ÊÆÌÇ ËÊ ÊÇÁÆËÃÁ ÍÅ ËÌÍÇ ÅÌÇÇË ËÈÌÊÁË ÊÁÎÇ ÖØÓ ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓÖÑ È ¹ÖÙÓ Ñ ÅØÑ Ø ÔÐ ËØÓÖ Ò ÜØ ÍÒÚÖ ÖÐ Ó ÈÖÒ ÓÑÓ ÖÕÙ ØÓ ÔÖÐ ÓØÒÓ Ó ØØÙÐÓ Å ØÖ Ñ ÅØÑ Ø Ôк ÇÖÒ

RENATO CESAR BRODZINSKI

UM ESTUDO DE MÉTODOS

ESPECTRAIS DE DERIVAÇO

UM ESTUDO DE MÉTODOS

ESPECTRAIS DE DERIVAÇO

Dissertação apresentada ao Programa

de Pós-Graduação emMatemáti a

Apli ada,Setor de Ciên ias Exatas,

Universidade FederaldoParaná, omo

requisitopar ial à obtenção dotítulo

de Mestre emMatemáti a Apli ada.

Orientadora: Prof. a Dr. a Ailín Ruiz de Zárate Fábregas CURITIBA

À professora Ailín Ruiz de Zárate Fábregas pelaorientação,

ensinamen-tos, in entivos e prin ipalmente por ter me a olhido nos momentos que eu

mais pre isava.

Àminha ompanheiradetodososmomentosJanainaS hoeel,queagora

agrega o sobrenome Brodzinski, pelo apoio in ansável e inestimável, pela

ompreensãoin ondi ionaldeminhasimperfeiçõeselimitaçõesepelavaliosa

ajuda dadadurantea realização deste trabalho.

Neste trabalho são estudados quatro métodos espe trais de derivação, que

são baseados nas Transformadas de Fourier Semidis reta e Dis reta. Estes

métodos foram testados e omparados em MATLAB usando funções

gaus-sianas e funções sin . Estas funções não são periódi as em

R

, então foram restritasaointervalor

π, π

s. Apesardosmétodosdis retosserem estabele i-dos para funções periódi as, onstatou-seque, quando ofenmeno de Gibbs

é de baixa intensidade, eles tiveram melhor desempenho do que os

méto-dos semidis retos trun ados. Quando o fenmeno de Gibbs ausa grandes

os ilações, osmétodos semidis retos foramum pou omais pre isos.

Palavras- have: Método espe tral. Derivação numéri a. Transformadas de

Inthisworkfourdierentiationspe tralmethodsarestudied,whi harebased

onSemidis reteandDis reteFourierTransforms. Thesemethodsweretested

and ompared in MATLAB using Gaussian fun tions and sin fun tions.

These fun tionsare not periodi in

R

,so they were restri ted tothe interval r

π, π

s. Althoughthe dis rete methods are designed for periodi fun tions, it was found that, when the Gibbs phenomenon is of low intensity, they

had betterperforman e thanthetrun atedsemidis retemethods. When the

Gibbsphenomenon leadstolargeos illations,the semidis retemethodswere

a littlebitmore a urate.

3.1 Métodoespe tral apli adoà função gaussiana . . . 31

3.2 Métodoespe tral apli adoà função delta . . . 34

3.3 Métodoespe tral apli adoà função delta periódi a . . . 43

4.1 Função theta de Ja obi . . . 56

4.2 Aproximação dafunção theta de Ja obi . . . 58

4.3 Convergên ia datheta de Ja obi para a gaussiana . . . 58

4.4 Erros dos métodos ao aproximar afunção gaussiana . . . 60

4.5 Erros dos métodos ao aproximar afunção gaussiana . . . 61

4.6 Erros dos métodos ao aproximar aderivada dagaussiana . . . 62

4.7 Erros dos métodos ao aproximar aderivada dagaussiana . . . 63

4.8 Diferença entre asfunções sin e sin periódi as . . . 65

4.9 Diferenças entre assin e sin periódi asquando

h

Ñ

0

. . . . 66

4.10 Aproximação dafunção sin viaFFT einterpolador . . . 67

4.11 Derivada da sin via FFTe fenmenode Gibbs . . . 69

4.12 Diferença entre

S

1

h

e o resultado dométodovia FFT. . . 70

4.13 Os ilaçãode

S

1

h

p

π

q . . . 72

4.14 Aproximação daderivada dasin ignorandoos extremos . . . 73

4.15 Aproximação daderivada dagaussiana ignorando os extremos 73 4.16 Diferença entre asderivadas dasin e sin periódi as . . . 75

4.17 Derivada da sin periódi a via FFT . . . 77

4.18 Derivação espe tral via t om zero padding . . . 78

4.19 Aproximação daderivada dagaussiana om mais dados . . . . 79

4.20 Aproximação daderivada dasin ommais dados . . . 79

1 Introdução 11

2 Revisão de Análise de Fourier 13

2.1 Transformada de Fourier . . . 13

2.2 Transformada de FourierSemidis reta. . . 21

2.3 Transformada de FourierDis reta . . . 26

3 Métodos Espe trais de Derivação 29 3.1 PrimeiroMétodo Espe tral Funçõesnão Periódi as. . . 29

3.1.1 Interpolador dadelta de Krone ker - função Sin . . . 32

3.1.2 Interpolador em

ℓ

2

h

. . . 36

3.1.3 Segundo métodoespe tral - Forma alternativa . . . 38

3.1.4 Pre isão dométodoespe tral . . . 40

3.2 Ter eiro MétodoEspe tral Funções Periódi as . . . 41

3.2.1 Interpolador dadelta de Krone ker - Sin periódi a . . 42

3.2.2 Interpolador em

ℓ

2

N

. . . 46

3.2.3 Quarto métodoespe tral - Forma alternativa. . . 47

4 Testes em MATLAB 55 4.1 Estudo daGaussiana eTestes de Pre isão . . . 55

4.2 Estudo daSin e Sin Periódi a . . . 64

4.3 Outras tentativas de atenuar o fenmenode Gibbs . . . 77

5 Con lusão 81

A Códigos: Figuras do Capítulo 3 83

B Programas do Capítulo 4 91

Introdução

Oobjetivo entraldos métodos espe traisde derivação éaproximara

de-rivadadeumafunçãode

R

em

C

utilizandoapenasvaloresisoladosou dis re-tos, omoobjetivodeimplementação omputa ional. Osmétodosespe trais

são uma das três grandes te nologias para resolução numéri a de equações

diferen iais ordinárias e par iais (EDOs e EDPs), ao lado dos métodos de

diferençasnitas edos métodos de elementosnitos. Consequentemente,

es-tes métodos possuem um amplo es opo de apli ações: me âni a dos uidos,

me âni a quânti a, fenmenosvibratórios e ondulatórios, análise omplexa,

dentre outras áreas.

Quando os dados que denem o problema são suaves em um domínio

simples,para resolverumaEDOouuma EDP ompre isãoalta, geralmente

os métodos espe trais são a melhor ferramenta. Eles podem atingir, em

alguns asos,dezdígidosdepre isão ontradoisoutrêsdígitospelosmétodos

dediferençasnitasouelementosnitos. Alémdisso,parapre isõesmenores,

eles exigem menos usto omputa ionaldo queos outros métodos.

Os métodos em questão são hamados de espe trais porque baseiam-se

no espe tro dafunção, ouseja, nos valores dasua Transformada de Fourier.

Por onseguinte, opresentetrabalhoini ia-se om uma revisãode análise de

Fourier no apítulo 2, onde são enun iados os resultados que onstituem a

base teóri ados métodos espe trais de derivação.

No apítulo 3 são apresentados detalhadamente quatro métodos

espe -trais de derivação. Os dois primeiros fundamentam-se na Transformada de

Fourier Semidis retaeutilizamuma quantidadeinnita de dados,o que

im-pedesua implementação ompleta. Mesmoassim, eles foramimplementados

par ialmenteno apítulo 4, através do trun amento dos intervalose dos

so-matórios, a m de omparar seus desempenhos om o ter eiro e o quarto

Fourier Dis reta, por issoutilizamuma quantidade nita de dados.

Por m, o apítulo 4 é dedi ado a testar estes métodos espe trais de

derivação no software MATLAB, versão 7. Os exemplos es olhidos para

os experimentos são as funções gaussianas (exemplo lássi o em Análise de

Fourier),asfunçõessin eassin periódi as,quesão ostrês tiposdefunções

utilizadasno apítulo3 para ilustraros métodos espe trais.

É bomdesta ar desde já que, no desenvolvimento do primeiro e do

ter- eiro métodos apresentados, são denidos interpoladores dafunção original,

porémoobjetivodopresentetrabalhonãoéfazerumestudodos métodos de

interpolação espe tral, esim aproximaro valorda derivada da função

origi-nal nos pontos de uma malha dis reta. É om base nos valores das funções

nesta malha que são feitosos testes do apítulo 4.

Todos os ódigosde MATLAB utilizadospara gerarosdadoseasguras

Revisão de Análise de Fourier

Este apítulo onstitue uma breve revisão de Análise de Fourier, onde

são xadas as notações e são enun iados sem demonstração os prin ipais

resultados da teoria,que serão utilizadosnos apítulos seguintes.

2.1 Transformada de Fourier

Nestaseção oobjetivo éestudaraTransformada de Fourierparafunções

de

R

em

C

, omeçandopelasfunçõesdemódulointegrávelsegundoLebesgue, para as quais a Transformada é denida pela fórmula integral. Em seguida

são estudados outros espaços, onde o operador da Transformada de Fourier

pode ser estendido.

Denição 2.1.1. O onjunto das funções absolutamente integráveis é

de-nido por

L

1

p

R

qt

u

: R

Ñ

C

; u

é mensurável e }

u

}

1

 8u

,

onde }

u

}

1

 » 8
8 |

u

p

x

q|

dx.

Denição 2.1.2. Para

u

P

L

1

p

R

q a Transformada de Fourier p

u

: R

Ñ

C

é denida por p

u

p

k

q » 8
8

u

p

x

q

e

ikx

dx.

(2.1)

A fórmula(2.1) está bem denida para

u

P

L

1

p

R

q porque |

e

ikx

AmaioriadaspropriedadesdaTransformadadeFourierserãoenun iadas

mais adiante emum espaço mais adequado, por enquanto será men ionado

só o essen ial. Por exemplo, a linearidade: para todos

u, v

P

L

1

p

R

q e

c

P

C

, vale {

u

cv



u

p

c

p

v.

Teorema 2.1.3. Se

u

P

L

1

p

R

q, então 1. |p

u

p

k

q|¤}

u

}

1

,



k

P

R

.

2.

u

p é limitada e uniformemente ontínua.

3. Vale o lema de Riemann-Lebesgue ([16℄, p. 171 e 274):

lim

|

k

|Ñ8 p

u

p

k

q

0.

Denição 2.1.4. O onjunto das funções de quadrado integrável é denido

por

L

2

p

R

qt

u

: R

Ñ

C

; u

é mensurável e }

u

}

2

 8u

,

onde a norma }}

2

é denida por }

u

}

2

 » 8
8 |

u

p

x

q|

2

dx

1

{

2

.

Oprodutointerno orrespondente,denotadoporx

,

y

2

,édenido,para

u, v

P

L

2

p

R

q, por x

u, v

y

2

 » 8
8

u

p

x

q

v

p

x

q

dx.

Observação 2.1.5. Uma tentativa natural de rela ionar os espaços

L

1

p

R

q e

L

2

p

R

q seria a in lusão,mas elanão é válida em nenhum sentido, ou seja, 1.

L

1

p

R

q†

L

2

p

R

q. 2.

L

2

p

R

q†

L

1

p

R

q.

A seguir os respe tivos exemplos:

1. A função

f

p

x

q "

1

?

x

,

se

0

 

x

¤

1

0,

aso ontrário

,

perten e a

L

1

p

R

q porque » 8
8 |

f

p

x

q|

dx

 »

1

0

1

?

x

dx



2

?

x

   

1

0



2

  8

,

mas não perten e a

L

2

p

R

qporque » 8
8 |

f

p

x

q|

2

dx



lim

ǫ

Ñ

0

»

1

ǫ

1

x

dx



lim

ǫ

Ñ

0

p

ln 1

ln ǫ

q 8

.

2. A função sin , que apare erá nopróximo apítulo,

S

h

p

x

q #

sen

p

xπ

{

h

q

xπ

{

h

,

se

x



0

1,

se

x



0,

onde

h

¡

0

, perten e ao espaço

L

2

p

R

q porque sua Transformada de Fourier (o ál ulo será feito no apítulo3),

x

S

h

p

k

q "

h,

se

k

P 

π

h

,

π

h



0,

aso ontrário

,

perten e a

L

2

p

R

q (videobservação2.1.11eitem 1. doteorema2.1.13). Mas ela não perten e a

L

1

p

R

q porque x

S

h

não é ontínua (vide item 2 do teorema2.1.3).

♦

Observação 2.1.6. O espaço

L

2

p

R

q é ompleto na norma }}

2

(vide [4℄, p. 240).

♦

Ointeresseaqui é trabalhar om funções em

L

2

p

R

q, mas a fórmula(2.1) da Transformada de Fourier não se apli a para qualquer função deste

on-junto. Uma alternativa seria onsiderar o onjunto

L

1

p

R

qX

L

2

p

R

q, que é denso em

L

2

p

R

q omrelaçãoà norma}}

2

, porémas ontastornam-se muito ompli adas. Por isso, mesmo que a prin ípio pareça mais ompli ado, é

preferível deniro espaço de S hwartz omo segue.

Denição 2.1.7. Oespaço deS hwartz éo onjuntodas funções

u

: R

Ñ

C

suaves erapidamentede res entes, isto é,é o onjunto

S

p

R

q "

u

P

C

8 p

R

q

; sup

x

P

R

|

x

m

_u

p

n

q p

x

q| 8

,

p

m, n

qP

N



N

*

.

Observação 2.1.8. OespaçodeS hwartz

S

p

R

qéum sub onjuntode

L

1

p

R

qX

L

2

p

R

q eé denso em

L

2

p

R

q om relaçãoà norma }}

2

.

♦

Exemplo 2.1.9. [Função Gaussiana, gura 3.1℄

Seja

u

p

x

q

e

x

2

. Então

u

P

C

8

p

R

q,suas derivadas sãoaprópria

u

vezes um polinmioe

lim

x

Ñ8

p

p

x

q

u

p

x

q

0

, para qualquer polinmio

p

. Consequente-mente,

u

P

S

p

R

q.

Cál ulodaTransformada de Fourier de

u

: p

u

p

k

q » 8
8

e

x

2

ikx

dx



e

k

2

4

» 8
8

e

p

x ik

{

2

q

2

dx.

Para al ularesta última integral, será usadoo teoremade Cau hy e depois

apli adoolimite omintervalodeintegraçãotendendoainnito. Paratanto,

seja

U

: C

Ñ

C

aextensãode

u

,istoé,

U

p

z

q

e

z

2

,paratodo

z



x iy

P

C

. Fixados

a

¡

0

e

k

P

R

,sejam

Γ

1

,

Γ

2

,

Γ

3

,

Γ

4

os aminhosnosentido horário  ujostraços são

trΓ

1

 t

z

P

C

; Re

p

z

qPr

a, a

s

, Im

p

z

q

0

u

,

trΓ

2

 t

z

P

C

; Re

p

z

q

a, Im

p

z

qPr

0, k

{

2

su

,

trΓ

3

 t

z

P

C

; Re

p

z

qPr

a, a

s

, Im

p

z

q

k

{

2

u

,

trΓ

4

 t

z

P

C

; Re

p

z

q

a, Im

p

z

qP r

0, k

{

2

su

.

Como

U

éanalíti a em

C

,tem-se, pelo teoremade Cau hy,

»

Γ

1

U

p

z

q

dz

»

Γ

2

U

p

z

q

dz

»

Γ

3

U

p

z

q

dz

»

Γ

4

U

p

z

q

dz



0,

»

a

a

e

x

2

dx

»

k

{

2

0

e

p

a iy

q

2

dy

»

a

a

e

p

x ik

{

2

q

2

dx

»

0

k

{

2

e

p

a iy

q

2

dy



0.

A limitaçãoda integral em

Γ

2

é garantida pelas desigualdades      »

k

{

2

0

e

p

a iy

q

2

dy

     ¤ »

k

{

2

0

  

e

p

a iy

q

2

  

dy

 »

k

{

2

0

e

a

2

y

2

dy

¤

k

2

e

a

2

k

2

{

4

,

e mostra que seu limite é zero, quando

a

Ñ 8. O mesmo argumento vale para a integral em

Γ

4

. Portanto,apli ando o limite om

a

Ñ8, segue que

» 8

e

p

x ik

{

2

q

2

dx

 » 8

e

x

2

dx

 ?

π.

Ou seja, p

u

p

k

q ?

πe

k

2

4

P

S

p

R

q

.

△

Antes deenun iaraspropriedadesdaTransformadade Fouriernoespaço

de S hwartz, é pre isodenir a Trasformadade FourierInversa.

Denição 2.1.10. Para

v

P

L

1

p

R

q, dene-se a Transformada de Fourier Inversa q

v

: R

Ñ

C

por q

v

p

x

q

1

2π

» 8
8

v

p

k

q

e

ikx

dk.

(2.2)

A fórmula(2.2) está bem denida para

u

P

L

1

p

R

q porque |

e

ikx

|

1

. Observação 2.1.11. Vê-se, diretamente da denição, que q

v

p

x

q 

1

2π

p

v

p

x

q, 

x

P

R

.

♦

Teorema 2.1.12. Se

u

P

S

p

R

q, então 1. A derivada

n

-ésima

u

p

n

q P

S

p

R

q e y

u

p

n

q 

i

n

_k

n

p

u

p

k

q

,



k

P

R

.

2.

u

pP

S

p

R

q.

3. Vale a fórmula de inversão

u

p

x

q q p

u

p

x

q

1

2π

» 8
8 p

u

p

k

q

e

ikx

_dk,



x

P

R

.

4. Vale a identidade de Parseval:

}p

u

}

2

 ?

2π

}

u

}

2

.

5. O operador linear p

: S

p

R

q Ñ

S

p

R

q é injetivo, sobrejetivo, ontínuo e om inversa ontínua.

(Vide [16℄, páginas, 174, 175, 176, 178 e 179, respe tivamente.)

ATransformadade Fourierrestritaaoespaço

S

p

R

qpode serestendida de formaúni aaoespaço

L

2

transforma-2.1.12 e pelas observações 2.1.6 e 2.1.8. Neste aso não será feita distinção

da notação p. Com este pro esso, apesar da fórmula (2.1) não se apli ar

para qualquer função de

L

2

p

R

q, torna-selegítimo denir aTransformada de Fourier neste espaço. É assim quea Transformada de Fourier será estudada

daqui para frente.

Teorema 2.1.13. [Propriedades da Transformada de Fourier℄ Se

u, v

P

L

2

p

R

q e

c

P

C

, então 1.

u,

p p

v

P

L

2

p

R

q. 2. Linearidade: {

u

cv

p

u

c

p

v

. 3. Translação: Se

x

0

P

R

e

u

p

x

q 

v

p

x

x

0

q, então p

u

p

k

q 

e

ikx

0

p

v

p

k

q, 

k

P

R

. 4. Modulação: Se

k

0

P

R

e

f

p

x

q 

e

ik

0

x

, então { p

f



u

qp

k

q 

u

pp

k

k

0

q, 

k

P

R

.

5. Dilatação: Se

c

P

R

não nulo e

v

p

x

q 

u

p

cx

q, então p

v

p

k

q  p

u

p

k

{

c

q |

c

| , 

k

P

R

. 6. Conjugação: p

u

p

k

qp

u

p

k

q, 

k

P

R

. 7. Identidade de Parseval: }p

u

}

2

 ?

2π

}

u

}

2

(Vide [22℄, p. 156). [Propriedades de simetria℄

8.

u

é par (ímpar)ðñ p

u

é par (ímpar). 9.

Im u

€

R

ðñ

u

pp

k

q

u

pp

k

q, 

k

P

R

. 10.

Im u

€

iR

ðñ

u

pp

k

q
p

u

p

k

q, 

k

P

R

. 11.

Im u

€

R

e

u

é par ðñ

Im

p

u

€

R

e p

u

é par. 12.

Im u

€

R

e

u

é ímpar ðñ

Im

u

p€

iR

e p

u

é ímpar. 13.

Im u

€

iR

e

u

é par ðñ

Im

p

u

€

iR

e p

u

é par. 14.

Im u

€

iR

e

u

é ímpar ðñ

Im

u

p€

R

e p

u

é ímpar.

Denição 2.1.14. A onvolução de duas funções

u, v

: R

Ñ

C

é denida, quando a integral existir, por

p

u



v

qp

x

q »

8

8

u

p

x

y

q

v

p

y

q

dy,



x

P

R

.

(2.3)

Teorema 2.1.15. [Propriedades da onvolução℄

1. Se

u, v

P

L

1

p

R

q, então

u



v

P

L

1

p

R

q e }

u



v

}

1

¤}

u

}

1

}

v

}

1

. 2. Se

u

P

L

1

p

R

q e

v

P

L

2

p

R

q, então

u



v

P

L

2

p

R

qe }

u



v

}

2

¤}

u

}

1

}

v

}

2

. 3. Se

u, v

P

S

p

R

q, então

u



v

P

S

p

R

q. 4. p

λu

q

v



λ

p

u



v

q

u

p

λv

q, 

λ

P

C

. 5. p

u

v

q

w



u



w

v



w

. 6.

u



v



v



u

. 7. p

u



v

q

w



u

p

v



w

q. 8. Se

u, v

P

L

1

p

R

q, então { p

u



v

qp

k

q

u

pp

k

qp

v

p

k

q.

(Vide [22℄, teoremade Hausdor-Young, p. 157; [16℄, p. 181 e 182; [17℄, p.

349 e 350.)

Para enun iar o próximo teorema, pre isa-se das seguintes denições de

ordemde onvergên ia e função de variação limitada:

1. 

O

grande: Diz-seque afunção

u

: R

Ñ

C

satisfaz

u

p

x

q

O

p

g

p

x

qq quando |

x

|Ñ8

,

quando existe uma onstante

C

tal que, para todo|

x

| su ientemente grande, vale

|

u

p

x

q| 

C

|

g

p

x

q|

.

2. 

o

pequeno: Diz-seque a função

u

: R

Ñ

C

satisfaz

u

p

x

q

o

p

g

p

x

qq quando |

x

|Ñ8

,

quando

lim

x

Ñ8 |

u

p

x

q| |

g

p

x

q| 

0.

3. Uma função

f

é de variaçãolimitadase

f

P

L

1

p

R

q e

sup

g

P

C

1

p

R

q |

g

p

x

q|¤

1

 » 8
8

f

p

x

q

g

1 p

x

q

dx

 8

.

Quando

f

é ontínua,estadenição oin ide oma ondiçãodeexistên ia do limite

lim

b

Ñ8

a

Ñ
8

V

_a

b

r

f

s  8

,

onde

V

b

a

r

f

s

sup

n

¸

j



1

|

f

p

x

j

q

f

p

x

j

1

q|

,

om o supremo sobre todas as partições

a



x

0

 

x

1

    

x

n



b

do intervalor

a, b

s (

n

não xado). Umestudosobrefunçõesde variaçãolimitada é feito em[1℄, nas páginas 374 e seguintes.

Teorema 2.1.16. [Suavidade de uma função vs. de aimento de sua TF℄

Dada

u

P

L

2

p

R

q, tem-se: 1. Se

u

p

s

q P

L

2

p

R

qX

C

p

R

q, om

0

¤

s

 

n

, para algum

n

¡

0

inteiro, e

u

p

n

q

é de variaçãolimitada, então

p

u

p

k

q

O

p|

k

|

n

1

q quando |

k

|Ñ8

.

2.

u

tem innitas derivadas ontínuas em

L

2

p

R

q se, e somente se, p

u

p

k

q

O

p|

k

|

m

q quando |

k

|Ñ8

,

para todo

m

¥

0

inteiro.

3. (Paley-Wiener) A função

u

a

: R

Ñ

C

denida por p

u

a

p

k

q 

e

a

|

k

| p

u

p

k

q, om

a

¡

0

onstante, perten e a

L

2

p

R

q se, e somente se, existe uma onstante

c

¡

0

talque

u

é arestriçãoem

R

deumafunção

U

analíti a na faixa t

z

P

C

;

|

Imz

| 

a

u que satisfaz

}

U

p

iy

q}

2

 » 8
8 |

U

p

x

iy

q|

2

dx

¤

c,

para todo |

y

| 

a

(vide [22℄, p. 188).

4. (Paley-Wiener) p

u

p

k

q tem suporte ompa to ontido em r

a, a

s,

a

¡

0

onstante, se, e somente se,

u

é a restrição em

R

de uma função

U

analíti a em

C

tal que, para todo

z

P

C

, |

U

p

z

q|

o

p

e

a

|

z

|

q quando |

z

|Ñ8

.

(vide [18℄, p. 12 e 13, e [11℄, p.181).

2.2 Transformada de Fourier Semidis reta

Ouso de omputadores digitais limitaos ál ulosadados dis retos e em

quantidade nita. Como primeiro passo, nesta seção são estudadas funções

dis retizadas,porém aindaemquantidadeinnitade pontos(emquantidade

nita é oassunto dapróxima seção);mais pre isamente, asfunções

onside-radas têm omo domínio o onjunto

hZ

t

x

j



jh

P

R

; j

P

Z

u

,

ouseja, uma malhade pontos equidistantes à qualo

0

perten e. Neste aso, se

v

forumafunçãodenidaem

hZ

,suaimagemem adapontoserádenotada da formaabreviada

v

p

x

j

q

v

j

.

Denição 2.2.1. Neste ontexto, osespaçosmais onvenientes aserem

tra-balhados nodomíniofísi o edas frequên iassão, respe tivamente,

ℓ

2

_h

t

v

: hZ

Ñ

C

;

}

v

}

ℓ

2

h

 8u

,

L

2

_h

t

w

:

r

π

{

h, π

{

h

sÑ

C

; w

é mensurávele }

w

}

L

2

h

 8u

,

onde as normas são denidas por

}

v

}

ℓ

2

h

 

h

¸

j

P

Z

|

v

j

|

2



1

{

2

e }

w

}

L

2

h

  »

π

{

h

π

{

h

|

w

p

k

q|

2

dk



1

{

2

,

e os produtos internos orrespondentes são denidos por

x

v, w

y

ℓ

2

h



h

¸

j

P

Z

v

j

w

j

e x

v, w

y

L

2

h

 »

π

{

h

π

{

h

v

p

k

q

w

p

k

q

dk.

No entanto,tambémserá ne essário denir oespaço

ℓ

1

_h

t

v

: hZ

Ñ

C

;

}

v

}

ℓ

1

h

onde a norma é }

v

}

ℓ

1

h



h

¸

j

P

Z

|

v

j

|

.

Observação 2.2.2. Ao ontrário dos espaços

L

1

p

R

q e

L

2

p

R

q, agora vale a in lusão

ℓ

1

_h

ˆ

ℓ

2

h

.

De fato, se

v

P

ℓ

1

h

, existe

j

0

P

N

talque

|

v

j

| 

1,



j

¥

j

0

,

|

v

j

|

2

 |

v

j

|

,



j

¥

j

0

,

h

¸

j

¥

j

0

|

v

j

|

2

¤

h

¸

j

¥

j

0

|

v

j

| 8

,

e portanto

v

P

ℓ

2

h

. Por outro lado, a série harmni a mostra que não valea igualdade entre os onjuntos, pois elaperten e a

ℓ

2

h

mas não perten e a

ℓ

1

h

.

♦

Denição 2.2.3. Para

v

P

ℓ

2

h

,dene-se aTransformada deFourier Semidis- reta N

v

:



π

h

,

π

h

 Ñ

C

por N

v

p

k

q

h

¸

j

P

Z

v

j

e

ikx

j

.

(2.4)

A série (2.4) aproxima a Transformada de Fourier (2.1) pela Regra do

trapézio. De fato,se

v

P

ℓ

2

h

éa restriçãode

u

P

L

2

p

R

qX

C

p

R

q, p

u

p

k

q 

lim

m

Ñ8 »

m

m

u

p

x

q

e

ikx

dx



lim

m

Ñ8

m

1

¸

j



m

h

p

v

j

e

ikx

j

v

j 1

e

ikx

j

1

q

2



h

lim

m

Ñ8 

v

m

e

ikx

m

2

m

1

¸

j



m

v

j

e

ikx

j



v

m

e

ikx

m

2

 

h

¸

j

P

Z

v

j

e

ikx

j

 N

v

p

k

q

.

Ospróximosresultados expli am porque aTransformada de Fourier

Se-midis reta é denida apenas no domínior

π

h

,

π

h

s.

Proposição 2.2.4. A função

f

: R



R

Ñ

C

denida por

f

p

x, k

q 

e

ikx

é

2π

Demonstração: Se

c

P

Z

,

f



x

j

, k

2π

h

c



e

i

p

k

2

π

h

c

q

x

j



e

ikx

j

_.e

i

2π

_h

cjh



e

ikx

j

_.1



f

p

x

j

, k

q

.

Resta mostrar que não existe número menor que

2π

h

que seja período da função

f

p

x

j

,

 q para todo

j

P

Z

. De fato, se

k

0

P

R

é tal que

0

 

k

0

 

2π

h

, então

f

p

x

j

, k

k

0

q

e

i

p

k k

0

q

x

j



e

ikx

j

_.e

i

p

k

0

h

q

j

,

e omo

k

0

h

 

2π

, para

j



1

segue que

e

ik

0

h



1

,e portanto

f

p

x

1

, k

k

0

q

f

p

x

1

, k

q

.

Corolário 2.2.5. Dada

v

P

ℓ

2

h

, a Transformada de Fourier Semidis reta estendida à reta toda pela fórmula

N

v

p

k

q

h

¸

j

P

Z

e

ikx

j

v

j

,

k

P

R

,

é

2π

h

-periódi a.

Doravante, quando ne essário, N

v

P

L

2

h

será onsiderada om domínio

R

e

2π

h

-periódi a.

Teorema 2.2.6. [Fórmula de aliasing ou do somatório de Poisson℄ Se

u

P

L

2

p

R

q tem a primeira derivada de variação limitada e se

v

é a restrição de

u

à malha

hZ

, então, para todo

k

Pr

π

{

h, π

{

h

s, N

v

p

k

q ¸

j

P

Z

p

u



k

2π

h

j

.

Denição 2.2.7. Para

w

P

L

2

h

a Transformada de Fourier Semidis reta Inversa O

w

: hZ

Ñ

C

é denida por O

w

p

x

j

q

1

2π

»

π

h

π

h

w

p

k

q

e

ikx

j

_dk

x

w, E

j

y

L

2

h

,



j

P

Z

,

(2.5) onde

E

j

P

L

2

h

é denida por

E

j

p

k

q

e

ikx

j

.

Teorema 2.2.8. [Propriedades da Transformada de Fourier Semidis reta℄ Se

v, w

P

ℓ

2

h

e

c

P

C

, então 1. N

v,

N

w

P

L

2

h

. 2. O operador N

: ℓ

2

h

Ñ

L

2

h

é bijetivo. (Vide [16℄, p. 138.) 3. Linearidade: p

v

cw

q N  N

v

c

N

w

. 4. Translação: Se

j

0

P

Z

e

w

j



v

j j

0

, então N

w

p

k

q

e

ikx

j0

N

v

p

k

q, 

k

P

R

. 5. Modulação: Se

k

0

P

R

e

f

j



e

ik

0

x

j

, então p

f.v

q N p

k

q  N

v

p

k

k

0

q, 

k

P

R

. 6. Conjugação: N

v

p

k

q N

v

p

k

q, 

k

P

R

. 7. Identidade de Parseval: } N

v

}

L

2

h

 ?

2π

}

v

}

ℓ

2

h

. (Vide [16℄, p. 138.) 8. Inversão:

v

j

 O N

v

p

x

j

q

1

2π

³

π

h

π

h

e

ikx

j

N

v

p

k

q

dk

, 

j

P

Z

. [Propriedades de simetria℄ 9.

v

é par (ímpar)ðñ N

v

é par (ímpar). 10.

Im v

€

R

ðñ N

v

p

k

q N

v

p

k

q, 

k

P

R

. 11.

Im v

€

iR

ðñ N

v

p

k

q
N

v

p

k

q, 

k

P

R

. 12.

Im v

€

R

e

v

é par ðñ

Im

N

v

€

R

e N

v

é par. 13.

Im v

€

R

e

v

é ímpar ðñ

Im

N

v

€

iR

e N

v

é ímpar. 14.

Im v

€

iR

e

v

é par ðñ

Im

N

v

€

iR

e N

v

é par. 15.

Im v

€

iR

e

v

é ímpar ðñ

Im

N

v

€

R

e N

v

é ímpar.

Denição 2.2.9. A onvolução semidis reta de duas funções

v, w

: hZ

Ñ

C

é denida por(quando osomatório onverge)

p

v



w

q

m



h

¸

j

P

Z

v

m

j

w

j

,

A série (2.6) aproxima a onvolução (2.3) nos pontos de

hZ

pela Regra do trapézio. De fato, se

v

P

ℓ

1

h

é a restrição de

u

P

L

1

p

R

qX

C

p

R

q e

w

P

ℓ

2

h

é a restriçãode

y

P

L

2

p

R

qX

C

p

R

q, então p

u



y

qp

x

m

q 

lim

n

Ñ8 »

n

n

u

p

x

m

x

q

y

p

x

q

dx



lim

n

Ñ8

n

1

¸

j



n

h

p

v

m

j

w

j

v

m

p

j 1

q

w

j 1

q

2



h

lim

n

Ñ8 

v

m n

w

n

2

n

1

¸

j



n

p

v

m

j

w

j

q

v

m

n

w

n

2

 

h

¸

j

P

Z

v

m

j

w

j

 p

v



w

q

m

.

Neste ontexto, a onvoluçãosemidis reta tambémtema propriedadede

que, se

v

P

ℓ

2

h

e

w

P

ℓ

1

h

, ou vi e-versa, então

v



w

P

ℓ

2

h

e p

v



w

q N p

k

q N

v

p

k

q N

w

p

k

q

.

Teorema 2.2.10. [Efeito da dis retização na Transformada de Fourier℄

Dada

u

P

L

2

p

R

q om

u

1

de variação limitada e

v

a restrição de

u

à malha

hZ

, tem-se, para todo

k

P 

π

h

,

π

h

 :

1. Se

u

tem

n

1

derivadas ontínuasem

L

2

p

R

q,paraalgum

n

¥

0

inteiro, e

u

p

n

q

é de variação limitada, então,

| N

v

p

k

q
p

u

p

k

q|

O

p

h

n 1

q quando

h

Ñ

0.

2. Se

u

tem innitas derivadas ontínuas em

L

2

p

R

q, então, para todo

k

P 

π

h

,

π

h

 , | N

v

p

k

q
p

u

p

k

q|

O

p

h

m

q quando

h

Ñ

0,

para todo

m

¥

0

inteiro.

3. Se existem onstantes

a, c

¡

0

tais que

u

é a restrição em

R

de uma função

U

analíti a na faixa t

z

P

C

;

|

Imz

| 

a

u quesatisfaz

}

U

p

iy

q}

2

 » 8
8 |

U

p

x

iy

q|

2

dx

¤

c,

para todo |

y

| 

a,

então, para todo

ǫ

¡

0

, | N

v

p

k

q
p

u

p

k

q|

O

p

e

π

p

a

ǫ

q{

h

q quando

h

Ñ

0.

4. Se

u

éa restriçãoem

R

de umafunção

U

analíti aem

C

e existe

a

¡

0

tais que, para todo

z

P

C

,

|

U

p

z

q|

o

p

e

a

|

z

|

q quando |

z

|Ñ8

,

então, desde que

h

¤

π

{

a

,

N

v

p

k

q

u

pp

k

q

.

2.3 Transformada de Fourier Dis reta

Agorasimo ontextoédefunçõesdis retizadase omquantidadenitade

dados,ouperiódi asdeperíodo

2π

. Maispre isamente, dividindoointervalo r

0, 2π

semumnúmeropar

N

de partesiguais om omprimento

h



2π

{

N

, são onsideradasfunções

v

: hZ

Ñ

C

taisque,

se

j



m

pmod

N

q, então

v

j



v

m

.

Neste asopode-sedizertambémque

v

éumafunção

N

-periódi a omrelação à malha. A equação

π

h



N

2

(2.7)

será frequentemente utilizada.

Denição2.3.1. Neste ontexto,osespaçosaseremtrabalhadosnodomínio

físi o edas frequên ias são, respe tivamente,

ℓ

2

_N

t

v

: hZ

Ñ

C

; v

é

N

-periódi a om relação àmalhau

,

L

2

_N

t

w

: 1Z

Ñ

C

; w

é

N

-periódi a om relaçãoà malhau

,

e as respe tivasnormas são denidas por

}

v

}

ℓ

2

N

 

h

N

¸

j



1

|

v

j

|

2



1

{

2

e }

w

}

L

2

N

  

N

{

2

¸

k



N

{

2

1

|

w

k

|

2



1

{

2

.

Osespaços

ℓ

2

N

e

L

2

N

têmdimensãonita

N

easnormassãosemprenitas, poisos somatórios têm um número nito de termos.

Denição 2.3.2. Para

v

P

ℓ

2

N

aTransformadadeFourierDis reta ^

v

: 1Z

Ñ

C

é denida por ^

v

k



h

N

¸

j



1

v

j

e

ikx

j

.

(2.8)

Osomatório(2.8)aproximaaTransformadadeFourierSemidis reta(2.4)

portrun amento.

Observação 2.3.3. Em virtude da proposição 2.2.4 e omo

v

é

N

-periódi a om relação à malha

hZ

, segue que a Transformada de Fourier Dis reta é

N

-periódi a om relação àmalha

1Z

.

♦

Denição 2.3.4. Para

w

P

L

2

N

a Transformada de Fourier Dis reta Inversa _

w

: hZ

Ñ

C

édenida por _

w

j



1

2π

N

{

2

¸

k



N

{

2

1

w

k

e

ikx

j

.

(2.9)

Teorema 2.3.5. [Propriedades da Transformada de Fourier Dis reta℄ Se

v, w

P

ℓ

2

N

e

c

P

C

, então 1. ^

v,

^

w

P

L

2

N

. (Vide proposição2.2.4) 2. Linearidade: p

v

cw

q ^  ^

v

c

^

w

. 3. Translação: Se

j

0

P

Z

e

w

j



v

j j

0

, então ^

w

k



e

ikx

_j0

^

v

k

, 

k

P

Z

. 4. Modulação: Se

k

0

P

Z

e

f

j



e

ik

0

x

j

, então p

f.v

q ^

k

 ^

v

k

k

0

, 

k

P

Z

. 5. Conjugação: ^

v

k

 ^

v

k

, 

k

P

Z

. 6. Identidade de Parseval: } ^

v

}

L

2

N

 ?

2π

}

v

}

ℓ

2

N

. 7. Inversão: _

v

k



1

2πh

^

v

k

, 

k

P

Z

. 8. Fórmula de inversão:

v

j

 _ ^

v

p

x

j

q

1

2π

°

N

{

2

k



N

{

2

1

e

ikx

j

^

v

k

, 

j

P

Z

.

9.

v

é par (ímpar)ðñ ^

v

é par (ímpar). 10.

Im v

€

R

ðñ ^

v

k

 ^

v

k

, 

k

P

Z

. 11.

Im v

€

iR

ðñ ^

v

k


^

v

k

, 

k

P

Z

. 12.

Im v

€

R

e

v

é par ðñ

Im

^

v

€

R

e ^

v

é par. 13.

Im v

€

R

e

v

é ímpar ðñ

Im

^

v

€

iR

e ^

v

é ímpar. 14.

Im v

€

iR

e

v

é par ðñ

Im

^

v

€

iR

e ^

v

é par. 15.

Im v

€

iR

e

v

é ímpar ðñ

Im

^

v

€

R

e ^

v

é ímpar.

Denição2.3.6. A onvoluçãodis reta deduasfunções

v, w

P

ℓ

2

N

édenida por p

v



w

q

m



h

N

¸

j



1

v

m

j

w

j

,



m

P

Z

.

(2.10)

Como

v

e

w

são periódi as de mesmo período,

v



w

também o é. O somatório (2.10) é o trun amento da onvolução semidis reta (2.6). Neste

ontexto, a onvolução dis retatambémtema propriedadede que,se

v, w

P

ℓ

2

N

, então p

v



w

q ^ p

k

q ^

v

k

^

w

k

.

Um fatoimportantesobre aTransformada de Fourier Dis reta é que ela

podeser al ulada omputa ionalmentedeformamuitorápidapeloalgoritmo

re ursivo onhe idoporTransformada Rápidade Fourier(FFT Fast F

ou-rier Transform). Uma implementação direta de (2.8) ou (2.9) requer um

número de operaçõesnaordem de

N

2

,enquantoque onúmero de operações

do algoritmo da FFT está na ordem de apenas

N

log

2

N

, quando

N

é uma potên iade

2

. Umestudo mais aprofundado sobre FFTé feito em[10℄.

O MATLAB já traz o algoritmoda FFT implementado. O omando t

al ulaaTransformada deFourierDis reta eo omandoit al ulaaT

rans-formada de Fourier Dis reta Inversa. Elesserão utilizadosnos experimentos

do apítulo4.

As Transformadas de Fourier estudadas neste apítulo,assim omo suas

méto-Métodos Espe trais de Derivação

O problema onsiderado neste apítulo é o seguinte: onhe endo os

va-lores de uma função

u

na malha

hZ

, t

u

p

x

j

qu, omo aproximar a derivada de

u

usando apenas estes dados? Os métodos apresentados para este m são hamados de espe trais porque são baseados no espe tro da função

u

, isto é, os valores no domínio das frequên ias da Transformada de Fourier

(Semidis reta ouDis reta) dafunção.

Na primeiraseção são onsideradas funçõesnão periódi as, e portantoé

ne essário trabalhar om uma quantidade innita de dados, onde utiliza-se

a Transformada de Fourier Semidis reta. Na segunda seção é feito omesmo

estudo, porém supondo que

u

é periódi a, o que reduz a um número nito de dados,e portantoutiliza-sea Transformada de Fourier Dis reta.

3.1 Primeiro Método Espe tral  Funções não

Periódi as

Oobjetivo dométodoespe tral apresentado a seguiré aproximara

deri-vadade umafunção

u

: R

Ñ

C

nos pontosdamalha

hZ

. Emtodaaseção,a dis retizaçãodafunção

u

aospontos damalhaédenotada por

v

, om

v

P

ℓ

2

h

.

Primeiro Método Espe tral

Dada uma função

u

: R

Ñ

C

uja dis retizaçãoé

v

P

ℓ

2

h

:

Passo 1. Cal ulara Transformada de FourierSemidis reta N

v

por(2.4).

Passo 2. Estender N

v

à reta todazerando forado intervalor

π

h

,

π

h

s; Notação dafunção estendida:

p

p

v

.

Cal ulara Transformada de FourierInversa de

p

p

v

por(2.2); A função resultante

p

v

éo interpoladorde

v

.

Passo 3. Cal ulara derivada dointerpolador,

p

1

v

.

Passo 4. Denir

w

: hZ

Ñ

C

por

w

j



p

1

v

p

x

j

q.

A função

w

denida no passo 4 do métodoé a que aproxima os valores da derivada de

u

nos pontos damalha.

A gura 3.1 é uma representação do método para a função gausssiana

u

p

x

q 

e

x

2

. A função

w

não está representada na gura, mas ela é a dis retização da derivada do interpolador da gaussiana no domínio físi o,

situada naúltima linha eprimeira olunada gura.

O passo 2 pare e ompli ado, mas ele pode ser simpli ado.

