.
07 B (x – 2y)18
A soma dos coeficientes acontece quando x = 1 e y = 1, logo: (1 – 2(1))18 = (1 – 2)18 = (–1)18 = 1
08 A
C22 C32 C24 C182 C193
3
19 3 19 18 17
3 2 1 57 17 9
+ + + + = =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ =
...
669
09 B
(sen x + cos x)6 x = sen x a = cos x n = 6
Tp+ =p xP sen x −p
⋅
( )
⋅( )
1
6 6
cos
Termo médio 4o para n = 3 6
3
5 2 6 5 4
3 2 1
5 2 20
3 3
3
4
⋅
( )
⋅( )
=⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(
⋅)
=⋅ cos
cos
c
x sen x x sen x
o os
cos cos
cos x senx sen x x sen x x
sen x x sen
(
⋅)
=(
⋅)
=⋅ =
⋅ =
3 1
3
5 2 1 8 1 2
2 1
22 1
2 90
2 90 360
45 180
0 45 1
x sen x sen
x k
x k
k x q
k
o o
=
=
= + ⋅ °
= ° + ⋅ °
= ⇒ = ° °
=
( ) 11⇒ =x 225° (3°q)
Pré-Universitário | 7
10 DT T
x y
n n + +
=
2 3
3 12 (x + 3y)2n+5 Sabemos que:
x ⇒ x a ⇒ 3y n ⇒ 2n + 5 Termo geral:
T n
p a x
T n
p y x
T T
p p n p
p
p n p
n n
+ −
+ + −
+ +
=
⋅ ⋅
= +
⋅
( )
⋅1
1 2 5
2
2 5 3
33
1 2 5 1
2 2
2 5
1 3
2 5
2 3
= + +
⋅
( )
⋅ ++
⋅
( )
⋅+ + − −
+
n
n y x
n
n y x
n n n
n nn n
n n
n
n n
n
n n
y
+ − −
+ − −
(
+) (
+) (
+)
(
+) (
+) (
+)
⋅
( )
5 2
1 2
2 5
1 4
2 5
2 3
3
!
! !
!
! !
⋅⋅
(
+)
(
+) (
+)
⋅(
+) (
+)
(
+)
⋅( )
⋅+ +
−
x x n
n n
n n
n y x
n n 4 3
2 5 1
1 4
2 3
2 5 3
!
! !
! !
!
nn n
n n n
n n n y x n
n
+ − −
(
+)
⋅(
+)
⋅(
+)
(
+)
⋅ +( ) (
+)
⋅ ⋅ = ++4 3
2 1 3
1 4 3
1 3
2 4
! !
! ! ⋅⋅
+
+ ⋅ = ⇒ +
+ =
+ = + ⇒ + = + ⇒
x y n
n x
y x
y n n
n n n n
3 2
4 3 3 12
2 4
9 12
4 2 3 4 4 8 3 12
3
( ) ( ) nn=4
