UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
LUANNA PRISCILA DA SILVA GOMES
Introdução à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma análise a partir da Teoria da Objetivação
NATAL - RN 2020
LUANNA PRISCILA DA SILVA GOMES
Introdução à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma análise a partir da Teoria da Objetivação
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação.
Orientadora: Profª Drª Claudianny Amorim Noronha.
Coorientador: Prof. Dr. Luís Radford.
NATAL - RN 2020
Dedico este trabalho à Maria de Lourdes, minha mãe, maior parceira e amiga.
AGRADECIMENTOS
Nesta seção, faço menção principalmente às pessoas que contribuíram diretamente na produção desta tese. Foi um percurso longo e difícil. No caminho, tive a oportunidade de conviver com diversos amigos que indiretamente ajudaram a tornar o trajeto mais leve, agradeço a cada um deles pela parceria e amizade! Contudo, quero registrar aqui as parcerias acadêmicas, ou seja, aqueles que estiveram ao meu lado nas discussões sobre a tese, nas leituras dos textos, nas traduções, nos momentos de empolgação com a pesquisa e nas horas de desânimo, foram essas parcerias que me deram força nos inúmeros momentos em que pensei em desistir.
A palavra parceria significa um agrupamento de pessoas que desejam alcançar um mesmo objetivo, uma companhia. No decurso, Deus foi o meu maior parceiro. Gratidão ao Senhor pela vida e por ter me escolhido para brilhar e abençoar outras vidas, gratidão por fazer algo tão grande que só posso dizer: isto só pode ser
coisa de Deus! Que a finalização deste doutorado seja para demonstrar a Sua
bondade e o quanto vale a pena crer, lutar, agir e confiar em Ti. A Deus a minha mais profunda Gratidão!
Sou grata à minha melhor amiga, meu amor, meu tudo, minha vida: minha mãe, Lourdes! Só nós duas sabemos verdadeiramente o alto preço que paguei para finalizar o doutorado. As horas de estudo, os momentos de desespero, os medos, as angústias, os choros, as alegrias. Obrigada por tudo! Você sempre foi minha maior e melhor parceria. Mãe, desde o início, tudo que fiz foi pensando na senhora, pois minha maior alegria é te alegrar!
Agradeço também aos meus familiares, em especial, minha irmã Cinthia, meus sobrinhos Raphael e Leonardo e minha Tia Vera que, por diversas vezes, me acolheu em sua casa com tanto amor.
Gratidão ao meu melhor amigo, meu tradutor oficial de textos, meu principal parceiro e interlocutor: meu namorado Celso Filho. Obrigada por me ouvir, me amar, me fazer compreender quem eu sou e o quanto sou capaz. Você me entende e me conhece até melhor do que eu mesma! Gratidão por tornar a minha vida melhor e mais feliz!
Agradeço à parceira, amiga, professora e orientadora Claudianny Noronha. São quase 10 anos ao seu lado. Desde o início você enxergou em mim um potencial que eu não sabia que tinha. Obrigada pela confiança! Você me desafia, me acolhe,
me ensina, me faz refletir, me maximiza, me levanta. Sua crença no meu potencial me desafia a manifestar o melhor que há em mim. Nossa conexão me instiga, você é minha inspiração! Sou grata por sua vida!
Sou muito grata à professora Tatyana Mabel pela parceria desde a graduação em Pedagogia. Sua empatia, amizade, sabedoria, humanidade e acolhimento me fascinam.
Gratidão ao Grupo Contar e a todos os seus membros pelos 10 anos de aprendizagem, em especial Lucila Leite e Jussara Paiva. A palavra que mais define o meu encantamento pelo Grupo Contar, suas temáticas, discussões e amizades obtidas ao longo de tantos anos é felicidade. Sim, o Contar é um grupo feliz! O Contar me faz feliz! Obrigada!
Agradeço à minha parceira acadêmica Mayara Larrys. Minha amiga, você é tão incrível! Obrigada por me ensinar, me ouvir e me ajudar. Você é uma grande referência para mim!
Gratidão às amigas que me acompanham desde a graduação: Simone Leite e Danielle Oliveira. Obrigada por me incentivarem e por acreditarem em mim, sempre!
Muita gratidão ao professor Luís Radford por me apresentar uma matemática que considera os sujeitos integralmente. Obrigada pelas orientações, cavalheirismo e pela ilustre presença na defesa do doutorado.
Agradeço ao querido professor Rodolfo Vergel por me receber e me acolher na Colômbia, na Universidade Distrital Francisco José de Caldas. Gratidão pelas discussões, orientações e amizade.
Aos professores que participaram da qualificação doutoral: Halana Garcez e Pedro Franco Sá. Obrigada pelas ricas contribuições! À professora Bernadete Morey por me ajudar na finalização da tese.
Aos professores que se disponibilizaram a contribuir na minha defesa: Halana Garcez, Bernadete Morey, Luís Radford, Pedro Sá, Vanessa Moretti, Tatyana Mabel e Fábio Alves. Muito obrigada!
Agradeço ao Núcleo de Educação da Infância (NEI-CAp-UFRN), sua equipe gestora e todos os que fazem o NEI, obrigada pela parceria.
À Capes, pelo apoio no projeto “Linguagem e desenvolvimento sustentável: integrando Ciências, Língua Portuguesa e Matemática” (Edital 049/2012).
Ao Programa de Pós-Graduação em Educação da UFRN e todos os seus membros pela parceria.
Por fim, gratidão aos meus alunos em 2017 e 2018, sujeitos desta pesquisa. Obrigada por tantos aprendizados! Agradeço também aos pais e responsáveis que permitiram a participação das crianças na presente investigação.
RESUMO
A proposição desta investigação ocorre no contexto cultural brasileiro onde o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental foi orientado de modo específico a partir da aprovação da Base Nacional Comum Curricular, no final de 2017. Assim, por ser uma demanda recente, verificamos, por meio de um levantamento realizado em materiais didáticos, em portais de periódicos e em documentos oficiais, orientações incipientes, principalmente no que concerne a abordagem da álgebra com foco na função do símbolo de igualdade em sentenças matemáticas com um termo desconhecido. No percurso investigativo, para conhecer, aprender e investigar o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra nos anos iniciais, optamos por seguir a perspectiva sociocultural da Teoria da Objetivação, que considera o pensamento como forma de agir e refletir sobre o mundo. Para a referida Teoria, o pensamento algébrico é baseado em três vetores: a indeterminação, isto é, a presença do termo desconhecido e o tratamento dado a ele em situações matemáticas; a expressão semiótica, constituída no reconhecimento e referência ao indeterminado e a analiticidade, que consiste na operação dedutiva com o desconhecido. Desse modo, o objetivo geral da pesquisa é caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação, estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do Núcleo de Educação da Infância – Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, no processo de introdução da álgebra, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Nesse sentido, como objetivo específico nos propomos a analisar indícios dos três vetores característicos do pensamento algébrico (analiticidade, expressão semiótica e indeterminação) nas estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças. A pesquisa se delineia como qualitativa do tipo descritiva e interpretativa com o método de análise multisemiótico ou multimodal, característico da Teoria da Objetivação. Nossas análises sinalizam que, no processo de introdução à álgebra, as estratégias demonstradas pelas crianças evidenciam a presença latente da proto-analiticidade como uma característica que compõe esse processo. Ainda concluímos, a partir da análise das estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças que: o pensamento algébrico apresenta uma ruptura ao pensamento aritmético, essa diferenciação pode ser demonstrada pela dificuldade das crianças em operar com o desconhecido; o emprego de estratégias aritméticas refinadas e o uso das propriedades de operações matemáticas colaboram no desenvolvimento e estruturação do pensamento algébrico; o pensamento aritmético ou algébrico pode ser expresso de múltiplos modos, por isso, é preciso proporcionar liberdade para as crianças resolverem problemas ao seu modo, bem como valorizar suas estratégias.
Palavras-chave: Pensamento algébrico. Anos iniciais do Ensino Fundamental. Teoria da Objetivação.
ABSTRACT
The purpose of this investigation occurs in the Brazilian cultural context where the systematic teaching-learning of algebra in the early years of elementary school was specifically oriented after the approval of the Common National Curricular Base, at the end of 2017. Thus, as it is a recent demand, we verified, by means of a survey carried out on didactic materials, on portals of journals and on official documents, incipient orientations, especially with regard to the approach of algebra with a focus on the function of the equality symbol in sentences mathematics with an unknown term. In the investigative path, to know, learn and investigate the systematic teaching-learning of algebra in the early years, we chose to follow the socio-cultural perspective of the Theory of Objectivation, which considers thought as a way of acting and reflecting on the world. For that theory, algebraic thinking is based on three vectors: indeterminacy, that is, the presence of the unknown term and the treatment given to it in mathematical situations; the semiotic expression, constituted in the recognition and reference to the indeterminate and the analyticity, which consists of the deductive operation with the unknown. So, the general objective of the research is to characterize, based on the Theory of Objectification, thinking strategies demonstrated by 4th and 5th grade children of Elementary Education at the Center for Childhood Education - Application College of the Federal University of Rio Grande do Norte, in process of introducing algebra, in tasks that address mathematical sentences in which one of the terms is unknown. In this sense, as a specific objective we propose to analyze evidence of the three characteristic vectors of algebraic thinking (analyticity, semiotic expression and indeterminacy) in the thinking strategies raised by children. The research is outlined as qualitative of the descriptive and interpretive type with the method of multisemiotic or multimodal analysis, the Theory of Objectification characteristic. Our analyses indicate that, in the process of introducing algebra, the strategies demonstrated by children show the latent presence of proto-analyticity as a characteristic that makes up this process. We also conclude, from the analysis of the thinking strategies demonstrated by the children that: algebraic thinking presents a break with arithmetic thinking, this differentiation can be demonstrated by the difficulty of children in operating with the unknown; the use of refined arithmetic strategies and the use of mathematical operations properties collaborate in the development and structuring of algebraic thinking; algebraic and / or arithmetic thinking can be expressed in multiple ways, so it is necessary to provide freedom for children to solve problems in their own way, as well as to value their strategies.
Keywords: Algebraic thinking. Early years of elementary school. Objectification Theory.
RESUMEN
La presentación de esta investigación ocurre en un contexto cultural brasileño donde el enseñaza-apredizaje sistemático de la álgebra en los años iniciales de la enseñaza primária se ha orientado de manera específica, a partir de la aprobación de la Base Nacional Comum Curricular, a finales de 2017. Así que, por tratarse de una demanda reciente, se observa por medio de una encuesta dirigida a los materiales de aprendizaje, en las páginas de los periódicos y en los documentos oficiales, orientaciones todavía muy iniciales, sobre todo en lo que se refiere a la aproximación de la álgebra, con un enfoque en función del signo de igualdad, en las sentencias de las matemáticas, con un término desconocido. En el curso de investigación, para conocer, aprender e investigar en la enseñanza y el aprendizaje sistemático de la álgebra en los primeros años, se optó por seguir con la perspectiva socio-cultural de la Teoría de la Objetivación que considera el pensamiento como una forma de actuar y de reflexionar sobre el mundo. Para esa Teoría, el pensamiento algebraico se basa en três vías: la indeterminación, esto es, la presencia de un término desconocido, y el tratamiento que se da en situaciones en las matemáticas; la expresión de la semiótica que consta en el reconocimiento, y la referencia a un desconocido y a la analiticidad, que consiste en una operación deductiva, con el desconocido. Así, el objetivo general de la investigación es caracterizar, a partir de la Teoría de la Objetivación, las estrategias de pensamiento demostradas por los niños de 4° y 5° año de Educación básica del centro de Educación Infantil del Colegio de la Aplicación de la Universidad Federal de Rio Grande do Norte, en el proceso de introducción de la álgebra en las tareas que se refieren a resoluciones de las matemáticas, en las que uno de los términos es desconocido. En este sentido, y como objetivo específico, se propone analizar los indicios de que los tres vectores característicos del pensamiento algebraico (analiticidad, la expresión de la semiótica y la indeterminación) en las estrategias de pensamiento que surjan por parte de los niños. Esa investigación se plantea como cualitativa, de tipo descriptivo e interpretativo, con el método de análisis multisemiótico o multimodal de la Teoría de la Objetivación. Nuestros análisis indican que, en el curso de introducción a la algebra, las estrategias mostradas por los niños, pone de manifiesto la presencia de la proto-analiticidad como una de las características que componen este proceso. Aunque a la conclusion de que, a partir del análisis de las estrategias de pensamiento demostradas por los niños en los que: el pensamiento algebraico presenta una ruptura con el pensamiento aritmético, esta distinción puede ser demostrada a través de la dificultad de los niños para operar con lo desconocido; el empleo de estrategias aritméticas refinado y el uso de las propiedades de las operaciones matemáticas colaboran en el desarrollo y estruturación del pensamiento algebraico; el pensamiento algebraico y/o de la aritmética se puede expresar de varias maneras, por lo tanto, es necesario proporcionar la libertad a los niños a resolver problemas, a su manera, así como valorar las posibles estrategias.
Palabras clave: Pensamiento algebraico. Educación básica primaria. La teoría de la Objetivación.
LISTA DE IMAGENS
Figura 1 – Exemplo de tarefa da coleção 1 ... 39
Figura 2 – Proposta de livro didático com a balança de dois pratos ... 39
Figura 3 – Tarefa com o termo desconhecido da coleção 2 ... 40
Figura 4 – Exemplo de tarefa da coleção 3 ... 40
Figura 5 – Exemplo de tarefa da 4ª coleção ... 41
Figura 6 – Tarefa da coleção 5 ... 42
Figura 7– Representação do movimento de atualização do saber em conhecimento, por meio da atividade ... 75
Figura 8 – Processo dialético de ensino-aprendizagem na atividade ... 77
Figura 9 – Estrutura pedagógica da atividade ... 78
Figura 10 – Dinâmica pedagógica da atividade na perspectiva da TO ... 80
Figura 11 – Esquema do pensamento relacional ... 83
Figura 12 - Registro de alunos sobre o significado do símbolo de igualdade... 101
Figura 13 – Registro da sessão 4 ... 103
Figura 14 - Gesto indicador do uso da operação inversa ... 111
Figura 15 – Gesto indicando a operação inversa ... 112
Figura 16 – Registro escrito do aluno CC... ...112
Figura 17 – Situação matemática e resolução do grupo ... 116
Figura 18 – Situação (? + 12 = 16) apresentada no início da sessão 7 ... 122
Figura 19 – Demonstração de peças do dominó de letras e números ... 126
Figura 20 – Estratégia utilizada no dominó de letras e números pela aluna LC ... 127
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Objetivos de aprendizagem da álgebra no documento orientador do PNAIC
... 33
Quadro 2 – Habilidades para a unidade temática álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental na última versão na BNCC ... 36
Quadro 3 – Objetivos observados nos livros didáticos e utilizados na elaboração de nossas tarefas ... 38
Quadro 4 – Primeira etapa do Processo de consultas por assunto ao Portal de Periódicos Capes ... 45
Quadro 5 – Pesquisas sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental no Encontro Nacional de Educação Matemática ... 51
Quadro 6 – Trabalhos identificados que utilizam a TO ... 62
Quadro 7 – Textos de autoria de Luís Radford mais citados em pesquisas acadêmicas ... 64
Quadro 8 – Palavras-chave que sintetizam aspectos da fundamentação, da metodologia e os principais conceitos da Teoria da Objetivação ... 65
Quadro 9 – Publicações de Luís Radford que tenham o termo álgebra/algébrico no título ... 66
Quadro 10 – Pensamento aritmético e algébrico ... 84
Quadro 11 – Síntese - Vetores do pensamento algébrico segundo Radford (2010) . 85 Quadro 12 – Exemplo de resolução algébrica ... 88
Quadro 13 – Síntese das sessões 1, 2 e 3... 100
Quadro 14 – Síntese das sessões 4 e 5... 102
Quadro 15 – Síntese das sessões com jogos ... 104
Quadro 16 – Modelo organizador da transcrição ... 107
Quadro 17- Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 1 114 Quadro 18 – Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 2 ... 119
Quadro 19 – Vetores e indícios do pensamento algébrico da aluna MT ... 124
Quadro 20 – Vetores e indícios de aproximação ao pensamento algébrico da aluna LC ... 128
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte RN – Rio Grande do Norte
TO – Teoria da Objetivação
NEI – Núcleo de Educação da Infância CAp – Colégio de Aplicação
BNCC – Base Nacional Comum Curricular MEC – Ministério da Educação
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD – Programa Nacional do Livro e do Material Didático PNAIC – Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática TCLE – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido TALE – Termo de Assentimento Livre e Esclarecido GLD – Guia do Livro Didático
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 17
1.1 Especificidades e objetivos da investigação ... 21
2 O ENSINO-APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PESQUISAS E ORIENTAÇÕES CURRICULARES ... 26
2.1. A álgebra nos anos iniciais: orientações de documentos oficiais ... 27
2.1.2 A álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental ... 29
2.1.3 Álgebra no documento “Elementos Conceituais e Metodológicos para a definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de alfabetização do Ensino Fundamental”. ... …….32
2.1.4 A álgebra no documento da Base Nacional Comum Curricular ... 34
2.1.5 A álgebra no Guia do Livro Didático de matemática – anos iniciais (2019) e em livros didáticos do 4º e 5º ano ... 37
2.2. Estado da arte ... 42
2.2.1 Estado da Arte – álgebra nos anos iniciais – periódicos ... 44
2.2.2 Estado da arte – álgebra nos anos iniciais: Encontro Nacional de Educação Matemática…. ... 50
2.3 Estado da arte - equivalência e símbolo de igualdade nos anos iniciais: portal de periódicos…… ... 58
2.4 Estado da Arte da Teoria da Objetivação ... 61
3 TEORIA DA OBJETIVAÇÃO E OS CONCEITOS DE ATIVIDADE, SABER, CONHECIMENTO E ENSINO-APRENDIZAGEM ... 69
3.1 Atividade: um conceito central para a Teoria da Objetivação ... 71
3.2 Saber e conhecimento... 74
3.3 Processo de ensino-aprendizagem ... 76
3.4 Especificidades pedagógicas do processo de ensino-aprendizagem em nossa investigação ... 78
4 O PENSAMENTO ALGÉBRICO NA PERSPECTIVA DA TEORIA DA OBJETIVAÇÃO ... 82
4.1 A analiticidade ... 86
4.2 Indeterminação ... 89
4.3 Expressão semiótica ... 91
5 DESENHO DA INVESTIGAÇÃO ... 93
5.1 O lócus e sujeitos da investigação ... 96
5.2 Organização das sessões e informações ... 97
5.3 Caracterização das tarefas ... 99
6 ANÁLISE MULTIMODAL DE TAREFAS ... 109
6.1 Episódio de análise 1 - o emprego de estratégias aritméticas no processo de introdução à álgebra ... 110
6.2 Episódio de análise 2 - o termo desconhecido no processo de introdução à álgebra ... 115
6.3 Episódio de análise 3 - a proto-analiticidade no processo de introdução à álgebra ... 120
6.4 Episódio de análise 4 - a operação com o indeterminado no processo de introdução à álgebra ... 126
6.5 Episódio de análise 5 - indícios da ruptura entre aritmética e álgebra no processo de introdução à álgebra ... 130
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 133
REFERÊNCIAS ... 138
1 INTRODUÇÃO1
Uma tese não é uma produção estritamente pessoal, ela se constitui em face de um percurso histórico que envolve aspectos pessoais, profissionais e acadêmicos. Assim, neste capítulo introdutório, apresento inquietações suscitadas desde a graduação em Pedagogia, que justificam a escolha do estudo acerca da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Por se tratar de um estudo que envolve o ensino-aprendizagem2 da
matemática, inicialmente, esclareço minha concepção de Educação Matemática, proposta por Luís Radford3 (2017a), o autor
Considera o objetivo da Educação Matemática como um esforço dinâmico, político, social, histórico, cultural, que busca a criação dialética de sujeitos reflexivos e éticos que se posicionam criticamente em práticas e discursos matemáticos constituídos histórico e culturalmente, discursos e práticas em constante evolução4 (RADFORD, 2017a, p. 97, tradução nossa)
Assim, a concepção de Educação Matemática adotada nesta tese é de uma matemática que não se detém ao que é meramente cognitivo, individual, simbólico e abstrato. Mas de uma matemática formativa, que contribua no desenvolvimento integral dos sujeitos.
No trajeto de aprender como fazer/ser uma professora que preza por uma Educação Matemática formativa, como graduanda de pedagogia, iniciei minha participação no Grupo de Pesquisa e Ensino em Matemática e Língua Portuguesa –
1 Na contextualização da trajetória como pesquisadora e docente, utilizamos a primeira 1ª do singular. A partir do ponto 1.1 tratamos sobre as especificidades da investigação, assim, utilizamos a 1ª pessoa do plural.
2 Consideramos o ensino e a aprendizagem como um processo único, que não pode ser separado (RADFORD, 2017a, 2017b, 2017c), por isso, no decorrer do trabalho utilizamos o termo “ensino-aprendizagem”.
3 Luís Radford é autor da Teoria da Objetivação e nosso coorientador. É um teórico sociocultural, baseado na escola de pensamento histórico-cultural de Lev Vygotsky e na epistemologia de Evald Ilyenkov, a partir das quais desenvolve a Teoria da Objetivação. Professor da Faculdade de Educação da Université Laurentienne, em Sudbury, Ontário, Canadá. Atualmente, é vice-presidente da Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI). Fonte: Noronha e Barbosa (2018, p. 312). Para maiores informações sobre o pesquisador, acessar: < http://luisradford.ca/>.
4 Texto original: “La teoría de la objetivación considera la meta de la educación matemática como un esfuerzo dinámico, político, social, histórico y cultural que busca la creación dialéctica de sujetos refexivos y éticos que se posicionan críticamente en discursos y prácticas matemáticas que se constituyen histórica y culturalmente, discursos y prácticas que están en permanente evolución”.
CONTAR, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), em meados de 2009. O Grupo possui duas linhas de pesquisa, a primeira trata sobre linguagens e integração nas diferentes áreas de conhecimento. A segunda se refere a políticas públicas de leitura e formação de professores. Em face disso, iniciei a trajetória de pesquisadora no final da graduação.
A pesquisa de conclusão de curso sobre a produção de textos nas diferentes áreas de conhecimento por meio da análise do Parâmetros Curriculares Nacionais, sob a orientação da professora Doutora Tatyana Mabel Nobre Barbosa, em 2010, deu início a uma investigação que valoriza o conhecimento, a análise de documentos oficiais que repercutem diretamente nas práticas de sala de aula e a integração das diferentes áreas por meio do estudo da linguagem.
Buscando um aprofundamento dessa perspectiva, cursei especialização na UFRN em Teorias e Estudos sobre a linguagem. Contudo, me chamou atenção o foco dos estudos em leitura, escrita e gêneros do discurso voltados predominantemente para a área da língua portuguesa. Assim, a monografia e os estudos do curso de especialização fomentaram um olhar investigativo e crítico sobre a matemática e a linguagem como interação, bem como a valorização do conhecimento acerca das políticas públicas e documentos parametrizadores que balizam o cotidiano escolar.
No âmbito profissional, como professora da rede privada e em seguida como docente da rede pública Estadual do Rio Grande do Norte, me questionava acerca da relação matemática e linguagem. Nesse sentido, a continuidade no Grupo Contar possibilitou a realização de estudos teóricos e vivências acadêmicas que se desdobraram na prática como professora do Estado. Por isso, no mestrado, sob orientação da professora Doutora Claudianny Amorim Noronha, tratei sobre o letramento matemático e realizei um projeto de letramento que tinha como fundamentação a perspectiva de uma educação crítica e emancipatória (GOMES, 2015).
No mestrado, na busca de contribuir com a aprendizagem das crianças, realizei uma pesquisa-ação com alunos do 3º ano do Ensino Fundamental na turma em que atuava como professora efetiva da Rede Pública Estadual/RN com foco no letramento matemático. A dissertação (GOMES, 2015) promoveu o aprofundamento em uma perspectiva pedagógica do letramento (KLEIMAN, 1995) que concebe os alunos como agentes e não meros participantes, onde o ensino-aprendizagem é um processo colaborativo e situado sócio e historicamente.
Nesse percurso, o envolvimento em um grupo de pesquisa possibilitou a conexão do âmbito acadêmico com o profissional, posto que, além das publicações científicas, organização de eventos e reuniões de estudo me vinculei, inicialmente, como bolsista-professora da rede pública no projeto da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), intitulado “Leitura e escrita: recortes inter e multidisciplinares no ensino de Matemática e Português” (Edital 038/2010), vinculado ao Observatório da Educação. Posteriormente, me vinculei ao projeto “Linguagem e desenvolvimento sustentável: integrando Ciências, Língua Portuguesa e Matemática” (Edital 049/2012).
Contudo, profissionalmente percebia a necessidade de me aprofundar ainda mais nos estudos específicos da matemática, posto que, no âmbito pessoal, desde criança, sentia dificuldade na referida disciplina e, ao me tornar professora de crianças e pesquisadora, conheci uma matemática instigante, que me despertou prazer e curiosidade, experiência formativa relatada em Gomes (2014).
Desta maneira, me aprofundar na matemática se configuraria como um desafio pessoal, profissional e acadêmico, porém, necessário para uma melhor atuação como professora da rede pública. Por isso, as leituras suscitadas no Grupo Contar acerca das políticas públicas e seus documentos regulamentadores, (BARBOSA; NORONHA, 2014; ARAÚJO; BARBOSA, 2014), a participação em eventos científicos e a publicação de artigos, a escrita da monografia, com foco nas orientações sobre a produção de textos nos Parâmetros Curriculares Nacionais das diferentes áreas do Ensino Fundamental (GOMES, 2010), além dos estudos realizados no âmbito do Contar com pesquisas de análise direta em livros e materiais didáticos (LEITE; BARBOSA, 2014; NORONHA, 2012), bem como a dissertação (GOMES, 2015) com foco no letramento matemático representam uma busca constante, como professora-pesquisadora, em contribuir para uma educação pública de qualidade, em razão de que os estudos do Grupo enfatizam materiais e temáticas que repercutem na rotina escolar.
Desde o início da vida profissional, compreendi que esse movimento colaborativo para uma educação pública qualitativa se constituía no posicionamento de professor reflexivo, que almeja a melhoria da prática de sala de aula, como também no posicionamento crítico a respeito de documentos e políticas públicas e na divulgação das considerações produzidas coletivamente no Grupo de pesquisa, por meio da publicação de artigos em eventos científicos e na ministração de cursos de
formação continuada para professores da rede pública. As ações de ensino, pesquisa e extensão realizadas como membro do Contar e docente da Rede Estadual foram ampliadas posteriormente com a posse, em 2017, como professora efetiva do Colégio de Aplicação da UFRN, o Núcleo de Educação da Infância (NEI-CAp-UFRN).
Após a imersão, no mestrado, em uma perspectiva de educação que valoriza a cultura e o pensamento crítico proposta por Freire (1987). No movimento contínuo de ensinar-aprender a ser professora-pesquisadora, conheci a Teoria da Objetivação (TO). A TO propõe uma educação que se coaduna com os Estudos do letramento em aspectos que envolvem a noção de sujeito, trabalho colaborativo e conhecimento como forma de agir criticamente.
Radford, idealizador da TO, enfatiza que o encontro com o saber ocorre na atividade, denominada por ele de labor conjunto, num processo de cooperação em que professor e aluno são agentes culturais. O referido autor também destaca a relação da linguagem, política e alteridade no campo da matemática (RADFORD, 2018d) ao preconizar que a fala e o pensamento são formas de agir sobre o mundo. Nesse processo de aprofundamento, no âmbito do Grupo Contar, a respeito da linguagem matemática e da investigação em materiais didáticos e documentos de orientação curricular que são utilizados em práticas escolares, me deparei com uma nova demanda para o pedagogo: a inserção da álgebra como um eixo de ensino para os anos iniciais do Ensino Fundamental, no documento normativo da Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2017).
A BNCC orienta práticas pedagógicas desde sua aprovação pelo Ministério da Educação brasileiro, no final de 2017. Os livros didáticos, por exemplo, são um dos instrumentos mais utilizados pelo professor no cotidiano escolar (PEREZ, 2016), a produção dos mesmos e de outros materiais didáticos é realizada a partir das recentes orientações da BNCC. A Base indica o uso de sentenças matemáticas com a presença de uma incógnita (termo desconhecido) como parte do eixo que pretende desenvolver o pensamento algébrico.
Radford (2011) elucida que, em 1997, houve uma mudança nos documentos de orientação curricular em Ontário/Canadá, com a inserção de um campo de estudo sistemático sobre a álgebra e os processos de padronização. Com isso, questionamentos a respeito do que seria inerente da álgebra e da aritmética foram suscitados. Semelhantemente, a alteração curricular normativa no Brasil também gerou inquietações sobre o novo campo da matemática, denominada pela BNCC de
álgebra. Então, a discussão referente à álgebra no Ensino fundamental é uma temática atual, abordada à nível nacional, em âmbitos municipais, estaduais e federais, uma vez que a Base Nacional Comum Curricular, aprovada em dezembro de 2017, indica o fomento sistemático ao desenvolvimento do pensamento algébrico com crianças a partir dos 6 anos de idade, ou seja, desde o 1º ano do Ensino Fundamental.
Com base no exposto, me questionei sobre as especificidades do pensamento algébrico, posto que, situações algébricas, no senso comum, são concebidas a partir da presença de uma incógnita, denominada pela BNCC de termo desconhecido. Assim, me indaguei sobre como se caracterizariam, a partir dos estudos socioculturais da TO, estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças ao lidarem com sentenças matemáticas com a presença de um termo desconhecido, conforme orientado pela Base. Tal questionamento é pertinente à medida que o foco do Ensino Fundamental, até então,era o trabalho com números conhecidos.
Em suma, os estudos com foco nas políticas públicas no Grupo Contar, a inserção da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental na BNCC, a perspectiva defendida pela TO de pensamento como uma forma de agir e refletir sobre e no mundo, e a atuação em pesquisa, ensino e extensão como docente em cursos de formação continuada, bem como em turmas de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental no Núcleo de Educação de Infância, Colégio de Aplicação da UFRN me levaram ao seguinte questionamento: no processo de introdução à álgebra, o que caracteriza, a
partir da TO, as estratégias de pensamento suscitadas por crianças do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do NEI/CAp-UFRN, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido?
1.1 Especificidades e objetivos da investigação
Após a exposição do percurso investigativo, apresentamos o objetivo geral da pesquisa que consiste em caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação, estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do NEI/CAP-UFRN, no processo de introdução da álgebra, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Nesse sentido, como objetivo específico nos propomos a analisar indícios dos três vetores característicos do pensamento algébrico (analiticidade, expressão semiótica e
indeterminação) nas estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças. À vista disso, nesta tese de doutorado, temos como objeto de estudo características do pensamento algébrico nas estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças do 4º e 5º ano do NEI/CAp-UFRN, no processo de resolução de tarefas introdutórias da álgebra.
A investigação se desenvolveu com base na perspectiva da TO acerca do pensamento algébrico (RADFORD, 2010, 2013, 2018a) assim, para nós, pensar algebricamente ocorre com a presença de três vetores:
(1) Indeterminação: a indeterminação diz respeito ao uso de termos desconhecidos em uma sentença matemática
(2) Expressão semiótica: A indeterminação deve ser reconhecida e nomeada por meio dos diferentes meios semióticos
(3) Analiticidade: Ação de agir de modo analítico-dedutivo com o indeterminado como se o mesmo fosse determinado
Além disso, nos baseamos na Teoria da Objetivação, principalmente no que diz respeito à organização estrutural de nossa intervenção, no que concerne ao papel ativo e colaborativo de cada participante e na análise das tarefas. Assim como apresentado por Bednarz, Radford, Janvier e Lepage (1992), nosso intuito não se deteve ao simbolismo matemático e sim em compreender e caracterizar o modo como as crianças resolvem sentenças com a presença de um termo desconhecido. Os autores reiteram que são poucas as investigações que focam na análise da maneira como crianças resolvem problemas matemáticos.
Esclarecemos que em nossa investigação, concebemos a atividade como nossa unidade de análise, posto que, para a TO, é pela e na atividade que o sujeito encontra e se familiariza com o saber algébrico. Assim, organizamos nossa atividade em 10 sessões com alunos do NEI/CAp-UFRN. Em cada sessão realizamos tarefas, que consistiam em problematizações orais ou escritas na perspectiva da introdução à álgebra. Em suma, as tarefas compunham a atividade.
A pesquisa se delineia como qualitativa (LUDKÉ; ANDRÉ, 1986) do tipo descritiva e interpretativa (VERGEL, 2016a) com o método de análise multisemiótico ou multimodal, característico da TO (RADFORD; SABENA, 2015; RADFORD, 2015; RADFORD et al., 2017; VERGEL, 2014).
Por nos basearmos na Teoria da Objetivação, nosso objeto de análise metodológico foi a atividade, que, conforme já elucidado, aconteceu em 10 sessões com a turma em que atuávamos como professora titular, em 2017 – 4º ano (3
sessões) e em 2018 – 5º ano (7 sessões) no Núcleo de Educação da Infância – Colégio de Aplicação da UFRN. Assim, realizamos uma apreciação multimodal da atividade (RADFORD; EDWARDS; ARZARELLO, 2009; RADFORD, 2006c), posto que o pensamento pode se manifestar de múltiplos modos.
A organização da intervenção se baseou na estrutura defendida por Radford (2015), contudo, o perfil das tarefas aplicadas se justificam a partir de orientações presentes na BNCC (BRASIL, 2017) para o 4º e 5º ano e de materiais de orientação ao professor como Van de Walle (2009), Smole e Diniz (2016) e Souza, Silva e Rufino (2004), dentre outros. Considerando que o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental ainda é muito recente no Brasil, optamos por seguir, inicialmente, as orientações da Base quanto ao trabalho com o símbolo de igualdade no 4º e 5º ano, já que éramos professora dessas turmas. Nossa preocupação não consistiu em atender criteriosamente o que diz a BNCC, mas por ser algo incipiente no país, nosso foco se deu em conhecer, aprender e investigar a estratégia indicada principalmente por esse documento para o trabalho de introdução à álgebra, à medida que materiais didáticos estão sendo produzidos a partir das orientações da Base.
No que concerne à organização do trabalho, ele se divide em 7 capítulos. Na Introdução (capítulo 1), apresentamos as características gerais da investigação. Assim, explicitamos a justificativa, problemática, as motivações de estudo e nosso percurso como professora-pesquisadora atuante em escola pública e participante do grupo de pesquisa em ensino de Matemática e Língua Portuguesa – CONTAR, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Abordamos a questão de estudo, objetivos gerais e específicos de nossa investigação e apresentação sintética da pesquisa em seus aspectos teóricos e metodológicos. No 1º capítulo, apresentamos reflexões sobre a nova demanda a nível nacional para professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental: o ensino sistemático da álgebra. Esclarecemos que, em nossa investigação, buscamos aprofundar e problematizar o que seria o pensamento algébrico e como ele se caracteriza, afinal, no senso comum, há a ideia e disseminação de que o trabalho com a álgebra se baseia principalmente na presença de um termo desconhecido (incógnita).
No capítulo 2 apresentamos investigações que tratam acerca da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O levantamento foi realizado em documentos parametrizadores, em portais de periódicos e em eventos de Educação matemática. Verificamos também como livros didáticos recém aprovados pelo Ministério da educação brasileiro apresentam tarefas com foco no símbolo de igualdade e o termo desconhecido. No mesmo capítulo, descrevemos uma sondagem de trabalhos acadêmicos que tratam específicamente sobre o símbolo de igualdade como noção de equivalencia algébrica. E ainda compartilhamos a investigação sobre o pensamento algébrico na perspectiva da Teoria da Objetivação.
No capítulo 3, tratamos a respeito da Teoria da Objetivação e dos conceitos de atividade (labor conjunto), saber, conhecimento e processo de ensino-aprendizagem. No capítulo 4, discutimos o pensamento algébrico na perspectiva da TO. No 5º capítulo, abordamos o desenho da investigação, que são os aspectos metodológicos e sua organização. No 6º capítulo, descrevemos, interpretamos e analisamos tarefas realizadas com nossos alunos do 4º e 5º ano do NEI/CAp-UFRN. O 7º capítulo traz uma síntese dos resultados, desdobramentos, dificuldades, contribuições e considerações finais da pesquisa.
A referida investigação foi produzida e organizada com o intuito de defendermos a tese de que, na introdução à álgebra, a partir da abordagem da Teoria da Objetivação, a proto-analiticidade se constitui como uma característica do processo pedagógico de introdução à algebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
A proto-analiticidade, definição proposta por nós, se configura como uma aproximação à principal característica do pensamento algébrico – a analiticidade (RADFORD, 2018a). O pensamento analítico designa 1) a ação com um número indeterminado como se ele fosse determinado 2) tal operação é baseada em premissas dedutivas, ou seja, em uma sucessão de certezas. Assim, quando uma criança opera ora com uma característica da analiticidade ora com outra, afirmamos que há uma proto-analicidade.
Por ser uma demanda recente para o pedagogo atuante em escolas no Brasil, pretendemos, com o estudo específico da álgebra, contribuir com as práticas pedagógicas e esclarecer, a partir do que defende a Teoria da Objetivação, o que é e como se caracteriza a álgebra e o pensamento algébrico.
Nacarato, Mengali e Passos (2009) reiteram a dificuldade do pedagogo em ensinar matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. As autoras destacam
que é um “desafio ensinar o que nem sempre se aprendeu” (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2009, p. 15), posto que, em algumas ocasiões, a falta de uma formação sólida faz com que professores reproduzam o modo como foram ensinados no período de escolarização, com destaque a procedimentos e regras simbólicas. Isso ocorre justamente porque muitas vezes a formação inicial não garante uma fundamentação sólida no que concerne à didática e ao conteúdo da matemática.
Em face disso, aspiramos valorizar e compreender as estratégias de pensamento utilizadas pelas crianças e colaborar com o entendimento do que é a álgebra e como se caracteriza o pensamento algébrico no processo de introdução à álgebra, na perspectiva da TO, frente a um público de professores graduados em Pedagogia, que de acordo com Nacarato, Mengali e Passos (2009) e reiterado por nós em Gomes (2014), apresentam dificuldades, sentimentos, crenças e representações negativas quanto aos conteúdos, procedimentos e natureza da matemática.
2 O ENSINO-APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PESQUISAS E ORIENTAÇÕES CURRICULARES
Este capítulo apresenta abordagens sobre o ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Inicialmente, fizemos um levantamento no conteúdo de documentos oficiais do Ministério da Educação brasileiro acerca da temática, priorizando aqueles que orientam as práticas escolares, entre os quais temos: os Parâmetros Curriculares Nacionais, o documento orientador do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa, a Base Nacional Comum Curricular e o Guia do Livro Didático (GLD). A abordagem desse último, foi complementada, para fins de exemplificação sobre como o GLD se concretiza, com uma breve apresentação de como livros didáticos de Matemática dos 4º e 5º anos do Ensino Fundamental abordam sentenças matemáticas com um termo desconhecido com a exploração do símbolo de igualdade.
Em seguida, apresentamos o levantamento do tipo Estado da arte, em periódicos nacionais e nos anais do Encontro Nacional de Educação Matemática, que se configura, na atualidade, como um dos maiores eventos da área. Nesse levantamento buscamos fazer um panorama a respeito de pesquisas cuja temática versava sobre o pensamento algébrico e, de modo global, conhecer sua intenções, objetos de pesquisa, base teórico-metodológica, dentre outros.
Por fim, expomos uma investigação acerca da Teoria da Objetivação, organizada em duas etapas: a primeira voltada para o mapeamento de publicações que abordam essa Teoria e a segunda com enfoque na relação entre a Teoria e o pensamento algébrico.
Os levantamentos descritos neste capítulo nos permitiram conhecer diferentes perspectivas relativas à álgebra, seja na orientação da prática escolar ou do seu processo de desenvolvimento.
2.1. A álgebra nos anos iniciais: orientações de documentos oficiais
Iniciamos nosso processo investigativo sobre a álgebra nos anos iniciais pela análise de alguns documentos oficiais brasileiros. Essa apreciação foi realizada com o propósito de sinalizar e conhecer como o tema é apontado de forma geral em documentos de orientação curricular.
A pesquisa inicial acerca do ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, deu-se no que Laville e Dione (1999) denominam como pesquisa de base documental em publicações de organismos, ou seja, pesquisa nos documentos que “definem orientações, enunciam políticas, expõem projetos” (LAVILLE; DIONNE, 1999, p.166).
A análise em documentos oficiais de âmbito nacional que apresentam orientações e diretrizes curriculares foi o ponto de partida de nossa investigação, a medida que se desdobram diretamente na sala de aula e subsidiam práticas educacionais, considerando as discussões pedagógicas de cada época. As orientações documentais dessa natureza repercutem no perfil do livro didático, no currículo, planejamento, objetivos, formação dos professores e na elaboração do Projeto Político Pedagógico em instituições escolares públicas e privadas.
Apesar do foco da nossa pesquisa ser a caracterização de estratégias de pensamento suscitadas em crianças do 4º e 5º ano, no processo de resolução de tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido, realizamos a leitura de documentos orientadores sobre a álgebra no Ensino Fundamental em três principais ciclos: 1º ciclo (1º, 2º e 3º anos) conhecido como ciclo de alfabetização, 2º ciclo (4º e 5º anos), foco desta pesquisa e o ciclo final do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano). A leitura global aconteceu com vistas a mapear e conhecer orientações curriculares, indicações de continuidades e rupturas entre um ciclo e outro no trabalho pedagógico com a álgebra, a fim de que tais orientadores nos ajudassem a elaborar nossa proposta de intervenção e também analisar suas relações com o pensamento algébrico nos 4º e 5º anos do Ensino Fundamental, na perspectiva da TO.
A análise inicial partiu dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de Matemática (BRASIL, 1997, 1998) dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental. A análise desses documentos se justificou porque os PCN, durante cerca de 20 anos,
ocuparam um espaço relevante no cenário educacional brasileiro. Suas orientações repercutiram diretamente nas práticas escolares, na formação de professores e orientaram o desenvolvimento de pesquisas em diferentes áreas de conhecimento.
Em um segundo momento, a análise se deu sobre o “Elementos conceituais e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino Fundamental” (BRASIL, 2012). Esse documento orientou o planejamento de políticas educacionais e o ensino no ciclo de alfabetização, possibilitando-nos compreender as indicações curriculares quanto ao ensino-aprendizagem da álgebra para esse período da Educação Básica.
Em seguida, investigamos as indicações da 3ª versão da Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2017) para o ensino da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esse documento normativo, em vigor desde 2017, é a principal diretriz de orientação curricular do Ministério da Educação - MEC brasileiro. O novo documento ainda está em fase de apropriação pelas escolas e instituições formadoras de professores, embora seja alvo de críticas quanto à estratégia adotada para a sua elaboração e às questões curriculares, a exemplo das referentes a relação entre práticas pedagógicas e políticas, o que abrange o tratamento e enfoque dado aos conteúdos de ensino, a concepção de competência adotada, a abordagem de temáticas de interesse de diferentes grupos sociais, dentre outros (CURY, REIS, ZANARDI, 2018). Apesar das discussões, nossa apreciação se justifica pela relevância do documento no cenário nacional e por apresentar uma unidade temática específica sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Posteriormente, verificamos o documento que orienta a escolha de livros didáticos distribuídos pelo Ministério da Educação brasileiro para as escolas públicas de todo país. O Guia do Livro Didático das obras de matemática, anos iniciais do Ensino Fundamental (BRASIL, 2018) aprovadas pelo Programa Nacional do Livro e Material Didático – PNLD, edição 2019. Esse documenta objetiva orientar professores na escolha de livros didáticos, com resenhas dos materiais aprovados pelo PNLD, responsável em avaliar e distribuir os livros. Para complementar a análise do Guia, verificamos também 5 coleções de livros didáticos de matemática, com exemplares na versão de divulgação, do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, com o fim de conhecer como o Guia se concretiza e de verificar como esses materiais, que são utilizados rotineiramente nas escolas, abordam a temática da álgebra, com foco no
símbolo de igualdade e na presença de um termo desconhecido em sentenças matemáticas.
Apresentamos, nos próximos tópicos, as especificidades verificadas em cada documento analisado. Ressaltamos que a leitura dos documentos objetivou o mapeamento investigativo, para conhecermos globalmente as orientações de documentos curriculares oficiais quanto ao ensino-aprendizagem da álgebra.
2.1.2 A álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental
Os PCN apresentam uma série de direcionamentos e objetivos curriculares quanto às diferentes áreas de ensino. É um documento de natureza aberta e flexível, não apresentado como uma imposição, e sim como orientações, indicações ao desenvolvimento de melhorias curriculares para instituições escolares de todo o território brasileiro.
A origem dos PCN se deu a partir da participação do Brasil na Conferência Mundial de Educação para Todos, em 1990. Essa participação se desdobrou em compromissos assumidos na busca pela qualidade da Educação, dentre eles, a elaboração do Plano Decenal Educação para Todos (1993-2003). Um dos objetivos do Plano foi a elaboração de diretrizes curriculares nacionais já indicada na Lei de Diretrizes e Bases da Educação - Lei Federal n. 9394/96 – (BRASIL, 1996), assim como no Artigo 210 da Constituição Federal de 1988 (BRASIL, 1988), em resposta a essa demanda é lançado, em 1997, pelo MEC.
Esse documento vigorou até 2017, quando um novo orientador oficial do Ministério da Educação brasileiro entra em vigor, que é a BNCC. Contudo, conforme já esclarecido, consideramos a apreciação dos PCN relevante, visto que suas orientações curriculares vigoraram no Brasil por cerca de 20 anos.
Nossa leitura investigativa aconteceu baseada no seguinte questionamento geral: o que dizem os PCN de matemática sobre o ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Assim, no processo de leitura investigativa, procuramos palavras-chave no documento, como álgebra e/ou algébrico. Para facilitar o procedimento de análise, ao identificarmos essas palavras, selecionamos as citações, copiamos e organizamos em um quadro, construído em um processador de
textos. Nesse processo, nos PCN dos anos iniciais, localizamos apenas 5 ocorrências com as palavras-chave álgebra e a/ou algébrico. Após a leitura e análise das citações, voltamos ao texto dos PCN e realizamos a leitura do tópico completo em que a citação selecionada estava inserida.
Identificamos em nossa análise que o documento dos anos iniciais apresenta dois principais aspectos ao tratar sobre a álgebra: o primeiro diz respeito ao posicionamento favorável de introdução ao ensino-aprendizagem da álgebra nos primeiros anos do Ensino Fundamental, esse trabalho pedagógico é denominado pelo documento como pré-álgebra; o segundo é o fato de que esse documento não apresenta orientações e nem objetivos específicos acerca da abordagem do ensino-aprendizagem da álgebra. Isso acontece porque, de acordo com o documento, o trabalho sistemático com a álgebra deve ser realizado apenas nos anos finais do Ensino Fundamental, demonstrando, assim, um parecer contrário à formalização algébrica com crianças dos anos iniciais, por isso a denominação de pré-álgebra.
Em suma, apesar de demonstrar-se favorável à introdução da álgebra, o documento dos anos iniciais isenta-se quanto às orientações pedagógicas mais específicas, detendo-se a explicar que o trabalho com esse conteúdo deve se dar de modo a estabelecer relações com a geometria, com o estudo do números e operações e das grandezas e medidas. Os PCN de matemática dos anos iniciais ressaltam que o conhecimento matemático (aritmético, algébrico, estatístico, geométrico, métrico, combinatório e probabilístico) deve ser utilizado para fazer, observar, organizar, produzir informações de maneira analítica e crítica (BRASIL, 1997).
Embora não exponha orientações específicas acerca de objetivos, conteúdos, abordagens metodológicas e práticas pedagógicas para o trabalho com a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, o posicionamento firmado quanto à necessidade de relacionar a álgebra a outros eixos da matemática, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, torna esse documento um ponto de partida importante para a discussão curricular de ensino-aprendizagem da álgebra nesse nível de ensino.
Diante dos apontamentos dos PCN anos iniciais, julgamos necessário investigar também a abordagem trazida nos Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos finais do Ensino Fundamental de matemática (BRASIL, 1998), referente ao ensino-aprendizagem da álgebra com crianças, especialmente quanto à relação dessa abordagem com aquela suscitada para os anos iniciais do Ensino Fundamental.
Os PCN dos anos finais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), fomentam a reflexão sobre o ensino-aprendizagem da álgebra. Esse documento enfatiza a dificuldade existente quanto a tornar a álgebra significativa e explica que nessa etapa de ensino é preciso enfatizar o processo de generalização e que ele seja fomentado e desenvolvido de diversas formas. O documento ainda destaca o uso de gráficos e tabelas como fundamentais nesse processo.
Os PCN anos finais (1998) demonstram posicionamento quanto à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, destacando que
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar abstratamente, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. Embora se considere importante que esse trabalho chamado de pré-álgebra aconteça nas séries iniciais, ele deve ser retomado no terceiro ciclo para que as noções e conceitos algébricos possam ser ampliados e consolidados (BRASIL, 1998, p. 117).
Segundo os PCN (BRASIL, 1998), nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a álgebra pode ser desenvolvida sem uma formalização sistemática de procedimentos para resoluções de equações com uma linguagem simbólica. Os fundamentos da álgebra que precisam ser desenvolvidos nos anos iniciais, como dito anteriormente, são os processos de generalização, regularidade e equivalência. Tais processos, para os PCN, constituem a chamada pré-álgebra.
Outro aspecto que os PCN de matemática dos anos finais do Ensino Fundamental destacam é a articulação da álgebra com a aritmética. A aritmética, com seu foco nas operações, é priorizada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, no entanto, o documento aponta a relevância de uma prática pedagógica integrada entre álgebra e aritmética desde os anos iniciais.
Danco continuidade à busca de mapear o que documentos do Ministério da educação brasileiro apontam sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, apresentamos na próxima seção, a consulta realizada em um documento que orientou práticas escolares específicas para crianças na faixa etária de 6 a 8 anos de idade.
2.1.3 Álgebra no documento “Elementos Conceituais e Metodológicos para a definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de alfabetização do Ensino Fundamental”
Outros documentos oficiais apresentam especificações curriculares para os anos iniciais do Ensino Fundamental, é o caso do “Elementos Conceituais e Metodológicos para a definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de alfabetização do Ensino Fundamental” (BRASIL, 2012) que foi elaborado no contexto da política do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC), um programa do Ministério da Educação extinto em 2018 que apresentou diversas ações para alcançar a meta de alfabetizar crianças até, no máximo, oito anos de idade.
Embora o documento apresente orientações curriculares apenas para os três primeiros anos do Ensino Fundamental consideramos pertinente verificar seus principais eixos estruturantes. Conhecê-lo possibilitou um maior embasamento na elaboração de nossa proposta de intervenção, a qual priorizou objetivos de ensino para a álgebra com o 4º e 5º ano do Ensino Fundamental.
O documento, proposto pelo Ministério da Educação brasileiro, apresenta especificações curriculares para os 1o, 2o e 3o anos do Ensino Fundamental, o
denominado Ciclo de Alfabetização. O conteúdo do documento aparenta representar um avanço quanto ao que propunha os PCN, pois se refere à álgebra como um eixo estruturante chamado “Pensamento algébrico”. Nos PCN, a álgebra não foi tratada como um eixo de ensino-aprendizagem, ela apenas foi mencionada, mas não houve uma discussão específica sobre a mesma.
Relativo a esse eixo, o documento orientador do PNAIC aponta a compreensão de padrões e relações, a partir de diferentes contextos, como principal objetivo para a aprendizagem da álgebra e que compreende o alcance de três “direitos de aprendizagem”5, que circulam como objetivos mais específicos e que devem ser
desenvolvidos ao longo dos três primeiros anos do Ciclo de Alfabetização.
5 O termo “direitos de aprendizagem”, segundo o Ministério de Educação brasileiro, se refere aos objetivos de aprendizagem elencados para cada área e ano de ensino. Os objetivos são assim denominados com o fim de indicar um compromisso coletivo, de modo a buscar a garantia de aprendizagens essenciais na área e ano de ensino indicados, como um direito básico da criança.
Conforme demonstrado no Quadro 1, para cada ano de ensino (1º, 2º e 3º anos) são propostos, nesse documento, os “direitos de aprendizagem” e em que ano esses devem ser iniciados (I), aprofundados (A) ou consolidados (C).
Para o primeiro ano do Ensino Fundamental, por exemplo, é indicado o seguinte objetivo “estabelecer critérios para agrupar, classificar e ordenar objetos, considerando diferentes atributos” (BRASIL 2012, p. 77), esse direito deve ser aprofundado no 2º e consolidado no 3º ano. Sendo assim, o documento orientador do PNAIC apresenta, de forma mais detalhada do que nos PCN, o que pode ser priorizado nos três anos do ciclo de alfabetização e letramento. Vejamos:
Quadro 1 – Objetivos de aprendizagem da álgebra no documento orientador do PNAIC Eixo estruturante pensamento
algébrico -
Objetivos de aprendizagem
1º ano 2º ano 3º ano
Compreender padrões e relações, a partir de diferentes contextos. Estabelecer critérios para agrupar,
classificar e ordenar objetos, considerando diferentes atributos.
I I/A A/C
Reconhecer padrões de uma sequência para identificação dos próximos elementos, em sequências de sons e formas ou padrões numéricos simples.
I I/A A/C
Produzir padrões em faixas decorativas, em sequências de sons e formas ou padrões numéricos simples.
I I/A A/C
LEGENDA: I – Introduzir; A – Aprofundar; C – Consolidar. Fonte: (BRASIL 2012, p. 77)
Conforme demonstrado no Quadro 1, o documento orientador curricular do PNAIC (BRASIL, 2012) ressalta o fomento ao pensamento algébrico desde o 1º ano do Ensino Fundamental. De acordo com o documento, o aluno deve chegar ao final do 3o ano com os três objetivos consolidados. Pelos objetivos de aprendizagem
apresentados, conforme o documento “Elementos conceituais e metodológicos”, o foco dos três primeiros anos do Ensino Fundamental, quanto ao eixo da álgebra, deve ser o trabalho pedagógico com padrões e sequências.
Na próxima seção, apresentamos um documento normativo com orientações para as etapas e modalidades da Educação Básica, contudo, nosso foco se deu em conhecer, em tal documento, a abordagem da álgebra para os anos iniciais, do 1º ao 5º ano.
2.1.4 A álgebra no documento da Base Nacional Comum Curricular
A Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2017) passou a vigorar como documento oficial de caráter normativo do Ministério da Educação brasileiro em 2017. Esse documento orienta o currículo para a Educação Básica nacional nos seguintes níveis de ensino: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio, substituindo assim os PCN e o documento que orienta o PNAIC, então extinto.
Ao longo do processo de construção da BNCC, três versões do documento foram disponibilizadas no Portal6 destinado para consulta pública, o objetivo, segundo
o MEC, era que a população pudesse sugerir, criticar e opinar acerca do conteúdo proposto na BNCC, embora não haja clareza de como as contribuições da sociedade civil foram incorporadas ao documento. Para conhecer as orientações sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, analisamos a 3ª versão disponibilizada on
line.
A consulta pública da primeira versão foi realizada entre outubro de 2015 e março de 2016. A segunda versão foi examinada, sistematizada e reorganizada no ano de 2016. Em abril de 2017, o MEC divulga a terceira e última versão da BNCC.
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Educação Básica. Aplica-se à educação escolar, tal como a define o § 1º do Artigo 1º da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB, Lei nº 9.394/1996), e indica conhecimentos e competências que se espera que todos os estudantes desenvolvam ao longo da escolaridade. Orientada pelos princípios éticos, políticos e estéticos traçados pelas Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN), a BNCC soma-se aos propósitos que direcionam a educação brasileira para a formação humana integral e para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva (BRASIL, 2017, p. 7).
No que se refere à Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a BNCC apresenta alterações em relação aos PCN nas unidades temáticas de ensino, uma vez que, assim como o documento do PNAIC, traz a álgebra como uma nova unidade temática específica, junto com as unidades: números, geometria, grandezas e medidas, probabilidade e estatística. De acordo com as orientações da BNCC, na
unidade Álgebra, o foco do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental não deve ser a formalização de regras e fórmulas e sim o desenvolvimento do pensamento algébrico, nos processos de regularidade, generalização e equivalência.
Diferentemente dos PCN, a BNCC traz de modo mais sistemático orientações específicas sobre o ensino da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, limitando esse ensino a um processo intuitivo de elementos da álgebra formal, como os processos de generalização, reconhecimento e estabelecimento de critérios, denominando a unidade temática de Álgebra.
Quanto ao desenvolvimento do pensamento algébrico no Ciclo de alfabetização e letramento (1º, 2º e 3º anos do Ensino Fundamental), o foco de ensino orientado pela BNCC é a organização de sequências de figuras por atributos e cores, na organização em ordem crescente e decrescente por meio de diversas estratégias, com o fim de desenvolver a generalização e perceber regularidades. Contudo, o documento da BNCC indica o trabalho com o símbolo de igualdade desde o 3º ano do Ensino Fundamental, apresentando assim, um avanço quanto ao documento do PNAIC, que focou apenas no trabalho pedagógico com sequências e padronizações. Para os 4º e 5º anos, o foco das orientações da BNCC, com relação aos objetivos para o desenvolvimento do pensamento algébrico, encontra-se nas noções de equivalência, nas habilidades de identificação de um termo desconhecido e no uso das quatro operações matemáticas para resolver e elaborar situações-problema. Nesta pesquisa, por exercermos a docência em turmas de 4º e 5º ano, optamos por focar nas orientações de ensino sobre a noção de equivalência e o símbolo de igualdade.
Para a nossa investigação com os 4º e 5º anos, baseamo-nos na última versão da Base que apresenta habilidades (Quadro 2) para a unidade temática álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Destacamos em negrito, no Quadro 2, objetos de conhecimento e habilidades que utilizamos em nossa proposta. Reiteramos que não fazemos uso do que orienta a BNCC de modo ortodoxo, porém consideramos importante reconhecer o que a mesma sinaliza e aborda para o ensino-aprendizagem da álgebra.