Primeira-mente, dene-se afunção

p

p

v

p

k

q " N

v

p

k

q, se

k

P 

π

h

,

π

h



0

, se

k

R 

π

h

,

π

h

 .

Depois,pode-se en ontrar a seguinte fórmulapara o interpolador,

p

v

p

x

q q p

p

v

p

x

q

1

2π

» 8
8 N

p

_v

p

k

q

e

ikx

_dk



1

2π

»

π

h

π

h

N

v

p

k

q

e

ikx

_dk.

(3.1)

Portanto, opasso 2 resume-se àapli açãoda fórmula(3.1).

Observação 3.1.1. Como p

p

v

P

L

2

p

R

qtem suporte ompa to ontido no inter-valo 

π

h

,

π

h



, pelo item 4 do teorema2.1.16, tem-se que ointerpolador

p

v

é uma função analíti a om de aimento exponen ial,quando |

x

|Ñ8.

−6

−4

−2

0

2

4

6

−0.5

0

0.5

1

1.5

Gaussiana no Domínio físico contínuo

p ÝÑ q Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Transformada da Gaussiana no Domínio contínuo das Frequências

−6

−4

−2

0

2

4

6

−0.5

0

0.5

1

1.5

Gaussiana no Domínio físico semidiscreta

N ÝÑ O Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Gaussiana no Domínio limitado das Frequências

−6

−4

−2

0

2

4

6

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Interpolador da Gaussiana no Domínio físico

p ÝÑ q Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Interpolador da Gaussiana no Domínio das Frequências

−6

−4

−2

0

2

4

6

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Derivada do Interpolador da Gaussiana no Domínio físico

p ÝÑ q Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Derivada do Interpolador da Gaussiana no Domínio das Frequências (parte imaginária)

Figura 3.1: Representação do primeiro método espe tral apli ado à função

gaussiana

e

x

2

3.1.1 Interpolador da delta de Krone ker - função Sin

Para ada

m

P

Z

, dene-se uma função delta de Krone ker

δ

m

P

ℓ

2

h

por

δ

m

p

x

j

q "

1

, se

j



m

0

, se

j



m

. Observação 3.1.2. O onjuntot

δ

m

u

m

P

Z

ébase de S hauderde

ℓ

2

h

([8℄, p. 68). De fato, para qualquer função

v

P

ℓ

2

h

, tem-sea igualdade pontual

v

j

 ¸

m

P

Z

v

m

δ

m

p

x

j

q

,



j

P

Z

,

porque o somatóriopossui um úni o termo não nulo, logo,

    

v

N

¸

m



N

v

m

δ

m

    

2

ℓ

2

h



h

¸

j

P

Z

|

v

j

N

¸

m



N

v

m

δ

m

p

x

j

q|

2



h

¸ |

j

|¡

N

|

v

j

|

2

Ñ

0,

quando

N

Ñ8

,

ou seja,tem-se a igualdade

v

 ¸

m

P

Z

v

m

δ

m

(3.2) na norma}}

ℓ

2

h

.

♦

Observação 3.1.3. O onjunto t

δ

m

u

m

P

Z

€

ℓ

2

h

é ortogonal ompleto. De fato, é ortogonalporque x

δ

m

_{, δ}

n

y

ℓ

2

h



h

¸

j

P

Z

δ

m

p

x

j

q

δ

n

p

x

j

q "

h,

se

m



n

0,

se

m



n,

e é ompleto pois

ℓ

2

h

é espaço de Hilbert e, se

v

P

ℓ

2

h

é tal que

v

Kt

δ

m

u

m

P

Z

, tem-se x

v, δ

m

y

ℓ

2

h



0,



m

P

Z

,

h

¸

j

P

Z

v

j

δ

m

p

x

j

q

0,



m

P

Z

,

hv

m



0,



m

P

Z

,

v



0

P

ℓ

2

h

,

(vide ara terização de onjunto ompleto em [8℄, p. 169).

♦

Segue abaixo a apli ação do primeiro método espe tral, passo a passo,

para as funções

δ

m

, para ada

m

(agura 3.2ilustra o aso

m



0

).

Passo 1. Cal ularaTransformada de Fourier Semidis retade

δ

m

: N

δ

m

p

k

q

h

¸

j

P

Z

δ

m

p

x

j

q

e

ikx

j



he

ikx

m

.

(3.3) Observação 3.1.4. Emparti ular, N

δ

0

p

k

q

he

ikx

0



h

.

♦

Passo 2. Cal ularointerpolador de

δ

m

, para

x



x

m

:

p

δ

m

p

x

q 

1

2π

»

π

h

π

h

N

δ

m

p

k

q

e

ikx

_dk



h

2π

»

π

h

π

h

e

ik

p

x

x

m

q

dk



h

π

p

x

x

m

q

e

i

π

_h

p

x

x

m

q

e

i

π

h

p

x

x

m

q

2i



sen

π

h

p

x

x

m

q

π

h

p

x

x

m

q

,

e, para

x



x

m

,

p

δ

m

p

x

m

q

h

2π

»

π

h

π

h

e

ik0

dk



1.

Ou seja,o interpoladorde

δ

m

éafunção sin transladadaem

x

m

edenotada por

S

h

p

x

x

m

q,

p

δ

m

p

x

q

S

h

p

x

x

m

q #

sen

π

h

p

x

x

m

q

π

h

p

x

x

m

q , se

x



x

m

1

, se

x



x

m

. (3.4)

Observação 3.1.5. A observação 3.1.1 prevê que a função

p

δ

m

é analíti a. Pode-se onrmar este fato utilizando a onhe ida expansão em série de

potên iasdafunção seno,

sen

p

x

q ° 8

j



0

p

1

q

j

p

2j 1

q

!

x

2j 1

, donde segue que

p

δ

m

p

x

q 8 ¸

j



0

p

1

q

j

p

2j

1

q

!

π

h

p

x

x

m

q

2j

,



x

P

R

.

(3.5)

−6

−4

−2

0

2

4

6

−0.5

0

0.5

1

1.5

Delta no Domínio físico

N ÝÑ O Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−0.5

0

0.5

1

Delta no Domínio das frequências

−6

−4

−2

0

2

4

6

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Interpolador da Delta: Função Sinc

p ÝÑ q Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−0.5

0

0.5

1

Interpolador da Delta no domínio das frequências

−6

−4

−2

0

2

4

6

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Derivada da Sinc

p ÝÑ q Ý

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Derivada do Interpolador da Delta no domínio das frequências (parte imaginária)

Figura 3.2: Representação do primeiro método espe tral apli ado à função

delta:

δ

0

razão:

lim

j

Ñ8    p

1

q

j

1

p

2

p

j 1

q

1

q

!

π

h

p

x

x

m

q 

2

p

j 1

q       p

1

q

j

p

2j 1

q

!

π

h

p

x

x

m

q 

2j

   

lim

j

Ñ8   

π

h

p

x

x

m

q 

2

   p

2j

3

qp

2j

2

q 

0

 

1.

Portanto, de fato

p

δ

m

é analíti a e, onsequentemente, a sua derivada

p

1

δ

m

também oé.

♦

Passo 3. Cal ular a derivada do interpolador, para

x



x

m

, derivando termo a termoa série de potên ias(3.5):

p

1

δ

m

p

x

q

S

1

h

p

x

x

m

q 8 ¸

j



0

p

1

q

j

2j

p

2j

1

q

!

π

h

π

h

p

x

x

m

q

2j

1

.

Como

2j

p

2j 1

q

!



2j 1

1

p

2j 1

q

!



2j 1

p

2j 1

q

!

1

p

2j 1

q

!



1

p

2j

q

!

1

p

2j 1

q

!

, segue

p

1

δ

m

p

x

q  8 ¸

j



0

 p

1

q

j

p

2j

q

!

π

h

π

h

p

x

x

m

q

2j

1

p

1

q

j

p

2j

1

q

!

π

h

π

h

p

x

x

m

q

2j

1

  ° 8

j



0

p

1

q

j

p

2j

q

!

π

h

p

x

x

m

q 

2j

° 8

j



0

p

1

q

j

p

2j 1

q

!

π

h

p

x

x

m

q 

2j

x

x

m



cos

π

_h

p

x

x

m

q

S

h

p

x

x

m

q

x

x

m

.

Para

x



x

m

, omo

p

1

δ

m

é analíti a, basta al ular o limite (via Regra de l'Hpital):

p

1

δ

m

p

x

m

q 

S

1

h

p

0

q 

lim

x

Ñ

x

m

p

1

δ

m

p

x

q 

lim

x

Ñ

x

m

1

x

x

m

cos

π

h

p

x

x

m

q

S

h

p

x

x

m

q 

lim

x

Ñ

x

m

π

h

sen

π

h

p

x

x

m

q

S

1

h

p

x

x

m

q 

S

1

h

p

0

q

,

portanto

p

1

δ

m

p

x

m

q

0

.

Ou seja,a derivada dointerpolador é

p

1

δ

m

p

x

q

S

1

h

p

x

x

m

q #

cos

π

h

p

x

x

m

q

S

h

p

x

x

m

q

x

x

m

, se

x



x

m

0

, se

x



x

m

. (3.6)

Passo 4. Para

x

j

P

hZ

om

j



m

,(lembrandoque

x

j

x

m

p

j

m

q

h

, om

j

m

P

Z

)

p

1

δ

m

p

x

j

q

1

p

j

m

q

h



cos π

p

j

m

q

sen π

p

j

m

q

π

p

j

m

q  p

1

q

j

m

p

j

m

q

h

.

Portanto, ométodoespe tral apli adoà função

δ

m

resulta em

w

j



p

1

δ

m

p

x

j

q # p

1

q

j

m

p

j

m

q

h

, se

j



m

0

, se

j



m

. (3.7) 3.1.2 Interpolador em

ℓ

2

h

A apli ação do primeirométodo espe tral para uma função

v

P

ℓ

2

h

qual-quer  a fa ilitada pelos resultados obtidospara asfunções delta de

Krone- ker. Éo que será des rito aseguir, passo apasso.

Passo 1. Apli ar a Transformada de Fourier Semidis reta (2.4),

lem-brando que N

δ

m

p

k

q

he

ikx

m

, N

v

p

k

q

h

¸

m

P

Z

v

m

e

ikx

m

 ¸

m

P

Z

v

m

N

δ

m

p

k

q

,



k

P 

π

h

,

π

h



.

(3.8)

Passo 2. Cal ularointerpolador pelaexpressão (3.1):

p

v

p

x

q 

1

2π

»

π

h

π

h

N

v

p

k

q

e

ikx

dk



1

2π

A N

v, e

i



x

E

L

2

h



1

2π

C ¸

m

P

Z

v

m

N

δ

m

, e

i



x

G

L

2

h



1

2π

¸

m

P

Z

v

m

B N

δ

m

, e

i



x

F

L

2

h

 ¸

m

P

Z

v

m

1

2π

»

π

h

π

h

N

δ

m

p

k

q

e

ikx

dk

 ¸

m

P

Z

v

m

p

δ

m

p

x

q

,

(para tro ar a ordem do somatório om o produto interno usa-se a

bilinea-ridade doproduto interno e adesigualdade de Cau hy-S hwarz. Vide[8℄, p.

138). Ou seja,ointerpoladorde

v

ées rito omo ombinaçãodas funçõesdo tipo sin em(3.4):

p

v

p

x

q ¸

m

P

Z

v

m

p

δ

m

p

x

q ¸

m

P

Z

v

m

S

h

p

x

x

m

q

.

(3.9)

Observação 3.1.6. Nospontosdamalha,ointerpolador oin ide omafunção

original:

p

v

p

x

j

q ¸

m

P

Z

v

m

S

h

p

x

j

x

m

q

v

j

¸

m

P

Z

m



j

v

m

sen

π

_h

p

j

m

q

h

π

h

p

j

m

q

h



v

j



u

p

x

j

q

.

♦

Observação 3.1.7. No aso parti ular emque a função

u

P

L

2

p

R

q (supondo-se que sua dis retização é

v

P

ℓ

2

h

) é de banda limitada ontida no intervalo 

π

h

,

π

h



, isto é, tal que p

u

p

k

q 

0

para todo

k

R 

π

h

,

π

h

 , o teorema da

amostragem de Shannon ([9℄, p. 11) mostra que o interpolador

p

v

oin ide om afunção

u

, ou, emoutras palavras, a função

u

pode ser re onstruídaa partir dos seus valores namalha

hZ

:

u

p

x

q

p

v

p

x

q ¸

m

P

Z

u

p

x

m

q

S

h

p

x

x

m

q

.

♦

Passo 3. Cal ularaderivada do interpolador:

p

1

v

p

x

q ¸

m

P

Z

v

m

p

1

δ

m

p

x

q

.

Portanto,

p

1

v

p

x

q ¸

m

P

Z

v

m

S

1

h

p

x

x

m

q ¸

m

P

Z

x

m



x

v

m

cos

π

_h

p

x

x

m

q

S

h

p

x

x

m

q

x

x

m

.

(3.10)

Passo 4. Avaliar

p

1

v

em

x

j

P

hZ

,

w

j



p

1

v

p

x

j

q ¸

m

P

Z

v

m

p

1

δ

m

p

x

j

q ¸

m

P

Z

m



j

v

m

p

1

q

j

m

p

j

m

q

h

.

(3.11)

A derivada de uma função ujadis retização oin ide om

v

P

ℓ

2

h

é apro-ximadanamalhapelafunção

w

: hZ

Ñ

C

denidapelaequação(3.11). Esta equação pode ser representada matri ialmentedaseguintemaneira:

           . . .

w

2

w

1

w

0

w

1

w

2

. . .  Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ 

h

1

           . . . . . . . . . . . . . . .

0

1

1

2

1

3

1

4

1

0

1

1

2

1

3

1

2

1

0

1

1

2

1

3

1

2

1

0

1

1

4

1

3

1

2

1

0

. . . . . . . . . . . . . . .  Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ            . . .

v

2

v

1

v

0

v

1

v

2

. . .  Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ

,

onde a matriz duplamente innita orresponde a um operador em

ℓ

2

h

do tipo Toeplitz.

3.1.3 Segundo método espe tral - Forma alternativa

Outro método para derivação espe tral, equivalente ao primeiro,é

base-ado napropriedadedaTransformada de Fourierdafunção derivada, p

u

1 p

k

q

ik

p

u

p

k

q(teorema 2.1.12, item 1). A seguir são apresentados os detalhes:

Segundo Método Espe tral

Dada uma função

u

: R

Ñ

C

uja dis retizaçãoé

v

P

ℓ

2

h

:

Passo 1. Cal ulara Transformada de FourierSemidis reta N

v

por(2.4). Passo 2. Denir N

w

v

p

k

q

ik

N

v

p

k

q.

Passo 3. Cal ular

w

v

a partirde N

w

v

por (2.5).

Este pro esso pode ser apli adoàs funções

δ

m