Aula prática – Trigonometria (Resoluções)
1) Determine os valores das demais funções trigonométricas de um arco x quando:Relações conhecidas: sen2
α
+cos2α
=1, tg2α
+1=sec2α
,α
α
α
cos sen tg = ,α
α
α
α
sen tg g 1 cos cot = = ,α
α
cos 1sec = , cotg2
α
+1=cossec2α
eα
α
sen 1 sec cos = . a) 2 1 − = senx eπ
2π
2 3 < < x .Solução. O arco é do 4º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
i) cosx: 2 3 4 3 cos 4 1 1 cos 1 cos 2 1 1 cos 2 2 2 2 2 + = ⇒ = − ⇒ = = − ⇒ = + x x x x x sen ii) tgx: 3 3 3 3 . 3 1 3 1 3 2 . 2 1 2 3 2 1 cos =− =− =− =− − = = x senx tgx iii) secx: 3 3 2 3 3 . 3 2 3 2 2 3 1 cos 1 sec = = = = = x x iv) cotgx: 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 3 1 1 cot =− =− =− =− − = = tgx gx v) cossecx: 2 2 1 1 1 sec cos =− − = = senx x b) 3 1 cosx= e 2 0<x<
π
.Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
i) senx: 3 2 2 9 8 9 1 1 1 3 1 1 cos 2 2 2 2 2 = ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ =
+ x sen x sen x senx
x sen ii) tgx: 2 2 1 3 . 3 2 2 3 1 3 2 2 cos = = = = x senx tgx iii) secx: 3 3 1 1 cos 1 sec = = = x x
iv) cotgx: 4 2 2 2 . 2 2 1 2 2 1 1 cot = = = = tgx gx v) cossecx: 4 2 3 2 2 . 2 2 3 2 2 3 3 2 2 1 1 sec cos = = = = = senx x c)
cos
sec
x
=
−
2
e 2 3π
π
< x< .Solução. O arco é do 3º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos:
i) senx: 2 2 2 2 . 2 1 2 1 sec cos 1 =− − = − = = x senx ii) cosx: 2 2 4 2 cos 4 2 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 + = ⇒ = − ⇒ = =− − ⇒ = + x x x x x sen iii) tgx: 1 2 2 2 2 cos = − − = = x senx tgx iv) secx: 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 sec =− =− =− =− − = = x x v) cotgx: 1 1 1 1 cot = = = tgx gx d) tgx= 3 e 2 0<x<
π
.Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos: i) secx: sec2 x=1+tg2x⇒sec2 x=1+
( )
3 2 ⇒sec2 x=1+3⇒secx= 4 =2ii) cosx: 2 1 sec 1 cos = = x x iii) senx: 2 3 4 3 4 1 1 1 2 1 1 cos 2 2 2 2 2 = ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ =
+ x sen x sen x senx
x sen
iv) cossecx: 3 3 2 3 3 . 3 2 3 2 2 3 1 1 sec cos = = = = = senx x v) cotgx: 3 3 3 3 . 3 1 3 1 1 cot = = = = tgx gx 2) Sendo 5 4 cosx= e 2
0< x<
π
, calcule o valor de sen2x−3senx.Solução. O arco é do 1º quadrante. Calculando o valor de senx e substituindo, temos:
25 36 25 45 9 5 9 25 9 5 3 3 25 9 3 : 5 3 25 9 25 16 1 1 5 4 1 cos 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − = − = = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + senx x sen Logo senx x sen x sen x x sen 3) Sabendo que 5 5 cosa=− e
π
<a<π
2 , calcule o valor de
(
1
+
sena
)(
.
1
−
sena
)
.Solução. O produto indicado é a diferença de quadrados do tipo (a + b) (a – b) = a2 – b2. O arco é do 2º quadrante. Temos:
(
)(
)
5 1 25 5 5 5 cos 1 1 . 1 2 2 2 = = − = = − = −+sena sena sen a a .
4) Dado
2 2
cosx= , com
2
0<x<
π
, determine o valor de secx+cossecx.Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando a soma, temos:
2 2 2 2 4 2 2 . 2 4 2 4 2 2 2 2 1 cos 1 sec cos sec 2 2 4 2 4 2 1 1 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 = = = = + = + = + = = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + senx x x x senx x sen x sen x x sen
5) Se
2 1 cosa= e
2
0<a<
π
, qual é o valor da expressãoa a sena a y cos sec sec cos − − = ?
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando o quociente, temos:
9 3 3 3 . 3 3 1 3 3 1 3 2 . 3 2 1 2 3 3 2 1 2 1 4 3 2 3 4 2 1 2 2 3 3 2 cos cos 1 1 cos sec sec cos 2 3 4 3 4 1 1 1 2 1 1 cos 2 2 2 2 2 = = = = = − − = − − = − − = − − = = = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + a a sena sena a a sena a y sena a sen a sen a a sen 6) Simplifique as expressões: a) gx x x y cot 1 sec cos sec − −
= b)
y
=
(
sec
x
−
cos
x
)(
.
cos
sec
x
−
senx
)(
.
tgx
+
cot
gx
)
Solução. Expressando os termos em senos e cossenos, temos:
a)
x
x
x
senx
senx
x
senx
senx
x
senx
x
senx
senx
x
senx
x
senx
x
senx
senx
x
senx
x
y
sec
cos
1
cos
.
cos
.
cos
.
cos
cos
cos
.
cos
cos
1
1
cos
1
=
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
b)(
)
(
cos)
1 cos cos cos cos cos . cos cos cos . cos cos cos cos . cos cos cos cos cos cos . cos cos cos 1 cos cos cos cos cos cos 1 cos cos 1 cos cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = + = + − + = + − − + = + + − − = + − − = x x sen y senx x senx x x x sen senx x x senx x senx senx x x senx x senx x x sen y senx x x senx x senx x x sen x x senx x x senx x senx x x sen x x sen y senx x x senx x senx senx x x senx x senx senx x x senx senx senx x x y 7) Determine o valor de x x gx A sec sec cos 1 cot − − = , dado 2 1 cosx= .Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
2
1
cos
cos
.
cos
cos
.
.
cos
cos
.
cos
cos
cos
1
1
1
cos
sec
sec
cos
1
cot
=
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
x
senx
x
senx
senx
x
x
senx
senx
senx
x
x
senx
senx
x
senx
senx
x
x
senx
senx
x
x
x
gx
A
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:
i) 2 3 4 3 1 2 1 1 cos 2 2 2 2 = ⇒ = = + ⇒ = + x sen x senx x sen
ii) 3 3 2 3 3 . 3 2 3 2 sec cos x= = = iii) 3 3 3 3 . 3 1 3 1 3 2 . 2 1 2 3 2 1 cos cot = = = = = = senx x gx iv) 2 cos 1 sec = = x x Logo,
(
)
2
1
3
3
2
3
3
6
3
2
3
3
6
3
2
3
.
3
3
3
3
6
3
2
3
3
3
2
3
3
2
1
3
3
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
A
8) Dado 3 1 = senx , comπ
<x<π
2 , determine o valor de cotgx.
Solução. O arco é do 2º quadrante. Substituindo as relações conhecidas, temos:
2 2 1 3 . 3 2 2 3 1 3 2 2 cos cot 3 2 2 9 8 cos 9 1 1 cos 1 cos 3 1 1 cos 2 2 2 2 − = − = − = = − = = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + senx x gx x x x x x sen 9) Para 2 1
cosx= , qual é o valor da expressão x x gx senx x y sec sec . cot sec cos + − = ?
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
4
9
1
2
.
8
9
2
1
8
9
2
1
1
8
1
2
1
1
2
1
cos
1
cos
1
.
cos
.
1
cos
1
cos
.
1
cos
1
cos
.
1
cos
1
cos
.
1
1
cos
1
.
cos
cos
1
.
cos
1
sec
.
cot
sec
.
cot
sec
cos
sec
sec
.
cot
sec
cos
3 3 3 3 2 2 2 2=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
y
x
x
senx
x
senx
x
senx
x
senx
x
senx
x
senx
senx
x
senx
x
senx
senx
x
sen
y
x
senx
x
x
senx
x
senx
senx
x
gx
x
gx
senx
x
x
x
gx
senx
x
y
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos: i) 2 3 4 3 1 2 1 1 cos 2 2 2 2 = ⇒ = = + ⇒ = + x sen x senx x sen ii) 3 3 2 3 3 . 3 2 3 2 sec cos x= = = iii) 3 3 3 3 . 3 1 3 1 3 2 . 2 1 2 3 2 1 cos cot = = = = = = senx x gx iv) 2 cos 1 sec = = x x Logo,
4
9
4
8
1
2
4
1
2
3
12
3
3
2
3
2
3
.
6
3
2
3
3
2
6
3
2
3
3
2
6
3
3
3
4
2
2
.
3
3
2
3
3
3
2
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
−
=
+
−
=
A
10) Calcule o valor de y=senx.cosx sabendo que tgx+cotgx=2.
Solução. Desenvolvendo a soma mostrada em senos e cossenos substituindo depois em “y”, temos:
2 1 cos . 2 1 cos cos 2 1 2 cos . cos 2 cos cos 2 cot 2 2 = = = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + x senx y x senx x senx x senx x x sen senx x x senx gx tgx
11) Escreva a expressão y =senx.tgx+2cosx em função de
cos
x
. Solução. Expressando todos os termos em cossenos, temos:x x y x x x x x x sen x x x sen x x senx senx x tgx senx y cos cos 1 cos cos 2 cos 1 cos cos 2 cos 2 cos cos 2 cos . cos 2 . 2 2 2 2 2 2 + = + − = + = + = + = + =
12) Se m=senx+cosx e
n
=
senx
−
cos
x
, prove que m2 +n2 =2.Solução. Calculando os quadrados de “m” e “n” e efetuando a soma, temos:
(
)
(
)
2 1 1 cos . 2 1 cos . 2 1 cos . 2 1 cos . 2 cos cos cos . 2 cos cos . 2 1 cos . 2 cos cos cos . 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = − + + = + ⇒ − = − + = + − = − = + = + + = + + = + = x senx x senx n m x senx x senx x x sen x x senx x sen x senx n x senx x senx x x sen x x senx x sen x senx m13) Se t x senx tgx= =
cos , escreva a expressão sen x x x senx x sen y 2 2 2 cos cos . − +
= em função de t. (Sugestão: use a fatoração no numerador e denominador da fração.
Solução 1. Colocando em evidência senx no numerador e expressando o denominador como produto da soma pela diferença, temos:
(
)
(
)(
) (
)
1
cos
cos
cos
.
cos
cos
.
cos
.
cos
cos
cos
cos
.
2 2 2−
=
−
=
−
=
−
+
+
=
−
+
=
t
t
x
x
x
senx
x
senx
x
senx
senx
x
senx
x
senx
x
senx
senx
x
x
sen
x
senx
x
sen
y
OBS: Dividindo todos os termos de
(
senx
x
)
senx
cos
−
por cosx, não alteramos o resultado. Observe ainda que cosx é diferente de zero, pois tgx = t (existe), possibilitando, assim, a divisão.Solução 2. Escrevendo senx=t.cosx e substituindo na expressão, temos:
