Eletromagnetismo II. Cap. 7: Eletrodinâmica 7.2 Parte 1: Lei de Faraday e indução eletromagnética. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo II

Cap. 7: Eletrodinâmica

7.2 – Parte 1: Lei de Faraday e indução eletromagnética Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

7.2 – Indução eletromagnética

7.2.1 - Lei de Faraday-Lenz

Na primeira metade do século XIX, Michael Faraday realizou uma série de experimentos para entender o fenômeno da indução magnética. Vamos ver alguns deles (esquematicamente).

Exemplo 1: Imãs permanentes e bobinas

Exemplo 2: Bobina imersa em campo magnético uniforme

Detectamos uma corrente induzida na bobina quando:

• O campo magnético permanece constante, mas a forma da bobina é alterada (por exemplo, comprimida).

• O campo magnético permanece constante, mas a orientação da bobina com relação ao campo é alterada.

Em todas as situações, a corrente é detectada apenas enquanto a alteração ocorre!

Figuras: Física 3 – Young & Freedman

Ver também: https://www.youtube.com/watch?v=vwIdZjjd8fo&ab_channel=ElectricandMagneticFields(imã e bobina) Estes experimentos sugerem que há uma corrente induzida quando há variação do fluxo de campo magnético através da bobina!

Lei de Faraday:

• A corrente surge pela atuação de uma força eletromotriz induzida (fem), cujas origens discutiremos em breve.

• Faraday descobriu empiricamente a relação entre esta fem e a variação de fluxo de campo magnético:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = − 𝑑Φ_𝐵^𝑆

𝑑𝑡 = − 𝑑 𝑑𝑡 න

𝑆

𝐁 ⋅ d𝐚

Note que:

• 𝐶 é uma curva fechada e orientada.

• 𝑆 é uma superfície aberta delimitada por 𝐶. O sentido do vetor unitário 𝐧ෝ normal à superfície é dado pela regra da mão direita a partir da orientação de 𝐶.

• O sinal de ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 indica o seu sentido com relação à orientação de 𝐶.

Lei de Lenz:

O sinal negativo na lei de Faraday possui uma interpretação física clara, conhecida como lei de Lenz:

Esta lei nos auxilia a determinar o sentido da fem e da corrente induzida em muitas situações, como veremos a seguir.

OBS: O mesmo princípio se aplica a outras respostas de um sistema a essas variações, como forças e torques magnéticos.

A fem induzida atua sempre de forma a se opor a variações de fluxo de campo magnético.

Exemplo 1 (qualitativo): imã e espira

Qual é a origem da fem em cada uma das situações acima? Será que ela é a mesma?

Exemplo 2: gerador de corrente contínua

(a) Vamos começar definindo a posição 𝑥(𝑡) da barra num instante 𝑡. Definimos ainda o circuito 𝐶 formado pela barra e os trilhos, orientado no sentido horário, e a superfície 𝑆 como a área definida por 𝐶.

O fluxo de campo magnético através de 𝑆 num instante 𝑡 é:

Φ_𝐵^𝑆 = න

𝑆

𝐁 ⋅ d𝐚 = 𝐵 𝑙 𝑥(𝑡)

onde exploramos o fato de que 𝐁 é uniforme e tem o mesmo sentido de 𝐧.ෝ

A fem induzida será:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = −𝑑Φ_𝐵^𝑆

𝑑𝑡 = − 𝑑

𝑑𝑡 𝐵 𝑙 𝑥 𝑡 = −𝐵 𝑙 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = −𝐵𝑙𝑣

A fem negativa indica que ela e a corrente induzida têm sentido contrário à orientação de 𝑪, ou seja, sentido anti- horário! Naturalmente, este resultado é consistente com a lei de Lenz.

Finalmente, se desprezarmos a resistência elétrica da barra e dos trilhos horizontais, a lei de Ohm nos dá a intensidade da corrente induzida como:

Se a velocidade 𝑣 da barra for mantida constante, a corrente acima será constante, de forma que o sistema atua como um gerador de corrente contínua (DC).

Pergunta: O que acontece se invertermos o sentido da velocidade?

𝐼_𝑖𝑛𝑑 = |ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 |

𝑅 = 𝐵𝑙𝑣 𝑅

(b) Como a corrente induzida está na presença do campo, haverá uma força magnética sobre a barra. Explorando mais uma vez a uniformidade do campo, podemos calculá-la como:

𝐅_𝑚 = න

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝐼_𝑖𝑛𝑑 𝑑𝐥 × 𝐁 = −𝐼_𝑖𝑛𝑑 𝑙 𝐵 ො𝐱

• Note que a força magnética atua no sentido de desacelerar o movimento da barra, o que causará uma diminuição da corrente com o tempo!

• Para impedir esta variação e manter a corrente constante, devemos aplicar uma força 𝐅 = −𝐅_𝐦 para sustentar o movimento da barra.

• Esta força é tipicamente de origem mecânica, de forma que o sistema converte energia mecânica em energia elétrica. Este é o princípio do gerador.

= − 𝐵²𝑙² 𝑅 𝑣 ො𝐱

(c) Supondo que apenas a força magnética atua sobre a barra ao longo da direção horizontal, a 2ª lei de Newton dá:

𝐅_𝐫𝐞𝐬 = 𝐅_𝑚 𝑚 𝑑𝐯

𝑑𝑡 = −𝐵²𝑙² 𝑅 𝐯

Em forma escalar, podemos escrever:

⇒

𝑑𝑣

𝑣 = − 𝐵²𝑙² 𝑚𝑅 𝑑𝑡

Integrando de 0 a 𝑡 (no tempo), obtemos:

ln 𝑣 𝑡

𝑣₀ = −𝐵²𝑙²

𝑚𝑅 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑣₀ exp − 𝐵²𝑙² 𝑚𝑅 𝑡

⇒

Note como a velocidade da barra cai exponencialmente com o tempo pela ação da força magnética, como já havíamos antecipado!

Mas... A força magnética não realiza trabalho! O cálculo acima parece contradizer isto. O que está acontecendo?

(d) A potência dissipada no resistor no instante 𝑡 é:

𝑃(𝑡) = 𝑅𝐼_𝑖𝑛𝑑² = 𝑅 𝐵𝑙𝑣(𝑡) 𝑅

2

= 𝐵²𝑙²𝑣(𝑡)²

𝑅 = 𝐵²𝑙²𝑣₀²

𝑅 exp −2𝐵²𝑙² 𝑚𝑅 𝑡

Como 𝑃 = 𝑑𝑊/𝑑𝑡, a energia total fornecida ao resistor (e dissipada por ele) é:

𝑊 = න

0

∞

𝑃 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐵²𝑙²𝑣₀²

𝑅 න

0

∞

exp −2𝐵²𝑙²

𝑚𝑅 𝑡 𝑑𝑡 = −𝐵²𝑙²𝑣₀² 𝑅

𝑚𝑅

2𝐵²𝑙² exp −2𝐵²𝑙² 𝑚𝑅 𝑡 ቚ

0

∞

𝑊 = 𝑚𝑣₀² 2

ou seja, toda a energia cinética inicial da barra é fornecida ao resistor! Quem está fazendo esse direcionamento da energia?

7.2.2 – Força eletromotriz induzida pelo movimento (fem de movimento)

Considere a mesma barra do exemplo anterior. Vamos observar em mais detalhe o movimento dos portadores de carga no interior dela:

• Em razão do movimento da barra, os portadores de carga possuem uma componente da velocidade nesta direção.

• Esta componente dá origem à uma força magnética vertical, diferente da força horizontal que consideramos anteriormente. Seu módulo é:

𝐹_𝑚 = 𝑞 𝐯 × 𝐁 = 𝑞𝑣𝐵

Esta força gera um movimento de cargas na direção vertical e dá origem à corrente induzida quando a barra está

conectada no circuito! Portanto, neste exemplo, ela é o agente não-eletrostático responsável pela força eletromotriz!

Lembrando da definição geral de fem, tomamos 𝑓_𝑛𝑒 = 𝑓_𝑚 = ^𝐹𝑚

𝑞 = 𝑣𝐵 como a força não-eletrostática por unidade de carga. Para o comprimento da barra, teremos:

ℰ_𝑖𝑛𝑑 = න

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝐟_𝑛𝑒 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

𝑣𝐵 𝑑𝑙 = 𝑣𝐵𝑙

• Este é o mesmo resultado que obtivemos via lei de Faraday no exemplo anterior, sugerindo que essa componente da força magnética realmente é a responsável pela fem!

• Note que, juntas, as componentes horizontal e vertical da força magnética não realizam trabalho. A força magnética atua apenas como uma “redirecionadora” da energia!

• Para maiores detalhes, veja a discussão na seção 7.1.3 do livro-texto.

Definição geral da fem de movimento

Considere um fio de formato genérico, onde cada ponto se desloca com uma velocidade 𝐯. Este fio está imerso em um campo magnético estacionário 𝐁.

A força magnética por unidade de carga que atua sobre os portadores em razão deste movimento é:

𝐟_𝑚 = 𝐯 × 𝐁

Com isso, a fem de movimento total induzida ao longo do fio será:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = න

𝐶

𝐟_𝑚 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝐶

(𝐯 × 𝐁) ⋅ 𝑑𝐥

Note que a integral pode ser feita em um caminho aberto, como a barra que acabamos de discutir. A fem vem da ação da força magnética, que atua independentemente do sistema formar um circuito!

OBS: O nome “fem de movimento” vem do fato do sistema precisar estar em movimento num campo magnético para ela surgir. Note que a expressão envolve explicitamente a velocidade!

Equivalência com a lei de Faraday

Para um circuito fechado em movimento num campo estacionário, devemos verificar a equivalência entre a expressão anterior e a lei de Faraday (regra do fluxo).

• A figura abaixo mostra um circuito de forma arbitrária em dois instantes 𝑡 e 𝑡 + 𝑑𝑡.

• Utilizando a superfície 𝑆 para avaliar o fluxo em 𝑡 e a junção de 𝑆 com a fita (ribbon) na figura para avaliar o fluxo em 𝑡 + 𝑑𝑡, podemos calcular a variação de fluxo entre os dois instantes como:

𝑑Φ_𝐵^𝑆 = Φ_B^𝑆+fita 𝑡 + 𝑑𝑡 − Φ_B^𝑆 𝑡

= Φ_𝐵^{𝑓𝑖𝑡𝑎} = න

𝑓𝑖𝑡𝑎

𝐁 ⋅ 𝑑𝐚

• Considere agora um ponto 𝑃 do circuito que se desloca com velocidade 𝐯no instante 𝑡 e seja 𝑑𝐥 um deslocamento infinitesimal ao longo do circuito a partir deste ponto (zoom na figura).

• Com estes parâmetros, podemos construir um elemento de área do ribbon como:

𝑑𝒂 = 𝐯 𝑑𝑡 × 𝑑𝐥 = 𝐯 × 𝑑𝐥 𝑑𝑡

Portanto:

𝑑Φ_𝐵^𝑆 = න

𝑓𝑖𝑡𝑎

𝐁 ⋅ 𝐯 × 𝑑𝐥 𝑑𝑡

𝑑Φ_𝐵^𝑆

𝑑𝑡 = ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝐯 × 𝑑𝐥

onde a última integral é reduzida a uma integral de linha sobre o circuito no instante 𝑡.

Explorando agora a propriedade cíclica do produto misto, podemos escrever:

𝐁 ⋅ 𝐯 × 𝑑𝐥 = 𝑑𝐥 ⋅ 𝐁 × 𝐯 = − 𝐯 × 𝐁 ⋅ 𝑑𝐥

Portanto:

𝑑Φ_B^𝑆

𝑑𝑡 = − ර

𝐶

𝐯 × 𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = − ර

𝐶

𝐟_𝒎 ⋅ 𝑑𝐥 = −ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶

o que demonstra a equivalência com a lei de Faraday!

OBS: Note que, mais uma vez, 𝐟_𝒎 representa a força magnética por unidade de carga em razão do movimento do circuito, portanto é apenas uma das componentes desta força!

Exemplo: disco de Faraday (dínamo)

A velocidade de um ponto genérico do disco localizado a uma distância 𝑠 do eixo é:

𝐯 = 𝛚 × 𝐫 = 𝜔ො𝐳 × 𝑠ො𝐬 = 𝜔𝑠 ෡𝝓

Com isso, a força magnética por unidade de carga (para portadores positivos) associada a este movimento é:

𝐟_𝒎 = 𝐯 × 𝐁 = 𝜔𝑠 ෡𝝓 × 𝐵ො𝐳 = 𝜔𝐵𝑠ො𝐬

Esta força empurra os portadores de carga ao longo da direção radial, produzindo uma corrente no sentido indicado. A fem associada é:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = න

𝐶

𝐟_𝑚 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝐶

(𝜔𝐵𝑠ො𝐬) ⋅ 𝑑𝐥 = න

0 𝑎

𝜔𝐵𝑠𝑑𝑠 = 1

2𝜔𝐵𝑎²

onde a integral é feita por qualquer linha conectando o eixo à periferia do disco.

A corrente associada é dada pela lei de Ohm:

Tarefas adicionais para este problema:

• Esta corrente dará origem à segunda componente da força magnética. Verifique que esta componente atua no sentido de frear a rotação da espira, de forma análoga ao problema da barra deslizante.

• Determine o sentido do torque que resulta da força acima e interprete o resultado.

• Desafio: Este problema ainda pode ser resolvido pela lei de Faraday tradicional. Que circuito você escolheria para este cálculo?

𝐼_𝑖𝑛𝑑 = |ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 |

𝑅 = 1 2

𝜔𝐵𝑎² 𝑅

Exemplo: correntes de Foucault (eddy currents)

Como se comporta o disco metálico nas duas situações acima? Qual a diferença entre elas?

Veja a demonstração: https://www.youtube.com/watch?v=MglUIiBy2lQ&ab_channel=ElectricandMagneticFields

7.2.3 – Campo elétrico induzido

Considere agora a seguinte situação:

• Se a corrente no solenoide varia, de forma que ^𝑑𝐼

𝑑𝑡 > 0, uma corrente induzida 𝐼′ é detectada na espira no sentido indicado.

• Qual é a fem por trás dessa corrente? Note que:

• A espira está em repouso

• O campo magnético é nulo sobre a própria espira, ainda que ela envolva uma região de campo não-nulo

• Portanto, não pode ser uma fem de movimento!

Figuras: Física 3 – Young & Freedman

• De fato, neste caso Faraday supôs que a fem é gerada por um campo elétrico induzido que circula a espira e promove o movimento dos portadores.

• Da definição geral de fem, tomamos agora 𝐟_𝑛𝑒 = 𝐟_𝑒 = ^𝐅𝑒

𝑞 = 𝐄 como a força não-eletrostática por unidade de carga. Assim:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = න

𝐶

𝐟_𝑒 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥

Assim como no caso da fem de movimento, a integral acima pode ser feita para caminhos abertos ou fechados.

Para um caminho fechado 𝐶, o resultado deve ser equivalente à lei de Faraday. Portanto:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶 = ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = −𝑑Φ_𝐵^𝑆

𝑑𝑡 = − 𝑑 𝑑𝑡 න

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐚

onde 𝑆 é uma superfície aberta delimitada por 𝐶.

Como o circuito é estacionário, podemos passar a derivada para dentro da integral, de forma que:

ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = − න

𝑆

𝜕𝐁

𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝐚

Utilizando o teorema de Stokes no lado esquerdo, podemos escrever:

න

𝑆

𝛁 × 𝐄 ⋅ 𝑑𝐚 = − න

𝑆

𝜕𝐁

𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝐚

Como o resultado deve permanecer válido para qualquer superfície, obtemos:

Esta é a forma diferencial da lei de Faraday!

𝛁 × 𝐄 = −𝜕𝐁

𝜕𝑡

Note que:

• O resultado acima generaliza a expressão que vimos para campos eletrostáticos, onde 𝛁 × 𝐄 = 𝟎.

• Este campo elétrico é induzido por campos magnéticos não-estacionários! Por isso consideramos apenas campos magnéticos estacionários na descrição da fem de movimento.

• Campos elétricos induzidos possuem um rotacional não-nulo, portanto apresentam caráter não-conservativo.

• Esses campos não podem ser produzidos por distribuições de cargas em repouso, pois estas dão origem apenas a campos eletrostáticos de caráter conservativo (irrotacionais)!

• Campos elétricos com essas características são conhecidos como campos de Faraday.

𝛁 × 𝐄 = −𝜕𝐁

𝜕𝑡

Um campo puramente de Faraday é produzido apenas por campos magnéticos não-estacionários, de forma que para eles podemos tomar 𝜌 = 0 (sem cargas) na lei de Gauss. Assim:

Similaridades com a magnetostática:

𝛁 ⋅ 𝐄 = 0

Compare com as expressões satisfeitas por campos magnetostáticos (estacionários) que vimos no cap. 5:

𝛁 ⋅ 𝐁 = 0 𝛁 × 𝐁 = 𝜇₀𝐉

• Isto nos diz que os campos de Faraday são determinados por −^𝜕𝐁

𝜕𝑡 da mesma forma que campos magnetostáticos são determinados pela densidade volumétrica de correntes 𝐉!

• A equação para a divergência ainda nos diz que as linhas desses campos são sempre fechadas, em contraste com os campos eletrostáticos!

ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = − 𝑑 𝑑𝑡 න

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐚

Em forma integral, as equações dos rotacionais dão as formas usuais das leis de Faraday e Ampère:

• Com isso, podemos explorar as técnicas tradicionais da lei de Ampère para obter campos de Faraday, desde que conheçamos o campo magnético não-estacionário 𝐁(𝑡) que servirá como fonte.

• Por outro lado, em princípio não poderíamos utilizar a lei de Ampère para obter 𝐁(𝑡), uma vez que ela vale apenas para correntes e campos estacionários! Como resolver este problema?

• Tipicamente lidamos com campos magnéticos que variam lentamente com o tempo, de forma que podemos supor que a lei de Ampére é aproximadamente válida. Este regime é conhecido como aproximação quase-estática.

ර

𝐶

𝐁 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝜇₀𝐼_𝑖𝑛𝑡^𝑆

Exemplo 1: solenoide (exemplos 7.7 e problema 7.15)

Com a aproximação quase-estática, podemos determinar o campo produzido pelo solenoide utilizando a lei de Ampère.

O resultado é (ver cap. 5.3):

𝐁(𝑠, 𝑡) = ቐ

𝜇₀𝑛𝐼 𝑡 ො𝐳, s < 𝑎 𝟎, s > 𝑎

Note que, dentro do solenoide, o campo é uniforme mas não-estacionário!

Explorando a analogia com a lei de Ampère, vemos que este campo funciona como fonte para a circulação do campo elétrico induzido 𝐄:

Γ_𝐸^𝐶 = ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = − 𝑑 𝑑𝑡 න

𝑆

𝐁 ⋅ 𝑑𝐚

Que problema análogo vimos na magnetostática onde a distribuição de correntes apresentava a mesma simetria que o campo magnético apresenta neste problema?

Este problema é inteiramente análogo ao do cálculo do campo magnético produzido por um cilindro infinito de raio 𝑎 transportando uma corrente estacionária uniformemente distribuída sobre a seção transversal!

Por essa razão, esperamos que 𝐄 tenha simetria cilíndrica, de forma que 𝐄 = 𝐸 𝑠, 𝑡 ෡𝝓.

Tomando uma curva fechada circular (“Faradayana”) de raio 𝑠, coaxial ao solenoide e orientada no sentido de 𝝓, vemos que a circulação de 𝐄෡ vale:

Γ_𝐸^𝐶 = ර

𝐶

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝐸 𝑠, 𝑡 2𝜋𝑠 (ver cap. 5.3)

Por outro lado, o fluxo de 𝐁 através da área 𝑆 definida por 𝐶 é:

Φ_𝐵^𝑆 𝑡 = න

𝑆

𝐁 𝑠, 𝑡 ⋅ 𝑑𝐚 = න

𝑆

𝐵 𝑠, 𝑡 𝑑𝑎

onde utilizamos que ෝ𝐧 = ො𝐳. Devemos agora separar o cálculo nas regiões dentro e fora do solenoide.

(i) Para 𝑠 ≥ 𝑎 (fora), 𝑆 engloba toda a seção transversal do solenoide, de forma que:

Φ_𝐵^𝑆 𝑡 = 𝐵_{𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜} 𝑡 𝜋𝑎² = 𝜇₀𝑛𝐼 𝑡 𝜋𝑎²

onde explorarmos a uniformidade do campo no interior do solenoide.

Γ_𝐸^𝐶 = −𝑑Φ_𝐵 𝑑𝑡

Com isso, a lei de Faraday dá:

𝐸 𝑠, 𝑡 2𝜋𝑠 = −𝜇₀𝑛𝜋𝑎² 𝑑𝐼

𝑑𝑡 𝐸 𝑠, 𝑡 = −𝜇₀𝑛𝑎² 2𝑠

𝑑𝐼

⇒ 𝑑𝑡

(i) Para 𝑠 < 𝑎 (dentro), 𝑆 engloba apenas parte da seção transversal do solenoide, de forma que:

Φ_𝐵^𝑆 𝑡 = 𝐵_{𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜} 𝑡 𝜋𝑠² = 𝜇₀𝑛𝐼 𝑡 𝜋𝑠²

Γ_𝐸^𝐶 = −𝑑Φ_𝐵 𝑑𝑡

Com isso, a lei de Faraday dá:

𝐸 𝑠, 𝑡 2𝜋𝑠 = −𝜇₀𝑛𝜋𝑠² 𝑑𝐼

𝑑𝑡 𝐸 𝑠, 𝑡 = −𝜇₀𝑛𝑠

2

𝑑𝐼

⇒ 𝑑𝑡

Graficamente, num instante 𝑡:

• Note que o sentido de 𝐄 (sinal de 𝐸(𝑠, 𝑡)) depende do sinal de ^𝑑𝐼

𝑑𝑡. Isto é uma manifestação da lei de Lenz!

• Você deve ter notado uma semelhança entre este cálculo do campo elétrico induzido e o método do fluxo para a obtenção de potenciais vetores que discutimos no cap. 5. Nãoé uma coincidência!

• Veja o problema 7.47 para uma discussão do que está por trás dessa semelhança (voltaremos a este ponto no cap.

10).

Exemplo 2 (exemplo 7.8):

Enquanto o campo é desligado há uma variação temporal, de forma que deve surgir um campo elétrico induzido.

A simetria é a mesma do problema anterior, de forma que 𝐄 = 𝐸 𝑠, 𝑡 ෡𝝓 e, com 𝜇₀𝑛𝐼 𝑡 → 𝐵 𝑡 :

𝐸 𝑠, 𝑡 = −𝑎² 2𝑠

𝑑𝐵

𝑑𝑡 , 𝑠 ≥ 𝑎

• Como ^𝑑𝐵

𝑑𝑡 < 0 (campo desligando), 𝐄 deve ter o sentido de 𝝓, em ෡ acordo com a lei de Lenz.

• 𝐄 produz uma força elétrica sobre as cargas da roda, fazendo-a girar em sentido anti-horário!

Para um elemento de carga 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 sobre a roda, a força elétrica que atua sobre ele é:

𝑑𝐅 = 𝑑𝑞 𝐄 = 𝐸 𝑏, 𝑡 ෡𝝓 = −𝜆 𝑎² 2𝑏

𝑑𝐵

𝑑𝑡 𝑑𝑙 ෡𝝓

O torque sobre este elemento, medido com relação ao centro da roda é:

𝑑𝐍 = 𝐫 × 𝑑𝐅 = 𝑏 ො𝐬 × −𝜆 𝑎² 2𝑏

𝑑𝐵

𝑑𝑡 𝑑𝑙 ෡𝝓

= −𝜆 𝑎² 2

𝑑𝐵

𝑑𝑡 𝑑𝑙 ො𝐳

Como ^𝑑𝐵

𝑑𝑡 < 0, o torque produzirá uma rotação em sentido anti-horário, como já antecipamos!

O torque resultante é:

𝐍 = න

𝑟𝑜𝑑𝑎

𝑑𝐍 = −𝜆𝑎² 2

𝑑𝐵 𝑑𝑡 ො𝐳 න

𝑟𝑜𝑑𝑎

𝑑𝑙 = −𝜆𝜋𝑎²𝑏𝑑𝐵 𝑑𝑡 ො𝐳

Como 𝐍 = 𝑑𝐋/𝑑𝑡, o momento angular total adquirido pela roda é:

𝐋 = න

𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑖𝑚

𝐍 𝑡 𝑑𝑡 = −𝜆𝜋𝑎²𝑏 ො𝐳 න

𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑖𝑚 𝑑𝐵

𝑑𝑡 𝑑𝑡

= −𝜆𝜋𝑎²𝑏 ො𝐳 න

𝐵₀ 0

𝑑𝐵

Note que o resultado independe da forma como o campo é desligado, ou seja, independe da forma funcional de 𝑑𝐵/𝑑𝑡.

O momento angular final adquirido pela roda é sempre o mesmo!

De onde veio este momento angular? Veremos a resposta no próximo capítulo!

= 𝜆𝜋𝑎²𝑏 𝐁₀

Exemplo 3: caráter não-conservativo dos campos de Faraday (problema 7.50)

Para o caminho fechado 𝐶₁ mostrado na figura, a lei de Faraday dá:

ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶1 = ර

𝐶₁

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = −𝑑Φ_𝐵^𝑆

𝑑𝑡 = − 𝑑

𝑑𝑡 𝛼𝑡 = −𝛼

O sinal negativo indica que a corrente induzida tem sentido contrário à orientação de 𝐶₁, em acordo com a lei de Lenz.

Como os voltímetros são ideais, toda a corrente circula apenas pelos resistores, de forma que a lei de Ohm dá:

𝐼_𝑖𝑛𝑑 = |ℰ_𝑖𝑛𝑑^𝐶1 |

𝑅₁ + 𝑅₂ = 𝛼 𝑅₁ + 𝑅₂

Considere agora o caminho fechado 𝐶₂ mostrado na figura. Como ele não envolve o fluxo de campo magnético, a lei de Faraday dá:

ර

𝐶₂

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = 0

Dividindo 𝐶₂ nos caminhos (i) e (ii), o resultado acima implica:

න

𝑎 (𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑎 (𝑖𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 ≡ −𝑉₂

A integral sobre (ii) é, por definição, menos a leitura do segundo voltímetro 𝑉₂. Já a integral sobre (i) é, pela lei de Ohm:

න

𝑎 (𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = 𝑅₂𝐼_𝑖𝑛𝑑 = 𝛼 𝑅₂

𝑅₁ + 𝑅₂ ⇒ 𝑉₂ = − 𝛼 𝑅₂ 𝑅₁ + 𝑅₂

Aplicando o mesmo raciocínio para a curva 𝐶₃ ao lado, obtemos:

ර

𝐶₃

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = 0

o que implica:

න

𝑎 (𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑎 (𝑖𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 ≡ −𝑉₁

A integral sobre (i) é, pela lei de Ohm:

න

𝑎 (𝑖) 𝑏

𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 = −𝑅₁𝐼_𝑖𝑛𝑑 = − 𝛼 𝑅₁

𝑅₁ + 𝑅₂ ⇒ 𝑉₁ = 𝛼 𝑅₁ 𝑅₁ + 𝑅₂

O sinal negativo na integral acima vem da orientação do caminho ser contrária a 𝐄!

Portanto:

𝑉₂ = − 𝛼 𝑅₂ 𝑅₁ + 𝑅₂ 𝑉₁ = 𝛼 𝑅₁

𝑅₁ + 𝑅₂

• As leituras dos voltímetros são diferentes apesar de estarem conectados aos mesmos terminais A e B!

• Isto é uma consequência direta de ׯ_𝐶

1𝐄 ⋅ 𝑑𝐥 ≠ 0, ou seja, do caráter não-conservativo do campo elétrico induzido!

• As integrais de linha que definem 𝑉₁ e 𝑉₂ passam a depender do caminho entre A e B!

• Isto significa também que as leis de Kirchoff devem ser modificadas para circuitos como esse!

Note que este exemplo e o anterior fornecem possibilidades de verificação experimental da existência dos campos de Faraday e de seu caráter não-conservativo!

Veja: https://www.youtube.com/watch?v=nGQbA2jwkWI (por volta de 47 min)

Leitura importante: exemplo 7.9

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap. 7

• Purcell – cap. 7

Leitura avançada

• Zangwill – cap. 14