• Nenhum resultado encontrado

Eletromagnetismo I. Cap. 4: Campos elétricos em meios materiais 4.1: Polarização Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Eletromagnetismo I. Cap. 4: Campos elétricos em meios materiais 4.1: Polarização Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ"

Copied!
21
0
0

Texto

(1)

Eletromagnetismo I

Cap. 4: Campos elétricos em meios materiais 4.1: Polarização

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

(2)

4.1 – Polarização

4.1.1 – Introdução

Ao longo dos capítulos anteriores, discutimos como condutores respondem a campos eletrostáticos e entram em equilíbrio (blindagem eletrostática).

Neste capítulo, vamos discutir em mais detalhes o comportamento de meios dielétricos (isolantes)

Nos isolantes, os elétrons são fortemente ligados aos núcleos ou em ligações químicas. Portanto, esses elétrons devem apresentar uma resposta diferente a campos externos.

Vamos começar estudando a resposta de átomos e moléculas apolares e polares a esses campos para depois entender o comportamento de um meio dielétrico.

(3)

4.1.2 – Dipolos induzidos em átomos e moléculas apolares

O que acontece quando um átomo neutro é submetido a um campo elétrico externo 𝐄?

O núcleo positivo se desloca no sentido do campo, enquanto a nuvem eletrônica se move em sentido contrário (e se deforma ligeiramente).

Na nova configuração de equilíbrio, a força produzida pelo campo compensa a atração entre o núcleo e a nuvem, resultando em um momento de dipolo 𝐩 no mesmo sentido de 𝐄.

𝐄 = 𝟎

(4)

Para campos suficientemente fracos, observamos tipicamente que:

onde a constante 𝛼 é conhecida como polarizabilidade atômica.

𝐩 = 𝛼𝐄

Note que 𝛼 tem unidades de 𝜖0 × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.

Por que a polarizabilidade dos metais alcalinos (Li, Na, K, Cs) é bem maior que a dos demais átomos na tabela?

Como estimar a ordem de grandeza da polarizabilidade?

(5)

Exemplo: Modelo simplificado para a polarizabilidade de um átomo

Vamos modelar o núcleo como uma carga puntiforme 𝑞 e a nuvem eletrônica como uma esfera uniformemente carregada de raio 𝑎 e carga −𝑞.

Vamos supor ainda que o deslocamento 𝑑 produzido pelo campo é pequeno, de forma que a nuvem eletrônica se desloca rigidamente, sem deformação.

Pela lei de Gauss, o campo produzido pela nuvem a uma distância 𝑑 de seu centro (posição do núcleo) tem módulo igual a:

𝐸𝑒 = 1 4𝜋𝜀0

𝑄𝑖𝑛𝑡𝑆

𝑑2 = 1 4𝜋𝜀0

𝑞 𝑑 𝑎

3

𝑑2 = 1 4𝜋𝜀0

𝑞𝑑 𝑎3

(6)

No equilíbrio, teremos:

𝐸 = 𝐸𝑒 = 𝑞𝑑 4𝜋𝜀0𝑎3

𝑝 = 𝑞𝑑 = 4𝜋𝜀0𝑎3 𝐸

Note que 𝛼

4𝜋𝜀0 = 𝑎3 é da ordem de grandeza do volume atômico (∼ 10−30m)!

Veja também o problema 4.2 do livro-texto para um modelo um pouco mais sofisticado.

𝛼 = 4𝜋𝜀0𝑎3

𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑒

Portanto:

(7)
(8)

A intensidade do campo é dada por:

Por outro lado:

𝑝 = 𝑞𝑑 = 𝛼𝐸 ⇒ 𝑑 = 𝛼𝐸 𝑞

Substituindo o valor de 𝛼 da tabela e 𝑞 = 𝑒 = 1.6 × 10−19 C, obtemos:

𝑑 ≈ 2,3 × 10−16m ⇒ 𝑑/𝑎0 ≈ 4,6 × 10−6

onde 𝑎0 ≈ 0.5 Å = 0.5 × 10−10m é o raio de Bohr.

𝐸 = 𝑉

𝐿 = 500 V

10−3m = 5 × 105 V/m

(9)

Polarizabilidade em moléculas

Em moléculas, a nuvem eletrônica deixa de ter simetria esférica e assume formatos mais complicados. Com isso, algumas direções são mais fáceis de polarizar que outras.

