EDUCAÇÃO FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

UNIASSELVI-PÓS

Autoria: Profa. Ana Carolina Gadotti Aurélio

Indaial - 2020 1ª Edição

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CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI Rodovia BR 470, Km 71, n^o 1.040, Bairro Benedito

Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC Fone Fax: (47) 3281-9000/3281-9090

Reitor: Prof. Hermínio Kloch

Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD:

Carlos Fabiano Fistarol

Ilana Gunilda Gerber Cavichioli Jóice Gadotti Consatti

Norberto Siegel Julia dos Santos Ariana Monique Dalri Marcelo Bucci

Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais Diagramação e Capa:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Copyright © UNIASSELVI 2020

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

A927e

Aurélio, Ana Carolina Gadotti

Educação financeira na educação básica. / Ana Carolina Gadotti Aurélio. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.

156 p.; il.

ISBN 978-65-5646-126-7 ISBN Digital 978-65-5646-119-9

1. Matemática financeira. – Brasil. 2. Matemática - Estudo e ensino.

– Brasil. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 513.93

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Sumário

APRESENTAÇÃO ...5

CAPÍTULO 1

Matemática Financeira ...7

CAPÍTULO 2

Introdução à Educação Financeira ...55

CAPÍTULO 3

Educação Financeira: Orçamento, Planejamento,

Consumo e Futuro Financeiro ... 110

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APRESENTAÇÃO

Prezado acadêmico! Seja bem-vindo à disciplina de Educação Financeira para Educação Básica. O objetivo desta disciplina é fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira, para que este possa atuar como agente de divulgação da cultura de educação financeira no país.

Com o estudo desta disciplina, podemos ampliar o nível de compreensão dos discentes para efetuarem escolhas conscientes relativas à administração de seus recursos financeiros e colaborar para a preparação dos estudantes para o consumo sustentável e para uma vida financeira responsável.

No Capítulo 1, você terá acesso ao estudo de alguns conceitos básicos da matemática financeira. Para isso, primeiramente, você estudará sobre a importância da matemática financeira na educação básica. Em seguida, relembrará os conceitos básicos da matemática financeira e, por fim, conhecerá sobre o uso da planilha Excel na matemática financeira.

No Capítulo 2, Introdução à educação financeira, você compreenderá o que é educação financeira e qual a sua importância nas escolas e na vida das pessoas.

Em seguida, serão abordados o conteúdo educação financeira e nossa relação com o dinheiro. Por fim, no último tópico deste capítulo, você estudará sobre o uso do crédito e a administração das dívidas.

Para finalizar o nosso estudo, no terceiro e último capítulo, você estudará sobre a importância do orçamento e do planejamento financeiro. Em seguida, sobre consumo planejado e consciente e, por fim, você terá acesso ao conteúdo futuro financeiro, que abordará alguns assuntos sobre poupança, investimento, prevenção, proteção e aposentadoria.

Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que existem fatores importantes para um bom desempenho: disciplina, organização e um horário de estudos predefinido para que obtenha sucesso em seus estudos. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz toda a diferença. Por isso, lembre-se: o estudo é algo primoroso. Aproveite esta motivação para iniciar a leitura deste livro.

Desejamos a você bons estudos!

Profa. Me. Ana Carolina Gadotti Aurélio

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C ^{APÍTULO 1}

Matemática Financeira

A partir da perspectiva do saber-fazer, neste capítulo você terá os seguintes objetivos de aprendizagem:

• Compreender o que é matemática financeira e seus conceitos básicos.

• Reconhecer a importância da matemática financeira na vida das pessoas.

• Entender a importância da matemática financeira na educação básica.

• Constatar os conceitos básicos da matemática financeira.

• Analisar criticamente a contribuição da matemática financeira na vida financeira das pessoas.

• Empregar o uso da planilha eletrônica Excel para o ensino básico da matemática financeira.

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Educação financeira na educação básica

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Matemática Financeira Matemática Financeira Capítulo 1

1 CONTEXTUALIZAÇÃO

Caro acadêmico, para iniciar nosso estudo sobre educação financeira na educação básica, nessa primeira unidade de ensino estudaremos o que é matemática financeira e seus conceitos básicos, que se constitui como uma ferramenta indispensável para o processo de ensino e aprendizagem da educação financeira.

Quanto vale um título que vence em dois anos? Quanto tempo preciso poupar para realizar o meu sonho? Se eu desejo comprar alguma coisa, é melhor eu pagar à vista ou a prazo? Se eu fizer um empréstimo, quanto vou pagar de juros? Essas são apenas algumas questões que aparecem no nosso cotidiano e que as soluções são dadas com base na matemática financeira.

Nesse sentido, no Capítulo 1, primeiramente estudaremos a importância da matemática financeira na educação básica e, também, no dia a dia das pessoas.

Em seguida, você encontrará uma abordagem sobre os principais conceitos básicos da matemática financeira. Para finalizar, na última seção, estudaremos sobre o uso da planilha eletrônica Excel na resolução de problemas de matemática financeira.

2 MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

A matemática financeira pode ser aplicada em várias situações do nosso dia a dia, como no financiamento de uma casa, de um automóvel, no empréstimo de dinheiro etc., e todas essas aplicações são movimentadas por uma taxa de juros, que é a remuneração do capital empregado.

A versão atual (2017) da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) no ensino da Matemática, propõe cinco unidades temáticas: números, álgebra, geometria, grandezas e medidas, e probabilidade e estatística. Essas unidades temáticas orientam a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental (anos iniciais e anos finais). Na unidade temática números, a BNCC aponta que deve ser considerado o estudo dos conceitos básicos de economia e finanças, visando à educação financeira dos alunos e, assim:

[...] podem ser discutidos assuntos, como taxas de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões culturais,

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as questões do consumo, trabalho e dinheiro. É possível, por exemplo, desenvolver um projeto com a História, visando ao estudo do dinheiro e sua função na sociedade, da relação entre dinheiro e tempo, dos impostos em sociedades diversas, do consumo em diferentes momentos históricos, incluindo estratégias atuais de marketing (BRASIL, 2017, p. 269).

A BNCC também aponta que essas questões, além de promoverem o desenvolvimento de competências pessoais e sociais dos estudantes, podem também se constituir em excelentes contextos para as aplicações dos conceitos da matemática financeira, e também proporcionar contextos para ampliar e também aprofundar esses conceitos (BRASIL, 2017).

Nos dias de hoje, é comum vermos notícias na internet, nos jornais, ou ouvirmos na televisão e na rádio, conteúdos sobre o endividamento da população, e isso tem sido uma grande preocupação na vida das pessoas. Grande parte desse endividamento se deve ao desemprego de uma parcela da população, porém, a falta de conhecimento financeiro das pessoas pode contribuir para o aumento desse número.

Para Pietras (2014, p. 14), a dificuldade das pessoas em administrar o seu dinheiro, “[...] se estende às diversas classes sociais, não sendo exclusividade das pessoas mais pobres. Mesmo profissionais capacitados profissionalmente e com formação acadêmica podem errar diante das decisões a serem tomadas do ponto de vista financeiro”. O autor também enfatiza que “essa dificuldade se deve ao fato de que muitas pessoas não se preparam e conhecem pouco sobre finanças mas, mesmo assim, se deixam levar por suas vontades, gastando mais do que deveriam e contraindo dívidas para satisfazer tais desejos de consumo”

(PIETRAS, 2014, p. 14).

É fato que, rotineiramente, muitas pessoas precisam tomar decisões financeiras sem ter o conhecimento necessário para fazer as melhores escolhas e que, apesar da necessidade dos conhecimentos da matemática financeira no dia a dia das pessoas, infelizmente, ela continua sendo pouco estudada na educação básica (HOBOLD, 2016).

Nesse sentido, Pietras (2014) ressalta que, um bom momento para os estudantes terem contato com assuntos relacionados à matemática financeira é no Ensino Médio, pois é nessa etapa da vida que a pessoa começa a amadurecer e ser mais crítica, e muitos estudantes acabam adentrando ao mercado de trabalho e terão que gerenciar o que ganham e o que gastam.

É nessa fase da vida do jovem que ele começa a perceber a importância de ter condições de adquirir o que se deseja.

Saber lidar com as frustrações e ansiedades pode se tornar

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decisivo para que esta pessoa tenha ou não sucesso.

Assim, é importante que haja muita orientação e que seja disponibilizada informação para que, com muito diálogo e debate, se possa formar um cidadão consciente. Através do conhecimento, é preciso ajudar o aluno a formar suas opiniões e ajudá-lo a estabelecer suas metas e objetivos de futuro, seja no aprendizado dos conteúdos básicos para essa fase da vida dele, nas orientações e esclarecimentos para a escolha de sua profissão, mas também para que ele possa estabelecer objetivos de vida (PIETRAS, 2014, p. 22-23).

Afinal, por que as pessoas devem aprender matemática financeira? O autor Gimenes (2009, p. 19) apresenta que:

A matemática financeira pode ser sua maior ferramenta na tomada de decisões no dia a dia. O mercado está estruturado para vender cada vez mais rápido, ‘por impulso’, para você,

‘consumidor’. Nem sempre as operações são claras e bem explicadas, e isso faz com que, em certas situações, o consumidor não saiba decidir o que é melhor para ele. Cálculos financeiros, algumas vezes básicos, são muito úteis; eles o ajudarão a fazer bons negócios e a economizar seu dinheiro, acredite!

Nos Capítulos 2 e 3 falaremos mais sobre consumo, dinheiro e a respeito da tomada de decisões financeiras responsáveis e conscientes.

Godfrey e Edwards (2007), em seu livro “Dinheiro não dá em árvore: um guia para pais criarem filhos financeiramente responsáveis”, destacam que, bem mais rápido do que nós imaginamos, as nossas crianças estarão em um mundo no qual terão que comprar carros, lidar com cartões de crédito, pagar empréstimos, controlar carteiras de investimentos e se preocupar com a sua própria aposentadoria.

Nesse sentido, as autoras também apontam que, é claro que as crianças não precisarão fazer tudo isso enquanto estiverem no jardim de infância, porém, nunca se é jovem demais para começar a aprender sobre dinheiro e o seu valor.

“As crianças tomam conhecimento do dinheiro logo que começam a interagir com o mundo que as rodeia. Isso significa que você pode começar a ensinar a elas os princípios da administração financeira em idade surpreendentemente precoce”

(GODFREY; EDWARDS, 2007, p. 13).

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As autoras Godfrey e Edwards, no livro “Dinheiro não dá em árvore: um guia para pais criarem filhos financeiramente responsáveis”, ajuda os pais a explicarem a base da administração do dinheiro para crianças desde os 3 anos até a idade universitária.

Nesse livro, as autoras destacam que nunca é cedo demais para começar a alfabetização financeira. Uma ótima leitura para pais e professores.

GODFREY, N. S.; EDWARDS, C. Dinheiro não dá em árvore:

um guia para os pais criarem filhos financeiramente responsáveis.

Tradução Elizabeth Arantes Bueno. São Paulo: Jardim dos Livros, 2007.

Silva (2015) aponta que a matemática financeira é um assunto que faz parte do cotidiano das pessoas. Um engenheiro, um médico, um economista, um governante, um pedreiro, uma dona de casa, um comerciante etc., todos precisam tomar decisões que envolvem algum aspecto financeiro quase que diariamente. O autor traz alguns questionamentos que nos fazem refletir sobre a atual situação do ensino da matemática financeira na educação básica:

[...] a escola tem preparado pessoas capazes de tomar decisões na área financeira? [...] Como temos ensinado a matemática financeira? Aliás, temos ensinado? Se a resposta for sim, o conteúdo tem sido desenvolvido da maneira que o aluno perceba sua importância na sua vida? Ou nossos alunos apenas têm aprendido a memorizar fórmulas e resolver problemas que não refletem a vida real? Temos levado em conta o cotidiano do educando na preparação de nossas aulas? Ela tem alcançado seus objetivos de formar cidadãos críticos? (SILVA, 2015, p. 14).

Pietras (2014) apresenta um exemplo que é muito comum no dia a dia, e que, para o autor, nos mostra o quanto a educação financeira e a matemática financeira são importantes na vida das pessoas:

Todas as pessoas precisam comprar roupas. Assim, procuram uma loja para fazer a compra. Diante dessa necessidade é possível tomar uma decisão: comprar à vista ou a prazo.

Uma pessoa que optar pela primeira, certamente conseguirá descontos, e se quiser conseguirá comprar mais com menos recursos. Caso opte pela segunda, poderá até comprar naquele momento uma quantidade maior, mas terá que parcelar a compra em várias vezes e consequentemente pagará juros.

Comparando as duas opções, quem compra a prazo pagando

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os altos juros do crediário das lojas e não usufrui dos descontos num período de tempo, poderá até mesmo possuir aquele bem em menor quantidade do que teria se tivesse acumulado os valores necessários para a compra à vista, visto que parte de sua renda é utilizada para o pagamento dos juros das prestações (PIETRAS, 2014, p. 20).

Com relação aos empréstimos e financiamentos, Hobold (2016) destaca que hoje vivemos em um cenário econômico que a população tem acesso a diversas modalidades de empréstimos e financiamentos através do Sistema Financeiro e que, o mercado varejista, com o objetivo de ampliar as suas vendas, oferece várias opções de pagamento, fazendo com que as pessoas se deparem com dúvidas como: comprar à vista ou parcelado? Adquirir um bem ou alugar?

Hobold (2016, p. 4) ressalta que, para responder a essas perguntas, as pessoas precisam ter conhecimentos básicos de matemática financeira, e, dessa forma, “faz-se necessário então, que os conteúdos de matemática financeira sejam abordados durante a educação básica, até mesmo porque, se não for nessa etapa, muitas pessoas nunca estudarão”. A autora apresenta também outra reflexão muito importante sobre o papel da matemática financeira:

Para formar um cidadão, que saiba consumir de forma consciente e prudente, a matemática financeira assume um papel importante, pois saber analisar e conhecer as práticas do comércio, permite que o cidadão melhore sua condição de vida e evite situações de endividamento, fazendo um melhor uso do dinheiro (HOBOLD, 2016, p. 4).

