Episódio de análise 5 indícios da ruptura entre aritmética e álgebra no processo

A apresentação desta tarefa objetiva refletir acerca da ruptura entre aritmética e álgebra. De acordo com Filloy e Rojano (1989), esse “corte” é indicado com o fato de que os alunos, mesmo com habilidades aritméticas refinadas, sentem dificuldade de operar com o desconhecido. A apresentação da tarefa também se deve ao fato de fomentar a reflexão sobre o reconhecimento e a referência ao indeterminado. Posto que, conforme evidencia a Figura 21, a aluna IN faz uso da expressão semiótica ao se referir ao termo desconhecido, todavia, não opera com o indeterminado e não faz uso de premissas para solucionar a equação.

Figura 21– Estratégia utilizada pela aluna IN

Fonte: acervo da autora

Assim como na tarefa do tópico anterior, a presente tarefa também ocorreu na sessão 9, na vivência com o jogo “Dominó de letras e números”, adaptado de Martins e Santos (2012). A partir do registro escrito foi possível verificar a estratégia de pensamento da aluna, a mesma reconheceu e se referiu ao indeterminado e indicou compreender que a letra “y” representa uma quantidade numérica. Consideramos isso um avanço, uma vez que os alunos no início das sessões demonstraram dificuldade com a prática cultural matemática de considerar quantidades por meio da representação simbólica de letras. Contudo, apesar desse reconhecimento, a aluna não conferiu sentido ao indeterminado, pois não operou com ele como se o mesmo fosse conhecido.

A estudante indica fazer uso da “tentativa e erro”, ao escrever que “fui vendo” qual número somado com 4 resultaria em 7. A expressão linguística destacada expressa uma ação contínua, ou seja, não partiu de uma premissa, uma vez que é possível inferir que a criança foi testando qual número poderia substituir a letra. A análise multimodal privilegia não apenas o resultado final, mas o processo de resolução, sendo assim, atentar para a explicação linguística da criança pela

linguagem escrita nos fez perceber o uso sutil da “tentativa e erro”, constituindo-se como uma estratégia aritmética.

Para a Teoria da Objetivação, a analiticidade é o que diferencia a aritmética da álgebra, ela se configura com duas principais características, a primeira diz respeito à ação com o indeterminado como se o mesmo fosse determinado e a segunda é que tais ações devem partir de uma premissa. Ou seja, um processo onde um raciocínio inicial gera outro e assim, sucessivamente, até solucionar o problema matemático. Sintetizamos nossa análise desta tarefa no Quadro abaixo.

Quadro 21 – Vetores do pensamento algébrico da aluna IN Vetores do pensamento algébrico Indícios

Indeterminado É identificado e reconhecido como “Y” Expressão semiótica Reconhece e se refere ao “Y” como “número

desconhecido” por meio do registro escrito Analiticidade Não demonstra analiticidade, uma vez que fez

uso da “tentativa e erro” e não operou com o desconhecido como se fosse conhecido Fonte: elaborado pela autora

Como evidenciado no Quadro 21, há indícios de que a aluna IN não operou com o desconhecido. Filloy e Rojano (1989) reiteram que para o estudante agir com o indeterminado, em um certo momento ele deve ir além de práticas aritméticas. Em suma, o mesmo deve agir com a incógnita em primeiro plano, isso significa que a utilização de procedimentos aritméticos, como o uso das operações inversas, por exemplo, não garante que o indeterminado seja visto como determinado.

Porém, situações com a presença de apenas uma incógnita, como a da tarefa ora apresentada, podem ser solucionadas diretamente com o uso de operações inversas. Acerca disso,

Considere o conceito de equação. Em termos aritméticos, o lado esquerdo da equação corresponde a uma sequência de operações realizadas em números (conhecidos ou desconhecidos); o lado direito representa a consequência de ter realizado tais operações. Isso é o que poderíamos chamar de noção "aritmética" de igualdade. De tal noção, equações como Ax + B = C podem ser resolvidas simplesmente desfazendo, uma a uma, as operações dadas na sequência da mão esquerda, começando com o número C. Esse é um tipo de equação "aritmética". A noção aritmética não se aplica a uma equação da forma Ax + B = Cx + D; sua resolução envolve operações extraídas de fora

do domínio da aritmética, isto é, operações no desconhecido36 (FILLOY; ROJANO, 1989, p. 19, grifo do autor, tradução nossa)

Assim, o tipo de equação representado em alguns livros didáticos aprovados pelo PNLD 2019 são denominados por tais autores como equações aritméticas. Reconhecemos que os procedimentos com números e operações conhecidas são relevantes, porém, para Filloy e Rojano, pensar algebricamente requer um nível de abstração maior, posto que se atenta para o desconhecido e se opera com ele de modo dedutivo. A noção do símbolo de igualdade como uma relação entre os termos de uma equação colabora nesse processo.

A partir da caracterização das estratégias de pensamento demonstradas pela aluna IN (Figura 21), reiteramos, baseados na Teoria da Objetivação, que a dificuldade de operar com números desconhecidos evidencia a ruptura entre aritmética e álgebra e, com a reflexão da tarefa ora apresentada, concluimos que apenas o reconhecimento e referência ao termo desconhecido não significa que o pensamento algébrico está sendo desenvolvido.

36 _{Texto original: “Consider the concept of equation. In arithmetical terms, the left side of the equation} corresponds to a sequence of operations performed on numbers (known or unknown); the right side represents the consequence of having performed such operations. This is what we might call the “arithmetical” notion of equality. From such a notion, na equation such as Ax + B = C can be solved by merely undoing, one by one, the operations given in the left hand sequence, starting with the number C. We shall call this type of equation “arithmetical”.

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nos propomos a caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação, estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do NEI/CAP-UFRN, no processo de introdução da álgebra, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Neste capítulo, tratamos sobre os resultados sinalizados pela análise das tarefas descritas e interpretadas no capítulo 6 e dos possíveis desdobramentos investigativos, a partir deste estudo, assim como das contribuições.

A proposição desta pesquisa ocorreu em um contexto cultural em que no Brasil, o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra foi orientado a partir da aprovação no final de 2017, da 3ª versão do principal documento normativo de orientação curricular nacional, a Base Nacional Comum Curricular. Assim, a partir dessa aprovação, surge uma nova demanda pedagógica: a inserção da denominada álgebra escolar no cotidiano das salas de aula em todo país.

Com essa nova demanda inserida na comunidade escolar, nos questionamos, como pedagogos em busca de melhorar nossa prática pedagógica, acerca do que caracterizaria o pensamento algébrico, posto que livros didáticos e de orientação aos professores trazem tarefas com um termo desconhecido indicando “desenvolver o pensamento algébrico”.

No percurso investigativo, optamos por seguir a perspectiva da Teoria da Objetivação (RADFORD, 2018a) no que concerne a organização estrutural e na análise das sessões. Tal posicionamento se deu porque essa Teoria evidencia uma Educação Matemática que não se detém apenas aos aspectos cognitivos, mas éticos, históricos e sociais e concebe o saber como algo democrático, que não pertence apenas ao professor. Esse saber pode ser alcançado e materializado em conhecimento por meio de um trabalho colaborativo, denominado por Radford de labor

conjunto. A TO também defende que o pensamento é uma forma de agir e refletir

sobre o mundo, por isso, optamos nesta investigação por valorizar e analisar as estratégias demonstradas pelas crianças na busca de melhor compreender sobre algo tão recente no Brasil - o trabalho pedagógico com a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Assim, realizamos 10 sessões no Núcleo de Educação da Infância – Colégio de Aplicação da UFRN, sendo 3 sessões na turma do 4º ano, em 2017, e 7 na mesma

turma, compondo o 5º ano, em 2018. Organizamos as 10 sessões em três blocos, visando a ideia de equivalência com a presença de um termo desconhecido, de acordo com as orientações da BNCC.

A elaboração das tarefas e sua intenção pedagógica (Figura 9) se deu a partir de dois principais objetivos expostos na BNCC, que diziam respeito à noção de equivalência e o trabalho com o termo desconhecido. O que subsidiou a análise das tarefas foi a concepção acerca da álgebra, defendida pela Teoria da Objetivação (RADFORD, 2018a). Para Radford, o pensamento algébrico se constitui com três vetores: a indeterminação, isto é, a presença do termo desconhecido e o tratamento dado a ele em situações matemáticas; a expressão semiótica, constituída no reconhecimento e referência ao indeterminado e a analiticidade, que consiste na operação dedutiva com o desconhecido.

Além disso, baseados na TO, realizamos nossas análises com um olhar multimodal, atentando para as diversas formas de expressar uma estratégia de pensamento. Posto que para Radford, o pensamento é multimodal e pode ser expresso e visualizado de múltiplas formas. Verificamos, assim, desde os gestos até as representações escritas realizadas pelas crianças.

Diante das informações apresentadas nos materiais de análise, conferimos sentido e compomos nossos dados analíticos a partir da perspectiva da Teoria da Objetivação (VERGEL; ROJAS, 2018) ao selecionarmos situações em que percebíamos a presença, o reconhecimento ou referência ao indeterminado.

As 10 sessões foram organizadas em 3 blocos e, ao verificarmos os vídeos, transcrições e tarefas xerografadas, percebemos que a referência ao indeterminado se deu principalmente nas últimas sessões, no bloco de trabalho com jogos matemáticos. Nesse processo, nossas maiores dificuldades na análise das tarefas se deram no fato de que, por contarmos com apenas uma câmera filmadora, muitos registros orais e visuais foram perdidos. Outra dificuldade foi a falta de um registro detalhado na escrita das crianças, posto que os alunos, na maioria das ocasiões, apenas registravam a resposta final na folha xerografada, sem escrever cálculos ou registros do processo de resolução das equações, dificultando, então, a compreensão dos procedimentos e estratégias por eles utilizadas.

Nossas análises sinalizam que, no processo de introdução à álgebra, as estratégias demonstradas pelas crianças evidenciam a presença latente da proto-

analiticidade como uma característica que compõe esse processo. Ainda concluímos, a partir da análise das estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças, que:

 o pensamento algébrico apresenta uma ruptura ao pensamento aritmético, essa diferenciação pode ser demonstrada pela dificuldade das crianças em operar com o desconhecido;

 o emprego de estratégias aritméticas refinadas e o uso de propriedades das operações colaboram no desenvolvimento e estruturação do pensamento algébrico;

 o pensamento algébrico e/ou aritmético pode ser expresso de múltiplos modos, por isso, é preciso proporcionar liberdade para as crianças resolverem problemas ao seu modo, bem como valorizar suas estratégias.

Assim, a partir desses resultados, defendemos a tese de que, a partir da abordagem da Teoria da Objetivação, a proto-analiticidade se constitui como uma característica do processo pedagógico de introdução à álgebra.

Nossas análises, baseadas na TO, elucidam que o que a BNCC, livros didáticos do PNLD 2019 e materiais de orientação ao professor trazem como álgebra, são, na verdade, uma pré-álgebra, visto que, de acordo com a Teoria da Objetivação, não promoveram, nesta investigação - a partir das estratégias demonstradas pelas crianças, o desenvolvimento do pensamento algébrico, mas fomentaram noções importantes para a estruturação do trabalho com a álgebra formal, como o conceito do símbolo de igualdade como uma relação de equivalência.

Essa constatação se deu na verificação de que para as crianças operarem algebricamente, precisam transpor a concepção aritmética de operar com termos conhecidos (FILLOY; ROJANO, 1989). Assim, a chamada “introdução da álgebra escolar” nos anos iniciais do Ensino Fundamental, apresentada nesta investigação, seria, na perspectiva da TO, uma pré-álgebra.

Contudo, o trabalho com a pré-álgebra é relevante, na medida em que, com tais tarefas, no labor conjunto, as crianças entram em contato e se familiarizam com conceitos que serão utilizados na formalização da álgebra.

Concluímos também que cabe ao professor, como sujeito mais experiente, ampliar as posibilidades para o alcance do saber algébrico. Em nossa atividade, por exemplo, a ação do professor no labor conjunto poderia ter facilitado o encontro dos alunos com o pensamento algébrico, posto que apenas a aplicação de uma

determinada tarefa não promove a atualização do saber em conhecimento. Mesmo com objetivos claros no que concerne a estrutura da atividade e no modo que conceber os sujeitos, consideramos que a ação do professor no labor conjunto desta investigação foi limitada, uma vez que, poderia ter levantado discussões sobre a ação com o indeterminado como se fosse determinado. Conforme apontado por Radford (2017e)

O conceito de professor e de estudante que a TO traz consigo não é o conceito de seres autossuficientes e feitos por si próprios, que já conhecem seus assuntos. Professores e estudantes são conceitualizados como subjetividades em elaboração, ou como projetos de vida. Em vez de serem considerados como algo já dado, como fontes de saber e intencionalidade, eles são considerados como abertura para o mundo. A TO concebe os professores e os estudantes como seres humanos em fluxo, como projetos inacabados, em busca de si mesmos, empenhados num mesmo esforço onde sofrem, lutam e encontram satisfação juntos (RADFORD, 2017e, p. 241-242)

Nesta investigação, de fato, as especificidades da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, mais detalhadamente no 4º e 5º, foram aprendidas junto com os alunos, no decorrer do processo. Concretamente, o saber não se configurou como algo nosso (do professor) e sim uma produção coletiva, erramos e aprendemos juntos, no labor conjunto.

A partir das reflexões dos erros e acertos, constatamos que um possível desdobramento, suscitado deste estudo, seria a investigação com tarefas que, segundo Filloy e Rojano (1989) seriam genuinamente algébricas. Tais situações seriam compostas de equações como Ax + B = Cx + D, uma vez que, para tais autores, nesse tipo de situação, é preciso transpor procedimentos aritméticos de agir apenas com números determinados. Contudo, concluímos a tese com o seguinte questionamento: será que o uso de duas incógnitas realmente facilitaria a ação com o desconhecido como se fora conhecido?

Por ora, esta tese contribui no sentido de esclarecer o que é e como se caracteriza o pensamento algébrico, principalmente para pedagogos, visto que, estes apresentam dificuldades e crenças negativas em relação à matemática (NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2009), devido a uma formação inicial deficitária, bem como de experiências pragmáticas na escolarização estudantil.

Sendo assim, esclarecer por meio desta investigação baseada na TO, o que é específico da álgebra, como o pensamento analítico, tem o objetivo de reverberar

na melhoria de nossa prática de professora da rede pública e de professores que estão iniciando o processo de introdução à álgebra, a partir da aprovação da BNCC no final de 2017. O estudo contribui também no sentido de fomentar pesquisas científicas na área.

A busca em melhorar nossa prática pedagógica consiste na ação reflexiva com fundamento em uma Educação Matemática que vise a formação crítica dos sujeitos, incluindo o próprio professor, que não deve limitar a sua ação a uma tarefa apresentada em um livro ou material didático, posto que, é no labor conjunto, nas ações colaborativas e críticas, na problematização e reflexão que o encontro com o saber acontece.

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