Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Função Crescente. Função Decrescente

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Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Funções Crescentes e Funções Decrescentes

1.Funções crescentes e funções decrescentes 2.Pontos críticos e sua utilização

3.Uma aplicação: lucro, receita e custo

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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes

Uma função é crescente se seu gráfico sobe quando x se desloca para a direita, e é decrescente se seu gráfico desce quando x se desloca para a direita. A definição a seguir constitui um enunciado mais formal.

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Definição de Função Crescente e Função

Decrescente

Uma funçãofé crescente em um intervalo se, para qualquerx1ex2no intervalo,

x2>x1implica f(x2) >f(x1)

Uma funçãofé decrescente em um intervalo se, para qualquerx1ex2no intervalo,

x2>x1implica f(x2) <f(x1).

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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes x1 x2 f(x1) f(x2) x y

Função Crescente

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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes x1 x2 f(x2) f(x1) x y

Função Decrescente

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A função da figura a seguir é decrescente no intervalo (-∞, a), constante no intervalo (a, b) e crescente no intervalo (b, ∞). Na realidade, pela definição de função crescente e função decrescente, a função exibida na figura é decrescente no intervalo (-∞, a] e crescente no intervalo [b, ∞). No presente texto, entretanto, restringimos nosso estudo à determinação de intervalosabertos, nos quais a função é crescente ou decrescente em um intervalo.

Pode-se utilizar a derivada de uma função para determinar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo.

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Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes

1. Sef’(x)>0 para todoxem (a,b),fé crescente em (a,b).

2. Sef’(x)<0 para todoxem (a,b),fé decres-cente em (a,b).

3. Sef’(x) = 0 para todoxem (a,b),fé constante em (a,b).

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Exemplo 1: Mostre que a função

é decrescente no intervalo aberto (-∞, 0) e crescente no intervalo aberto (0,∞).

A derivada def é 2 ( ) f x =x '_{( )} ₂ f x = x 11

No intervalo aberto (-∞, 0), o fato dexser negativo implica quef’₍_x_{) = 2}_x_{é também negativa.} Logo, pelo teste para uma função decrescente, podemos concluir que f é decrescente nesse intervalo. Analogamente, no intervalo (0,∞), como

xé positivo, também o é 2x. Logo, concluímos quef

é crescente nesse intervalo, como pode ser observado na figura a seguir.

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Exemplo 2: De 1970 a 1980, o consumoCde aves

(em libras sem osso por pessoa por dia) admite como modelo

C= 33,5 + 0,074t 2_{, 0}_≤_t_≤_20, onde t = 0 corresponde a 1970. Mostre que o consumo de aves cresceu de 1970 a 1980.

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A derivada deste modelo é dC/dt= 0,148t. Parat positivo, a derivada é positiva. Portanto, a função é crescente, o que implica que o consumo de aves aumentou de 1970 a 1980.

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2. Pontos críticos e sua utili-zação

No Exemplo 1, foram dados dois intervalos – um em que a função era decrescente e um em que era crescente. Suponhamos agora que tivéssemos de determinar esses intervalos. Para isto, poderíamos ter levado em conta o fato de que, para uma função contínua,f‘₍_x_{) só pode mudar de} sinal em valores dexpara os quaisf‘₍_x_{) = 0 ou em} valores de x para os quais f ‘₍_x_{) não é definida,} conforme mostra a figura a seguir. Esses dois tipos de números são chamados pontos críticos de

f.

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Definição de Ponto Crítico

Se f é definida em c, então c é um ponto crítico def sef’₍_c_{) = 0 ou se}_f‘_{não é definida em}_c_.

Nota: Esta definição exige que o ponto crítico esteja

no domínio da função.

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Diretrizes para Determinar os Intervalos de Crescimento e Decrescimento

1. Achar a derivada def.

2. Determinar os pontos críticos defe utilizá-los para estabelecer os intervalos de teste; isto é, achar todos os valores de x para os quais

f‘₍_x_{) = 0 ou}_f‘₍_x_{) não é definida.}

3. Testar o sinal def‘₍_x_{) para um valor arbitrário} em cada um dos intervalos de teste.

4. Utilizar o teste das funções crescentes ou decrescentes para decidir se é crescente ou decrescente em cada intervalo.

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Exemplo 3: Ache os intervalos abertos em que a

função é crescente ou decrescente. 3 3 2 ( ) 2 f x =x − x 20

Comecemos calculando a derivada def. Em seguida, igualemos a derivada a zero e resolvamos a equação para achar os pontos críticos.

' 2

2

( ) 3 3 Diferenciando a função original 3 3 0 Igualando a zero a derivada 3( )( 1) 0 Fatorando 0, 1 Pontos críticos f x x x x x x x x x = − − = − = = = 21

Como não há valores dexpara os quais f‘ não seja definida, decorre quex= 0 ex= 1 são os

únicos pontos críticos. Assim, os intervalos que devem ser testados são (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞). A tabela abaixo apresenta o resultado do teste desses três intervalos.