Exemplo: CO2 (gás carbônico)

𝛼 > 𝛼

De forma geral:

𝑝𝑖 = ෍

𝑗

𝛼𝑖𝑗𝐸𝑗 (𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)

As nove constantes 𝛼𝑖𝑗 definem o tensor polarizabilidade da molécula.

Note que 𝐩 pode ter uma direção diferente de 𝐄!

(10)

4.1.3 – Moléculas polares (dipolos permanentes)

A molécula de gás carbônico que acabamos de discutir é apolar por causa de sua geometria linear. O mesmo não ocorre com outras moléculas, que apresentam um momento de dipolo permanente.

Exemplo: CO2 vs H2O (água)

Para a água, 𝑝𝑡𝑜𝑡 = 1.85 D ≈ 6,1 × 10−30 C. m (1 D = 3,33 × 10−30 C.m)

(11)

Dipolo permanente em um campo externo

Vamos modelar uma molécula polar como um dipolo físico, como mostrado na figura abaixo.

Se o campo elétrico externo 𝐄 for uniforme, a força resultante sobre o dipolo é nula:

𝐅 = 𝐅+ + 𝐅 = 𝑞𝐄 + −𝑞 𝐄 = 𝟎

Por outro lado, o dipolo sentirá a ação de um torque (com relação à carga negativa, onde 𝐫_ = 𝟎):

𝐍 = 𝐫+ × 𝐅+ = 𝐝 × 𝑞𝐄 = 𝑞𝐝 × 𝐄 ⇒ 𝐍 = 𝐩 × 𝐄

Como a força resultante é nula, este torque será o mesmo para qualquer ponto de referência!

Note que o torque atua sempre no sentido de alinhar 𝐩 e 𝐄 (posição de equilíbrio estável)!

(12)

Se o campo elétrico externo 𝐄 for não-uniforme, haverá uma força resultante sobre o dipolo:

𝐅 = 𝐅+ + 𝐅 = 𝑞(𝐄+ − 𝐄) = 𝑞Δ𝐄

Se o campo variar lentamente na escala de 𝑑, podemos tratar sua variação como infinitesimal. Assim:

Δ𝐸𝑖 = 𝛁𝐸𝑖 ⋅ 𝐝 = (𝐝 ⋅ 𝛁)𝐸𝑖 (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐅 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐄

Portanto:

OBS: Lembre que 𝐩 ⋅ 𝛁 ≡ 𝑝𝑥 𝜕

𝜕𝑥 + 𝑝𝑦 𝜕

𝜕𝑦 + 𝑝𝑧 𝜕

𝜕𝑧 é um operador que atua em cada uma das componentes de 𝐄

(13)

Observações:

Naturalmente, as expressões obtidas continuam válidas no limite de um dipolo puntiforme.

Se a força resultante for não-nula, o torque passa a depender do ponto de referência. A expressão 𝐍 = 𝐩 × 𝐄 permanece válida com relação ao centro de massa do dipolo.

De forma geral:

𝐍 = 𝐩 × 𝐄 + 𝐫𝐶𝑀 × 𝐅

onde 𝐫𝐶𝑀 é o vetor posição do centro de massa com relação ao ponto de referência.

(14)
(15)

O campo elétrico produzido por 𝑞 em um ponto arbitrário no plano XY (plano de 𝐩) é:

𝐄 = 1 4𝜋𝜀0

𝑞

𝑟2 ො𝐫 = 1 4𝜋𝜀0

𝑞 𝑟3 𝐫

= 1 4𝜋𝜀0

𝑞

𝑥2 + 𝑦2 32

(𝑥 ො𝐱 + 𝑦 ො𝐲)

Vamos calcular cada componente não-nula da força:

𝐹𝑥 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐸𝑥 = 𝑝𝑥 𝜕

𝜕𝑥 + 𝑝𝑦 𝜕

𝜕𝑦

𝑞 4𝜋𝜀0

𝑥

𝑥2 + 𝑦2 32

= 𝑞

4𝜋𝜀0 𝑝𝑥 𝑥2 + 𝑦2 32 − 𝑥 3 2 𝑥Τ 2 + 𝑦2 12 2𝑥

𝑥2 + 𝑦2 3 + 𝑝𝑦 𝑥 − Τ3 2 2𝑦 𝑥2 + 𝑦2 52

(16)

Simplificando:

𝐹𝑥 = 𝑞

4𝜋𝜀0 𝑝𝑥 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥2 𝑥2 + 𝑦2 52

− 𝑝𝑦 3𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑦2 52

= 𝑞 4𝜋𝜀0

𝑝𝑥 𝑦2 − 2𝑥2 − 𝑝𝑦(3𝑥𝑦) 𝑥2 + 𝑦2 52

Analogamente (verifique):

𝐹𝑦 = 𝐩 ⋅ 𝛁 𝐸𝑦 = 𝑞 4𝜋𝜀0

𝑝𝑦 𝑥2 − 2𝑦2 − 𝑝𝑥(3𝑥𝑦) 𝑥2 + 𝑦2 52

(17)

Agora que calculamos as derivadas num ponto genérico, podemos substituir a posição do dipolo em 𝑥 = 𝑟 e 𝑦 = 0.

Com isso:

𝐹𝑥 = 𝑞

4𝜋𝜀0 −2𝑝𝑥 𝑟3

Portanto:

𝐹𝑦 = 𝑞 4𝜋𝜀0

𝑝𝑦 𝑟3

𝐅 = 𝑞

4𝜋𝜀0𝑟3 −2𝑝𝑥ො𝐱 + 𝑝𝑦𝐲 =ො 𝑞

4𝜋𝜀0𝑟3 (𝐩 − 3𝑝𝑥ො𝐱)

Pela figura, note agora que 𝑝𝑥ො𝐱 = 𝐩 ⋅ ො𝐫′ ො𝐫′. Assim:

𝐅 = 𝑞

4𝜋𝜀0𝑟3 𝐩 − 3 𝐩 ⋅ ො𝐫′ ො𝐫

(18)

4.1.4 – Polarização

Podemos pensar em alguns meios dielétricos como uma coleção dos átomos e moléculas que acabamos de descrever:

(1) Coleção de átomos neutros ou moléculas apolares (exemplo: cristais de gases nobres):

(2) Coleção de moléculas polares (exemplo: água no estado líquido):

(19)

No entanto, essas descrições são válidas apenas quando as interações interatômicas ou intermoleculares são fracas, tipicamente interações de van-der-Waals.

Em outros meios, interações mais fortes podem levar a configurações eletrônicas completamente diferentes de uma simples coleção de átomos neutros:

NaCl (sal de cozinha): cristal iônico

Silício: cristal covalente

Naturalmente, a resposta desses meios a um campo elétrico externo deve ser mais complicada, mas ainda esperamos observar uma polarização!

(20)

De maneira geral, independentemente das características microscópicas de um meio dielétrico, podemos adotar a seguinte descrição macroscópica:

As dimensões do meio são muito maiores que as distâncias interatômicas, de forma que podemos tratá-lo como uma distribuição contínua.

Um elemento de volume infinitesimal 𝑑𝑣 deste meio conterá uma quantidade enorme de átomos ou moléculas.

Este elemento possuirá um momento de dipolo infinitesimal dado por:

𝑑𝐩 = 𝐏 𝐫 𝑑𝑣

A função vetorial 𝐏(𝐫) é conhecida como polarização. Note que ela tem dimensão de momento de dipolo por unidade de volume e pode ter um valor diferente para cada ponto do meio.

OBS: Mais fundamentalmente, é possível definir uma polarização microscópica a partir da qual podemos obter a polarização macroscópica acima. Para mais detalhes (avançados), veja a seção 6.2 do Zangwill.

Meio dielétrico

(21)

Referências básicas

Griffiths (3ª edição) – cap.4

Purcell – cap. 10

Leitura adicional (mais avançada)

Zangwill seções 6.1 a 6.3 (introdução mais matemática e um pouco mais avançada da polarização macroscópica)

Referências

Documentos relacionados

• The definition of the concept of the project’s area of indirect influence should consider the area affected by changes in economic, social and environmental dynamics induced

Nas leituras de falhas efetuadas, foram obtidos códigos de anomalia por meio de dois diferentes protocolos de comunicação: o ISO 14230 KWP (2000) e o ISO 15765-4 CAN. A seguir, no

Como a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Faraday não contém termos de fontes (cargas ou correntes), elas não são modificadas. Compare com as equações originais

Para um elemento infinitesimal de

Como vimos no curso de Física 3, a forma integral da lei de Ampère é muito útil para a obtenção de campos magnéticos produzidos por distribuições de corrente com alta

A curtas distâncias, termos de ordem superior da expansão em multipolos devem dar contribuições relevantes, de forma que o campo da espira não coincide com o de um dipolo

Como vimos anteriormente, podemos construir qualquer solução da equação de onda a partir de uma superposição de ondas monocromáticas.. Sendo assim, podemos nos concentrar no

Se a