Segundo dados da Pesquisa de Endividamento e Inadimplência do Consumidor (PEIC), realizada pela Confederação Nacional do Comércio de Bens, Serviços e Turismos (CNC), em dezembro de 2019, 65,6% das famílias brasileiras estavam endividadas. Essa pesquisa identificou que, entre as modalidades de dívidas das famílias brasileiras estão itens como: cheque especial, carnê de loja, empréstimo pessoal, prestações de carro e cartão de crédito. O cartão de crédito, inclusive, ficou em primeiro lugar como um dos principais tipos de dívida.

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FIGURA 1 – CARTÃO DE CRÉDITO: AMIGO OU INIMIGO DOS CONSUMIDORES?

FONTE: <https://trovoacademy.com/dinheiro/cartao-de- credito-ter-ou-nao-ter/>. Acesso em: 7 mar. 2020.

Nos Capítulos 2 e 3 falaremos mais sobre endividamento e o uso do cartão de crédito.

Acesse o site da CNC e veja os dados atuais sobre endividamento da população. Disponível em: http://www.cnc.org.br/.

Nesse momento, caro acadêmico, é importante deixar claro o que significa estar endividado. Muitas pessoas acreditam que estar endividado significa ter contas atrasadas, entretanto, o significado de estar endividado não é esse. Uma pesquisa realizada pelo SPC (Serviço de Proteção ao Crédito) Brasil, em fevereiro de 2016, mostrou que muitos consumidores têm uma noção errada sobre o que é estar endividado e que, por mais que pareça ser óbvio, a maioria dos brasileiros não sabe ao certo o que é estar endividado e acaba se atrapalhando ao definir.

Veja:

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Há 60 anos no mercado, o SPC Brasil possui um dos mais completos bancos de dados da América Latina, com informações de crédito de pessoas físicas e jurídicas. É a plataforma de inovação do Sistema CNDL (Confederação Nacional de Dirigentes Lojistas) para apoiar empresas em conhecimento e inteligência para crédito, identidade digital e soluções de negócios. Oferece serviços que geram benefícios compartilhados para a sociedade, ao auxiliar

FIGURA 2 – NOTÍCIA SOBRE ENDIVIDAMENTO

FONTE: <https://www.spcbrasil.org.br/pesquisas/pesquisa/1191>. Acesso em: 7 mar. 2020.

Nessa pesquisa foi apontado que para quase metade dos consumidores entrevistados (46,7%), estar endividado significa ter contas atrasadas, e 3 em cada 10 entrevistados (30,6%) afirmam que é ter o nome registrado em entidades de proteção ao crédito. Apenas 20,2% dos consumidores compreendem o significado real do que é estar endividado.

Para ter acesso à pesquisa mencionada anteriormente e outras pesquisas atuais sobre esses temas, acesse o site: https://

www.spcbrasil.org.br/pesquisas. Dica: nesse site você consegue selecionar um tema para sua busca, filtrar por ano e mês e também acessar pesquisas através de palavras-chave. Essas pesquisas são ótimas para você utilizar em sala de aula com os estudantes.

Afinal, o que é estar endividado? Uma pessoa é considerada endividada quando possui parcelas a vencer de compras ou empréstimos. Segundo a economista-chefe do SPC Brasil, Marcela Kawauti, as parcelas ainda não vencidas de qualquer aquisição se configuram como dívidas assumidas pelo consumidor (SPC BRASIL, 2016).

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na tomada de decisão e fomentar o acesso ao crédito. É também referência em pesquisas, análises e indicadores que mapeiam o comportamento do mercado, de consumidores e empresários brasileiros, contribuindo para o desenvolvimento da economia do país.

FONTE: <https://www.spcbrasil.org.br/pesquisas/pesquisa/7245>.

Acesso em: 7 mar. 2020.

O educador financeiro do SPC Brasil, José Vignoli, destaca que as pessoas que querem evitar o problema da inadimplência devem manter um planejamento e a organização financeira em dia. Ele aponta que é fundamental controlar adequadamente o uso do cartão de crédito, uma vez que as altas taxas de juros envolvidas nessa modalidade podem rapidamente levar ao superendividamento (SPC BRASIL, 2016).

Diante dessas notícias e das informações apresentadas até aqui, podemos observar o quanto é importante as pessoas serem educadas financeiramente desde cedo. Logo, a matemática financeira deve ser ensinada na educação básica, para que, assim, os estudantes compreendam a matemática financeira aplicada aos diversos ramos da atividade humana e sua influência nas decisões de ordem pessoal e social.

Para que isso aconteça, o professor pode relacionar a matemática financeira com: a compreensão da administração de dívidas, a escolha de aplicações financeiras e empréstimos, a inflação, a interpretação e compreensão de porcentagem, as taxas, os juros, os descontos, as compras e vendas, as simulações de crédito para o financiamento de casas e carros, entre outras situações.

Ao ensinar matemática financeira em sala de aula, é importante que o professor utilize sempre dados atuais, relacionando os exemplos com situações do dia a dia das pessoas, aproximando o máximo possível da realidade dos estudantes. Isso fará com que os estudantes tenham uma melhor compreensão sobre a importância da matemática financeira na sua vida. Nesse sentido, Pietras (2014, p. 25) aponta que:

A escola tem papel fundamental no sentido de preparar o aluno para que ele tenha ferramentas para resolver os problemas que poderá enfrentar no futuro e ampliar a sua capacidade de lidar com alguns desafios com os quais poderá ter de conviver.

Para isso, é preciso que as aulas simulem situações que o aluno irá enfrentar em sua vida como cidadão. Mais do que

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isso, os professores precisam abordar os temas e assuntos que também extrapolam o cotidiano do aluno para que ele evolua socialmente.

Nesse momento, é necessário deixar claro que, antes de o professor iniciar o estudo da matemática financeira em sala de aula, é fundamental que ele deixe claro para os estudantes o que significa matemática financeira. Por esse motivo, estudaremos em seguida sobre o seu conceito.

2.1 O QUE É MATEMÁTICA FINANCEIRA?

Após compreendermos sobre a importância da matemática financeira na educação básica, na vida dos estudantes e das pessoas, e antes de estudarmos sobre os conceitos básicos da matemática financeira, é importante compreendermos o que ela significa.

Santos (2017, p. 10) destaca que a matemática financeira “é um ramo da matemática que tem como objeto de estudo o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Esse tema avalia a forma como esse dinheiro é ou será empregado, visando maximizar o resultado”. O autor ainda ressalta que a matemática financeira é uma ferramenta essencial para qualquer pessoa que deseja entender o fluxo de capital corrente pelo mundo. Perceba que o autor utilizou a expressão

“maximizar o resultado”. Maximizar é buscar o máximo rendimento, atribuir o valor mais elevado.

Já Hobold (2016, p. 15) afirma que “matemática financeira é um conjunto de técnica e formulações matemáticas que tem por objetivo analisar como os recursos financeiros se alteram ao longo do tempo”. A autora ainda ressalta que a matemática financeira parte do princípio de que o dinheiro tem valor no tempo. Por exemplo, se uma pessoa (nesse caso o credor) abre mão de receber o dinheiro de uma dívida hoje para recebê-la no futuro, ela deverá um dia ser recompensada por isso de alguma forma (juros).

Na próxima seção, falaremos sobre os conceitos básicos da matemática financeira e será apresentado o conceito de juros.

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1 Vimos que a matemática financeira é um ramo da matemática que tem como objeto de estudo o valor e o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Nesse sentido, reflita e responda:

Por que é importante o professor, na educação básica, ensinar matemática financeira aos estudantes?

R.:____________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________.

Credor é a pessoa ou empresa que vendeu algo por crediário, pagável em prestações.

Assaf Neto (2012, p. 1), autor de diversos livros sobre mercado financeiro, em seu livro “Matemática financeira e suas aplicações”, ressalta que a matemática financeira “trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.

O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos”. O autor também destaca:

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã.

Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos (ASSAF NETO, 2012, p. 1).

Desse modo, de uma forma bem simples e resumida, podemos conceituar a matemática financeira como o ramo da matemática que estuda o valor e o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.

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Agora, compreendido o conceito de matemática financeira, estudaremos sobre os conceitos básicos da matemática financeira. Vamos lá?

3 CONCEITOS BÁSICOS E

FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Após compreendermos o que é matemática financeira e qual a sua importância na educação básica e na vida das pessoas, estudaremos sobre os conceitos básicos e fundamentais da matemática financeira.

Para iniciar nosso estudo sobre os conceitos básicos da matemática financeira, é importante conhecermos os termos e conceitos mais utilizados quando falamos deste tema.

1 Antes de iniciar nosso estudo, escreva, na sua opinião, quais são os principais conceitos da matemática financeira:

R.:____________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________.

3.1 TERMINOLOGIA

Caro acadêmico, você conhecerá agora os termos mais utilizados na matemática financeira e o que eles representam. Veja o quadro a seguir.

QUADRO 1 – TERMOS MAIS UTILIZADOS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA

TERMO O QUE SIGNIFICA

Capital (C) Corresponde ao recurso financeiro que o seu proprietário cede temporariamente ao tomador. É chamado também de principal,

capital inicial, valor atual e valor presente.

Juro (J) É o valor correspondente à remuneração do capital cedido, que pode ser pago a cada período de capitalização, no vencimento

ou antecipadamente.

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Taxa de juro (i) A taxa de juro (interest, em inglês) é um percentual que se aplica ao capital, para calcular o valor do juro. Geralmente, a taxa de juro é expressa em forma percentual, isto é, seguida do símbolo % (por cento). Para fazer os cálculos manualmente, as taxas expressas em forma percentual devem ser divididas por

100, transformando-as em forma unitária ou decimal.

Montante (M) O montante pode ser chamado também de valor futuro ou valor acumulado. É o capital acrescido de juro.

Período da taxa de juros

É o período de tempo a que se refere a taxa de juros.

Número de capital- ização (n)

É o espaço de tempo em que o capital rende juro, ao fim do qual o juro é pago ou “capitalizado”, isto é, convertido em novo capital. A letra n representa o número de vezes de capitalização

de uma operação financeira. O período de capitalização pode ser dia, mês, ano, semestre, trimestre etc., e a capitalização

ocorre sempre no final do período.

Prazo da operação financeira

Espaço de tempo em que o capital fica em poder do tomador rendendo juro.

Forma de pagamento de juros

Determina como os juros são pagos e a sua periodicidade. Os juros podem ser pagos mensal, trimestral, anualmente etc.

Forma de resgate ou amortização

Pode ser de uma única vez ao final do prazo da operação ou em parcelas intermediárias. Quando o tomador devolve o capital

em parcelas, ocorre a amortização do empréstimo; e quando não existir mais saldo a amortizar, a operação financeira terá

sido totalmente liquidada.

FONTE: Hoji (2016, p. 14)

Agora, após conhecer esses termos, veja o exemplo a seguir que sintetiza os diversos elementos envolvidos em uma transação financeira.

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FIGURA 3 – ELEMENTOS ENVOLVIDOS EM UMA TRANSAÇÃO FINANCEIRA

Olhando o Quadro 1, que apresenta os termos mais utilizados na matemática financeira, e a figura anterior (Figura 3), perceba que, nesse exemplo de transação financeira:

• O capital (C) é igual a R$ 100,00.

• O juro (J) é igual a R$ 15,00.

• A taxa de juros (i) é 15%.

• O montante (M) é R$ 115,00.

• O período da taxa de juros é 15% ao ano.

• O período de capitalização da operação financeira é quadrimestral, pois existem três capitalizações no período de um ano.

• O prazo de operação financeira é de 1 ano.

Como já vimos no quadro anterior (Quadro 1), que tratava sobre os termos mais utilizados na matemática financeira, o capital corresponde ao recurso financeiro que o seu proprietário cede temporariamente ao tomador. Ele é chamado também de principal, capital inicial, valor atual e valor presente em muitos textos financeiros.

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Dependendo do autor, você encontrará o capital representado por P (principal), C (capital), ou PV (presente value, em inglês).

Silva (2015) destaca que o capital na matemática financeira é qualquer valor expresso em moeda disponível no momento presente, ou seja, momento em que se faz a aplicação, em que se contrata um empréstimo ou no qual se adquire uma mercadoria.

Já os juros são uma compensação financeira paga a alguém ou a alguma instituição, ou empresa, pelo uso do seu capital por um determinado período de tempo n a uma determinada taxa i. Os juros podem ainda ser definidos como um

“aluguel” pela quantia emprestada (SILVA, 2015).

O montante (M) é o capital acrescido dos juros. O montante também pode ser chamado de valor futuro ou valor acumulado. Enquanto isso, a taxa de juros (i) é uma razão entre os juros pagos (ou recebidos) e o capital, e está sempre relacionada com um período de tempo em dias, meses, anos etc.

Com relação a esses conceitos mencionados, veja a figura a seguir:

FIGURA 4 – DEFINIÇÃO DE CAPITAL, JUROS E MONTANTE

FONTE: <https://blog.professorferretto.com.br/juros-simples-e-sua-relacao- com-funcao-afim-e-progressao-aritmetica/>. Acesso em: 10 mar. 2020.

Lembrando que, nessa figura, o capital (C) está representado pela figura do dinheiro emprestado, ou seja, o dinheiro emprestado (capital) mais a remuneração pelo empréstimo (juros) é igual ao montante que será recebido.

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3.2 PORCENTAGEM

Atualmente, é muito comum nos meios de comunicação, principalmente em notícias na televisão e na internet, o uso de porcentagens para representar aumento ou redução de preços, valores ou quantidades em geral.

Um dos conceitos fundamentais no estudo da matemática financeira são as razões percentuais, que comumente são conhecidas como porcentagem. É fundamental, quando o professor iniciar o estudo da matemática financeira em sala de aula, estar certo de que os seus alunos dominam esse assunto, pois sem ele, não vão muito longe no aprendizado em assuntos relacionados a finanças.

Se os estudantes não conhecem, esse certamente é o momento de apresentá- lo. O professor pode começar com razões e proporções, chegando depois nas razões percentuais e porcentagens. Uma dica é trazer textos de jornais, notícias da internet, ou de outros meios de comunicação, destacando a quantidade de vezes que as porcentagens são mencionadas (SILVA, 2015).

Antes, vimos uma notícia sobre endividamento (Figura 2), que já trazia no título um dado em porcentagem. Usando essa mesma notícia e acessando na íntegra (no site), veja como a porcentagem é utilizada para apresentar vários dados da pesquisa:

“79% dos consumidores não sabem ao certo o que é estar endividado”.

“Pesquisa mostra que 53% dos brasileiros atrasaram ao menos uma conta no último ano”.

“68% deles já ficaram com o nome sujo”.

“37,5% dos consumidores se consideram endividados no momento”.

“Para quase metade dos consumidores entrevistados (46,7%), estar endividado significa ter contas atrasadas, e três em cada dez (30,6%) afirmam que é ter o nome registrado em entidades de proteção ao crédito”.

“Apenas 20,2% dos consumidores compreendem o significado real”.

“O cartão de crédito foi a dívida mais comprometida (23,0%) seguido pelas contas de luz (17,9%), de TV por assinatura (12,7%) e celular/telefone fixo (12,5%)”.

É importante destacar que esses são apenas alguns trechos retirados da notícia, sendo que são utilizados dados em porcentagens mais vezes que o apresentado anteriormente. Esse é um exemplo que o professor pode utilizar ao introduzir o estudo da porcentagem em sala de aula.

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Para ter acesso à notícia completa, acesse: https://www.spcbrasil.

org.br/pesquisas/pesquisa/1191. Nessas notícias disponíveis no site do SPC Brasil, são apresentadas em “metodologia” quantas pessoas foram entrevistadas para essa pesquisa.

Definição de porcentagem: porcentagem é uma medida de razão com base 100. É o valor obtido ao multiplicarmos a taxa percentual a um valor ou quantidade.

Exemplo: 20% (lê-se: vinte por cento).

A porcentagem expressa a proporção entre dois valores, cujo denominador é 100. Exemplos:

a) 10% é representado pela fração 100¹⁰. b) 25% é representado pela fração 100²⁵. c) 60% é representado pela fração ¹⁰⁰⁶⁰.

Em quase todas as aplicações do dia a dia, como na taxa de juros, a taxa é expressa geralmente na forma percentual, seguida do símbolo % (por cento).

Como o próprio nome já diz, por cento representa uma fração cem de qualquer coisa mensurável.

Quando uma taxa de juros é expressa na forma percentual, temos que dividir essa taxa por 100 e transformá-la em forma unitária ou decimal para realizar os cálculos. Veja os exemplos a seguir:

a) 5% = ₁₀₀⁵ = 0,05 b) 20% = ₁₀₀²⁰ = 0,2 c) 75% = ₁₀₀⁷⁵ = 0,75

Lembrando que as calculadoras, até as mais simples, possuem a tecla %.

Acompanhe agora alguns exemplos de problemas em que são utilizados cálculos envolvendo porcentagem:

(25)

Exemplo 1: Se Tiago vendeu 50% dos seus 40 livros, quantos livros ele vendeu?

50% de 40 = ₁₀₀⁵⁰ ^. 40 = ²⁰⁰⁰₁₀₀ = 20.

Ou seja, Tiago vendeu 20 livros.

Exemplo 2: Bianca comprou um produto que custava R$ 500,00.

Como ela pagou à vista, ganhou 10% de desconto. Quanto Bianca pagou pela compra desse produto?

10% de 500 = 100¹⁰

5000 100 500 = ⋅ 50

O desconto foi de R$ 50,00. Como o produto custava R$ 500,00 e o desconto oferecido pela loja foi de R$ 50,00, Bianca pagou R$ 450,00 pela compra (R$

500,00 – R$ 50,00).

Exemplo 3 (calculando o percentual de um aumento): No posto de gasolina X, o preço do litro da gasolina era R$ 4,00 e aumentou para R$ 4,49. De quantos por cento foi o aumento?

Nesse problema, queremos encontrar uma razão de denominador 100 proporcional à razão obtida pela diferença do valor atualizado sobre o preço antigo, então:

(26)

1 Calcule:

a) 10% de R$ 320,00:

b) 5% de 80 pessoas:

c) 7% de R$ 60,00:

d) 1% de 360:

2 Um celular foi comprado por R$ 3.000,00 e vendido com um lucro de 30% sobre o preço de compra. Por quanto esse celular foi vendido?

( ) Foi vendido por R$ 4.100,00.

3 Um vestido custava em novembro R$ 320,00. Se houve um aumento de 8% no mês seguinte, calcule o valor do aumento e o novo preço do vestido.

Logo, o percentual de aumento do valor do litro da gasolina nesse posto foi de 12,25%.

Em geral, basta calcularmos a diferença e montar a razão com o preço (valor inicial) e igualar a razão centesimal com x (valor desconhecido) no numerador.

3.3 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

O conceito do valor do dinheiro no tempo pode ser compreendido através do seguinte questionamento: você aceitaria investir, ou emprestar, R$ 1.500,00 hoje, para receber daqui a um ano o mesmo valor? Certamente você não aceitaria, pois, intuitivamente, R$ 1.500,00 daqui a um ano deve valer mais que R$ 1.500,00 hoje.

Além do capital, as variáveis que estão envolvidas no conceito de valor do dinheiro no tempo são os juros, que, por sua vez, dependem da taxa e do número

(27)

da capitalização. Veja a figura a seguir, que representa o valor do dinheiro hoje e o valor do dinheiro no futuro.

FIGURA 5 – VALOR DO DINHEIRO HOJE E NO FUTURO

Um valor cresce no tempo em função do acréscimo de juro, certo? Diante disso, podemos afirmar que o Montante (M) é o resultado do capital inicial ou, simplesmente, Capital (C) acrescido de Juro (J). Agora, imagine o capital como uma caixa (Figura 5). Hoje, o capital equivale a uma caixa pequena, porém, no futuro, suponha que essa caixa é colocada dentro de uma caixa maior, chamada montante. Repare que uma parte do espaço da caixa maior será preenchida pela caixa menor (capital). A diferença (parte vazia da caixa maior) será preenchida com o juro. A caixa maior chamada montante, é a soma da caixa menor e do juro (HOJI, 2016).

Por exemplo, se for aplicado hoje um valor de R$ 1.000,00 para resgatar R$

1.200,00 daqui a um ano, o juro do período será de R$ 200,00 (R$ 1.200,00 – R$

1.000,00). Diante disso, podemos dizer que o montante (M) é a soma do capital (C) e do juro (J).

Agora, substituindo esses valores na seguinte fórmula, temos que:

(28)

Como foi calculado o juro de R$ 200,00 sabendo que a taxa de juro era 20%?

Utilizando a seguinte fórmula:

Lembre-se de que o capital deve ser sempre multiplicado pela taxa de juro na forma unitária, ou seja, em número decimal. No exemplo anterior, transformamos 20% em forma unitária da seguinte forma: 20% = ₁₀₀²⁰ = 0,20 ou 0,2.

3.4 FÓRMULAS BÁSICAS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Vimos anteriormente que:

M = C + J e

J = C

⋅

_i

Portanto, substituindo J = C

⋅

i em M = C + J, temos que:

M = C + (C

⋅

_i)

Com base nessas equações, podemos escrever a fórmula do montante (M):

M = C (1 + i)

Nesse sentido, o capital (C) pode ser calculado com a equação:

C = + M i 1

Já a taxa de juro (i) é calculada na forma unitária pela seguinte equação:

i = M −

C 1

(29)

Lembre-se de sempre expressar a taxa de juros em forma percentual. Para isso, o resultado do cálculo deve ser multiplicado por 100.

Agora, utilizando o exemplo anterior, do capital R$ 1.000,00 e taxa de juros de 20%, podemos calcular o montante aplicando a fórmula:

M = C (1 + i) M = 1000 (1 + 0,20) M = 1000 (1,20) M = 1200

Conhecendo o montante (M) e a taxa de juros, podemos calcular o capital:

C = ₁^M₊_i

C = ₁¹²⁰⁰₊_{0 20}_, C = ¹²⁰⁰_{1 20}_, C = 1000

Podemos também calcular a taxa de juro:

i = ^M_C ⁻¹

i = ¹²⁰⁰₁₀₀₀⁻¹ i =

1,2 – 1

i = 0,2

Logo, i = 20%

Taxa de juro na forma unitária: 0,2. Taxa de juro na forma percentual: 0,2 x 100 = 20%.

(30)

É importante destacar que essas fórmulas básicas demonstradas podem ser utilizadas tanto no regime de capitalização simples como no regime de capitalização composta. É o que estudaremos agora: capitalização simples e capitalização composta. Vamos lá?

3.5 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Segundo Hoji (2016, p. 21, grifo do autor), “capitalizar significa acumular juro como capital ou converter alguma coisa em capital. Em matemática financeira, capitalização representa o processo de evolução do capital por meio do acréscimo de juro”. Os regimes de capitalização que estudaremos são a capitalização simples e a capitalização composta.

Hoji (2016) também destaca que no regime de capitalização simples, o juro incide “sempre sobre o capital inicial”, mesmo que seja capitalizado mais de uma vez, portanto, a taxa é linear. Veja o exemplo a seguir, que representa o comportamento dos juros com capital de R$ 1.000,00 à taxa de juros de 2% ao mês, pelo prazo de 3 meses:

FIGURA 6 – EXEMPLO DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Perceba que o valor do juro em cada período de capitalização (mês) será sempre de R$ 20,00 durante todo o prazo da transação financeira, e totalizará R$

60,00 em três meses.

Já com relação ao regime de capitalização composta, Hoji (2016, p. 22) ressalta que “[...] a forma de cálculo do juro de cada período de capitalização é igual à da capitalização simples. A diferença é que o juro incide sobre o capital inicial e também sobre os juros acumulados”. O autor também destaca que, dessa forma, ocorre o crescimento exponencial do capital (ver Figura 7), e a taxa é exponencial. Veja o exemplo a seguir:

(31)

Os juros podem ter qualquer periodicidade, ou seja, podemos usar dias, meses ou anos. Uma boa maneira de explicitar isso é com uma notação simples, no formato a.x, onde x se refere à unidade de tempo que escolhemos, ou seja:

a.a. significa “ao ano”;

a.m. significa “ao mês”;

a.d. significa “ao dia”;

a.s. significa “ao semestre”;

a.t. significa “ao trimestre”.

FIGURA 7 – EXEMPLO DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Agora, caro acadêmico, compare os montantes dos juros simples e dos juros compostos (Figuras 6 e 7). Comparando os dois exemplos, percebemos que:

• O montante 1 é igual nas duas figuras (R$ 1.000,00), pois existe somente a primeira capitalização de juro.

• A partir do montante 2, começamos a perceber a diferença no valor dos juros, pois enquanto na capitalização simples o juro é calculado sempre sobre o capital inicial (R$ 1.000,00), na capitalização composta, o juro do primeiro período é incorporado ao montante 1, que servirá como base de cálculo para o montante 2, e assim sucessivamente.

• No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial de R$ 1.000,00 e, no prazo de 3 meses, à taxa de 2% a.m., totalizam R$ 60,00.

• No regime de capitalização composta, os juros são calculados sobre o capital de R$ 1.000,00 e também sobre os juros que vão se acumulando sucessivamente e, no prazo de 3 meses, à taxa de 2% a.m., os juros totalizam R$ 61,21.

(32)

Observe o quadro a seguir, que apresenta algumas diferenças entre os juros simples e os juros compostos.

QUADRO 2 – DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS

Cobrado apenas sobre o montante do empréstimo ou principal.

Cobrado sobre o montante do em- préstimo e dos juros aplicados so-

bre ele – “juros sobre juros”.

Forma de crescimento: linear. Forma de crescimento: exponencial.

Crescimento estável dos juros. O crescimento dos juros aumenta a um ritmo maior devido à com-

posição.

Os juros incidem sobre o montante inicial. Os juros incidem sobre o montante inicial acrescido dos juros acumu-

lados.

FONTE: A autora

Para Hoji (2016), a principal diferença entre juros simples (capitalização simples) e juros compostos (capitalização composta) está na velocidade de crescimento de juros.

Veja a figura a seguir, que representa um exemplo de crescimento dos juros simples e dos juros compostos.

FIGURA 8 – CRESCIMENTO DOS JUROS SIMPLES E DOS JUROS COMPOSTOS

(33)

1 Paola aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa de juros de 15%. Qual foi o montante da aplicação?

R.: ____________________________________________________

___________________________________________________.

2 Com base no montante de R$ 5.000,00 e capital de R$ 4.000,00, calcule a taxa de juros.

R.: ____________________________________________________

___________________________________________________.

3 Luiz resgatou R$ 1.855,00 por uma aplicação financeira que pagou juro de 6%. Quanto havia sido aplicado?

R.: ____________________________________________________

___________________________________________________.

Na figura, observa-se que, se utilizada a mesma taxa anual para os dois regimes de capitalização (22% a.a.), a taxa linear é de 11,00% e a taxa exponencial é de 10,45% no mês 6, apresentando uma pequena diferença entre elas, com a taxa exponencial menor. Já aos 12 meses (um ano), as duas taxas acumuladas se igualam. Aos 18 meses, nota-se uma diferença bastante significativa entre as duas taxas acumuladas: a taxa linear continuou crescendo proporcionalmente, acumulando 33% no período, enquanto a taxa exponencial cresceu geometricamente, acumulando 34,75% no mesmo período, sendo agora maior do que a outra (HOJI, 2016).

3.5.1 Capitalização simples

Vimos anteriormente que no regime de capitalização simples, o juro incide sempre sobre o capital inicial, mesmo que seja capitalizado mais de uma vez, certo? Por conta disso, dizemos que é uma taxa linear, pois o capital acumulado varia proporcionalmente ao longo do tempo. É importante destacar que no regime de juros simples os cálculos são mais fáceis e simples do que no regime de

(34)

Sabendo que o juro é o produto do capital e da taxa de juro, e que o juro pode ser capitalizado (incorporado ao capital) mais de uma vez, surge mais um elemento que deve ser acrescido à fórmula básica do juro: número de capitalização (n).

Lembre-se de que já estudamos anteriormente no Quadro 1 (termos mais utilizados em matemática financeira) o que é número de capitalização.

Assim, as fórmulas básicas dos juros simples são as seguintes (HOJI, 2016):

QUADRO 3 – FÓRMULAS BÁSICAS DOS JUROS SIMPLES

Montante M = C (1 + i

⋅

_n)

Juros J = C

⋅

_i

⋅

_n

Capital

C = M i n 1+ ⋅ Capital

C = J i n⋅ Taxa

i = M

C-1 n

Taxa i = _{C n}^J_⋅

Número de capitalização

n = C i n C i

⋅ ⋅

⋅ Número de capitalização

n = j C i⋅ FONTE: A autora

Agora, veremos alguns exemplos aplicando essas fórmulas:

Exemplo 1: Beatriz aplicou um valor de R$ 1.000,00 pelo prazo de 3 meses, que rendeu juros simples de 2% a.m. Qual foi o valor do juro?

Uma dica para começar a resolver um problema é identificar primeiramente os dados da questão. Veja:

(35)

Quando o professor iniciar o conteúdo de matemática financeira em sala de aula, esse passo a passo da resolução da questão é muito importante, pois contribui para o entendimento da questão e na substituição dos dados nas fórmulas, evitando, assim, erros na resolução do problema. É interessante também o estudante apresentar a resposta final do problema (exemplo: logo, o valor do juro foi R$ 60,00). Outra observação importante é que o professor deve se preocupar com a compreensão do estudante em cada uma das fórmulas utilizadas e os conceitos que as constituem, para que assim o estudante construa conhecimento, e não somente entenda como aplicar a fórmula.

Temos que: C = 1000 n = 3

i = 2% = 0,02

Depois, precisamos ver o que o problema está nos pedindo que, nesse caso, é o valor do juro (J). Agora, vamos olhar as fórmulas e ver qual utilizaremos, sempre observando os dados que foram identificados no problema. Nesse caso, a fórmula a ser utilizada será a fórmula do juro. Observe:

J = C

⋅

_i

⋅

_n

Substituindo os dados na fórmula, temos que:

J = 1000

⋅

_0,02

⋅

₃

J = 60

Logo, o valor do juro foi R$ 60,00.

Exemplo 2: (HOJI, 2016): João resgatou um investimento financeiro em uma determinada data. Esse valor havia sido aplicado dois anos antes, à taxa de juros simples de 10% a.a., e inclui o juro prometido de R$ 1.000,00 por ano, no total de R$ 2.000,00. Só que ele não lembra qual valor havia sido aplicado. Podemos ajudar o João a lembrar o valor aplicado?

Temos que: J = 2000 i = 10% = 0,1 n = 2

(36)

Precisamos descobrir o valor aplicado, que é o capital (C). Logo, utilizaremos a fórmula do capital. Veja:

C = J i n⋅ C = _{0,1 2}²⁰⁰⁰_⋅ C = ²⁰⁰⁰_0,2 C = 10000

Logo, o valor aplicado foi R$ 10.000,00.

Exemplo 3: Nayara comprou um celular que custa R$ 2.500,00 para pagamento no prazo de três meses. O vendedor informou que cobraria juros simples no valor de R$ 150,00 e que deveria ser pago com o valor financiado.

Qual foi a taxa de juro cobrada pela compra do celular?

Temos que: C = 2500 n = 3 J = 150

Precisamos descobrir qual foi a taxa de juro cobrada, por isso devemos utilizar a fórmula da taxa: i = ^J

C n⋅ . Substituindo os dados na fórmula, temos que:

i = _{2500 3}¹⁵⁰_⋅ i = ¹⁵⁰

7500 i = 0,02

Logo, a taxa de juro cobrada foi 2%.

Exemplo 4: Gustavo deseja comprar uma escrivaninha que custa R$

600,00, mas possui somente R$ 500,00. Resolve, então, aplicar esse capital a juros simples de 2% a.m. Após quantos meses Gustavo terá o valor suficiente para comprar a escrivaninha? Pelo enunciado, o juro que deverá produzir é de R$

100,00.

Temos que: J = 100 C = 500 i = 2% = 0,02

(37)

Substituindo os valores na fórmula, temos que:

n = J C i⋅

n = _{500 0,02}¹⁰⁰_⋅ n = ¹⁰⁰

10

n = 10

Ou seja, após 10 meses Gustavo terá o valor suficiente para comprar a escrivaninha.

Exemplo 5: Qual o montante de um capital no valor de R$ 3.200,00, com taxa de juro de 2% a.m., pelo prazo de 3 meses?

Temos que C = 3200 i = 2% = 0,02 n = 3

Queremos saber qual o montante (M), e, para isso, utilizaremos a fórmula M

= C (1 + i

⋅

n). Substituindo os dados na fórmula:

M = C (1 + i

⋅

_n)

M = 3200 (1 + 0,02

⋅

₃₎

M = 3200 (1 + 0,06) M = 3200 (1,06) M = 3392

Logo, o montante será de R$ 3.392,00.

Caro acadêmico, perceba nesse exemplo que a taxa é expressa em período mensal (2% a.m.), e o número de capitalização está também em período mensal (3 meses). Logo, nesse exemplo, não há a necessidade de homogeneização de taxa e período de capitalização.

Exemplo 6: Qual o montante produzido por um capital de R$ 3.200,00 aplicado pelo prazo de 3 anos, à taxa de juro de 2% a.m.?

(38)

Primeiramente, devemos nos atentar que o número de capitalização está em anos, e a taxa de juro está em meses. Por isso, deve ser realizada a homogeneização dos dados. Diante disso, esta questão pode ser resolvida de duas formas. Veja:

Opção 1: Utilizando a taxa mensal de 2% a.m., convertemos 3 anos em número de meses. Logo, 3 anos = 36 meses (1 ano = 12 meses). Substituindo os dados na fórmula, temos que:

M = C (1 + i

⋅

_n)

M = 3200 (1 + 0,02

⋅

₃₆₎

M = 3200 (1 + 0,72) M = 3200 (1,72) M = 5504

Opção 2: Utilizando o número de capitalização de 3 anos, convertemos a taxa de juro de 2% a.m. em taxa anual proporcional. Logo 2% a.m. = 24% a.a. (12 meses x 2 = 24). Substituindo os dados na fórmula, temos que:

M = C (1 + i

⋅

_n)

M = 3200 (1 + 0,24

⋅

₃₎

M = 3200 (1 + 0,72) M = 3200 (1,72) M = 5504

Logo, o montante será de R$ 5.504,00.

Perceba que nas duas opções (opção 1 e opção 2) obtemos o mesmo resultado.

Exemplo 7: Qual é o capital que, investido pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro de 2% a.m., produz montante de R$ 1.060,00?

Primeiramente, perceba que a taxa de juro e o período de capitalização estão em meses e, por isso, não há necessidade de homogeneização de taxa e período de capitalização. Agora, tirando os dados do problema, temos que:

n = 3

i = 2% = 0,02 M = 1060

(39)

Queremos descobrir o capital e, para isso, utilizaremos a fórmula: C = ^M 1+i n⋅ Substituindo os dados na fórmula, temos que:

C = _{1+0,02 3}¹⁰⁶⁰_⋅ C = _1+0,06¹⁰⁶⁰ C = ¹⁰⁶⁰_1,06 C = 1000

Logo, o capital a ser investido é de R$ 1.000,00.

Exemplo 8: Um título foi resgatado por R$ 1.200,00. Sabe-se que ele rendeu à taxa de juro de 5% a.s. no regime de juros simples durante 2 anos. Qual valor havia sido aplicado inicialmente?

Primeiramente, devemos nos atentar que a taxa de juro está ao semestre (a.s.), e o juro está em anos. Nesse caso, vamos converter o prazo de 2 anos em 4 semestres (sendo que 1 ano tem 2 semestres, logo 2 anos x 2 semestres = 4 semestres). Substituindo os dados na fórmula, temos que:

C = 1 + i n^M⋅

C = 1 + 0,05 4¹²⁰⁰⋅

C = _{1 + 0,2}¹²⁰⁰ C = ¹²⁰⁰_1,2 C = 1000

Logo, o valor que havia sido aplicado era de R$ 1.000,00.

Lembrando que nesse exemplo nós convertemos o prazo de anos para semestres, porém, a conversão poderia ocorrer da forma inversa: os semestres poderiam ser registrados como anos.

(40)

3.5.2 Capitalização composta

Da mesma forma que no regime simples, no regime de juros compostos o montante (M) é a soma do capital (C) e juro (J), e este é o produto do capital e taxa de juro (i). Entretanto, a taxa de juro (i) é calculada exponencialmente no regime de capitalização composta, quando se considera o número de capitalizações (HOJI, 2016).

Nesse sentido, as principais fórmulas utilizadas no regime de juros compostos serão apresentadas no quadro a seguir.

QUADRO 4 – PRINCIPAIS FÓRMULAS UTILIZADAS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS

M = C(1+i)ⁿ

C = M

iⁿ (1 + )

i = M C

 n

 

 −

1

n = ln ln

M C i



 



(¹+ )

J = C [

(

1+i

)

ⁿ⁻1] FONTE: A autora

Antes de vermos alguns exemplos aplicando essas fórmulas, é importante estarmos atentos para o fato de que os cálculos de juros compostos utilizam as propriedades de potenciação e radiciação em função do caráter exponencial de suas fórmulas, certo? Por isso, é importante relembrarmos algumas propriedades da potenciação. Veja os exemplos a seguir:

a) 1,10³= 1,10 x 1,10 x 1,10 = 1,331

b) 1 10 1

, ⁻3 =

1,10 1,10 1,10x x = 0,7513148

c)

1,10 = 1,10 1,10 = 1,10 1,10

⁶ ³

x

³ ⁴

x

²

= 1,771561

d) 1 10

1 10

6 3

,

, ^1,10

6–3 = 1,10³ = 1,331

e) 1,10² x 1,10³ = 1,10²⁺³ = 1,10⁵ = 1,610510

(41)

f) ³

8

1

8

3_{= 8}^0,3333..._{= 2}

Ao aplicarmos o conteúdo de juros compostos em sala de aula com os estudantes, é importante relembrarmos as propriedades da potenciação e nos certificarmos de que os estudantes sabem utilizar corretamente a calculadora científica.

Exemplo 1: Rafael aplica R$ 10.000,00 em um investimento, à taxa de juro composto de 1% a.m., pelo prazo de 8 meses. Quanto Rafael resgatará no vencimento?

Temos que: C = 10000 i = 1% = 0,01 n = 8

Substituindo os dados na fórmula do montante:

M = C (1 + )i ⁿ M = 10000 (1 + 0,01)⁸ M = 10000 (1,01)⁸ M = 10000 (1,082857) M = 10.825,57

Logo, Rafael resgatará R$ 10.828,57.

Exemplo 2: Uma empresa toma empréstimo no valor de R$ 100.000,00, pelo prazo de 7 meses, à taxa de juros de 26% a.a. Qual será o valor total no vencimento?

Temos que: C = 100000 i = 26% = 0,26 n = 7

Perceba que o prazo está em meses e a taxa de juros está em anos. Logo, como o prazo da operação financeira é menor do que um ano (7 meses) o número de capitalização (n) é fração de um ano (12 meses). Substituindo os dados na fórmula do montante:

M = ¹⁰⁰⁰⁰⁰ (1 + 0,26)¹²⁷ M = ¹⁰⁰⁰⁰⁰

7

(1,26)12

(42)

M = 100000 (1,1443253) M = 114432,53

Ou seja, o valor total no vencimento será de R$ 114.432,53.

Exemplo 3: Um valor de R$ 10.000,00 foi aplicado durante 3 anos e resgatado pelo montante de R$ 13.310,00. Qual foi a taxa de juros em período anual?

Temos que M = 13310 n = 3 C = 10000

Substituindo os dados e utilizando a fórmula da taxa de juros:

i =^_^^M_C ^_^{ −}ⁿ

1

1 . i = ¹³³¹⁰₁₀₀₀₀ ¹

1

 3

 

 − i =

(

1 331,

)

^{0 33333}^, ⁻1 i = 0,1

Logo, a taxa de juros em período anual foi de 10% a.a.

Exemplo 4: Em quantos meses uma aplicação de R$ 1.000,00 produzirá um montante de R$ 1.500,00 com taxa de juros compostos de 2% a.m.?

Temos que: M = 1500 C = 1000 i = 2% = 0,02

Substituindo os dados na fórmula n =

ln ln

M C i



 



(¹+ ) temos que:

n = ^ln

ln , 1500 1000 1 0 02



 



( + )

n = ^{ln ,} ln ,

1 5 1 02 n = ^{0 405465}_{0 019802}^,_,

n = 20,48 = 20 meses e 15 dias.

A operação ln é referente ao logaritmo neperiano. Utilize uma calculadora científica para realizar esses cálculos. Caso você não tenha uma calculadora

(43)

científica, digite no Google “calculadora científica” e utilize a calculadora científica on-line.

Exemplo 5: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por três meses à taxa de juros de 2% a.m. produz juros de R$ 60,00 no regime de juros simples. Assim, qual o valor dos juros no regime de juros compostos?

Temos que: C = 10000 i = 2% = 0,02 n = 3

Substituindo na fórmula dos juros J = C [ (1 + i)ⁿ – 1) : J = 1000 [ (1 + 0,02)³ – 1]

J = 1000 [ (1,02)³ – 1]

J = 1000 [ 1,061208 – 1]

J = 1000 [0,061208]

J = 61,21

Logo, o valor dos juros foi de R$ 61,21.

Se você realizar o seguinte cálculo 1000 x 0,061208 na calculadora você terá como resultado 61,208, porém, utilizando as regras do arredondamento de número, temos que 61,208 = 61,21.

Para saber mais sobre as regras de arredondamento, acesse:

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arredondando-numeros.

htm.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA