EXAME UNIFICADO DAS P ´OS-GRADUAC¸ ˜OES EM F´ISICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2015-1
Primeiro Semestre de 2015 - 24 de outubro de 2014
AS 6 QUEST ˜OES S ˜AO OBRIGAT ´ORIAS.A PROVA TEM DURAC¸ ˜AO M ´AXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
Problema 1: A esta¸c˜ao espacial internacional ´e um sat´elite artificial que comporta astronautas e se localiza a uma distˆancia entre 330 e 430 km da superf´ıcie da Terra. (Dados: considere π = 3, raio da Terra R⊕ = 6 × 103 km e acelera¸c˜ao gravitacional na superf´ıcie da Terra g = 10 m/s2).
a) Se a esta¸c˜ao estiver em ´orbita estacion´aria (mesma velocidade angular que a Terra), calcule a ace-lera¸c˜ao centr´ıpeta em unidades de km/h2 associada ao movimento da esta¸c˜ao numa ´orbita a 400 km de altitude.
b) Calcule a acelera¸c˜ao gravitacional (devido ao campo gravitacional Terrestre) da esta¸c˜ao espacial em uma ´orbita a 360 km de altitude.
c) Suponha que um dos m´odulos acoplados `a esta¸c˜ao espacial possa funcionar como uma espa¸conave. Desejando escapar do campo terrestre, a espa¸conave ejeta-se em uma trajet´oria radial. Determine qual deve ser a velocidade da espa¸conave, em metros por segundo, ao atingir 1200 km de altitude para que ela consiga escapar da regi˜ao de influˆencia do campo gravitacional da Terra.
Problema 2: Considere um recipiente isolado contendo uma parede interna que o separa em dois volumes iguais, conforme a figura abaixo. No lado esquerdo, h´a n moles de um g´as ideal `a temperatura T0 enquanto o lado direito encontra-se em v´acuo. Adote como R a constante universal dos gases.
Vacuo
Figura 1: Recipiente isolado contendo uma parede divis´oria que separa em uma metade um g´as ideal e na outra metade v´acuo.
a) Suponha que a parede divis´oria seja subitamente removida, de modo que o g´as sofra uma expans˜ao livre. Determine o trabalho realizado pelo g´as e sua varia¸c˜ao de entropia nesse processo.
b) Considere a energia livre de Helmholtz, definida por F = U − T S, sendo U a energia interna, T a temperatura e S a entropia. Determine a varia¸c˜ao ∆F da energia livre para a expans˜ao livre do g´as e mostre que o decr´escimo de F ´e igual ao trabalho que o sistema executaria em uma expans˜ao revers´ıvel equivalente.
Problema 3:
a) Mostre que o campo magn´etico produzido por um fio retil´ıneo (de espessura desprez´ıvel) infinito carregando uma corrente I ´e dado por
~
B = µ0I 2πs
ˆ φ
onde s ´e a distˆancia perpendicular ao fio e ˆφ ´e o vetor unit´ario ao longo da dire¸c˜ao azimutal em torno do fio.
b) Considere 3 fios idˆenticos ao do item a) paralelos entre si. A distˆancia entre dois fios consecutivos ´e d e eles est˜ao no mesmo plano. Cada fio carrega uma corrente I na dire¸c˜ao +ˆy (veja a Fig.2). Calcule as localiza¸c˜oes no eixo x dos dois zeros do campo magn´etico.
c) Se o fio do meio ´e deslocado rigidamente de uma pequena distˆancia z (z d) fora do plano defi-nido pelos fios, enquanto os outros dois s˜ao mantidos fixos, descreva qualitativamente o movimento subsequente do fio do meio.
Figura 2: Trˆes fios paralelos com corrente I ao longo dire¸c˜ao do eixo y.
Problema 4: Uma onda eletromagn´etica plana monocrom´atica, de comprimento de onda no v´acuo λ0 e propagando-se ao longo da dire¸c˜ao z, incide perpendicularmente sobre uma lˆamina de espessura d,
feita de um material opticamente ativo. Tal material possui dois ´ındices de refra¸c˜ao diferentes, n+ e n−,
para a luz circularmente polarizada `a esquerda e `a direita, respectivamente. Isso faz com que o plano de polariza¸c˜ao de uma onda incidente, linearmente polarizada, gire continuamente, enquanto tal onda atravessa o meio.
a) Se a onda incidente tiver uma polariza¸c˜ao linear arbitr´aria, ela pode ser descrita, na representa¸c˜ao complexa, pelo vetor campo el´etrico
Escreva a express˜ao para o vetor campo el´etrico dessa mesma onda, quando a mesma for representada como uma superposi¸c˜ao de uma onda circularmente polarizada `a esquerda e uma onda circularmente polarizada `a direita.
b) Suponha que (n+− n−)d = λ0/3. Mostre que, se a onda incidente for linearmente polarizada, ela
ter´a seu plano de polariza¸c˜ao girado de θ = π/3, no sentido hor´ario, ap´os atravessar a lˆamina. c) Suponha, agora, que a onda incidente do item b) tenha amplitude E0 e que seu plano de polariza¸c˜ao
fa¸ca um ˆangulo θ = π/3 com a dire¸c˜ao x. Escreva as express˜oes para o vetor campo el´etrico da onda, imediatamente antes da mesma incidir sobre a lˆamina e imediatamente ap´os a mesma atravessar a lˆamina.
Problema 5: Considere o problema unidimensional de uma part´ıcula de massa m sujeita a um potencial V (x) = −αδ(x), onde α ´e uma constante positiva e δ(x) ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac. Seja E a energia da part´ıcula, tal que E < 0 (estado ligado).
a) A partir da equa¸c˜ao de Schr¨odinger e impondo continuidade de fun¸c˜ao de onda, encontre a autofun¸c˜ao de onda normalizada com energia E (por comodidade, defina k ≡√−2mE/~).
b) Mostre que este potencial admite uma ´unica solu¸c˜ao de estado ligado, encontrando o autovalor de energia deste estado.
Problema 6: Seja um oscilador harmˆonico quˆantico unidimensional, cuja Hamiltoniana est´a dada por H = P 2 2m + 1 2mω 2X2 .
Definem-se os operadores a e a† como a = √1 2 ˆX + iˆP , a† = √1 2 ˆX − iˆP com ˆ X =r mω ~ X e ˆP = √ 1 mω~P . a) Mostre que [a, a†] = 1 e escreva a Hamiltoniana em termos de a e a†.
b) Sendo |ϕEi um autoestado da Hamiltoniana com autovalor de energia E, ou seja H|ϕEi = E|ϕEi,
mostre que o estado a|ϕEi tamb´em ´e autoestado da Hamiltoniana, com autovalor E − ~ω.
c) Seja |0i o estado fundamental. Sabendo que todos os autovalores de energia s˜ao positivos, encontre o autovalor de energia, E0, e a autofun¸c˜ao na base X, ϕ0(x) ≡ hx|0i, do estado fundamental. (Dica:
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First Semester 2015 - October 24
th, 2014
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Problem 1: The international spatial station (ISS) is a habitable artificial satellite that hover the planet at a distance between 330 and 430 km from Earth’s surface. (Data: consider π = 3, Earth’s radius R⊕ = 6 × 103 km and gravitational acceleration at Earth’s surface g = 10 m/s2).
a) Consider that the ISS goes in a stationary orbit (same angular velocity that of Earth), determine the centripetal acceleration in units of km/h2 associated with the station orbit at an altitude of 400 km. b) Calculate the gravitational acceleration (due to Earth’s gravitational field) of the spatial station in
an orbit at altitude of 360 km.
c) Assume that one of the ISS modules can operate as a spacecraft. Aiming to escape from Earth’s field, the spacecraft eject itself in a radial trajectory. Determine the velocity, in meters per second, the spacecraft has at an altitude of 1200 km to allow it to escape from the region of influence of Earth’s gravitational field.
Problem 2: Consider an insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical volumes, according to the figure below. In the left side, we confine n moles of an ideal gas at temperature T . In the right side, we keep vacuum. Denote by R the gas universal constant.
Vacuum
Figure 1: Insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical volumes, containing an ideal gas at left side and vacuum at right side.
a) Suppose the inner wall is suddenly removed, so that the gas undergoes a free expansion. Determine the work performed by the gas and its entropy variation in this process.
b) Consider the Helmholtz free energy, defined by F = U − T S, being U the internal energy, T the temperature, and S the entropy. Determine the variation ∆F of free energy in the free expansion of the gas and show that the decrease of F is equivalent to the work that the system would perform in an equivalent reversible expansion.
Problem 3:
a) Show that the magnetic field produced by an infinite straight wire (with negligible thickness) carrying a current I is given by ~ B = µ0I 2πs ˆ φ
where s is the perpendicular distance to the wire and ˆφ is the unitary vector at the azimuthal direc-tion around the wire.
b) Consider three wires identical to that of item a), parallel to each other. The distance between two consecutive wires is d and they are in the same plane. Each wire carries a current I in the same direction (see Fig.2). Calculate the location in the x axis of the two zeros of the magnetic field.
c) If the middle wire is rigidly displaced by a small distance z (z d) outwards of the plane defined by the wires, while the other two wires are held fixed, describe qualitatively the subsequent motion of the middle wire.
Figure 2: Three infinite wires carrying a current I in the +ˆy direction.
Problem 4: A plane monochromatic electromagnetic wave of wavelength λ0 in vacuum, propagating
along the z direction, impinges perpendicularly on a plate of an optically active material of thickness d. Such material has two different indices of refraction, n+ and n−, for left and right circularly polarized
waves, respectively. As a result, an incident linearly polarized electromagnetic wave has its plane of polarization continuously rotated as the wave propagates through the medium.
a) If the incident electromagnetic plane wave is linearly polarized, its electric field can be written, in complex notation, as
E(+)(r, t) = (Exˆx + Eyˆy) ei(k0z−ω0t).
Write down the electric field of this electromagnetic wave as a superposition of left and right circularly polarized waves.
b) Suppose that (n+− n−)d = λ0/3. Show that the plane of polarization of a linearly polarized incident
wave is rotated by an angle θ = π/3 in the clockwise direction after the propagation through the whole plate.
c) Consider now that the incident wave described in b) has an electric field amplitude E0 and is linearly
polarized such that its polarization plane makes an angle of θ = π/3 with respect to the x direction. Determine the electric field of this wave immediately before and immediately after the propagation through the plate.
Problem 5: Consider the one-dimensional problem of a particle of mass m subjected to a potential V (x) = −α δ(x), where α is a positive constant and δ(x) is the Dirac delta function. The particle has energy E with E < 0 (bound state).
a) Using Schr¨odinger’s equation and imposing continuity of the wave function, find the normalized eigenfunction with energy E (for simplicity, define k ≡√−2mE/~).
b) Show that this potential admits only one bound state solution by obtaining the energy eigenvalue.
Problem 6: An one-dimensional quantum oscillator is described by the Hamiltonian H = P 2 2m + 1 2mω 2 X2 . The operators a and a† are defined as
a = √1 2 ˆX + iˆP , a† = √1 2 ˆX − iˆP with ˆ X =r mω ~ X and ˆP = 1 √ mω~P . a) Show that [a, a†] = 1 and express the Hamiltonian in terms of a and a†.
b) If |ϕEi is an eigenstate of the Hamiltonian with energy eigenvalue E, e.g. H|ϕEi = E|ϕEi, show that
the state a|ϕEi is also an eigenstate of the Hamiltonian, with energy eigenvalue given by E − ~ω.
c) Let |0i be the ground state. Knowing that all energy eigenvalues are positive, find the energy eigenvalue, E0, and the eigenfunction in the X basis, ϕ0(x) ≡ hx|0i, of the ground state. (Hint:
