4a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 121 - C´alculo II
Bacharelado de F´ısica- 2o. semestre de 2013 - Noturno - Turma 24 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins
I. Mais sobre Regra da Cadeia e suas aplica¸c˜oes geom´etricas
1. A trajet´oria da curvaγ(t) = (2t, t2, z(t)) est´a contida no gr´afico da fun¸c˜ao diferenci´avelz =f(x, y).
Sabendo-se que f(2,1) = 3, ∂f
∂x(2,1) = 1 e ∂f
∂y(2,1) =−1, determine a equa¸c˜ao da reta tangente `aγ no ponto γ(1).
2. Seja f = f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel e seja z(t) = t2f(t3, et2). Expresse z0(t) em termos das derivadas parciais de f.
3. Seja f =f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que f(3t, t3) = arctgt,∀t ∈IR.
a. Se ∂f
∂x(3,1) = 2, qual ´e o valor de ∂f
∂y(3,1)?
b. Qual a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f em (3,1, f(3,1))?
4. Sejam g : IR → IR e f : IR2 → IR fun¸c˜oes diferenci´aveis em IR e IR2, respectivamente. Supondo que f(t, g(t)) = 7, para todo t ∈ IR, g(0) = 3 e ∇f(0,3) =~i+ 4~j, determine uma equa¸c˜ao da reta tangente `a curva γ(t) = (t, g(t)) no ponto γ(0).
5. Seja curva y3+xy+x3−3x= 0. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente e da reta normal `a curva dada no ponto (1,1).
6. Determine uma equa¸c˜ao da reta que ´e tangente `a curva x2 +xy + y2 = 7 e ´e paralela `a reta 4x+ 5y= 17.
7. Seja r a reta tangente `a curva x3+ 3xy+y3 + 3x= 18 no ponto (1,2). Determine as retas que s˜ao tangentes `a curva x2+xy+y2 = 7 e paralelas `a reta r.
8. Calcule ∂w
∂t e ∂w
∂u pela regra da cadeia e depois por meio de substitui¸c˜ao seguida de aplica¸c˜ao de deriva¸c˜ao parcial, nos seguintes casos:
a. w=x2+y2; x=t2+u2 e y= 2tu. b. w= x
x2+y2; x=tcos u e y=tsen u.
9. Sejaz =f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Determine as derivadas parciais de 1a. ordem das fun¸c˜oes dadas abaixo, em fun¸c˜ao das derivadas parciais de f.
a. g(u, v) =f(u2+ 3v, u−4v2). b. g(u, v) =f(uv, u3−v2).
10. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que f(3,4) = 1 e ∇f(3,4) = (−2,5). Considere a fun¸c˜ao g(u, v) = u2f(3uv,2u2+ 2v3). Calcule ∇g(1,1).
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II. Sobre Derivada Direcional 1. Calcule ∂f
∂~u, para cada fun¸c˜ao, no ponto e na dire¸c˜ao/sentido do versor de~v indicados abaixo.
a. f(x, y) = 4xy2−7x2, (xo, yo) = (2,−3) e ~v = (cos π
3, sen π 3).
b. f(x, y) = arctg x
y
, (xo, yo) = (1,1) e ~v = 4~i−2~j.
2. Ache a derivada direcional (taxa de varia¸c˜ao) m´axima de f no ponto P dado e dˆe a dire¸c˜ao em que ela ocorre.
a. f(x, y) = x e−y+ 3y e P = (1,0); b. f(x, y) = arctg x
y
e P = (4,2).
3. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao de classe C1 no IR2 e considere os pontos A = (1,3), B = (3,3), C = (1,7) e D= (6,15). Sabe-se que a derivada direcional def em A na dire¸c˜ao do versor de
−→
AB ´e 3 e que a derivada direcional de f em A e na dire¸c˜ao do versor de
−→
AC ´e 26. Qual ´e a taxa de varia¸c˜ao f em A na dire¸c˜ao do versor de
−→
AD?
4. Considere a fun¸c˜ao f(x, y) =
x2y
x4+y2 se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)
. Seja ~u = (a, b) um vetor unit´ario qualquer (i.´e, ||~u||=√
a2 +b2 = 1).
a. Calcule, pela defini¸c˜ao, ∂f
∂~u(0,0).
b. Calcule ∂f
∂x(0,0) , ∂f
∂y(0,0) e ∇f(0,0)•~u.
c. Compare os resultados obtidos nos ´ıtens a. e b. Qual o motivo de serem distintos?
d. Mostre que f n˜ao ´e diferenci´avel em (0,0). Volte a pensar no ´ıtem c.
5. Sejam f uma fun¸c˜ao diferenci´avel no IR2 e a curva γ(t) = (t+ 1,−t2), para t ∈ IR, tal que γ ´e a parametriza¸c˜ao de uma curva de n´ıvel de f, no ponto (−1,−4). Suponha que ∂f
∂x(−1,−4) = 2.
a. Qual o valor de ∂f
∂y(−1,−4)?
b. Determine a derivada direcional def no ponto (−1,−4) na dire¸c˜ao/sentido do versor de 3~i+ 4~j.
6. Suponha que T(x, y) = 40−x2 −2y2 represente uma distribui¸c˜ao de temperatura no plano Oxy, sendo que a temperatura ´e dada em oC e x e y em km. Um indiv´ıduo encontra-se na posi¸c˜ao (3,2) e pretende dar um passeio.
a. Qual ´e o lugar geom´etrico que ele dever´a percorrer no plano se quiser desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3,2).
b. Qual a dire¸c˜ao e sentido que ele dever´a tomar se quiser caminhar na dire¸c˜ao de maior crescimento da temperatura? c. De quanto a temperatura se elevar´a aproximadamente caso caminhe 0,01 km na dire¸c˜ao encontrada no ´ıtem b?
d. Orientando o plano Oxy de forma que o eixo Ox aponte para o leste e o eixo Oy aponte para o norte, qual a varia¸c˜ao da temperatura, a partir do ponto (3,2), se o indiv´ıduo dirigir-se para o sudeste?
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