UFPE – MA535 (introdu¸cão à matemática ii) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTAR 1 v. 1.1

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UFPE – MA535 (introdu¸ c˜ ao ` a matem´ atica ii) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza

LISTA DE EXERC´ICIOS COMPLEMENTAR 1 v. 1.1

Orienta¸ c˜ ao: Estes exerc´ıcios complementam (e não substituem) aqueles recomendados no portal web da disciplina. Dar solu¸cões leg´ıveis e com- pletas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades, fórmulas e resultados utilizados. Mostrar todos os cálculos e racioc´ınios:

Só as respostas não servem ! Desenhos podem ser feitos para inspira¸cão, mas não constribuem para a nota.

Dados: Fixado um sistema de coordenadas cartesianas para o plano, conside- rem-se os seguintes pontos do plano dados por suas coordenadas: O (0, 0), P (0, 5), Q (4, 3), R (−1, 1), S (1, −3), T (2, 6), U (0, 3) e V (2, 4).

QUEST ˜ OES Quest˜ ao 1.

1.a. Fornecer três equa¸cões gerais (cartesianas) distintas para a reta ← → ST ; 1.b. Considerem-se as seguintes retas: q, paralela à reta ← →

ST por Q; e r, paralela `a reta ← →

ST por R. Calcular a distˆancia entre as retas q e r;

1.c. Dar a equa¸c˜ao reduzida da reta perpendicular `a reta ← →

RS pelo ponto P ; 1.d. Calcular o cosseno do (menor) ˆangulo entre as retas ←→

QR e ← → ST . Quest˜ ao 2.

2.a. Dar as coordenadas do ponto A tal que o segmento orientado ( O, A ) ´e equipolente ao segmento (V, U );

2.b. Dar as coordenadas do ponto A

^′

tal que o segmento orientado (O, A

^′

) ´e congruente e paralelo ao segmento ( V, U ) e tem sentido oposto ao de ( V, U );

2.c. Dar as coordenadas de pontos B

1

e B

2

distintos tais que cada um dos segmentos de reta OB

1

e OB

2

´e congruente e ortogonal ao segmento OA;

2.d. Dar uma equa¸cão geral (cartesiana) e as equa¸cões reduzida e segmen- tária da reta por R que é perpendicular à reta ←→

V U;

2.e. Considere-se o triˆangulo △U P Q de v´ertices U, P e Q nesta ordem c´ı- clica. Dar as coordenadas de pontos C

ı

e D

ı

(para ı ∈ {1, 2, 3, 4}) de modo que os quatro triˆangulos △OC

^ı

D

ı

sejam dois a dois distintos e todos congru- entes ao △U P Q respeitando a ordem c´ıclica acima (ou seja, os pontos O, C

ı

e D

ı

correspondem, respectivamente, a U , P e Q );

1

(2)

2.f. Repetir o item anterior para o triˆangulo △V QS de v´ertices V , Q e S nesta ordem c´ıclica.

Quest˜ ao 3. Considere-se o triˆangulo △OP Q de v´ertices O , P e Q.

3.a. Calcular o per´ımetro de △ OP Q ;

3.b. Por meio de um sistema de inequa¸cões lineares, descrever a região tri- angular aberta que é delimitada por △OP Q, isto é, o interior de △OP Q;

3.c. Por meio de um sistema de inequa¸cões lineares, descrever a região trian- gular fechada que é delimitada por △OP Q, isto é, o fecho convexo de △OP Q (Sendo fechada, a região inclui o △OP Q);

3.d. Por meio de sistemas de (in)equa¸c˜oes lineares, descrever cada lado do triˆangulo △OP Q.

Quest˜ ao 4. Seja ax + 3 y = 12 e bx + 4 y = 0 um sistema de equa¸cões, onde a e b são n´ umeros reais quaisquer. Através de condi¸cões sobre estes n´ umeros, distinguir (caracterizar) cada um dos três casos do n´ umero de solu¸cões do sistema que se aplicar a este sistema (ou seja, nenhuma solu¸cão, uma ´ unica solu¸cão, e um n´ umero infinito de solu¸cões distintas).

Quest˜ ao 5 (semelhante à questão sobre equa¸cão segmentária da reta, pro- posta no portal web da disciplina). Dados n´ umeros reais x

0

, y

0

, a e b tais que a 6= 0 6= b, uma equa¸c˜ao da forma abaixo em (x, y ) ´e dita equa¸ c˜ ao sim´ etrica da reta:

x − x

0

a = y − y

0

b

5.a. Por que cada equa¸cão simétrica tem uma reta como conjunto-solu¸cão ? 5.b. Considerando-se uma reta r arbitrária, obter um critério geométrico a respeito de r equivalente a r admitir equa¸cão simétrica;

5.c. Interpretar, geometricamente, os quatro coeficientes acima. Da´ı, con- cluir que, se uma reta admite equa¸cão simétrica, então ela admite infinitas equa¸cões simétricas distintas. Descrever, em termos dos coeficientes acima e da geometria de uma reta no plano, todas as variantes de equa¸cões simétricas para uma mesma reta;

5.d. Considerem-se todos os pares (desordenados) de pontos distintos dentre os pontos dados no in´ıcio desta lista. Fornecer cada par que determina uma reta que não admite equa¸cão simétrica.