Intervalo (-∞∞∞∞, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞) Valor de teste x= -1 x= ½ x= 2 Sinal de f‘(x) f‘(-1) = 6 >>>>0 f‘(½) = -¾ <<<<0 f‘(2) = 6 >>>>0

Conclusão Crescente Decrescente Crescente

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A função do Exemplo 3 não somente é contínua em toda a reta real, mas também diferenciável ali. Para tais funções, os únicos pontos críticos são aqueles para os quaisf‘₍_x_{) = 0.} O próximo exemplo considera uma função contínua que tem ambos os tipos de ponto crítico – os números para os quaisf‘₍_x_{) = 0 e os que}_f‘₍_x_{) não é} definida.

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Exemplo 4: Determine os intervalos abertos em

que a função é crescente ou decrescente.

(

)

2 2 3 ( ) 4 f x = x −

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Comecemos achando a derivada da função.

Vemos que a derivada é zero quandox= 0 e que não é definida parax=±2. Assim, os pontos críticos são x= -2, x= 0 e x= 2. Pontos críticos

(

)

(

)

1 ' 2 3 1 2 3 2 ( ) 4 (2 ) Diferenciar 3 4 Simplificar 3 4 f x x x x x − = − = − 26

Isto implica que os intervalos de teste são (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2) e (2, ∞) Intervalos de teste

A tabela abaixo resume os resultados do teste nesses quatro intervalos; a figura a seguir exibe o gráfico da função.

Intervalo (-∞∞∞∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, ∞∞∞∞) Valor de teste x= -3 x= -1 x= 1 x= 3 Sinal de f‘(x) f‘(-3) <<<<0 f‘(-1) >>>>0 f‘(1) <<<<0 f‘(3) >>>>0

Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

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Nota: Na tabela anterior, não é necessáriocalcular f‘₍_x_{) para os valores de teste – basta determinar} seu sinal. Assim é que podemos determinar o sinal def‘_{(-3) como segue:} ' 1 3 4( 3) ( 3) 3(9 4) negativo f negativo positivo − − = = = − 29

As funções nos Exemplos 1 a 4 são contínuas em toda a reta real. Se há valores isolados dex

para os quais a função não seja contínua, tais valores devem ser utilizados, juntamente com os pontos críticos, para determinar os intervalos de teste.

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Por exemplo, a função

não é contínua quandox= 0. Como a derivada def,

é zero quandox=±1, devemos tomar os seguintes valores para determinar os intervalos de teste:

x= -1, x= 1 (Pontos críticos) x= 0 (Descontinuidade) 4 2 1 ( ) x f x x + = 4 3 2( 1) '( ) x f x x − =

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Intervalo (-∞∞∞∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞) Valor de teste x= -2 x= -½ x= ½ x= 2 Sinal de f‘(x) f‘(-2) <<<<0 f‘(-½) >>>>0 f‘(½) <<<<0 f‘(2) >>>>0

Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

Após testarf‘₍_x_{), constatamos que a função} é decrescente nos intervalos (-∞, -1) e (0, 1), e crescente nos intervalos (-1, 0) e (1,∞), conforme mostra a figura a seguir.

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Exemplo 5: Mostre que a funçãof(x) =x3_{– 3}_x2₊ 3xé crescente em toda a reta real.

Pela derivada def,

f‘₍_x_{) = 3}_x2_{– 6}_x_{+ 3 = 3(}_x_{– 1)}2_,

podemos ver que o único ponto crítico é x = 1. Assim, os intervalos de teste são (-∞, 1) e (1,∞). A tabela a seguir resume o teste nesses dois intervalos. Pela figura a seguir, vemos que f é crescente em toda a reta real – mesmo que

f‘_{(1) = 0.}

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Intervalo (-∞∞∞∞, 1) (1, ∞∞∞∞) Valor de teste x= 0 x= 2 Sinal de f‘(x) f‘(0) = 3(0-1)2_>>>>₀ _f_{‘(2) = 3(2-1)}2_>>>>₀

Conclusão Crescente Crescente

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3. Uma aplicação: lucro, recei-ta e custo

Exemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedos

estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos.

C = 2,4x – 0,0002x2_{, 0}_≤_x_≤_6.000 R = 7,2x – 0,001x2_{, 0}_≤_x_≤_6.000 Determine o intervalo em que a função lucro é crescente.

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O lucro na produção dexunidades é

P=R–C

= (7,2x– 0,001x2_{) – (2,4}_x_{– 0,0002}_x2₎ = 4,8x– 0,0008x2_.

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Para achar o intervalo em que o lucro é crescente, façamos o lucro marginalP’_{igual a zero} e resolvamos em relação ax.

'

4,8 0,0016 Diferenciando a função lucro 4,8 0,0016 0 Fazendo P igual a 0. 0,0016 4,8 Subtraindo 4,8 de ambos os me P x x x = − − = − = − mbros 4,8

Dividindo ambos os membros por -0,0016 0,0016 3.000 unidades Simplificando x x − = − = 38

No intervalo (0, 3.000), P ‘ _{é positiva e o} lucro é crescente. No intervalo (3.000, 6.000),P‘_é negativa e o lucro é decrescente. A figura abaixo ilustra os gráficos das funções custo, receita e lucro.