Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de trigonometria usando software geogebra

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA. MARIA MARONI LOPES. CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA. NATAL – RN 2010.

(2) MARIA MARONI LOPES. CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA. Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Centro de Ciências Exatas e da Terra da UFRN, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática.. Orientadora: Profª. Drª. Bernadete Barbosa Morey. NATAL – RN 2010.

(3) Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET. Lopes, Maria Maroni. Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de trigonometria usando software geogebra / Maria Maroni Lopes. – Natal, RN, 2010. 138 f. : il.. Orientador : Profª. Drª. Bernadete Barbosa Morey. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. 1. Trigonometria – Ensino e aprendizagem - Dissertação. 2. Educação – Novas tecnologias – Dissertação. 3. Software educativo – Dissertação. I. Morey, Bernadete Barbosa. II. Título.. RN/UF/BSE-CCET. CDU 514.116:37.

(4) MARIA MARONI LOPES. CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA. Aprovado em: 17/08/2010. Banca Examinadora. __________________________________________________________________ Prof. Dra. Bernadete Barbosa Morey Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Orientadora. _____________________________________________________________________ Prof. Dr. Antônio Vicente Marafioti Garnica Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho – UNESP/Bauru (SP) Examinador externo. _____________________________________________________________________ Prof. Dra. Giselle Costa de Sousa Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Examinador interno.

(5) Dedico este trabalho a uma grande professora, que doou parte de sua vida para cuidar com muito amor de seus alunos e dos seus cinco filhos, Rita Gomes de Oliveira, minha mãe..

(6) AGRADECIMENTOS. Durante o período em que estive fazendo a pós-graduação, aprendi muito com as pessoas com as quais convivi. Não foram somente conhecimentos específicos da minha pesquisa, mas sobre amizade, companheirismo, colaboração, solidariedade, paciência, organização e a ser solícito com aqueles que nos visitam. Esses conhecimentos me foram oferecidos por pessoas maravilhosas com quem pude contar. Em especial, agradeço: . A Deus, que sempre me amparou, fazendo meu caminho ser mais suave;. . À professora Bernadete Barbosa Morey, minha orientadora, por sua atenção, dedicação e importantes contribuições ao longo deste estudo, principalmente pela amizade e confiança depositada em minha pessoa, meu muito obrigada.. . À minha família, pelo carinho e incentivo nos meus estudos, em especial aos meus pais, meus irmãos: Edmilson, Francilene, Eilson e Clécia, minha cunhada Karísia e meus sobrinhos Stefany, Paula, Mavy, Beatriz, Raquel, Felipe e Máriton;. . Ao meu grupo de estudos, com quem pude contar sempre: Edigites, Sidney, José Roberto, Georgiane, Suzany e Severo;. . Ao professor Antônio Vicente Marafioti Garnica, pelas sugestões, comentários e importantes contribuições na elaboração da dissertação;. . A Silvio César Otero Garcia, pela revisão, comentários, sugestões e importantes críticas nas conclusões da dissertação, principalmente pela amizade, carinho e cumplicidade;. . Aos professores do PPGCNM, com um carinho especial à Giselle Costa de Sousa, Paulo Cézar Farias, Iran Abreu Mendes e Márcia Goreth Lima da Silva, pelas valiosas contribuições ao meu crescimento e amadurecimento;. . Aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática, em especial aos bolsistas PIBID que participaram deste estudo, pelas sugestões e contribuições que nos deram na aplicação das atividades na escola;. . À Iguaracy Medeiros dos Santos e ao Daniel Carvalho Soares, pelo carinho e pronto atendimento nas inúmeras vezes em que pedi ajuda;.

(7) . A Rafael Motoito e Odenise, pelo apoio, incentivo, mas principalmente pela nossa saudável amizade;. . Aos amigos do Colégio Nossa Senhora das Neves, que sempre me incentivaram nesta caminhada, em especial Cristina Freitas, Simoneuza, Cláudia, Alani, Diva, Otair, Helder, Solange, Josevalda e Sandra.. . Aos amigos do Apodi: Cláudio, Talita, Maxwel, Marlice, Nativa, Sandra, Ednélvia, Socorro, Rocilda e Joseana, pela amizade e companheirismo em todos os momentos;. . À Luciana, Keidy e ao Breno amigos incondicionais;. . Aos amigos do PPGCNM com um carinho especial à Márcia Cristiane, Boniek, Ene, Elaine, Frank, Alcindo e ao Ricardo;. . À CAPES/REUNI pela concessão da minha bolsa de estudos;. . À direção da Escola Estadual Castro Alves pelas facilidades oferecidas para o desenvolvimento do nosso estudo;. . Aos alunos da Escola Castro Alves que participaram da nossa pesquisa, pela colaboração e, sobretudo, pelo interesse em realizar as atividades..

(8) RESUMO. O presente estudo tem como objetivo analisar as potencialidades e limitações do software GeoGebra no ensino e aprendizagem de Trigonometria. Baseando-se nos recursos presentes nas escolas públicas estaduais do Rio Grande do Norte, a pesquisa pretendeu responder à seguinte questão: “Poderíamos utilizar as condições hoje presentes na escola e, os recursos do software Geogebra para otimizar o ensino e aprendizagem de Trigonometria?”. Para tanto, foi elaborado e aplicado um módulo de atividades investigativas. A intervenção metodológica foi realizada com alunos da segunda série do Ensino Médio de uma escola pública na cidade do Natal, RN. Tomamos como base o referencial teórico da Didática da Matemática, adotando as concepções de Borba e Penteado (2007), Valente (1999) e Zulatto (2002, 2007) no que se refere ao uso da Tecnologia Informática (TI) na sala de aula de Matemática. Para elaborar as atividades investigativas, adotamos as concepções de Ponte, Brocardo e Oliveira (2005) e Ernest (1996). A análise das atividades ajudou-nos a entender como os alunos realizam suas construções e fazem a apreensão visual por meio do processo de arrastar as figuras na tela do computador. Além disso, as atividades aplicadas com o recurso do software GeoGebra nos levaram a afirmar sobre as alternativas e performance dos estudantes face a solução de alguns problemas de Trigonometria.. Palavras-chave:. Ensino. e. Aprendizagem. Investigativas. Software GeoGebra.. de. Trigonometria.. Atividades.

(9) ABSTRACT. The present study aims to analyze the potentialities and limitations of GeoGebra software on what concerns trigonometry’s teaching and learning processes. Taking the present resources of public school from the state of Rio Grande do Norte, the research intends to answer the following question: “Could we use the current conditions of public school and the Geogebra software to optimize the trigonometry’s learning and teaching processes situation?”. To make it a possible to answer the question above, a module of investigative activities was created and applied. The methodological intervention was made among second year High School students from a public school in Natal, RN. The theoretical reference of Mathematics Didactics was taken was a base, adopting the conceptions of Borba and Penteado (2001), Valente (1999) and Zulatto (2002, 2007) about the use of Information Technology (IT) on Mathematics classrooms. In order to create the investigative activities helped us to understand how the students make their constructions and their visual perception through the process of dragging images on the computer screen. Furthermore, the activities done with the GeoGebra software’s resources facilitate the resolution of trigonometry situations.. Keywords: Trigonometry Learning and Teaching Processes. Investigative Activities. GeoGebra Software..

(10) LISTA DE FIGURAS. Figura 1: Traçando a altura de um triângulo com o GeoGebra. 41. Figura 2: Construção de um triângulo Retângulo com o software GeoGebra. 41. Figura 3: Construção do Ciclo Trigonométrico com o software GeoGebra. 42. Figura 4: Construção de triângulos retângulos com o GeoGebra. 44. Figura 5: Razões Trigonométricas nos Triângulos Retângulos. 44. Figura 6: Tela inicial do GeoGebra. 54. Figura 7: Planta baixa da Escola Estadual Castro Alves. 57. Figura 8: Construção feita por uma das duplas. 63. Figura 9: Applet das Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 65. Figura 10: Alunos resolvendo as atividades. 66. Figura 11: Applet do Ciclo Trigonométrico. 67. Figura 12: Alunos explicando seu planejamento. 68. Figura 13: Construção dos triângulos semelhantes realizada pelos alunos. 84. Figura 14: Construção realizada pelos alunos. 86. Figura 15: Construção do aluno Allan. 87. Figura 16: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 89. Figura 17: Construção do Ciclo Trigonométrico. 90. Figura 18: Applet do Ciclo Trigonométrico. 91.

(11) LISTA DE QUADROS. Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria. 24. Quadro 2 – Publicações em Tecnologia Informática (TI). 28. Quadro 3 – Momentos na realização de uma atividade investigativa. 48.

(12) LISTA DE TABELAS. Tabela 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de Trigonometria. 19. Tabela 2 – Número de alunos organizados por faixa etária. 82. Tabela 3 – Número de alunos que conhece alguns dos recursos da. 83. informática.

(13) SUMÁRIO. 1 INTRODUÇÃO. 13. 1.1 PROBLEMÁTICA E PROBLEMA DE PESQUISA. 13. 1.2 QUESTIONAMENTOS. 16. 1.3 OBJETIVOS. 16. 2 ALGUMAS PUBLICAÇÕES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. 19. REFERENTES. AO. ENSINO. E. APRESNDIZAGEM. DE. TRIGONOMETRIA E USO DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI) COMO RECURSO EM SALA DE AULA 3 PRINCÍPIOS NORTEADORES DO ENSINO DE TRIGONOMETRIA. 30. POR MEIO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA 3.1 A PRESENÇA DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA NO ENSINO E. 30. APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 3.2 SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA. 37. 3.3 O SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE. 42. TRIGONOMETRIA 3.4 ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NA SALA DE AULA DE. 45. MATEMÁTICA 3.5 DIRETRIZES PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA: LDB; PCNS;. 50. PCN+; OCEM 3.6 DESCRIÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA 4 CONSTRUÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA COM O USO DO. 56. SOFTWARE GEOGEBRA 4.1 CARACTERIZAÇÃO DO AMBIENTE DA PESQUISA E DOS. 56. SUJEITOS ENVOLVIDOS 4.1.1 A escola. 56. 4.1.2 Os sujeitos da pesquisa. 59. 4.1.3 Instrumentos utilizados. 59.

(14) 4.2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA. 60. 5. RESULTADOS OBTIDOS NAS DUAS EXPERIÊNCIAS. 61. 5.1 PRIMEIRA EXPERIÊNCIA. 61. 5.2 OBTENDO INFORMAÇÕES COM AS ATIVIDADES. 62. 5.3 OBTENDO INFORMAÇÕES COM A ENTREVISTA. 69. 5.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA. 69. 5.5 SEGUNDA EXPERIÊNCIA. 72. 5.5.1 Descrição das atividades. 75. 5.6 CONSTRUÇÃO DOS DADOS COM A SEGUNDA EXPERIÊNCIA. 82. 5.7 DISCUSSÃO DOS DADOS CONSTRUÍDOS COM A SEGUNDA. 92. EXPERIÊNCIA REFERÊNCIAS. 97. APÊNDICES. 102. APÊNDICE A – Produto educacional (uma sequência didática para o ensino. 103. de trigonometria com o uso do software GeoGebra APÊNDICE B – Atividades aplicadas na primeira experiência. 129. APÊNDICE C: Entrevista. 136. APÊNDICE D: Questionário. 137.

(15) 12 1 INTRODUÇÃO. 1.1. PROBLEMÁTICA E PROBLEMA DE PESQUISA. Esse estudo traz, dentro de uma perspectiva mais geral da inserção da Tecnologia Informática (TI) em sala de aula, uma discussão sobre o uso de softwares de geometria dinâmica em atividades investigativas. Nosso objetivo é analisar as potencialidades e limitações do software GeoGebra na formação dos conceitos básicos de Trigonometria. A motivação desse estudo surgiu a partir da nossa prática em sala de aula da rede pública de ensino do Rio Grande do Norte (RN) e das nossas vivências em estudos, planejamentos, cursos de formação de professores, entre outros. Nessas vivências, em contato direto com colegas da área, evidenciamos que parte dos professores de Matemática do Ensino Médio das escolas públicas estaduais substituía conteúdos como trigonometria, logaritmos e números complexos, por considerá-los de difícil entendimento para os alunos, por uma revisão de temas já abordados anteriormente. Desse modo, o conteúdo de trigonometria fica relegado a um segundo plano. Pontuamos essas mesmas dificuldades com alunos da graduação, quando acompanhamos as disciplinas Cálculo I ou Matemática para Engenharia I dos cursos de Engenharia, Estatística, Geofísica e Matemática, como bolsista REUNI1, no período de 2008.1 a 2010. Nossa tarefa consistia em fazer um levantamento das dificuldades dos alunos por meio de entrevistas e análise das provas já aplicadas anteriormente. Além disso, tínhamos a incumbência de ministrar aulas de reforço. Nesse processo percebemos que as dificuldades dos alunos estão relacionadas sobretudo com temas do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Deter-nos-emos aqui apenas àqueles relacionados à trigonometria, que é o foco de nosso estudo. Destacamos alguns erros encontrados nas atividades: a) tg.x. 1. Planos de Reestruturação e Expansão das Universidades Federais..

(16) 13 Ao analisarmos essa situação, entendemos que talvez o aluno não tenha compreendido o significado de tangente do ângulo x, e não tenha percebido o x como argumento da tangente. Parece-nos plausível que tgx tenha sido visto como uma multiplicação de duas variáveis, a exemplo do que acontece em a.b, 2.x, que podem ser escritos como ab e 2x. b). cos 2 x  cos 2 x. O mesmo tipo de raciocínio da situação anterior pode ter acontecido com. cos 2 x , ou seja, o aluno “corta” o x no numerador e no denominador, considerando x as regras de divisões algébricas. c) senx . 3  senx  60 2. Essa situação demonstra a dificuldade conceitual que existe em distinguir os valores do seno de um ângulo dos valores da medida do seu arco. d) cos (60° + 30°)= cos60º + cos30º Quando analisamos o tipo de erro cometido entendemos que o aluno vê as funções trigonométricas como linear, isto é f(x+y) = f(x) + f(y). Evidentemente os alunos não têm esse domínio, implicitamente, o que vêm em mente é algo parecido com a propriedade distributiva da multipliação, o que lhe permitiria igualar cos(60° + 30°) a cos60°+ Cos30°. Estudos que abordam dificuldades no ensino e aprendizagem de trigonometria têm sido objeto de atenção em diversas publicações. Podemos citar, por exemplo, Briguenti (1994), Nacarato (2007), Brito e Morey (2004). Trataremos disso com mais detalhes no próximo capítulo. Segundo Pinto (2000), o erro do aluno dirige o olhar do professor para o contexto e para o processo do conhecimento a ser construído. A autora afirma que o próprio processo de ensino pode ser um gerador de erros. As Tecnologias de Comunicação e Informação (TIC) estão, cada dia mais, presentes no nosso cotidiano, constituindo-se num instrumento de trabalho essencial, razão pela qual exercem um papel cada vez mais importante na educação, notadamente na Educação Matemática..

(17) 14 Pesquisas sobre o uso da TI em sala de aula ressaltam a sua relevância no ensino de Matemática, assinalando que é de fundamental importância a sua presença na formação inicial dos professores. Segundo Ponte (2000), as TIC podem ter um impacto muito significativo no ensino de disciplinas específicas, como a Matemática: pois seu uso pode reforçar a importância da linguagem gráfica e de novas formas de representação, valorizar as possibilidades de realização de projetos e atividades de modelação, exploração e investigação. As discussões sobre o uso das TIC na educação têm se apresentado de forma constante na literatura. Pesquisas assinalam as contribuições do uso desse recurso na aprendizagem de conceitos matemáticos. Entre esses estudos, podemos citar os desenvolvidos por Borba e Penteado (2007), Borba e Villareal (2005), Zulatto (2002, 2007) e Barbosa (2009). As recomendações dos PCNEM (1998) (Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio) sobre o desenvolvimento da capacidade de comunicação indicam que é de grande relevância que os alunos saibam utilizar as tecnologias básicas de redação e informação, como os computadores. E, no que concerne à contextualização sociocultural, destacam que os educandos necessitam construir a competência de utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e suas potencialidades. As nossas primeiras experiências com o uso de informática em sala de aula ocorreram na Fundação Bradesco 2, por meio da qual nos foram oferecidos cursos, tanto presenciais quanto totalmente a distância. Destacamos o curso ministrado totalmente a distância pelos professores Marcelo de Carvalho Borba e Rubia Zulatto, Geometria com Geometricks, oferecido pela Fundação Bradesco em parceria com o Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP3 de Rio Claro, e cujo objetivo era a familiarização dos cursistas com o software, de modo a facilitar seu uso em sala de aula. Os encontros síncronos4 aconteciam uma vez por semana, e neles discutíamos as atividades enviadas previamente aos participantes (que eram professores da 2. Escola de Educação Básica e Profissional Fundação Bradesco de Natal (RN), atende à população com Ensino Fundamental, Ensino Médio e Educação de Jovens e Adultos. 3 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. 4 Todos os alunos se encontravam ao mesmo tempo com os professores..

(18) 15 Fundação Bradesco do Brasil todo). Nesses momentos, tínhamos a oportunidade de discutir sobre o que fora construído com o software e esclarecer nossas dúvidas. A interação do grupo possibilitou a troca de informações extra-curso e a colaboração no desenvolvimento de projetos nas escolas. Para Kenski (2009), desenvolver atividades colaborativas em ambientes virtuais de aprendizagem pressupõe a participação de todas as pessoas envolvidas no processo, que se tornam atores ativos na medida em que compartilham suas experiências, pesquisas e descobertas.. As atividades educacionais feitas de forma participativa possibilitam que os membros dos ambientes colaborativos debatam sobre os temas propostos, emitam opiniões e apresentem seus pontos de vista em uma discussão. (KENSKI, 2008, p. 224).. Assim sendo, nesses ambientes os participantes têm a possibilidade de refletir sobre o seu aprendizado, fazer questionamentos trocar ideias e manter um diálogo constante com os demais componentes do grupo. Ao participarmos de alguns eventos em Educação Matemática, nos inteiramos das potencialidades do software GeoGebra no ensino e aprendizagem da matemática. Por ser esse um software livre e de fácil acesso para alunos e professores. Foi a partir dessas vivências que emergiu o nosso interesse em aliar a TI ao ensino de Trigonometria, tendo como perspectiva minimizar as dificuldades já citadas. Tendo em mente as dificuldades enfrentadas, tanto por parte dos professores da rede pública do RN como dos alunos da graduação, percebidas a partir da nossa prática e das análises dos resultados das pesquisas, fomos levados a considerar relevante um estudo que venha a contribuir para alterar positivamente a situação vigente. Além disso, buscamos uma estratégia de ensino que se fundamente nos recursos já existentes na escola pública do RN: os softwares livres como, por exemplo, o GeoGebra5. Lembramos ainda que as escolas de Natal, RN, dispõem de laboratórios de informática com micros conectados à internet, possibilitando fazer download de softwares livres. Considerando-se o acima exposto, a pergunta norteadora que delineia nossa pesquisa é: “Poderíamos utilizar as condições hoje presentes na escola e, os recursos. 5. Software de Geometria Dinâmica, detalhado no capítulo três desta dissertação..

(19) 16 do software Geogebra para otimizar a situação referente ao ensino e aprendizagem de trigonometria?”.. 1.2 QUESTIONAMENTOS.. Ao partirmos da hipótese que a TI tem demonstrado um grande potencial de uso em aulas de Matemática, levantamos os seguintes questionamentos no que tange ao ensino de trigonometria:. 1. O software GeoGebra permite ao aluno compreender as relações e propriedades da trigonometria?. 2. O aluno será capaz de transferir seus conhecimentos trigonométricos obtidos com o uso do software para resolver problemas semelhantes no ciclo trigonométrico?. 3. A quais estratégias os alunos recorrem ao aprender trigonometria por meio do software?. Dentro do escopo delimitado pelas indagações acima, vamos formular nossos objetivos de pesquisa.. 1.3 OBJETIVOS. Objetivos gerais. 1. Analisar as potencialidades e limitações do software GeoGebra no ensinoaprendizagem dos conceitos básicos de trigonometria..

(20) 17 2. Elaborar um caderno de atividades para o ensino de trigonometria com recomendações de uso em sala de aula.. Objetivos específicos. Os objetivos gerais acima especificados, por serem de caráter demasiado amplo, podem ser desdobrados em objetivos específicos:. 1. Identificar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio em trabalhar os conteúdos de trigonometria, tanto em sala de aula quanto na informática;. 2. Produzir e aplicar um bloco de atividades referentes a uma sequência didática para o ensino de trigonometria;. 3. Elaborar um manual com orientações para o uso do software GeoGebra no ensino de trigonometria;. 4. Disponibilizar, na forma digital e/ou impressa, para os professores das escolas a sequência didática elaborada, o manual correspondente e os resultados da pesquisa. A fim de proporcionar uma visão geral do nosso trabalho, apresentamos uma breve descrição dos assuntos de que iremos tratar em cada um dos capítulos. No capítulo 1, apresentamos a introdução do trabalho, a problemática e o problema de pesquisa, os objetivos e as questões norteadoras. No capítulo 2, discorremos sobre as publicações em Educação Matemática, referentes ao ensino de trigonometria e ao uso da Tecnologia Informática (TI) em sala de aula de Matemática. No capítulo 3, discutimos o referencial teórico que norteia nossa pesquisa. Falamos sobre a TI na sala de aula de Matemática e os softwares de geometria dinâmica. Apresentamos uma descrição do software GeoGebra, bem como as suas potencialidades de uso em atividades investigativas de Trigonometria. Abordamos,.

(21) 18 ainda, as diretrizes para o ensino de Trigonometria: LDB, PCN, PCN+ e OCEM. Fazemos ainda uma descrição sobre o software GeoGebra. No capítulo 4, apresentamos duas experiências realizadas com o software GeoGebra no ensino de Trigonometria. Transcorreremos sobre a caracterização do ambiente da pesquisa, os sujeitos envolvidos e a sequência didática. No capítulo 5, discorremos sobre os resultados obtidos com as duas experiências de que tratamos no capítulo anterior: a primeira, com alunos da licenciatura em Matemática, e a segunda, com alunos de uma escola pública estadual do RN; detalhamos as atividades desenvolvidas e a busca de informações com a aplicação nos dois ambientes de ensino e aprendizagem. Trazemos ainda uma discussão dos dados obtidos na segunda experiência, as dificuldades e limitações da aplicação da sequência didática em sala de aula e as considerações finais..

(22) 19 2 ALGUMAS PUBLICAÇÕES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA REFENTES AO ENSINO E APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETIRA E USO DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI) COMO RECURSO EM SALA DE AULA.. Fizemos inicialmente um levantamento bibliográfico de pesquisas em Educação Matemática que tratam do ensino e aprendizagem de Trigonometria e do uso da TI como recurso em sala de aula de Matemática, incluindo artigos, livros, teses e dissertações produzidas a partir da década de 1990, tendo como perspectiva situar nosso estudo no contexto da literatura existente. Conforme a tabela 01, descrevemos as publicações referentes ao ensino e aprendizagem de trigonometria.. Tabela 01: Publicações em Ensino e Aprendizagem de Trigonometria.. Ano de Publicação. Teses. Dissertações. Livros. Artigos. Total. 1994. 1. 1. 1997. 2. 2. 1998. 1. 2000 2001. 1 2. 1. 1 2. 2002. 3. 2003. 3. 2004. 1. 2005. 3. 2006. 2. 2008. 1. 2009. 1. 2. 19. 8. Total. 2. 3 3. 1 1. 4 4. 3. 4. 1. 1. 5. 2. 2. 6 1 3. 8. 37. Fontes: Portal da CAPES, BDTD – PUC/ SP, DEDALUS 6, SBU7, BDTD- UFRN, BDTD- UNESP/ SP, periódicos: BOLEMA8, revista ZETETIKÉ9, revistas eletrônicas e anais de congressos. 6 7. Sistema de busca da biblioteca da USP – SP. Sistema de bibliotecas da UNICAMP..

(23) 20 Pontuamos preferencialmente as publicações que tratam das dificuldades com o ensino e aprendizagem da trigonometria e a trigonometria no contexto das tecnologias da informação e comunicação. Briguenti (1994), baseada na sua experiência em sala de aula com alunos da licenciatura em Matemática e após a aplicação de um teste diagnóstico, detectou que alguns alunos no início do ensino superior demonstravam dificuldades em aplicar os conceitos de seno e cosseno no triângulo retângulo em determinados tipos de questões, fazendo as relações de forma incorreta entre cateto e hipotenusa. Verificou ainda que os alunos não apresentavam conhecimentos prévios em relação ao ciclo trigonométrico, no que se refere à conversão de grau para radiano ou de radiano para grau. Percebeu, por exemplo, que os alunos não sabiam que.  correspondia, na 6. circunferência trigonométrica, a 30°, ou ainda que 2k  radianos, com k  Z, indica o número de voltas inteiras no ciclo. Em seu estudo, a autora propõe um curso completo para alunos do Ensino Fundamental e Médio de duas escolas de Bauru – SP, fundamentado na teoria cognitiva de David Ausubel, visando à aprendizagem significativa dos conceitos. Nacarato (2007, p. 63-93) trata, em sua pesquisa das Tendências no Ensino de Trigonometria no Brasil, sobre uma perspectiva histórica. Fez uma análise dos documentos curriculares e dos livros didáticos, concluindo que o estudo de Trigonometria esteve presente nas escolas secundárias 10 brasileiras durante todo o século XX. Identificou três tendências presentes no ensino de trigonometria no Brasil: o enfoque geométrico (até 1929), o enfoque da geometria vetorial (até a década de1960) e o enfoque de funções circulares (até a década de 1980). Constata ainda que os livros didáticos dedicam boa parte de seu conteúdo a tal tema, sendo esse talvez um dos motivos pelos quais o estudo de Trigonometria se estende por quase um semestre em algumas escolas. Mesmo com essa carga horária, os alunos entram no Ensino Superior sem o conhecimento básico do referido tema. Brito e Morey (2004, p. 65-70), em artigo sobre um estudo realizado com professores do Ensino Fundamental, enfatizam as dificuldades que esses professores encontravam no ensino dos conceitos de geometria e trigonometria, e de como o 8. Boletim de Educação Matemática. ZETETIKÉ é uma publicação do círculo de estudos, memória e pesquisa em Educação Matemática da Faculdade de Educação da UNICAMP. 10 Hoje Ensino Fundamental e Ensino Médio. 9.

(24) 21 ensino desses conceitos foi sendo proposto nos livros didáticos nas últimas quatro décadas do século XX. Esse estudo destaca algumas dificuldades apresentadas pelos professores no decorrer do desenvolvimento das atividades, como trabalhar com semelhança, entender as expressões “cateto oposto” e “cateto adjacente” como uma relação entre os lados e os ângulos do triângulo, e ainda transferir os conhecimentos sobre simetria ao círculo trigonométrico. As autoras argumentam que o ensino de trigonometria no Ensino Médio é feito de forma simplificada, causando prejuízo para o aluno. Ao concluírem, afirmam que as dificuldades dos professores investigados estavam intimamente relacionadas à formação escolar das décadas de 1970 e 1980, uma época caracterizada pelo descaso para com a trigonometria. Costa (1997) investigou a introdução das funções seno e cosseno em dois contextos – computador e “mundo experimental11” no processo de construção do conhecimento em trigonometria. Trabalhou com alunos de 1º e 2º ano do Ensino Médio de uma escola privada de São Paulo, que já tinham algumas ideias prévias sobre funções. Esse estudo se fundamentou na Psicologia Cognitiva e na Didática da Matemática, através das ideias de Piaget, Vygotsky, Vergnaud, Nunes, Brousseau, Duady, Duval e Balacheff. Na Psicologia Cognitiva, trata da formação de conceitos, abordando a aquisição de conhecimento no processo ensino-aprendizagem. No que se refere ao trabalho com o computador, destaca a importância de o professor planejar suas atividades antes de aplicá-las, na intenção de perceber se elas são viáveis ou não, em relação à economia de tempo, simplificação do ensino e contribuição para a aprendizagem. Em sua conclusão, faz uma análise geral do desempenho dos grupos formados pelos alunos durante o desenvolvimento das atividades da pesquisa e destaca que o aprendizado no contexto computacional tornase mais eficiente quando o aluno não teve contato com o conteúdo, ou é precedido por manipulações concretas em situações menos comprometidas com o formalismo. Pereira (2002) apresentou uma proposta de utilização dos computadores no processo de ensino e aprendizagem, através da criação e implementação de um software computacional que pudesse auxiliar professores e alunos na tarefa de ensinar e compreender os conceitos das funções trigonométricas, facilitando a formulação e a visualização de situações inerentes ao conteúdo, que podem ser propostas pelo professor ou criadas pelo próprio educando. Concluiu que, com o uso 11. Atividades utilizando material concreto, como: maquetes, régua e compasso..

(25) 22 do computador orientado pelo professor, a interconectividade entre o conteúdo de trigonometria e o cotidiano do aluno pode ser favorecido. Martins (2003), em sua dissertação, apresenta como objetivo central introduzir o conceito de seno e cosseno de forma coordenada, partindo do triângulo retângulo, passando pelo ciclo trigonométrico e finalizando com os gráficos das funções correspondentes, na perspectiva de propiciar aos alunos condições de construir esses conteúdos de forma significativa. Para tanto, foi elaborada uma sequência didática composta de sete atividades, com a intenção de investigar se alunos do 2° ano do Ensino Médio, que já trabalharam com trigonometria no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico, podem, por meio dela e com o auxílio do software Cabri-Geométre, utilizar esses conhecimentos, na construção dos gráficos das funções seno e cosseno.. A elaboração da proposta é baseada na. dialética, ferramenta-objeto e interação entre domínios de Regina Douady, visando sempre à aprendizagem a partir de conhecimentos anteriores. Sormani (2006), em seu trabalho, propôs um estudo exploratório sobre o uso da informática na resolução de problemas trigonométricos, elaborando uma abordagem qualitativa e exploratória. Quatro sujeitos, alunos da segunda série do segundo grau12 de uma escola pública do interior do estado de São Paulo, foram observados enquanto resolviam problemas de Trigonometria, usando o software Cabri Géomètre II, com o objetivo de obter informações sobre como o uso de recursos tecnológicos poderia influenciar esse processo e fornecer subsídios para a elaboração de estratégias educacionais que contemplassem o uso de tecnologia. Sua fundamentação teórica está embasada na teoria da formação de conceitos de Klausmeier e Goodwin, na teoria de Sternberg sobre a resolução de problemas e na teoria de Ausubel no que se refere à aprendizagem significativa. O autor discute os resultados obtidos, os quais indicaram que o uso do Cabri, dentro de estratégias educacionais elaboradas pelo professor, pode conduzir à aprendizagem significativa, em virtude de sua alta potencialidade. Além disso, seu uso parece favorecer o processo de resolução de problemas, possibilitando acompanhar as atividades cognitivas dos sujeitos durante este processo. Após análises das pesquisas presentes na literatura, descrevemos o perfil dos estudos realizados que investigam o ensino e aprendizagem da Trigonometria. Nos 12. Hoje 2ª série do Ensino Médio..

(26) 23 vários estudos, por exemplo, Brito e Morey (2004), Briguenti, (1994) estão presentes discussões das dificuldades de alunos e professores em trabalharem com o conteúdo trigonometria e algumas propostas de possibilidades, na tentativa de minimizar as dificuldades apresentadas em relação ao conteúdo, através da formulação de bloco de atividades. Alguns autores desenvolveram atividades com a manipulação de modelos experimentais13 envolvidos em situações problemas. As estratégias utilizadas visam à utilização dos recursos da informática implementadas com os softwares de Geometria Dinâmica, a grande maioria com Cabri Géomètre. Outro recurso utilizado é a História da Matemática como estratégia didática para a sala de aula de Matemática. Alguns autores apresentam parte dos conteúdos de Trigonometria que usualmente é abordada no Ensino Médio: Ciclo Trigonométrico e Funções Trigonométricas; outros, optaram por abordar as Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Os princípios norteadores estão centrados no construtivismo com concepções de Vygotsky, Vergnaud e Brousseau, na aprendizagem significativa de David Ausubel e na engenharia didática de Douady e Duval. O quadro a seguir sistematiza algumas compreensões esquemáticas sobre as teses e dissertações que tivemos como referências para este nosso trabalho no que diz respeito ao ensino e a aprendizagem de trigonometria.. 13. Atividades com material concreto..

(27) Publicações em Ensino e Aprendizagem de Trigonometria. Noções. básicas. Referencial. Recursos. Conteúdos. Modelos. TIC com. Experimentais. softwares. Engenharia. Construtivismo. Didática. Razões. para o estudo de. Trigonométricas no. trigonometria. Triângulo Retângulo. História da Matemática Vygotsky, Vergnaud Construção de. Ciclo Trigonométrico e. Trigonométrica Análises de Livros didáticos. Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria. Fonte: arquivo pessoal da professora pesquisadora.. e Brousseau. Tabela. Recurso didático. Funções Trigonométricas. Douady e Duval. Aprendizagem significativa de Ausubel.

(28) Os estudos que pontuamos a seguir não se referem especificamente ao conteúdo de trigonometria, discorrem sobre o uso da TI no contexto da sala de aula. Borba (1993) analisou a compreensão dos alunos nas transformações de funções, utilizando para tanto o recurso de softwares que permitem múltiplas representações. O estudo foi realizado com dois alunos de uma escola norteamericana de Ithaca, Nova York, que possuíam conhecimentos prévios sobre diferentes tipos de funções, e ainda entendiam um pouco do uso dos recursos da informática. Porém, esses alunos desconheciam o software. O estudo contou de oito encontros de duas horas cada, com os alunos trabalhando individualmente. O autor tinha por objetivo analisar a percepção dos estudantes em relação ao comportamento dos gráficos nas mais variadas funções. As contribuições desse estudo advêm das discussões sobre a importância de investigar as transformações de funções por múltiplas representações no contexto computacional. Borba conclui que o uso das tecnologias facilitou o estabelecimento da conexão entre as representações, devido à flexibilidade das investigações feitas pelos alunos, e ainda que as atividades no computador permitiram o desenvolvimento de estratégias originais quanto à resolução de problemas. Zulatto (2002) estudou o perfil dos professores que utilizam software de Geometria Dinâmica em suas salas de aula de Matemática. Seu objetivo era conhecer as concepções dos professores sobre o potencial educativo dos softwares e, em especial, o processo de demonstração em Geometria. Fizeram parte da pesquisa professores da rede pública e privada do ensino fundamental e médio de várias partes do pais. Os professores que participaram da pesquisa apontaram como aspecto positivo do software a possibilidade de realizar atividades com construções geométricas, permitindo realizar a investigação e a visualização de entes matemáticos que não são possíveis com régua e compasso. Em suas conclusões, Zulatto (2002) afirma que a formação continuada e um acompanhamento sistemático podem contribuir para que os professores sintam-se preparados e seguros ao utilizar tecnologias em sala de aula. Outro ponto destacado pela autora refere-se aos recursos dos softwares de Geometria Dinâmica, que apresentam como ponto forte a perspectiva de arrastar os objetos pela tela. Farias (2007) investigou as diferentes formas representativas de conceitos matemáticos mediados por softwares educativos, numa perspectiva semiótica na construção dos conhecimentos de professores em formação inicial. Os sujeitos de sua.

(29) 26 pesquisa foram alunos do Curso de Matemática do IGCE/ UNESP/Rio Claro, na disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Seu referencial baseia-se na representação Semiótica de Raymond Duval e teóricos que discorrem sobre a Formação Inicial de professores. Em suas conclusões, a autora destaca que foi unânime, na concepção dos alunos, a relevância da associação, das representações gráficas mediadas pelo uso de softwares educacionais à visualização de conceitos, e como meio de compreender as representações na forma algébrica ou escrita nos estudo de uma função ou na demonstração de um teorema. Outra pesquisa de Zulatto (2007) buscou entender como se dá a aprendizagem de conteúdos matemáticos em cursos online de formação continuada de professores em Geometria. O estudo foi realizado com professores da Fundação Bradesco em âmbito nacional, através de um curso totalmente a distância. A pesquisadora fez uso do software Geometricks. Seu referencial teórico traz uma discussão acerca do percurso histórico da Educação a Distância (EaD) em três gerações, abordando o que de mais relevante aconteceu nesses momentos. Tece algumas considerações acerca do papel do professor e do aluno na EaD e, em seguida, trata das concepções teóricas que deram sustentação à proposta do curso. Em suas conclusões, a autora destaca a importância da aprendizagem matemática em um ambiente online, e destaca ainda que o modo como o professor aprende em um processo coletivo colaborativo e argumentativo pode condicionar a maneira como ele percebe e desenvolve a Matemática em sala de aula. Barbosa (2009), em seu estudo com alunos do curso de Matemática, investiga como os coletivos formados por alunos munidos dos recursos das Tecnologias da Informação e Comunicação produzem conhecimentos a cerca dos conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral, especificamente função Composta e Regra da cadeia. A autora destaca as potencialidades das TIC nos processos de visualização, demonstrando que esse processo transforma os modos de aprender do aluno. Utilizou como referencial teórico as concepções de Borba e Villarreal no que se refere a seres humanos com mídia, e de Ponte, Oliveira e Brocardo, quanto às atividades investigativas exploratórias. Farias (2007) e Barbosa (2009) discutem sobre as dificuldades dos alunos do curso de Matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I e destacam as.

(30) 27 potencialidades das TIC no processo de construção de conhecimento nesta disciplina. Zulatto (2002, 2007) discorre sobre a formação de professores e o uso das tecnologias de Informação e Comunicação em cursos a distância. Salazar (2009) objetivou em seu estudo analisar como os alunos do segundo ano do ensino médio se apropriam das transformações geométricas no espaço quando interagem com as ferramentas do software Cabri 3D. O referencial teórico utilizado pela autora está centrado na Engenharia Didática, baseando-se na abordagem instrumental de Rabordel, para compreender como os alunos interagem com o software Cabri 3D, e que conteúdos mobilizam na resolução dos problemas propostos nas atividades e na teoria dos registros semióticos de Duval, especificamente nas diferentes apreensões de uma figura. A proposta de ensino foi aplicada com 11 alunos de uma escola privada do estado de São Paulo. Em suas conclusões, Salazar (2009) ressalta a importância do uso do Cabri 3D na apreensão perceptiva das figuras, permitindo dinamizá-las. Destaca ainda a relevância do referido software no processo de visualização das modificações posicionais das figuras. O quadro a seguir sistematiza algumas compreensões esquemáticas sobre as teses e dissertações que tivemos como referências para nosso estudo no que diz respeito a tecnologia informática (TI)..

(31) Publicações em Tecnologia Informática (TI).. Recursos. Conteúdos Funções. Geometria. Calculadora. softwares. gráfica. Função. Transformações. Composta e. geométricas no. Regra da Cadeia.. espaço.. Limites, Derivada e Integral. Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria. Fonte: arquivo pessoal da professora pesquisadora.. Winplot, Geometrisks,. Referencial Tecnologia. Engenharia. Informática (TI). Didática. Borba, Lévy,. Douady, Duval. Penteado, Villarreal,. e Rabordel.. Tikhomirov. GeoGebra, Cabri 3D. Atividades. Investigativas. nas. concepções de Ponte, Oliveira e Brocardo..

(32) Os estudos citados anteriormente se aproximam da nossa investigação acerca do tema pesquisado no que se refere ao uso dos recursos dos softwares de Geometria dinâmica em sala de aula de Matemática. Entretanto, o trabalho que nos propomos a desenvolver vem trazer uma análise diferenciada, enfocando as potencialidades e limitações do uso da tecnologia informática (TI) numa sala de aula do Ensino Médio de uma escola pública com todos os alunos da sala participando da investigação, não apenas com uma amostra da turma escolhida como sujeitos da pesquisa, tendo como perspectiva apresentar as dificuldades enfrentadas pelo professor ao decidir pelo uso da TI no ensino público regular 14. Propomo-nos elaborar e testar uma sequência didática com o uso dos recursos das TI no estudo de Trigonometria, utilizando o software GeoGebra, que será apresentado aos professores com recomendação de uso em sala de aula.. 14. Consideramos em nosso estudo ensino regular, o ensino fundamental e médio..

(33) 30 3 PRINCÍPIOS NORTEADORES DO ENSINO E APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETRIA POR MEIO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA.. Neste capítulo, apresentamos inicialmente o referencial teórico que norteou a nossa pesquisa, centrado na Didática da Matemática. Adotamos as concepções de Borba, Penteado, Valente e Zulatto no que se refere ao uso da Tecnologia Informática (TI) em sala de aula de Matemática. Ressaltamos que, na literatura, alguns pesquisadores, como Ponte (2003), Miskulin et al (2008), Kenski (2003), Almeida (2008), ao investigar o uso do computador no meio educacional, utilizam a nomenclatura Tecnologias de Informação e Comunicação(TIC). Salazar (2009), ao avaliar as potencialidades do software Cabri 3D no ensino de Geometria, se refere ao uso desse recurso como ambiente computacional (AC). Esclarecemos que, em nosso estudo, ao nos referirmos ao uso do software de Geometria Dinâmica (GeoGebra) no ensino e aprendizagem de Trigonometria, descreveremos como Tecnologia Informática (TI), de acordo com as definições adotadas por Borba e Penteado (2007). No que se refere às atividades investigativas, nos apoiamos nos trabalhos de Ponte, Brocardo, Oliveira e Ernest.. 3.1 A PRESENÇA DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI) NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA.. As constantes mudanças impostas pela sociedade da informação e a presença das tecnologias nas mais variadas camadas da sociedade, têm significado um repensar na educação e na sua forma de montar os currículos escolares. Pesquisas que analisam as potencialidades da TI em sala de aula ressaltam a sua relevância no ensino de Matemática. Borba e Penteado (2007) e Scheffer (2002) asseguram que a Tecnologia Informática pode ser uma grande aliada no ensino da Matemática, visto que permite a experimentação e a ênfase no processo de visualização. Ao incluir a TI como parte das atividades em sala de aula, o aluno realiza descobertas incentivando a compreensão e dando significado ao conhecimento matemático..

(34) 31 Ponte (2003) afirma que os professores de Matemática, em sua prática, precisam saber usar as ferramentas das Tecnologias da Informação e Comunicação em suas salas de aula, incluindo softwares educacionais próprios da sua disciplina ou de educação no âmbito geral. Essas ferramentas são consideradas por Kenski (2009) não apenas um suporte, pois interferem em nossa forma de pensar, de nos relacionarmos, de adquirirmos conhecimentos. A autora destaca ainda que meios de comunicação como a televisão e o computador, através de seus recursos, movimentaram a educação e provocaram novas mediações entre a abordagem do professor, a compreensão do aluno e o conteúdo que circula nesses meios. Tais recursos, quando utilizados adequadamente, podem provocar mudanças na postura do professor e dos alunos no sentido de auxiliar na compreensão do que está sendo estudado. Porém, para que estas mudanças possam ocorrer, são necessárias algumas ações, igualmente importantes, como equipar as escolas com salas de informática com computadores ligados à internet e apoiar o professor para utilizar pedagogicamente estas tecnologias. Os incentivos por parte dos órgãos governamentais para que sejam utilizados os recursos da informática em sala de aula têm aumentado consideravelmente. Por exemplo, o PROINFO15, desenvolvido pelo governo federal, é um programa educacional com o objetivo de promover o uso pedagógico da informática na rede pública de educação básica. O programa leva às escolas computadores, recursos digitais e conteúdos educacionais. Em contrapartida, estados, Distrito Federal e municípios devem garantir a estrutura adequada para receber os laboratórios e capacitar os educadores para o uso das máquinas e tecnologias. No Rio Grande do Norte boa parte das escolas da rede estadual de ensino já possue um laboratório de informática16, equipado com uma TV, DVD e kit multimídia. Com a chegada destes recursos nas escolas, foram promovidos cursos de introdução à informática, onde se tinha um treinamento sobre como utilizar algumas ferramentas básicas. Dessa maneira, os professores se sentiram obrigados a utilizarem esses recursos, mesmo não sendo formados para o uso pedagógico das TI, passando a utilizar com freqüência apresentações de conteúdos com recursos da informática e não mais na lousa.. 15 16. Programa Nacional de Informática na Educação. Segundo dados da Secretaria de Educação do Estado do Rio Grande do Norte..

(35) 32 Contudo em algumas escolas do RN os computadores não foram instalados, muitos laboratórios estão desativados por questões de infra-estrutura ou por falta de pessoal habilitado para colocar as máquinas em funcionamento. Assim, destacamos a importância de pensar uma mudança na forma do uso destas tecnologias na escola. As discussões sobre o uso dessa tecnologia na educação têm se apresentado de forma constante na literatura nacional e internacional sobre Educação, em particular na Educação Matemática. O interesse dos alunos por essas ferramentas vem motivando os professores e pesquisadores a buscarem formas de aliar o uso da informática ao ensino e aprendizagem de Matemática. Focando no tema deste trabalho, segundo Costa (1997), o uso do software Cabri-Géomètre teve uma grande contribuição na criação de situações que facilitaram o entendimento e o processo de construção dos conhecimentos dos alunos sobre as funções trigonométricas. Portanto, o desenvolvimento de atividades aliada ao uso do computador pode ser um facilitador na construção dos conceitos da trigonometria. Borba e Penteado (2007) apresentam ganhos no uso da TI na Educação Matemática apontando argumentos favoráveis ao uso desses recursos.. Pesquisas já feitas em nosso grupo de pesquisas, GPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática –, apontam para a possibilidade de que trabalhar com os computadores abre novas perspectivas para a profissão docente. O computador, portanto, pode ser um problema a mais na vida atribulada do professor, mas pode também desencadear o surgimento de novas possibilidades para o seu desenvolvimento como um profissional da educação. (BORBA e PENTEADO, 2007, p. 15).. Outro argumento favorável refere-se à motivação que esse recurso provoca no aluno pelo seu dinamismo. Essas considerações tornam-se evidentes, ao analisarmos os efeitos da TI no ensino de Matemática, sendo através de calculadoras gráficas ou através de software de geometria dinâmica. A representação gráfica e a movimentação na tela proporcionam uma visualização que não pode ser percebida com lápis e papel ou na lousa. Assim sendo, quando a informática faz parte do ambiente escolar num processo dinâmico de interação entre alunos, professores e TI, ela passa a despertar.

(36) 33 no professor a sensibilidade para as diferentes possibilidades de representação da Matemática, o que é importante no momento de realizar construções, análises, observações de regularidades e ao estabelecer relações. Para Scheffer (2002), quando a informática é trabalhada na escola na perspectiva de produzir conhecimentos, o aluno é levado a fazer análises de modo a poder refletir sobre seus procedimentos de solução, testes e conceitos empregados na resolução de problemas. Nesse sentido, Kaput e Thompson (1994 apud SCHEFFER, 2002), quando se referem à pesquisa com tecnologias na Educação Matemática, destacam três aspectos que podem promover uma profunda transformação na experiência de fazer e aprender matemática: Interatividade – proporciona a interação entre o homem e o saber produzido; Controle utilizável dos ambientes de aprendizagem – favorece a resolução de problemas, e Conectividade – que possibilita a conexão entre professores e alunos de diferentes partes do mundo. Documentos oficiais, como as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) e os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio (PCNEM), oferecem diretrizes para o uso desses recursos em sala de aula. Uma das recomendações dos PCNEM17, no que se refere a desenvolver a capacidade de comunicação, destaca a relevância dos estudantes saberem utilizar as tecnologias básicas de redação e informação, com os recursos do computador. Ao discorrer sobre a contextualização sociocultural, ressaltam que os alunos necessitam construir a competência de utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e suas potencialidades. Segundo Valente (1999), existe formas diferenciadas de se trabalhar com o computador na educação. As atividades de uso do computador podem ser para transmitir informação ao aluno e consiste na informatização dos tradicionais métodos de ensino, nesse caso, o professor está apenas mudando de mídia, saindo do quadro e giz para o computador. Outra prática diz respeito a quando o aluno usa o computador para construir seus conhecimentos, caso que favorece a interação do aluno com objetos do ambiente computacional. O computador passa a ser uma máquina para ser ensinada, propiciando condições para o aluno descrever a resolução de problemas, refletir sobre os resultados obtidos e depurar 18 suas ideias por intermédio da busca de 17 18. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Processo de encontrar e reduzir defeitos num aplicativo de software ou mesmo em hardware..

(37) 34 novos conteúdos e novas estratégias. Ainda segundo Valente (1999), o envolvimento com o objeto em construção cria oportunidades para o aluno colocar em prática os conhecimentos que possui. Se esses conhecimentos não são suficientes para resolver os problemas encontrados, o aluno terá de buscar novas informações nas mais variadas fontes que lhe estejam disponíveis. Assim sendo, o aluno usa o computador para resolver problemas, ou seja, realizar tarefas como desenhar, escrever, construir, calcular, analisar, após efetuar alguns comandos, levantar hipóteses, formular e testar conjectura, entre outras possibilidades. A construção do conhecimento advém do fato do aluno ter de buscar novos conteúdos e estratégias para acrescer ao conhecimento de que já dispõe sobre o assunto que está sendo estudado via computador. Borba e Penteado (2007) apontam algumas dificuldades enfrentadas pelos professores ao utilizarem a informática em sala de aula. Primeiro podemos destacar os de ordem estrutural, salas pequenas com poucas máquinas que não comportam metade da turma, a outra metade precisa ficar sozinha em sala, visto que grande parte das escolas não dispõe de um profissional que os auxiliem em sala. Máquinas que quebram constantemente, softwares que são desinstalados e a internet que nem sempre funciona, entre outros problemas. Destacam ainda que, para explorar o potencial educacional da Tecnologia Informática (TI), é preciso haver mudanças na organização da escola, em especial no trabalho do professor. Quanto à postura desses profissionais, descrevem que as mudanças envolvem desde questões operacionais, organização do espaço físico e a integração entre o novo e o que costumavam fazer. Até mesmo questões epistemológicas, como as referentes ao que chamam de zona de risco19. Os educadores saem de sua zona de conforto20, onde têm controle da situação, para um estágio no qual o índice de certeza e controle da situação de ensino é muito pequeno. Para trabalhar com a TI, o professor necessita de tempo para explorar o software escolhido, planejar atividades, procurar entender o funcionamento das máquinas e fazer os agendamentos, visto que o laboratório é utilizado por outros colegas nos mais variados componentes curriculares. Podemos perceber que, de modo geral, planejar é uma estratégia que deve ser uma constante na vida do. 19. Definição de Penteado (2007) para um ambiente onde não se tem domínio das situações que são apresentadas. 20 Situação controlada como a sala de aula tradicional..

(38) 35 professor que opta trabalhar com essa ferramenta. Planejar inclusive para situações como, por exemplo, as atividades propostas para o laboratório não funcionarem, se o laboratório estiver interditado, ou qualquer imprevisto que possa vir a acontecer. Para isso deve criar, antecipadamente, outras atividades para realizar com os alunos. Inúmeras são as contribuições que a informática pode trazer para o ensino e aprendizagem de Matemática, quando o professor se propõe a trabalhar com esses recursos em suas salas de aula. Desse modo, de acordo com Borba Penteado (2007), a TI é importante nas práticas educacionais, como, por exemplo, na modelagem matemática, na formação de professores, na resolução de problemas e trabalhos com projetos que têm sido valorizados nas pesquisas em Educação Matemática. Algumas mudanças percebidas por Penteado (2000) em seus estudos com os recursos da TI se referem à relação professor/aluno. Os alunos, em sua grande maioria, apresentam facilidades em utilizar a informática e os equipamentos de mídias, ou seja, eles passam também a orientar em sala de aula, questionam resultados, analisam possíveis erros e investigam outras possibilidades que a ferramenta oferece.. A presença da TI altera as relações de poder na sala de aula. À frente de um computador o aluno faz várias opções. Pode acessar softwares, usar ajuda online, comparar com programas e equipamentos que possuem em casa e descobrir caminhos novos que o professor desconhece. (PENTEADO, 2000, p. 31).. Assim, como aponta a autora, o poder pelo domínio do conhecimento muda, a informação não está só nas mãos do professor. O aluno, em alguns casos, tem um maior domínio da informática do que os professores. Os alunos conquistam a cada dia mais espaço nas negociações em sala de aula. Para isso, os professores precisam estar abertos à ajuda do aluno ou até mesmo a buscar ajuda com outros colegas de profissão, funcionários e técnicos que tenham domínio das ferramentas da informática na escola ou nas secretarias de educação. Zulatto (2002) corrobora com Valente (1999), ao afirmar as muitas possibilidades que a TI oferece para a educação, porém, é preciso ter uma atenção voltada para a forma como as propostas de ensino são interpretadas e implementadas.

(39) 36 pelos professores, de forma que não seja apenas uma mera informatização do processo de ensino. Para que a TI auxilie o processo de construção do conhecimento, é importante que aconteçam algumas mudanças na escola, que vão além da formação de professores, e devem passar por todos os segmentos: alunos, professores, pais, direção e supervisão pedagógica. Em seus estudos sobre formação de professores integrados ao uso das novas tecnologias na Educação Matemática, Ponte e Oliveira (2001) apresentam o seguinte pensamento sobre a internet no ensino de matemática:. A internet, como rede mundial de computadores, constitui um extensíssimo manancial de recursos onde podemos procurar todo o tipo de informações, documentos, notícias sobre acontecimentos, software, sugestões para a sala de aula, etc. Possibilita, também, um espaço de publicação das nossas próprias produções, que ficam assim disponíveis para um público alargado. Mas, mais do que um instrumento de acesso à informação e um meio de divulgação de produtos educacionais, a internet permite a interação virtual entre pessoas envolvidas em atividades muito diversas, incluindo professores, alunos, pais, futuros professores, formadores, cientistas, profissionais, políticos e muitos outros agentes sociais. (PONTE; OLIVEIRA, 2001, p. 65-70).. A internet pode ser vista como uma ferramenta a mais no planejamento dos professores, mesmo no ensino presencial é possível perceber as facilidades de comunicação através dessa ferramenta, podendo ter um impacto significativo no ensino de Matemática, possibilitando o trabalho com projeto e atividades que promovam a investigação. Outro argumento favorável ao uso da TI em sala de aula diz respeito às oportunidades de troca de experiências entre educadores. Diversas comunidades virtuais têm surgido no campo do ensino da Matemática. Podemos destacar um grande número de cursos de formação de professores, lista de discussões, blogs, sites e comunidades com orientações de uso da TI em sala de aula..

(40) 37 3.2 SOFTWARES DE GEOMETRIA DINÂMICA.. Os softwares de Geometria Dinâmica têm como característica principal o movimento de objetos na tela. Possibilitam fazer investigações, descobertas, confirmar resultados, fazer simulações, e permitem levantar questões relacionadas com a sua aplicação prática. Segundo Goldemberg e Cuoco (1998), o termo Geometria Dinâmica foi inicialmente usado por Nick Jackiw e Steve Rasmussem, de forma genérica, com o objetivo de apresentar a diferença entre software de Geometria Dinâmica e outros softwares de Geometria. Os softwares de Geometria Dinâmica possuem um recurso que possibilita a transformação contínua em tempo real, ocasionada pelo “arrastar” (GODEMBERG e CUOCO, 1998, p. 132). Com o recurso de um software de Geometria Dinâmica os alunos podem realizar construções que usualmente fazem com régua e compasso, os quais não os permitem interagir com o desenho, por serem estáticos. O que difere numa atividade com o recurso do software é a possibilidade de movimentação dos objetos e, a partir desses movimentos, o aluno investigar o que acontece com a sua construção, levantando hipóteses como: a construção permanece com as mesmas características? Um simples movimento muda todas as características originais? Entre várias hipóteses que são possíveis levantar diante das próprias tomadas de decisão, percebendo assim as suas regularidades. No que se refere ao uso de software no meio educacional, Valente (1993b) afirma que as tecnologias da informática podem ser relevantes no processo ensino e aprendizagem da Matemática. O autor destaca algumas modalidades de programas computacionais que podem ser utilizados em sala de aula como:  Os tutoriais: apresentam como características a inserção de modelos com animação e som, o que difere de uma abordagem feita com lápis e papel;  Sistemas de exercícios e práticas: são usados para revisar material visto em classe, envolvem memorização e repetição, requerendo uma resposta imediata do aluno;.

(41) 38  Jogos educacionais: usados para explorar um determinado conteúdo;  Simuladores: envolvem a criação de modelos dinâmicos e simplificados do mundo real, que permitem a exploração de diferentes situações. Possibilitam ao aluno desenvolver hipóteses, testá-las e analisar os resultados, formular conjecturas e analisar as propriedades dos objetos construídos.. Assim sendo, tomando com referência as modalidades e características dos softwares citadas por Valente (1993a), entendemos que o GeoGebra possua características semelhantes de um software simulador. Com o referido software, o aluno pode, a partir de uma construção, alterar os objetos preservando as características originais. Valente (1993a) ressalta que o recurso de um software facilita a aprendizagem quando o aluno interage com a máquina, como, por exemplo, quando o aluno utiliza os softwares que apresentam linguagem de programação, o conhecimento não fica restrito ao computador, ocorre a partir da interação do aluno com as ferramentas da informática. Ao fazer uma análise dos diferentes tipos de softwares usados na educação, Valente (2001) observa que o papel do professor é de extrema relevância na aprendizagem dos alunos.. Em todos os tipos de softwares, sem o professor preparado para desafiar, desequilibrar o aprendiz, é muito difícil esperar que o software por si só crie as situações para ele aprender. A preparação desse professor é fundamental para que a Educação dê o salto de qualidade e deixe de ser baseada na transmissão da informação e na realização de atividades para ser baseada na construção do conhecimento pelo aluno. (VALENTE, 2001, p. 10).. Nesse sentido, o professor precisa obter as informações necessárias para assumir o papel de facilitador da construção do conhecimento do aluno e deixar de ser o profissional que transmite informações ao aprendiz. Isso significa ser formado tanto no aspecto computacional, de domínio do computador e dos diferentes softwares, quanto no aspecto da integração do computador nas atividades.

(42) 39 curriculares. O professor deve ter muito claro quando e como usar o computador como ferramenta para estimular a aprendizagem. Com algumas mudanças no currículo das escolas da rede pública, foram retiradas disciplinas como Desenho Geométrico, ficando a cargo do professor de Matemática abordar as construções geométricas. Permanecendo na maioria das vezes em segundo plano, nesse sentido, o aspecto de construção de objetos geométricos raramente é abordado, dificilmente encontramos nas atividades em sala de aula atividades que possibilitem a construção de objetos, e, no entanto essa é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos. No entanto, ao se depararem com um software que permite a interação do aluno com a tela, através da possibilidade de arrastar objetos sem mudar as suas características, e interagir com eles, os alunos podem transformar a aula de matemática em algo prazeroso e bem proveitoso. Diante de uma investigação, através das construções, os alunos elaboram suas próprias conjecturas e testam na tentativa de provar sua validade, ou ainda a partir de uma falha nos testes, elaborar novas conjecturas. Chegando a conclusões e permitindo a construção de conceitos. Segundo Gravina (1996), esses softwares podem ser ferramentas riquíssimas na superação das dificuldades dos alunos com o estudo de conteúdos como os de Geometria. A autora acrescenta que. Vemos emergir uma nova forma de ensinar e aprender Geometria; a partir de exploração experimental viável somente em ambientes informatizados, os alunos conjeturam e, com o feedback constante oferecido pela máquina, refinam ou corrigem suas conjeturas, chegando a resultados que resistem ao “desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de argumentação e demonstração matemática. (GRAVINA, 1996, p. 5).. A autora sugere que o professor pode utilizar esse tipo de software de duas maneiras: na primeira, os alunos fazem suas próprias construções, mas eles precisam ter domínio dos procedimentos para obterem a construção. Outro modo de trabalhar é com a figura pronta, o professor constrói a figura previamente e a apresenta para os alunos, a qual a autora chama de “caixa preta”. Nesse momento, os alunos são convidados a reproduzi-la, analisando as suas propriedades e fazendo inferências sobre ela. Os problemas propostos podem ser abertos, ou seja, no enunciado não há.