Eletromagnetismo I. Cap. 4: Campos elétricos em meios materiais 4.1: Polarização Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo I

Cap. 4: Campos elétricos em meios materiais 4.1: Polarização

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

4.1 – Polarização

4.1.1 – Introdução

• Ao longo dos capítulos anteriores, discutimos como condutores respondem a campos eletrostáticos e entram em equilíbrio (blindagem eletrostática).

• Neste capítulo, vamos discutir em mais detalhes o comportamento de meios dielétricos (isolantes)

• Nos isolantes, os elétrons são fortemente ligados aos núcleos ou em ligações químicas. Portanto, esses elétrons devem apresentar uma resposta diferente a campos externos.

• Vamos começar estudando a resposta de átomos e moléculas apolares e polares a esses campos para depois entender o comportamento de um meio dielétrico.

4.1.2 – Dipolos induzidos em átomos e moléculas apolares

O que acontece quando um átomo neutro é submetido a um campo elétrico externo 𝐄?

• O núcleo positivo se desloca no sentido do campo, enquanto a nuvem eletrônica se move em sentido contrário (e se deforma ligeiramente).

• Na nova configuração de equilíbrio, a força produzida pelo campo compensa a atração entre o núcleo e a nuvem, resultando em um momento de dipolo 𝐩 no mesmo sentido de 𝐄.

𝐄 = 𝟎

Para campos suficientemente fracos, observamos tipicamente que:

onde a constante 𝛼 é conhecida como polarizabilidade atômica.

𝐩 = 𝛼𝐄

• Note que 𝛼 tem unidades de 𝜖₀ × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.

• Por que a polarizabilidade dos metais alcalinos (Li, Na, K, Cs) é bem maior que a dos demais átomos na tabela?

• Como estimar a ordem de grandeza da polarizabilidade?

Exemplo: Modelo simplificado para a polarizabilidade de um átomo

• Vamos modelar o núcleo como uma carga puntiforme 𝑞 e a nuvem eletrônica como uma esfera uniformemente carregada de raio 𝑎 e carga −𝑞.

• Vamos supor ainda que o deslocamento 𝑑 produzido pelo campo é pequeno, de forma que a nuvem eletrônica se desloca rigidamente, sem deformação.

Pela lei de Gauss, o campo produzido pela nuvem a uma distância 𝑑 de seu centro (posição do núcleo) tem módulo igual a:

𝐸_𝑒 = 1 4𝜋𝜀₀

𝑄_𝑖𝑛𝑡^𝑆

𝑑² = 1 4𝜋𝜀₀

𝑞 𝑑 𝑎

3

𝑑² = 1 4𝜋𝜀₀

𝑞𝑑 𝑎³

No equilíbrio, teremos:

𝐸 = 𝐸_𝑒 = 𝑞𝑑 4𝜋𝜀₀𝑎³

𝑝 = 𝑞𝑑 = 4𝜋𝜀₀𝑎³ 𝐸

• Note que ^𝛼

4𝜋𝜀₀ = 𝑎³ é da ordem de grandeza do volume atômico (∼ 10⁻³⁰m)!

• Veja também o problema 4.2 do livro-texto para um modelo um pouco mais sofisticado.

𝛼 = 4𝜋𝜀₀𝑎³

⇒

𝐹_𝑒𝑥𝑡 = 𝐹_𝑒

Portanto:

A intensidade do campo é dada por:

Por outro lado:

𝑝 = 𝑞𝑑 = 𝛼𝐸 ⇒ 𝑑 = 𝛼𝐸 𝑞

Substituindo o valor de 𝛼 da tabela e 𝑞 = 𝑒 = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, obtemos:

𝑑 ≈ 2,3 × 10⁻¹⁶m ⇒ 𝑑/𝑎₀ ≈ 4,6 × 10⁻⁶

onde 𝑎₀ ≈ 0.5 Å = 0.5 × 10⁻¹⁰m é o raio de Bohr.

𝐸 = 𝑉

𝐿 = 500 V

10⁻³m = 5 × 10⁵ V/m

Polarizabilidade em moléculas

Em moléculas, a nuvem eletrônica deixa de ter simetria esférica e assume formatos mais complicados. Com isso, algumas direções são mais fáceis de polarizar que outras.

Exemplo: CO₂ (gás carbônico)

𝛼_∥ > 𝛼_⊥

De forma geral:

𝑝_𝑖 = ෍

𝑗

𝛼_𝑖𝑗𝐸_𝑗 (𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)

As nove constantes 𝛼_𝑖𝑗 definem o tensor polarizabilidade da molécula.

Note que 𝐩 pode ter uma direção diferente de 𝐄!

4.1.3 – Moléculas polares (dipolos permanentes)

A molécula de gás carbônico que acabamos de discutir é apolar por causa de sua geometria linear. O mesmo não ocorre com outras moléculas, que apresentam um momento de dipolo permanente.

Exemplo: CO₂ vs H₂O (água)

Para a água, 𝑝_𝑡𝑜𝑡 = 1.85 D ≈ 6,1 × 10⁻³⁰ C. m (1 D = 3,33 × 10⁻³⁰ C.m)

Dipolo permanente em um campo externo

Vamos modelar uma molécula polar como um dipolo físico, como mostrado na figura abaixo.

Se o campo elétrico externo 𝐄 for uniforme, a força resultante sobre o dipolo é nula:

𝐅 = 𝐅₊ + 𝐅₋ = 𝑞𝐄 + −𝑞 𝐄 = 𝟎

Por outro lado, o dipolo sentirá a ação de um torque (com relação à carga negativa, onde 𝐫_ = 𝟎):

𝐍 = 𝐫₊ × 𝐅₊ = 𝐝 × 𝑞𝐄 = 𝑞𝐝 × 𝐄 ⇒ 𝐍 = 𝐩 × 𝐄

Como a força resultante é nula, este torque será o mesmo para qualquer ponto de referência!

Note que o torque atua sempre no sentido de alinhar 𝐩 e 𝐄 (posição de equilíbrio estável)!

Se o campo elétrico externo 𝐄 for não-uniforme, haverá uma força resultante sobre o dipolo:

𝐅 = 𝐅₊ + 𝐅₋ = 𝑞(𝐄₊ − 𝐄₋) = 𝑞Δ𝐄

Se o campo variar lentamente na escala de 𝑑, podemos tratar sua variação como infinitesimal. Assim:

Δ𝐸_𝑖 = 𝛁𝐸_𝑖 ⋅ 𝐝 = (𝐝 ⋅ 𝛁)𝐸_𝑖 (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐅 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐄

Portanto:

OBS: Lembre que 𝐩 ⋅ 𝛁 ≡ 𝑝_𝑥 ^𝜕

𝜕𝑥 + 𝑝_𝑦 ^𝜕

𝜕𝑦 + 𝑝_𝑧 ^𝜕

𝜕𝑧 é um operador que atua em cada uma das componentes de 𝐄

Observações:

• Naturalmente, as expressões obtidas continuam válidas no limite de um dipolo puntiforme.

• Se a força resultante for não-nula, o torque passa a depender do ponto de referência. A expressão 𝐍 = 𝐩 × 𝐄 permanece válida com relação ao centro de massa do dipolo.

• De forma geral:

𝐍 = 𝐩 × 𝐄 + 𝐫_𝐶𝑀 × 𝐅

onde 𝐫_𝐶𝑀 é o vetor posição do centro de massa com relação ao ponto de referência.

O campo elétrico produzido por 𝑞 em um ponto arbitrário no plano XY (plano de 𝐩) é:

𝐄 = 1 4𝜋𝜀₀

𝑞

𝑟² ො𝐫 = 1 4𝜋𝜀₀

𝑞 𝑟³ 𝐫

= 1 4𝜋𝜀₀

𝑞

𝑥² + 𝑦^{2 32}

(𝑥 ො𝐱 + 𝑦 ො𝐲)

Vamos calcular cada componente não-nula da força:

𝐹_𝑥 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐸_𝑥 = 𝑝_𝑥 𝜕

𝜕𝑥 + 𝑝_𝑦 𝜕

𝜕𝑦

𝑞 4𝜋𝜀₀

𝑥

𝑥² + 𝑦^{2 32}

= 𝑞

4𝜋𝜀₀ 𝑝_𝑥 𝑥² + 𝑦^{2 32} − 𝑥 3 2 𝑥Τ ² + 𝑦^{2 12} 2𝑥

𝑥² + 𝑦^{2 3} + 𝑝_𝑦 𝑥 − Τ3 2 2𝑦 𝑥² + 𝑦^{2 52}

Simplificando:

𝐹_𝑥 = 𝑞

4𝜋𝜀₀ 𝑝_𝑥 𝑥² + 𝑦² − 3𝑥² 𝑥² + 𝑦^{2 52}

− 𝑝_𝑦 3𝑥𝑦 𝑥² + 𝑦^{2 52}

= 𝑞 4𝜋𝜀₀

𝑝_𝑥 𝑦² − 2𝑥² − 𝑝_𝑦(3𝑥𝑦) 𝑥² + 𝑦^{2 52}

Analogamente (verifique):

𝐹_𝑦 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐸_𝑦 = 𝑞 4𝜋𝜀₀

𝑝_𝑦 𝑥² − 2𝑦² − 𝑝_𝑥(3𝑥𝑦) 𝑥² + 𝑦^{2 52}

Agora que calculamos as derivadas num ponto genérico, podemos substituir a posição do dipolo em 𝑥 = 𝑟 e 𝑦 = 0.

Com isso:

𝐹_𝑥 = 𝑞

4𝜋𝜀₀ −2𝑝_𝑥 𝑟³

Portanto:

𝐹_𝑦 = 𝑞 4𝜋𝜀₀

𝑝_𝑦 𝑟³

𝐅 = 𝑞

4𝜋𝜀₀𝑟³ −2𝑝_𝑥ො𝐱 + 𝑝_𝑦𝐲 =ො 𝑞

4𝜋𝜀₀𝑟³ (𝐩 − 3𝑝_𝑥ො𝐱)

Pela figura, note agora que 𝑝_𝑥ො𝐱 = 𝐩 ⋅ ො𝐫′ ො𝐫′. Assim:

𝐅 = 𝑞

4𝜋𝜀₀𝑟³ 𝐩 − 3 𝐩 ⋅ ො𝐫′ ො𝐫^′

4.1.4 – Polarização

Podemos pensar em alguns meios dielétricos como uma coleção dos átomos e moléculas que acabamos de descrever:

(1) Coleção de átomos neutros ou moléculas apolares (exemplo: cristais de gases nobres):

(2) Coleção de moléculas polares (exemplo: água no estado líquido):

• No entanto, essas descrições são válidas apenas quando as interações interatômicas ou intermoleculares são fracas, tipicamente interações de van-der-Waals.

• Em outros meios, interações mais fortes podem levar a configurações eletrônicas completamente diferentes de uma simples coleção de átomos neutros:

NaCl (sal de cozinha): cristal iônico

Silício: cristal covalente

Naturalmente, a resposta desses meios a um campo elétrico externo deve ser mais complicada, mas ainda esperamos observar uma polarização!

De maneira geral, independentemente das características microscópicas de um meio dielétrico, podemos adotar a seguinte descrição macroscópica:

• As dimensões do meio são muito maiores que as distâncias interatômicas, de forma que podemos tratá-lo como uma distribuição contínua.

• Um elemento de volume infinitesimal 𝑑𝑣 deste meio conterá uma quantidade enorme de átomos ou moléculas.

• Este elemento possuirá um momento de dipolo infinitesimal dado por:

𝑑𝐩 = 𝐏 𝐫 𝑑𝑣

A função vetorial 𝐏(𝐫) é conhecida como polarização. Note que ela tem dimensão de momento de dipolo por unidade de volume e pode ter um valor diferente para cada ponto do meio.

OBS: Mais fundamentalmente, é possível definir uma polarização microscópica a partir da qual podemos obter a polarização macroscópica acima. Para mais detalhes (avançados), veja a seção 6.2 do Zangwill.

Meio dielétrico

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap.4

• Purcell – cap. 10

Leitura adicional (mais avançada)

• Zangwill – seções 6.1 a 6.3 (introdução mais matemática e um pouco mais avançada da polarização macroscópica)