BÀI TẬP
XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Ấn bản thứ hai
NGUYỄN VĂN THÌN
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM
BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ c
2011, 2012 Nguyễn Văn Thìn Bản quyền thuộc tác giả.
Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dưới mọi hình thức phải được sự đồng ý của chủ sở hữu quyền tác giả.
Ấn bản đầu tiên 9/2011 Ấn bản thứ hai 9/2012
Lời nói đầu
Ngày nay xác suất và thống kê toán đã trở thành một khoa học có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kĩ thuật khác nhau như: vật lí, thiên văn học, hóa học, sinh học, y học, tâm lí học, kinh tế học . . .
Vì thế mà môn học xác suất và thống kê toán đã trở thành môn bắt buộc cơ sở được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng cho các sinh viên ngay từ năm nhất hoặc năm hai.
Mục đích của tài liệu này là nhằm giúp bạn đọc thông qua việc giải các bài tập (được trình bày dưới nhiều ngữ cảnh, tình huống và trong nhiều lĩnh vực khác nhau) có thể hiểu đúng bản chất của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất và thống kê, và qua đó có thể áp dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương pháp thích hợp cho những tình huống cụ thể trong chuyên nghành mà bạn theo đuổi.
Tài liệu gồm có hai phần chính cộng thêm phần phụ lục:
Phần I là những bài tập về lí thuyết xác suất gồm khoảng 200 bài được sưu tầm và biên soạn gồm bốn chương:
• Chương 1 nói về các khái niệm tối thiểu của lí thuyết tập hợp và giải tích tổ hợp, nhằm chuẩn bị các kiến thức để bạn đọc có thể lĩnh hội và giải các bài tập về sau được dễ dàng.
• Chương 2 dành cho các bài tập về các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất chẳng hạn như không gian các biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ,. . .
• Chương 3 trình bày các bài tập về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối cùng các đặc trưng của các biến ngẫu nhiên như kì vọng, phương sai, trung vị,. . .
• Chương 4 trình bày các bài tập về các biến ngẫu nhiên thông dụng như biến ngẫu nhiên có phân phối Bernulli, phân phối Poison, phân phối đều, phân phối chuẩn. Phần II là những bài tập thống kê toán học gồm khoảng 70 bài được sưu tầm và biên soạn bao gồm ba chương:
• Chương 5 dành cho các bài tập về lí thuyết mẫu, tính toán các đặc trưng của mẫu như trung bình mẫu, phương sai mẫu,. . .
• Chương 6 trình bày các bài tập về lí thuyết ước lượng, chủ yếu là ước lượng khoảng cho trung bình, tỉ lệ của tổng thể.
ii
• Chương 7 nói đến các bài tập về lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê. Trong mỗi chương tôi có chia ra thành các mục nhỏ theo từng chuyên đề để các bạn có thể rèn luyện chuyên sâu và tập trung hơn.
Tài liệu gồm những bài tập để rèn luyện kĩ năng tính toán, rèn luyện tư duy và phương pháp chứng minh cũng như giúp bạn đọc nắm vững và vận dụng các khái niệm cơ bản về xác suất và thống kê. Một số bài tập được đánh dấu (*) là các bài tập khó, thử thách dành cho các sinh viên khá giỏi đã nắm vững và vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học trên lớp.
Trong tài liệu này đi kèm các bài tập là các chú thích, hướng dẫn, đáp án tùy theo mức độ khó dễ của chúng.
Vì khả năng có hạn, chắc chắn tài liệu còn có nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc để ấn bản tiếp theo được hoàn thiện hơn.
Tp. Hồ Chí Minh, Nguyễn Văn Thìn
Mục lục
Lời nói đầu i
1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp 1 1.1 Tập hợp . . . 1 1.2 Giải tích tổ hợp . . . 4 2 Biến cố và xác suất 10 2.1 Biến cố. . . 10 2.2 Xác suất cổ điển . . . 12 2.3 Xác suất hình học. . . 14 2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản . . . 14
2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes . . . 19
3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 24 4 Một số phân phối xác suất thông dụng 36 4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức . . . 36 4.2 Phân phối Poisson . . . 41 4.3 Phân phối chuẩn . . . 43 5 Lí thuyết mẫu 46 6 Ước lượng tham số thống kê 49 6.1 Ước lượng trung bình tổng thể . . . 49 6.2 Ước lượng tỉ lệ tổng thể . . . 52 6.3 Tổng hợp . . . 53
7 Kiểm định giả thuyết thống kê 54 7.1 So sánh kì vọng với một số cho trước . . . 54
MỤC LỤC iv
7.2 So sánh hai kì vọng . . . 57
7.3 So sánh tỉ lệ với một số cho trước . . . 60
7.4 So sánh hai tỉ lệ . . . 61
Chương 1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
1.1
Tập hợp
Bài 1.1 (*). Cho dãy tập hợp A1, A2, . . . , An, . . .. Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại dãy
tập hợp B1, B2, . . . , Bn, . . ., sao cho:
(a) Các Bi từng đôi một rời nhau;
(b) S∞
i=1Ai =S∞k=1Bk.
Hướng dẫn. Hãy bắt đầu với hai trường hợp dễ nhất n = 2 và n = 3.
Chú thích. S∞
i=1Ai= {x|∃n, x ∈ An}.
Bài tập này chỉ ra cách xây dựng một họ các tập rời nhau từ một họ các tập bất kì.
Bài 1.2. Chứng minh rằng các hệ thức sau đây tương đương nếu A và B là tập hợp con của Ω:
A ∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A.
Hướng dẫn. Hãy chứng minh A ∪ B = Ω ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = Ω.
Bài 1.3. Khẳng định sau có đúng hay không: "nếu A, B, C là các tập con của tập Ω sao cho
A ⊂ B ∪ C và B ⊂ A ∪ C
thì B = ∅" ?
Bài 1.4. Chứng minh rằng nếu A, B, C là các tập hợp con của tập hợp Ω, sao cho A ∩ B ⊂ C và A ∪ C ⊂ B, thì A ∩ C = ∅
Bài 1.5. Tìm biểu thức đơn giản của các biểu thức sau:
(a) (A ∪ B)(A ∪ C) (b) (A ∪ B)(A ∪ B)
1.1. TẬP HỢP 2
(c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B)
(e) (A ∪ B)(B ∪ C)
Bài 1.6. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng. Nếu đúng hãy chứng minh, nếu sai hãy cho ví dụ minh họa.
(a) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B \ AB) ∪ (C \ AC) (b) A ∪ B = (A \ AB) ∪ B
(c) (A ∪ B) \ A = B
(d) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C) (e) ABC = AB(C ∪ B)
(f) AB ∪ BC ∪ CA ⊃ ABC
(g) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C) (h) ABC ⊂ A ∪ B
(i) A ∪ BC = AC ∪ BC (j) A ∪ BC = C \ (C(A ∪ B))
Chú thích. Đôi khi vì sự đơn giản và tiện lợi người ta viết AB thay cho A ∩ B, A + B thay cho A ∪ B và A0 hoặc Acthay cho A. Chữ c nhỏ trong Aclà viết tắt của từ "complement" (phần bù) trong tiếng Anh.
Bài 1.7. Chứng minh rằng: (a) A ∪ B ∪ A ∪ B = A (b) (A ∪ B)AB = AB ∪ BA Bài 1.8. Chứng minh (a) Nếu A ∪ B = AB thì A = B (b) A ∪ BC ⊃ (A ∪ B)C (c) Nếu A1⊂ A, B1⊂ B và A ∩ B = ∅ thì A1∩ B1 = ∅
Bài 1.9. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng? Đối với các hệ thức sai, hãy chỉ ra điều kiện để hệ thức đúng.
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
1.1. TẬP HỢP 3
(d) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Bài 1.10. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Đặt A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A). Chứng minh:
(a) B 4 A = A 4 B (b) A 4 ∅ = A (c) A 4 A = ∅ (d) A 4 Ω = A (e) A 4 B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (f) (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C)
Chú thích. Phép toán 4 ở trên gọi là hiệu đối xứng. Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A 4 B, là tập hợp gồm các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không đồng thời thuộc cả A và B.
Bài 1.11. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Chứng minh:
(a) ((A ∩ B) ∪ (C ∩ D))0 = (A0∪ B0) ∩ (C0∪ D0) (b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B0) ∩ (A0∪ B) ∩ (A0∪ B0) = ∅ (c) A \ B = A ∩ (A 4 B) (d) A ∪ B = (A 4 B) 4 (A ∩ B) (e) (A ∩ B0) 4 (B ∩ A0) = A 4 B (f) A 4 B = C 4 D ⇒ A 4 C = B 4 D (g) A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C) (h) A 4 B = (A 4 C) 4 (C 4 B)
Bài 1.12 (*). Cho A ⊂ Ω. Định nghĩa, IA, là hàm chỉ (the indicator function, hay người ta còn gọi là hàm đặc trưng - the characteristic function) của A như sau:
IA: Ω → [0, 1] với IA(x) := ( 1 nếu x ∈ A 0 nếu x ∈ A0
(a) Cho A, B là các tập con của Ω. Chứng minh rằng
A = B nếu và chỉ nếu IA= IB
(b) Chứng minh các hệ thức sau i. IΩ= 1; I∅ = 0
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 4
iii. IA∪B= IA+ IB− IAIB
iv. IA0 = 1 − IA
v. IA4B ≡ IA+ IB (mod 2)
vi. IA\B = IA(1 − IB)
(c) Bằng cách sử dụng các hệ thức liên quan đến hàm chỉ trong câu b, chứng minh các hệ thức liên quan đến tập hợp trong bài 1.11
Chú thích. Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho n (tức là a − b chia hết cho n). Kí hiệu là a ≡ b (mod n). Ví dụ: 1 ≡ 3 (mod 2).
Bài 1.13 (*). Cho Ω là một tập hợp và giả sử rằng R là một tập khác rỗng các tập con của Ω. Ta nói rằng R là một vành các tập con của Ω nếu
(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R và A \ B ∈ R).
(a) Giả sử R là một vành các tập con của Ω. Chứng minh rằng ∅ ∈ R. (b) Cho một ví dụ một vành R các tập con của Ω sao cho Ω /∈ R.
(c) Gọi R là một tập các tập con của Ω. Chứng minh rằng R là một vành nếu và chỉ nếu
(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∩ B ∈ R và A 4 B ∈ R).
(d) Cho S là một tập các tập con của Ω. Giả sử rằng
(A ∈ S và B ∈ S) ⇒ (A ∩ B ∈ S và A \ B ∈ S).
Chứng minh rằng S không nhất thiết là một vành các tập con của Ω.
(e) Chứng minh rằng giao của hai vành các tập con của Ω là một vành các tập con của Ω.
Hướng dẫn. Trong câu (c), sử dụng kết quả câu (c) và (d) trong bài1.11
1.2
Giải tích tổ hợp
Bài 1.14. Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có bao nhiêu cách kết hợp giữa vớ và giày?
Đáp án. 24.
Bài 1.15. Một lớp có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 3 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp?
Đáp án. 59280.
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 5
(a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra? (b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sản phẩm?
Đáp án. (a) 2118760 (b) 254251200.
Bài 1.17. Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 3 số
(a) có bao nhiêu máy có các chữ số khác nhau?
(b) Có bao nhiêu máy có số 9 ở cuối còn các chữ số còn lại đều khác nhau?
Đáp án. (a) 720 (b) 90.
Bài 1.18. Mã vùng điện thoại của một quốc gia có dạng một dãy gồm 3 số. Số đầu tiên là một số nguyên nằm giữa 2 và 9., số thứ hai là 0 hoặc 1, và số thứ ba là một số nguyên bất kì từ 1 đến 9.
(a) Có thể có tối đa bao nhiêu mã vùng? (b) Có bao nhiêu mã vùng bắt đầu với số 4?
Đáp án. (a) 144 (b) 18
Bài 1.19. Một hộp có 8 bi đỏ, 6 bi trắng, 4 bi vàng. Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
(a) Không yêu cầu gì thêm.
(b) Phải có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng. (c) Có đúng 2 bi vàng.
Đáp án. (a) 18564 (b) 2520 (c) 6006.
Bài 1.20. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Đáp án. 1260.
Bài 1.21. Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhóm đều nhau. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có 1 nữ?
Đáp án. 10080.
Bài 1.22. Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tìm số cách sắp xếp:
(a) Mỗi toa có 3 hành khách.
(b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có 1 hành khách.
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 6
Đáp án. (a) 369600 (b) 665280.
Bài 1.23. (a) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng?
(b) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng nếu mỗi nam và mỗi nữ ngồi cạnh nhau?
(c) Có bao nhiêu cách xếp nếu 3 nam phải ngồi cạnh nhau?
(d) Có bao nhiêu cách xếp nếu không có hai nam hoặc hai nữ nào được ngồi cạnh nhau?
Đáp án. (a) 720 (b) 72 (c) 144 (d) 72.
Bài 1.24. Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp
(a) 6 học sinh vào bàn.
(b) 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A, B ngồi cạnh nhau.
(c) 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A, B không ngồi cạnh nhau.
Đáp án. (a) 720 (b) 240 (c) 480.
Bài 1.25. Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị. Có bao nhiêu cách sắp xếp để:
(a) B phát biểu sau A.
(b) A phát biểu xong thì đến lượt B.
Đáp án. (a) 120 (b) 24.
Bài 1.26. Từ 8 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam, một nhóm làm việc gồm 3 nam và 3 nữ phải được lập ra. Có bao nhiêu cách lập nhóm nếu
(a) 2 trong số các sinh viên nam không chịu làm việc cùng nhau? (b) 2 trong số các sinh viên nữ không chịu làm việc cùng nhau?
(c) 1 nam và 1 nữ không chịu làm việc cùng nhau?
Đáp án. (a) 896 (b) 1000 (c) 910.
Bài 1.27. Một người có 8 người bạn. Người này dự định mời 5 trong số 8 người bạn tham dự một bữa tiệc liên hoan. Có bao nhiêu cách chọn nếu
(a) 2 trong số các người bạn giận nhau và sẽ không tham dự cùng nhau? (b) 2 trong số các người bạn sẽ chỉ tham dự cùng nhau?
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 7
Bài 1.28. Xét một lưới các điểm được cho như hình bên dưới. Giả sử bắt đầu tại điểm A, ta có thể đi một bước lên trên hoặc một bước ngang sang phải và tiếp tục như vậy cho đến khi đến được điểm B. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B?
A B s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s Đáp án. 35.
Hướng dẫn. Chú ý rằng để đến B, ta cần đi 4 bước ngang sang phải và 3 bước lên trên.
Bài 1.29. Trong bài 1.28, có bao nhiêu đường đi từ A đến B qua C như trong hình bên dưới? A B C s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s Đáp án. 18
Bài 1.30. Các đại biểu đến từ 10 nước trong đó có Nga, Pháp, Anh, và Mỹ được xếp ngồi vào một hàng ghế. Có bao nhiêu cách xếp chỗ sao cho đại biểu Anh và Pháp ngồi kế nhau và đại biểu Nga và Mỹ không ngồi kế nhau?
Đáp án. 564480.
Bài 1.31 (*). 8 món quà giống nhau được chia cho 4 bạn.
(a) Có bao nhiêu cách chia?
(b) Có bao nhiêu cách chia nếu mỗi bạn nhận ít nhất một món quà?
Đáp án. (a) 165 (b) 35
Bài 1.32 (*). Ta có 20 triệu đồng để đầu tư vào 4 hạng mục. Mỗi khoản đầu tư phải là bội số của 1 triệu đồng và mỗi hạng mục đều yêu cầu một khoản đầu tư tối thiểu nếu ta đầu tư vào đó. Các khoảng đầu tư tối thiểu này tương ứng là 2, 2, 3 và 4 triệu đồng. Có bao nhiêu cách đầu tư nếu ta đầu tư
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 8
(a) cả 4 hạng mục?
(b) ít nhất 3 trong 4 hạng mục?
Đáp án. (a) 220 (b) 572
Bài 1.33. Các chữ cái của các từ sau đây có thể được sắp xếp theo bao nhiêu cách?
(a) HANOI (b) NGHEAN
(c) NHATRANG
Đáp án. (a) 120 (b) 360 (c) 10080
Bài 1.34 (*). Người ta có thể sắp xếp các chữ cái của từ
MUHAMMADAN
theo bao nhiêu cách sao cho 3 chữ cái giống nhau không ở gần nhau?
Chú thích. Muhammadan, trong tiếng Anh, là một tính từ và có nghĩa là (thuộc/liên quan đến) đạo Hồi.
Đáp án. 88080.
Bài 1.35. Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh rằng
(a) 1 + C1 n+ Cn2+ · · · + Cnn= 2n (b) 1 − Cn1+ Cn2+ · · · + (−1)nCnn= 0 (c) Cn1+ 2Cn2+ · · · + nCnn= n2n−1 (d) Cn1− 2C2 n+ 3Cn3+ · · · + (−1)n−1nCnn= 0 (e) 2.1.Cn2+ 3.2.Cn3+ · · · + n(n − 1)Cnn= n(n − 1)2n−2 Hướng dẫn. Sử dụng công thức nhị thức Newton.
Bài 1.36. Cho m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng Cnn+ Cn+1n + Cn+2n + · · · + Cn+mn = Cn+m+1n+1
Hướng dẫn. Sử dụng hệ thức Cn+1k+1= Ck
n+ Cnk+1.
Bài 1.37. Cho m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
(a) m X k=0 Cn−kr = Cn+1r+1− Cn−mr+1 (b) m X k=0 (−1)kCnk= (−1)mCn−1m
1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 9
Hướng dẫn. (a) Sử dụng hệ thức Cn+1k+1= Cnk+ Cnk+1. (b) Quy nạp.
Bài 1.38. Chứng minh rằng với các số nguyên dương n, k
Cn0Cnk− Cn1Cn−1k−1+ Cn2Cn−2k−2− · · · + (−1)kCnkCn−k0 = 0 Tổng quát hơn, k X i=0 CniCn−ik−iti= Cnk(1 + t)k
Bài 1.39 (Hệ thức Vandermonde). Giả sử m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
Cm0Cn−mr + Cm1Cn−mr−1 + · · · + CmrCn−m0 = Cnr
Chú thích. Hệ thức này được tìm ra bởi nhà toán học Alexandre-Théophile Vandermonde vào thế kỉ 18.
Hướng dẫn. So sánh các hệ số tr trong hai vế của hệ thức (1 + t)m(1 + t)n−m= (1 + t)n.
Bài 1.40. Chứng minh rằng Cn02+ Cn12+ · · · + (Cnn)2 = C2nn Hướng dẫn. Áp dụng bài1.39. Bài 1.41. Chứng minh rằng n X k=0 2n! (k!)2[(n − k)!]2 = (C n 2n) 2 Hướng dẫn. Áp dụng bài1.40.
Bài 1.42 (*). Cho r ≤ n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
n X k=0 (−1)n−kCnkkr= ( 0 nếu r < n n! nếu r = n
Hướng dẫn. Xét đạo hàm cấp r của (1 − et)n tại t = 0.
Bài 1.43. Chứng minh rằng Cn11 1 − C 2 n 1 2+ · · · + (−1) n−1Cn n 1 n = 1 + 1 2+ 1 3+ · · · + 1 n Hướng dẫn. Tích phân trên [0, 1] hệ thức n−1 X k=0 (1 − t)k= [1 − (1 − t)n]t−1.
Chương 2
Biến cố và xác suất
2.1
Biến cố
Bài 2.1. Một hộp bút có 3 cây bút xanh, đỏ, tím. Xét phép thử lấy ra một cây bút từ hộp, sau đó trả lại hộp và rút ra cây bút thứ hai.
(a) Hãy mô tả không gian mẫu.
(b) Trong trường hợp cây bút thứ nhất không được trả lại hộp, hãy mô tả không gian mẫu.
Bài 2.2. Khi nào thì có các đẳng thức sau:
(a) A + B = A (b) AB = A
(c) A + B = AB
Hai sự kiện A và A + B có xung khắc không?
Đáp án. (a) A = ∅, B = Ω (b) A = Ω, B = ∅ (c) A = B; Có.
Bài 2.3. Một chiếc tàu thủy gồm một bánh lái, 4 nồi hơi, 2 tuốc bin. Gọi A, Bi(i = 1, . . . , 4), Cj(j = 1, 2) lần lượt là các sự kiện bánh lái hoạt động tốt, nồi hơi thứ i hoạt
động tốt, tuốc bin thứ j hoạt động tốt. Biết rằng tàu hoạt động tốt khi và chỉ khi bánh lái, ít nhất 1 nồi hơi và ít nhất một tuốc bin đều hoạt động tốt. Gọi D là sự kiện tàu hoạt động tốt. Hãy biểu diễn D và D qua A, Bi, Cj.
Bài 2.4. Có 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bi(i = 1, . . . , 4) là biến cố sinh viên thứ i làm bài thi đạt yêu cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:
(a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu. (b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu.
(c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu.
2.1. BIẾN CỐ 11
(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
Bài 2.5. Tung hai con xúc sắc. Gọi E là biến cố tổng số nốt là lẻ, F là biến cố xuất hiện mặt một nốt, và G là biến cố tổng số nốt là 5. Hãy mô tả các biến cố sau EF , E ∪ F , F G, EFc, và EF G.
Đáp án. EF = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}; F G = {(1, 4), (4, 1)}; EF G = {(1, 4), (4, 1)}. Hướng dẫn. Trước hết hãy viết ra không gian mẫu Ω và các biến cố E, F và G.
Bài 2.6. Xét phép thử: Gieo một xúc xắc 2 lần. Mô tả không gian biến cố sơ cấp ứng với phép thử trên?
Gọi A: "Tổng số nốt chia hết cho 3”, B: "Trị tuyệt đối của hiệu số nốt là số chẵn”. Biểu diễn A, B?
Bài 2.7. A, B và C thay phiên nhau lần lượt tung một đồng xu. Người đầu tiên tung được mặt ngửa là người thắng cuộc. Không gian mẫu của thí nghiệm này được định nghĩa như sau
S = {1, 01, 001, 0001, . . . , 0000 · · · }
(a) Hãy giải thích không gian mẫu trên.
(b) Hãy mô tả các biến cố sau theo cách biểu diễn của S: (i) A = “A thắng”.
(ii) B = “B thắng”. (iii) (A ∪ B)c.
Giả sử rằng A tung đầu tiên, sau đó đến B, đến C, rồi quay lại A, tiếp tục như vậy.
Bài 2.8. Một hệ thống máy có năm bộ phận. Mỗi bộ phận có thể hoạt động hoặc bị hư. Xét một phép thử quan sát tình trạng của các bộ phận này, và kết quả của phép thử được ghi lại trong một vector (x1, x2, x3, x4, x5), với xi bằng 1 nếu bộ phận i hoạt động và bằng 0
nếu bị hư.
(a) Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong không gian mẫu của thí ngiệm này?
(b) Giả sử rằng hệ thống hoạt động nếu bộ phận 1 và 2 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 3 và 4 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 1, 3 và 5 đều hoạt động. Gọi W là biến cố hệ thống hoạt động. Hãy biểu diễn W .
(c) Gọi A là biến cố các bộ phận 4 và 5 đều bị hư. A có bao nhiêu biến cố sơ cấp? (d) Hãy biểu diễn biến cố AW .
Đáp án. (d) AW = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}.
Bài 2.9. Xét một phép thử bao gồm xác định loại công việc lao động–hoặc lao động trí óc hoặc lao động chân tay–và nơi sinh–miền Bắc, miền Trung, hoặc miền Nam–của 15 thành viên thuộc một đội bóng nghiệp dư. Hỏi có bao nhiêu biến cố sơ cấp
2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN 12
(a) trong không gian mẫu?
(b) trong biến cố “có ít nhất một trong các thành viên là lao động trí óc”?
Đáp án. (a) 615(b) 615− 315
.
Bài 2.10. Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên đã biết. Tìm biến cố X từ hệ thức: X + A + X + A = B
Đáp án. X = B.
Bài 2.11. Cho A, B là các tập con của Ω. Tìm điều kiện cần và đủ để tồn tại một tập con X của Ω thỏa AX + BX0 = ∅.
Đáp án. B ⊂ A0
Bài 2.12. Xét phép thử: Bắn không hạn chế vào 1 bia cho đến khi trúng bia lần đầu tiên thì dừng. Biểu diễn không gian biến cố sơ cấp của biến cố trên. Chỉ ra một hệ đầy đủ các biến cố.
Hướng dẫn. Có nhiều hệ đầy đủ các biến cố cho không gian mẫu này. Hãy tìm một hệ đơn giản nhất.
Bài 2.13. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố xảy ra khi số nốt
ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất là i(i = 1, . . . , 6), Bk biến cố xảy ra khi số nốt ở mặt trên
con xúc xắc thứ hai là k(k = 1, . . . , 6).
(a) Hãy mô tả các biến cố A6B6, A3B5
(b) Viết bằng kí hiệu các biến cố:
• A: “hiệu giữa số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số tuyệt đối bằng ba”.
• B: “số nốt ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”. (c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố.
2.2
Xác suất cổ điển
Bài 2.14. Một nhóm n người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài.
(a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau. (b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người.
(c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0 < r < n − 2). (d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn. Đáp án. (a) 2 n (b) 2(n−3) (n−1)n (c) 2(n−r−1) (n−1)n (d) Nếu r = n−2 2 thì P = 1 n−1. Nếu r 6= n−2 2 thì P = 2 n−1.
2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN 13
Bài 2.15. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người khách. Tính xác suất để:
(a) Tất cả cùng ra ở tầng bốn. (b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
(c) Mỗi người ra một tầng khác nhau.
Đáp án. (a) 1 63 (b) 6 63 (c) 6 · 5 · 4 63
Bài 2.16. Có n quả cầu được phân ngẫu nhiên lần lượt vào n hộp, mỗi hộp có thể chứa nhiều quả cầu. Khi phân biệt hộp và cầu, tìm xác suất để mỗi hộp chứa một quả cầu.
Đáp án. nn!n
Bài 2.17. Cho một lô hàng gồm n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó k sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong số sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu (s < k). Đáp án. C s mC k−s n−m Ck n
Bài 2.18. Ta gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố:
(a) A: “Có hai mặt sấp”. (b) B: “Có ba mặt ngửa”.
(c) C: “Có ít nhất một mặt sấp”.
Đáp án. (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.9375
Bài 2.19. Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp. Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm.
Đáp án. 0.212
Bài 2.20 (*). Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cân đối n lần liên tiếp. Tìm xác suất để xuất hiện ít nhất một lần hai mặt trên cùng có 6 nốt.
Đáp án. 1 − 3536n
2.3. XÁC SUẤT HÌNH HỌC 14
2.3
Xác suất hình học
Bài 2.21. Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để ba khúc đó tạo được thành một tam giác. Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài.)
Đáp án. 0.25
Bài 2.22 (* Bài toán Butffon). Trên mặt phẳng có các đường thẳng song song cách đều nhau 2a, gieo ngẫu nhiên một cây kim có độ dài 2l (l < a). Tìm xác suất để cây kim cắt một đường thẳng nào đó.
Đáp án. 2l
aπ.
Bài 2.23. Trên đường tròn bán kính R có một điểm A cố định, chọn ngẫu nhiên một điểm B. Tìm xác suất để cung AB không quá R.
Đáp án. 13.
Bài 2.24. Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tương ứng là OB = x, OC = y(y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB.
Đáp án. 0.25
2.4
Các công thức tính xác suất cơ bản
Bài 2.25. Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Đáp án. 0.9928
Hướng dẫn. Gọi
• Bilà biến cố “Bộ phận thứ i hoạt động tốt” (i = 1, 2, 3)
• H là biến cố “Hệ thống hoạt động tốt”
Biểu diễn H theo Bi và tính P (H).
Bài 2.26. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.
(a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra. Tính xác suất nhận được bi đen. (b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
(c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 15
Bài 2.27. Cho P (A) = 13, P (B) = 12 và P (A + B) = 34. Tính P (AB), P (A.B), P (A + B), P (AB), P (AB).
Đáp án. 1 12, 1 4, 11 12, 1 4, 5 12.
Bài 2.28. Tỷ lệ người bị bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, bị bệnh huyết áp là 12%, bị cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp. (c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp. (d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
Đáp án. (a) 0.14 (b) 0.86 (c) 0.93 (d) 0.02 (e) 0.05
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “nhận được người bị bệnh tim” • B là biến cố “nhận được người bị bệnh huyết áp” Ta có: P (A) = 0.09; P (B) = 0.12; P (AB) = 0.07
Biểu diễn các biến cố trong từng câu theo A và B và tính xác suất các biến cố đó.
Bài 2.29. Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ số) và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn gọi đúng số điện thoại này mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này là bao nhiêu ?
Đáp án. 0.3; 0.6
Hướng dẫn. Gọi Ailà biến cố “gọi đúng ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3)
Biểu diễn các biến cố cần tìm theo Aivà áp dụng các công thức tính xác suất để tìm xác suất của các
biến cố này.
Bài 2.30 (*). (a) Cho A, B là hai biến cố độc lập. Chứng minh rằng A, B; A, B và A, B đều là các cặp biến cố độc lập.
(b) Cho A1, A2, . . . , Anlà n biến cố độc lập. Chứng minh rằng A1, A2, . . . , Ancũng là n biến
cố độc lập. Từ đó suy ra rằng nếu xét n biến cố B1, B2, . . . , Bnvới Bi= Ai hoặc Bi= Ai
thì B1, B2, . . . , Bn cũng là n biến cố độc lập.
Bài 2.31. Một đợt xổ số phát hành N vé, trong đó có M vé có thưởng. Một người mua r vé (r < N − M ). Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng. Đáp án. 1 − C r N −M Cr N .
2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 16
Bài 2.32. Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một lồng. Một người đến mua, người bán bắt ngẫu nhiên ra một con. Người mua chấp nhận mua con đó.
(a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái.
Người thứ hai đến mua, người bán lại bắt ngẫu nhiên ra một con.
(b) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống, biết rằng người thứ nhất mua được gà mái.
(c) Xác suất trên bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái?
Đáp án. (a) 0.6 (b) 0.5 (c) 0.4
Bài 2.33 (*). Có một nhóm n sinh viên, mỗi người có một áo mưa giống hệt nhau. Một hôm trời mưa, cả nhóm cùng đến lớp và treo áo ở mắc áo. Lúc ra về vì vội vàng mỗi người lấy hú họa một cái áo. Tính xác suất có ít nhất một sinh viên chọn đúng áo của mình.
Đáp án. 1 − 1 2!+ 1 3− · · · + (−1) n−1 1 n!. Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Sinh viên thứ i nhận đúng áo của mình” (i = 1, . . . , n)
• A là biến cố “Có ít nhất một sinh viên nhận đúng áo của mình”
Biểu diễn A theo Ai và áp dụng công thức cộng xác suất.
Bài 2.34 (*). Một người viết n lá thư và bỏ n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵn địa chỉ. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ đúng vào phong bì của nó.
Hướng dẫn. Tương tự bài2.33.
Bài 2.35. Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người là 0.6; 0.7; 0.8. Tìm xác suất
(a) chỉ có người thứ hai bắn trúng. (b) có đúng một người bắn trúng.
(c) có ít nhất một người bắn trúng. (d) cả ba người đều bắn trúng.
(e) có đúng hai người bắn trúng. (f) có ít nhất hai người bắn trúng. (g) có không quá hai người bắn trúng.
Đáp án. (a) 0.056 (b) 0.188 (c) 0.976 (d) 0.336 (e) 0.452 (f) 0.788 (g) 0.664
Hướng dẫn. Gọi Ailà biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3)
2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 17
Bài 2.36. Cho hai biến cố xung khắc A và B, sao cho P (A) 6= 0, P (B) 6= 0. Chứng minh rằng A và B phụ thuộc nhau.
Hướng dẫn. Dùng định nghĩa.
Bài 2.37. Ba con ngựa a, b, c trong một cuộc đua ngựa. Nếu xuất hiện bac có nghĩa là b đến đích trước, sau đó là a và về cuối là c. Khi đó tập hợp tất cả các khả năng xuất hiện là
Ω = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}.
Giả sử rằng P [{abc}] = P [{acb}] = 1/18 và bốn khả năng còn lại đều có xác suất xảy ra là 2/9. Hơn nữa, ta định nghĩa các biến cố
A = "a đến đích trước b" và B = "a đến đích trước c"
(a) Hai biến cố A và B có tạo thành một hệ đầy đủ của Ω? (b) Hai biến cố A và B có độc lập nhau?
Đáp án. (a) không (b) có.
Bài 2.38. Có tồn tại hai biến cố xung khắc và độc lập không?
Hướng dẫn. Hãy viết ra các định nghĩa hai biến cố xung khắc và hai biến cố độc lập nhau.
Bài 2.39. Một máy tính điện tử gồm có n bộ phận. Xác suất hỏng trong khoảng thời gian T của bộ phận thứ k bằng pk(k = 1, 2, . . . , n). Nếu dù chỉ một bộ phận bị hỏng thì máy tính
ngừng làm việc. Tìm xác suất để máy tính ngừng làm việc trong khoảng thời gian T .
Đáp án. 1 − (1 − p1)(1 − p2) · · · (1 − pn).
Bài 2.40. Chứng minh rằng nếu
P (A|B) > P (A), thì P (B|A) > P (B)
Bài 2.41. Giả sử P (AB) = 1/4, P (A|B) = 1/8 và P (B) = 1/2. Tính P (A).
Đáp án. 5/16.
Bài 2.42. Biết rằng ta đã nhận được ít nhất một mặt ngửa trong 3 lần tung đồng xu độc lập. Hỏi xác suất đạt được cả 3 mặt ngửa là bao nhiêu?
Đáp án. 1/7
Hướng dẫn. Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.
Bài 2.43. Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số nốt chẵn. Tính xác suất tổng số nốt hai lần tung bằng 4.
2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 18
Bài 2.44. Giả sử P (A) = P (B) = 1/4 và P (A|B) = P (B). Tính P (AB).
Đáp án. 3/16
Bài 2.45. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi trúng mục tiêu thì ngừng. Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0.2 và các lần bắn là độc lập.
Đáp án. 0.0655
Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Bắn trúng lần thứ i”
• A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6”
Biểu diễn A theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất.
Bài 2.46. Giả sử các biến cố A1, . . . , An độc lập có xác suất tương ứng P (Ak) = pk(k =
1, . . . , n). Tìm xác suất sao cho:
(a) không một biến cố nào trong các biến cố đó xuất hiện. (b) có ít nhất một biến cố trong các biến cố đó xuất hiện.
Từ đó suy ra công thức khai triển tích
n Y k=1 (1 − pk) Đáp án. (a)Qn k=1(1 − pk) (b) 1 − Qn k=1(1 − pk).
Bài 2.47. Có ba tiêu chí phổ biến cho việc chọn mua một chiếc xe hơi mới nào đó là A: hộp số tự động, B: động cơ V6, và C: điều hòa nhiệt độ. Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, ta có thể giả sử rằng P (A) = 0.7, P (B) = 0.75, P (C) = 0.80, P (A+B) = 0.80, P (A+C) = 0.85, P (B + C) = 0.90 và P (A + B + C) = 0.95, với P (A) là xác suất người mua bất kì chọn tiêu chí A, v.v. . . . Tính xác suất của các biến cố sau:
(a) người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí.
(b) người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên. (c) người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ.
(d) người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí.
Đáp án. (a) 0.95 (b) 0.05 (c) 0.15 (d) 0.3
Bài 2.48. Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và B như sau:
d(A, B) = P (A 4 B) Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.
2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 19
Hướng dẫn. Sử dụng bài1.11(h).
Bài 2.49 (*). Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và B như sau
d(A, B) =
( P (A4B)
P (A∪B) nếu P (A ∪ B) 6= 0
0 nếu P (A ∪ B) = 0 Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.
2.5
Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
Bài 2.50. Giả sử P (B|A1) = 1/2, P (B|A2) = 1/4 với A1 và A2 là hai biến cố đồng khả
năng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố. Tính P (A1|B).
Đáp án. 2/3
Bài 2.51 (*). Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm (không hoàn lại). Tính xác suất nhận được phiếu trúng thưởng của mỗi người.
Đáp án. 0.2
Bài 2.52. Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng. Hộp 2 đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng. Lấy một bi ở hộp 1 bỏ vào hộp 2, trộn đều rồi lấy ra một bi. Tính xác suất nhận được bi đỏ? bi trắng?
Đáp án. 0.391; 0.609
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Bi nhận được từ hộp 2 là bi đỏ”
• B là biến cố “Bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ”
Bài 2.53. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị viêm họng.
(a) Tìm xác suất người này hút thuốc lá.
(b) Nếu người này không bị viêm họng thì xác suất người này hút thuốc lá là bao nhiêu.
Đáp án. (a) 0.462 (b) 0.197
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Người này hút thuốc”
2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 20
Bài 2.54. Một chiếc taxi gây tai nạn và bỏ chạy khỏi hiện trường vào nửa đêm. Trong thành phố có hai hãng taxi, gọi là taxi Đen và taxi Trắng. Ta biết rằng 85% taxi trong thành phố là Đen và 15% là Trắng. Có một nhân chứng lúc tai nạn xảy ra, theo nhân chứng, taxi gây ra tai nạn là Trắng. Một khảo sát về độ tin cậy của nhân chứng đã chỉ ra rằng, dưới các điều kiện tương tự về thời gian, địa điểm, ánh sáng,. . . như lúc xảy ra tai nạn, nhân chứng có khả năng xác định chính xác màu sắc của một taxi trong 80% trường hợp.
(a) Không làm phép toán, bạn nghĩ rằng taxi Đen hay Trắng có khả năng gây ra tai nạn lớn hơn?
(b) Tính xác suất taxi gây tai nạn là Trắng. (c) So sánh đáp án ở hai câu hỏi trên.
(d) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau. Giả sử rằng 0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen. Độ tin cậy của nhân chứng vẫn là 80%. Chứng minh rằng xác suất taxi Trắng gây tai nạn lớn hơn 0.5 nếu và chỉ nếu p > 0.2. Biết rằng nhân chứng nói rằng taxi gây tai nạn là Trắng.
(e) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau. Giả sử rằng 0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen. Giả sử rằng 0 ≤ q ≤ 1 và độ tin cậy của nhân chứng là 100q%, tức là nhân chứng có thể xác định chính xác màu của một taxi trong 100q% trường hợp. Xác định miền bên trong hình vuông
{(p, q) : 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1}
mà xác suất taxi Trắng gây tai nạn lớn hơn 0.5. Biết rằng nhân chứng nói rằng taxi gây tai nạn là Trắng.
Chú thích. Bài toán này minh họa rằng phán đoán trực giác có thể sai và một số thông tin quan trọng đã không được xét tới vì bị cho là không cần thiết hoặc không liên quan.
Đáp án. (b) 0.41
Bài 2.55. Giả sử có một loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh là 1/1000. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét cũng ra phản ứng dương tính, nhưng tỷ lệ phản ứng dương tính nhầm (false positive) là 5% (tức là trong số những người không mắc bệnh có 5% số người thử ra phản ứng dương tính). Hỏi khi một người xét nghiệm bị phản ứng dương tính, thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu?
Chú thích. Đây là một bài toán được 3 nhà toán học Cassels, Shoenberger và Grayboys đem đố 60 sinh viên và cán bộ y khoa tại Harvard Medical School năm 1978. Kết quả là chỉ có 18% người trả lời đúng. Đáp án. ≈ 2%. (Điều đó có nghĩa là trong số những người xét nghiệm ra dương tính, có khoảng 98% số người
là không mắc bệnh!)
Bài 2.56 (*). Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định K. Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0.8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm định dương tính là 0.9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là 0.5. Tính các xác suất
2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 21
(b) phép kiểm định cho kết quả đúng.
Đáp án. (a) 0.75 (b) 0.8
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Người khám có bệnh”
• B là biến cố “Phép kiểm định dương tính”
Bài 2.57 (*). Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0.5. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
(a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
(b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Đáp án. (a) 0.28 (b) 0.4375
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi thật”
• B là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Bài 2.58. Có 10 hộp bi, trong đó có 4 hộp loại I, 3 hộp loại II, còn lại là hộp loại III. Hộp loại I có 3 bi trắng và 5 đỏ, hộp loại II có 4 bi trắng và 6 bi đỏ, hộp loại III có 2 bi trắng và 2 bi đỏ.
(a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy hú họa 1 bi. Tìm xác suất để được bi đỏ. (b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy 1 bi thì được bi trắng. Tìm xác suất để bi lấy ra
thuộc loại II.
Đáp án. (a) 0.58 (b) 0.286
Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Lấy được hộp thứ i” (i = 1, 2, 3)
• B là biến cố “Lấy được bi đỏ”
Bài 2.59. Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Lô thứ hai có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được lấy hú họa ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I.
Đáp án. 0.79
2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 22
• Ai là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần đầu ở lô thứ i là loại I” (i = 1, 2)
• B là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần sau là loại I”
Bài 2.60. Có 2 lô gà. Lô thứ nhất gồm 15 con, trong đó có 3 con gà trống. Lô thứ hai gồm 20 con, trong đó có 4 gà trống. Một con từ lô thứ hai nhảy sang lô thứ nhất. Sau đó từ lô thứ nhất ta bắt ngẫu nhiên ra một con. Tìm xác suất để con gà bắt ra là gà trống.
Đáp án. 0.2
Bài 2.61. Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30% và máy III sản xuất 45% tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0.1%; 0.2%; 0.4%. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì
(a) được chi tiết phế phẩm.
(b) chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất.
Đáp án. (a) 0.00265 (b) 0.226
Bài 2.62. Giả sử 3 máy M1, M2, M3 sản xuất lần lượt 500, 1000, 1500 linh kiện mỗi ngày
với tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 6% và 7%. Vào cuối ngày làm việc nào đó, người ta lấy một linh kiện được sản xuất bởi một trong 3 máy trên một cách ngẫu nhiên, kết quả là được một phế phẩm. Tìm xác suất linh kiện này được sản xuất bởi máy M3.
Đáp án. 0.5526
Bài 2.63 (*). Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là 0.4; 0.7; 0.8. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là 30%, khi trúng 2 phát đạn là 70%, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát.
(a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
(b) Biết rằng mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó.
Đáp án. (a) 0.6412 (b) 0.8883
Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Khẩu pháo thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3)
• Bklà biến cố “Mục tiêu trúng k phát đạn” (k = 0, 1, 2, 3)
• B là biến cố “Mục tiêu bị tiêu diệt”.
Bài 2.64 (*). Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 3 bị hỏng. Hộp II có 15 linh kiện trong đó có 4 bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một linh kiện.
2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 23
(b) Số linh kiện còn lại trong 2 hộp đem bỏ vào hộp III. Từ hộp III lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện. Tính xác suất để linh kiện lấy ra từ hộp III bị hỏng.
(c) Biết linh kiện lấy ra từ hộp III là hỏng. Tính xác suất để 2 linh kiện lấy ra từ hộp I và II lúc ban đầu là hỏng.
Đáp án. (a) 0.08 (b) 0.2797 (c) 0.0622
Bài 2.65. Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y , trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm.
(a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.
(b) Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất.
Đáp án. (a) 0.63 (b) cửa hàng I.
Bài 2.66 (*). Cho một phép thử ngẫu nhiên với 3 biến cố sơ cấp có thể xảy ra là A, B và C. Giả sử ta tiến hành phép thử vô hạn lần và độc lập nhau. Tính theo P (A), P (B) xác suất biến cố A xuất hiện trước biến cố B.
Chương 3
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Bài 3.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau:
X −2 −1 0 1 2
P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
(a) Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
(b) Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P X ≤ −1 hoặc X = 2.
(c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2.
Đáp án. (b) 6/8, 4/8. (c) Y 0 1 4
P 2/8 4/8 2/8
Bài 3.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi
f (x) = 2x + 1
25 , x = 0, 1, 2, 3, 4 (a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính P (2 ≤ X < 4) và P (X > −10).
Đáp án. (b) 12/25, 1.
Bài 3.3. Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau
X −1 0 3
P 0.5 0.2 0.3
(a) Tính độ lệch chuẩn của X. (b) Tính kì vọng của X3.
(c) Tìm hàm phân phối của X.
(d) Ta định nghĩa Y = X2+ X + 1. Lập bảng phân phối xác suất của Y .
25
Đáp án. (a) 1.7436 (b) 7.6 (d) Y 1 13
P 0.7 0.3
Bài 3.4. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là
fX(x) = −x nếu − 1 ≤ x ≤ 0 x nếu 0 < x ≤ 1 0 nếu khác Tính FX(1/2). Đáp án. 3/8
Bài 3.5. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) như sau
f (x) = (
kx(2 − x) khi 1 < x < 2
0 nơi khác
(a) Xác định giá trị của k để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
(b) Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X. (c) Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X3.
Đáp án. (a) k = 3/2, EX = 1.375, DX = 0.0594 (b) F (x) = 0 x ≤ 1 −1 2 x 3+3 2x 2− 1 1 < x < 2 1 x ≥ 2 (c) G(x) = 0 y ≤ 1 −1 2 y + 3 2y 2/3− 1 1 < y < 8 1 y ≥ 8
Bài 3.6. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f (x) = (
e−x khi x > 0 0 khi x ≤ 0
(a) Tính P (3 ≤ X).
(b) Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.
(c) Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y =√X.
Đáp án. (a) e−3(b) 0.105 (c) FY(y) = ( 0 y ≤ 0 1 − e−y2 y > 0 , fY(y) = ( 0 y ≤ 0 2ye−y2 y > 0 Bài 3.7. Tính P (X ≥ 8) nếu fX(x) = ( 1 96x 3e−x/2 nếu x ≥ 0 0 nếu khác
26 Đáp án. 0.4335 Bài 3.8. Cho fX(x) = r 2 π − x 2 với − r 2 π ≤ x ≤ r 2 π Tính P (X < 0). Đáp án. 0.5
Hướng dẫn. Bài này không cần phải tính tích phân.
Bài 3.9. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
f (x) = ( a exp −x2 khi x ≥ 0 0 nơi khác Xác định: (a) Hằng số a. (b) Hàm phân phối xác suất F (x)
(c) Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
(d) Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = (X/2) − 1.
Đáp án. (a) 1/2 (b) F (x) = (
1 − e−x2 x ≥ 0
0 nơi khác (c) 1/2, 7/4 (d) −3/4, 7/16
Bài 3.10. Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ sau
fX(x) = ( c(1 − x2) nếu − 1 ≤ x ≤ 1 0 nếu |x| > 1 với c là một hằng số dương. Tìm (a) hằng số c (b) trung bình của X (c) phương sai của X (d) hàm phân phối FX(x). Đáp án. (a) 3/4 (b) 0 (c) 1/5 (d) FX(x) = 0 nếu x < −1 −1 4x 3 +3 4x + 1 2 nếu − 1 ≤ x ≤ 1 1 nếu x > 1 Bài 3.11. Cho fX(x) = ( 1/e nếu 0 < x < e 0 nếu khác Tính fY(y) với Y = −2 ln X.
27
Bài 3.12 (*). Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f (x) = 1 2x khi 0 < x < 2 0 nơi khác
Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên sau:
(a) Y = X(2 − X). (b) Z = 4 − X3. (c) T = 3X + 2. Đáp án. (a) FY(y) = 0 y ≤ 0 1 −√1 − y 0 < y < 1 1 y ≥ 1 , fY(y) = FY0(y) = ( 1 2√1−y 0 < y < 1 0 khác (b) FZ(z) = 0 z ≤ −4 1 −1 4( 3 √ 4 − z)2 −4 < z < 4 1 z ≥ 4 , fZ(z) = FZ0(z) = ( 1 6√34−z −4 < z < 4 0 khác (c) FT(t) = 0 t ≤ 2 1 4 t−2 3 2 2 < t < 8 1 t ≥ 8 , fT(t) = FT0(t) = ( 1 18(t − 2) 2 < t < 8 0 khác
Bài 3.13. Tính phương sai của √X nếu
pX(x) = 1/4 nếu x = 0 1/2 nếu x = 1 1/4 nếu x = 4 Đáp án. 1/2.
Bài 3.14. Tính V ar(eX) nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm xác suất được cho như sau
pX(x) = 1/4 nếu x = 0 1/4 nếu x = 1 1/2 nếu x = 4 0 nếu khác Đáp án. 695.7198 Hướng dẫn. Đặt Y = eX. Tính EY , E(Y2). Bài 3.15. Cho fX(x) = ( 4x2e−2x nếu x ≥ 0 0 nếu x < 0 Tính phương sai của X. Đáp án. 3/4
28
Bài 3.16. Tính phân vị mức 25% (tức là giá trị x0.25sao cho P (X < x0.25) = 0.25) của biến
ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau:
fX(x) = ( xe−x2/2 nếu x ≥ 0 0 nếu x < 0 Đáp án. 0.4999 Hướng dẫn. Xét 2 trường hợp x0.25< 0 và x0.25≥ 0.
Bài 3.17. Ta định nghĩa Y = |X|, với X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
fX(x) = 3/4 nếu − 1 ≤ x ≤ 0 1/4 nếu 1 ≤ x ≤ 2 0 nếu khác Tìm phân vị mức 95% của Y . Đáp án. 1.8 Bài 3.18 (*). Cho FX(x) = 0 nếu x < 0 x/2 nếu 0 ≤ x ≤ 1 x/6 + 1/3 nếu 1 < x < 4 1 nếu x ≥ 4
là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X.
(a) Tính hàm mật độ của X.
(b) Tìm phân vị mức 75% của X (tức là tìm x0.75sao cho P (X < x0.75) = 0.75).
(c) Tính kì vọng của X. (d) Tính E(1/X). (e) Ta định nghĩa Y = ( −1 nếu X ≤ 1 1 nếu X > 1 (i) Tìm FY(0).
(ii) Tính phương sai của Y .
Đáp án. (a) fX(x) = 1/2 nếu 0 < x < 1 1/6 nếu 1 < x < 4 0 nếu x < 0 hoặc x > 4 (b) 2.5 (c) 1.5 (d) ∞ (e)-(i) 0.5 -(ii) 1
Bài 3.19 (*). Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X như sau:
fX(x) =
(
6x(1 − x) nếu 0 ≤ x ≤ 1
29 (a) Tính kì vọng của 1/X. (b) Tìm hàm phân phối của X. (c) Ta định nghĩa Y = ( 2 nếu X ≥ 1/4 0 nếu X < 1/4 Tính E(Yk) với k là một số tự nhiên.
(d) Đặt Z = X2. Tìm hàm mật độ của Z.
Đáp án. (a) 3 (c) (27/32)2k
Bài 3.20. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f (x) = 3 4x(2 − x) khi 0 ≤ x ≤ 2 0 nơi khác
(a) Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X. (b) Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X.
(c) Đặt Y =√X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y .
Đáp án. (a) F (x) = 0 x < 0 3 4x 2−1 4x 3 0 ≤ x ≤ 2 1 x > 2 (b) 1; 2; 1 (c) FY(y) = 0 y < 0 3 4y 4−1 4y 6 0 ≤ y ≤√2 1 y >√2 , fY(y) = FY0(y) = ( 3y3−3 2y 5 0 ≤ y ≤√2 0 khác
Bài 3.21. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ f (x) = ( kx2(4 − x) khi 0 ≤ x ≤ 4 0 nơi khác (a) Tìm hằng số k. (b) Tìm F (x). (c) Tìm E (X), Var (X) và M od(X). (d) Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi. Đáp án. (a) 3/64 (b) F (x) = 0 x < 0 1 16x 3− 3 256x 4 0 ≤ x ≤ 4 1 x > 4 (c) 2.4; 0.64; 8/3 (d) 0.0508
Bài 3.22. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f (x) = (
kx2e−2x khi x ≥ 0
30
(a) Tìm hằng số k.
(b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x). (c) Tìm E (X), Var (X) và M od(X).
Đáp án. (a) 4 (c) 3/2; 3/4; 1.
Bài 3.23 (*). Một biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ sau:
fX(x) = ( x ke −x2/2k nếu x > 0 0 nếu khác với k là một hằng số.
(a) Tính trung bình và phương sai của X.
(b) Ảnh hưởng của hằng số k lên hình dạng của hàm fX?
Đáp án. (πk/2)1/2; 2k(1 − π/4)
Bài 3.24. Trong một hộp có 20 viên đá, 10 viên loại basalt và 10 viên loại granite. Năm viên được rút ra ngẫu nhiên và không hoàn lại để thực hiện các phân tích hóa học. Gọi X là số viên loại basalt trong mẫu.
(a) Tìm phân phối xác suất của X.
(b) Tính xác suất mẫu chỉ chứa các viên đá cùng loại.
Đáp án. (b) 0.0326
Bài 3.25. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó:
- thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt - thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt.
(a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X. (b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y .
Đáp án. (a) f (x) = 0.765 khi x = 0 0.22 khi x = 1 0.015 khi x = 2 0 khi x 6= 0, 1, 2 (b) f (y) = 0.596 khi y = 0 0.358 khi y = 1 0.045 khi y = 2 0.001 khi y = 3 0 khi y 6= 0, 1, 2, 3
Bài 3.26. Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại) cho tới khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X. Tính kì vọng và phương sai.
31
Bài 3.27. Một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
fX(x) = ( cxe−x/2 nếu x ≥ 0 0 nếu x < 0 (a) Tìm hằng số c. (b) Tìm hàm phân phối xác suất FX(x). (c) Tìm trung bình của X (d) Tìm độ lệch chuẩn của X. (e) Tìm M ed(X). Đáp án. (a) 1/4 (c) 4 (d)√2 (e) −1.5361
Bài 3.28. Gọi X là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là f (x) = ( cx2(100 − x)2 khi 0 ≤ x ≤ 100 0 khi x < 0 hay x > 100 (a) Xác định hằng số c. (b) Tính kì vọng và phương sai của X.
(c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60
(d) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60, biết rằng người đó hiện nay đã hơn 50 tuổi.
Đáp án. (a) 3/109 (b) 50; 357.143 (c) 0.317 (d) 0.643
Bài 3.29. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong khoảng thời gian t các bộ phận hỏng tương ứng bằng 0.2; 0.3; 0.25. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian t.
(a) Lập bảng phân phối xác suất của X. (b) Viết biểu thức hàm phân phối của X.
(c) Tính P (0 < X ≤ 4) theo hai cách.
Đáp án. (a) X 0 1 2 3 P 0.42 0.425 0.14 0.015
(c) 0.58
Bài 3.30. Một mẫu 4 sản phẩm được rút ra không hoàn lại từ 10 sản phẩm. Biết rằng trong 10 sản phẩm này có 1 thứ phẩm. Tính xác suất thứ phẩm có trong mẫu.
Đáp án. 0.4
32
(a) Các transistor được rút ra lần lượt, ngẫu nhiên và được hoàn lại, cho đến khi lấy được transistor loại B đầu tiên. Tính xác suất 9 hoặc 10 transistor được rút ra.
(b) Số lượng các transistor ít nhất phải rút ra, ngẫu nhiên và được hoàn lại, là bao nhiêu nếu ta muốn xác suất lấy được chỉ loại A nhỏ hơn 1/3?
Đáp án. (a) 0.0217 (b) 3
Bài 3.32. Gọi X là số lần mặt nhất xuất hiện sau ba lần tung một con xúc xắc.
(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Tính xác suất có ít nhất một lần được mặt nhất. (c) Tính xác suất có tối đa hai lần mặt nhất.
(d) Tính EX, V ar(X)
Đáp án. (a) X 0 1 2 3
P 0.579 0.347 0.069 0.005 (b) 0.421 (c) 0.995 (d) 0.5; 0.417
Bài 3.33. Xét trò chơi, tung một con xúc xắc ba lần: nếu cả ba lần được 6 nút thì lĩnh 6 ngàn đ, nếu hai lần 6 nút thì lĩnh 4 ngàn đ, một lần 6 nút thì lĩnh 2 ngàn đ, và nếu không có 6 nút thì không lĩnh gì hết. Mỗi lần chơi phải đóng A ngàn đ. Hỏi :
(a) A là bao nhiêu thì người chơi về lâu về dài huề vốn (gọi là trò chơi công bằng). (b) A là bao nhiêu thì trung bình mỗi lần người chơi mất 1 ngàn đ.
Đáp án. (a) 1000 (b) 2000
Bài 3.34. Một hệ thống an ninh gồm có 10 thành phần hoạt động độc lập lẫn nhau. Hệ thống hoạt động nếu ít nhất 5 thành phần hoạt động. Để kiểm tra hệ thống có hoạt động hay không, người ta kiểm tra định kì 4 thành phần được chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại). Hệ thống được báo cáo là hoạt động nếu ít nhất 3 trong 4 thành phần được kiểm tra hoạt động. Nếu thật sự chỉ có 4 trong 10 thành phần hoạt động, thì xác xuất hệ thống được báo cáo là hoạt động là bao nhiêu?
Đáp án. 0.1191
Bài 3.35. Trong một trò chơi ném phi tiêu, người chơi hướng về một tấm bia lớn có vẽ một vòng tròn có bán kính 25 cm. Gọi X là khoảng cách (theo cm) giữa đầu phi tiêu cắm vào bia và tâm vòng tròn. Giả sử rằng P (X ≤ x) = ( cπx2 nếu 0 ≤ x < 25 1 nếu x ≥ 25 với c là một hằng số nào đó. (a) Tính (i) hằng số c
33
(ii) hàm mật độ, fX(x), của X
(iii) trung bình của X
(iv) xác suất P (X ≤ 10|X ≥ 5).
(b) Người chơi sẽ mất 1 (đơn vị: ngàn đồng) cho mỗi lần phóng và thắng 10 nếu X ≤ r 1 nếu r < X ≤ 2r 0 nếu 2r < X < 25
Với giá trị nào của r thì số tiền trung bình người chơi đạt được bằng 0.25?
Đáp án. (a)-(i) 1
π252 -(iii) 50/3 -(iv) 1/8 (b) 7.7522
Bài 3.36. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau
X 0 1 2 3 4 5 6 7 P 0 a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2+ a (a) Xác định a (b) Tính P (X ≥ 5), P (X < 3). (c) Tính k nhỏ nhất sao cho P (X ≤ k) ≥ 1 2 Đáp án. (a) 1/10 (b) 0.2; 0.3 (c) 3
Bài 3.37. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng (a) f (x) = ( Ax khi x ∈ [0, 1] 0 khi x /∈ [0, 1] (b) f (x) = ( A sin x khi x ∈ [0, π] 0 khi x /∈ [0, π] (c) f (x) = ( A cos πx khi x ∈ [0,12] 0 khi x /∈ [0,1 2] (d) f (x) = ( A x4 khi x ≥ 1 0 khi x < 1
34
Đáp án. (a) 2; 2/3; 0.055 (b) 0.5; π/2; π2/4 − 2 (c) π; 1/2 − 1/π; (π − 3)/π2 (d) 3; 3/2; 3/4
Bài 3.38. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
F (x) = 0 khi x < −π2 a + b sin x khi −π2 ≤ x ≤ π 2 1 khi x > π2 với a, b là hằng số. (a) Tìm a và b.
(b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f (x) của X và M od(X), M ed(X), P (X > π4)
Đáp án. (a) a = 1/2; b = 1/2.
Bài 3.39. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương ứng là
X −1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.3 0.2
Y −1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
Tìm phân phối xác suất của X2, X + Y . Tính kì vọng, phương sai của X, X + Y .
Bài 3.40 (*). Một mẫu gồm 4 biến ngẫu nhiên X1, X2, X3, X4 độc lập với nhau từng đôi
một. Mỗi biến ngẫu nhiên Xi, i = 1, . . . , 4 có hàm mật độ như sau:
f (x) = (
2x khi 0 < x < 1 0 nơi khác
Đặt Y = max{X1, X2, X3, X4} và Z = min{X1, X2, X3, X4}. Tìm hàm mật độ của Y và Z.
Hướng dẫn. Chú ý rằng
• max{x, y} < z ⇔ x < z và y < z
• min{x, y} < z ⇔ x < z hoặc y < z.
Bài 3.41 (*). Cho FX là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Y = ( X |X| nếu X 6= 0 1 nếu X = 0 Hướng dẫn. Chú ý rằng x/|x| = ( −1 nếu x < 0 1 nếu x > 0 .
Bài 3.42 (*). Tìm hàm phân phối của 1
35
Bài 3.43 (*). Giả sử X có hàm phân phối liên tục F (x). Xác định hàm phân phối của Y = F (X).
Đáp án. Y ∼ U (0, 1)
Bài 3.44 (*). Giả sử F (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên dương liên tục X, có tính chất
P (X < t + x|X > t) = P (X < x) với x, t > 0
Chương 4
Một số phân phối xác suất thông
dụng
4.1
Phân phối Bernoulli, nhị thức
Bài 4.1. Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Đáp án. 0.282
Hướng dẫn. Gọi X là số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong 10 sản phẩm lấy ra. Ta có, X ∼ B(10,2000
8000) = B(10, 0.25)
Bài 4.2. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có một trường hợp phản ứng trên 1000 trường hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để
(a) có 3 trường hợp phản ứng,
(b) có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng, (c) có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng.
Đáp án. (a) 0.18 (b) 0.86 (c) 0.14
Bài 4.3. Giả sử tỷ lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng 1
2. Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để 4 đứa con đó gồm
(a) 2 trai và 2 gái. (b) 1 trai và 3 gái.
(c) 4 trai.
Đáp án. (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.0625
