T´opicos de An´alise Funcional

(1)

T´ opicos de An´ alise Funcional

Curso ministrado pelo Prof. Dr. Paulo D. Cordaro Notas de aula de Pedro H. Pontes

10 de setembro de 2020

(2)

Introdu¸ c˜ ao

Estas são simples notas de aula da disciplina de pós-gradua¸cão do IME-USP

“T´opicos em An´alise Funcional (MAP5834)”, tomadas por mim no primeiro semestre de 2011, quando esse curso foi ministrado pelo prof. Dr. Paulo D.

Cordaro, e que tive a oportunidade de digitalizar, com o apoio do professor Cordaro. A ementa do curso foi elaborada pelo pr´oprio professor Cordaro, mas no final foi estudado nessa disciplina muito mais do que o que fora programado originalmente.

Acho só importante destacar que estas são notas de aula, não um livro completo de Análise Funcional. Apesar dos meus esfor¸cos para copiar da melhor forma poss´ıvel as excepcionais aulas do professor, pode ser que nem tudo tenha ficado escrito da melhor forma poss´ıvel, e podem persistir alguns erros. No entanto, há a inten¸cão de expandir e melhorar estas notas de aula.

Assim sendo, eu agradeceria profundamente o envio de quaisquer corre¸c˜oes de erros ou sugest˜oes para o meu e-mail: [email protected].

Pedro Henrique Pontes

(3)

Sum´ ario

1 Revis˜ao 4

1.1 Espa¸cos Vetoriais . . . 4

1.2 Somas infinitas . . . 7

1.3 Os 5 teoremas fundamentais dos espa¸cos normados . . . 9

2 Espa¸cos com produto interno 11 2.1 Adjuntos . . . 15

2.2 Bases hilbertianas . . . 16

3 Operadores Compactos 23 3.1 Preliminares para o Teorema Espectral . . . 27

3.2 O Teorema Espectral para operadores compactos hermitianos 29 3.3 Consequˆencias do Teorema Espectral . . . 33

3.4 Aplica¸c˜ao . . . 37

3.5 A Alternativa de Fredholm . . . 40

3.6 Teoria de Riesz-Schauder . . . 40

4 Produto tensorial de espa¸cos de Hilbert 43 5 Fun¸c˜oes holomorfas a valores em espa¸cos de Banach 51 6 Algebras de Banach´ 55 6.1 Algebras de Banach comutativas . . . .´ 63

6.2 Aplica¸c˜oes . . . 67

7 Topologia fraca 69 7.1 Nets . . . 69

7.2 Topologia inicial . . . 70

7.3 Topologia fraca no dual de um espa¸co de Banach . . . 71

8 Algebras de Banach comutativas´ 73 8.1 A transformada de Gelfand . . . 74

8.2 Aplica¸c˜oes . . . 76

8.3 Algebras com involu¸c˜´ ao . . . 80

8.4 Aplica¸c˜ao . . . 83

9 Teorema da Aplica¸cão Espectral 84 9.1 De volta às álgebras com involu¸cão . . . 87

(4)

10 Teorema Espectral para operadores normais 91

10.1 Resolu¸c˜oes da identidade . . . 93

10.2 Medidas complexas . . . 95

10.3 Preliminares para o Teorema espectral . . . 97

10.4 O Teorema Espectral para operadores normais . . . 102

11 Aplica¸cões 107 11.1 O cálculo simbólico . . . 107

11.2 O problema do subespa¸co invariante . . . 108

11.3 Operadores normais . . . 109

11.4 De volta aos operadores compactos . . . 111

11.5 Operadores positivos e a representa¸c˜ao polar . . . 112

A Exerc´ıcios 116 A.1 Lista 1 . . . 116

A.2 Lista 2 . . . 119

A.3 Lista 3 . . . 122

(5)

1 Revis˜ ao

1.1 Espa¸ cos Vetoriais

• Normas → distˆancia → topologia

• Sequˆencias convergentes, sequˆencias de Cauchy.

• Espa¸cos normados completos: (E,k · k) em que toda sequˆencia de Cau- chy ´e convergente: espa¸cos de Banach.

Exemplos. C^N; C(K), em queK ´e um espa¸co topol´ogico compacto:

C(K) .

={f :K →C : f ´e cont´ınua}

com a norma kfk∞ .

= sup{|f(x)| : x∈K}.

Para 1≤p < n, l_p(N) .

= (

(z_n)n∈N : z_n∈C e

+∞

X

n=1

|z_n|^p <∞ )

. com a norma

k(z_n)n∈Nk .

=

+∞

X

n=1

|z_n|^p

!1/p

. Tamb´em

l∞(N) .

=

(zn)n∈N : zn∈C e sup

n∈N

|zn|<∞

com a norma

k(z_n)n∈Nk .

= sup

n∈N

|z_n|.

Temos

c₀(N) .

=

(z_n)_n, z_n∈C : lim

n→+∞|z_n|= 0

. Logo c₀(N)⊆l∞(N), com a mesma norma.

L^p(X,B, µ), 1 ≤p≤ ∞.

Dados a, b ∈ R, a < b, m ≥ 0, C^m([a, b]) é o conjunto das fun¸cões f : [a, b] → C tais que todas as derivadas de ordem menor ou igual a m existem e são cont´ınuas em [a, b]. Isto é, f|_[a,b] é diferenciável m vezes, e essas derivadas podem ser estendidas continuamente a [a, b]. Com a norma

kfk .

=

m

X

j=0

sup

x∈[a,b]

|f^(j)(x)|,

(6)

o espa¸co C^m([a, b]) ´e um espa¸co de Banach.

Exemplo de espa¸co que não é Banach, mas é importante: C_L²([a, b]) = (C([a, b]),k · k₂), em que

kfk₂ .

= Z b

a

|f(x)|²dx ^1/2

.

Sejam E, F espa¸cos normados, f :E →F linear. S˜ao equivalentes:

1. f ´e cont´ınua em E;

2. f ´e cont´ınua em 0;

3. vale

sup

kxk≤1

kf(x)k<∞; e 4. existe C >0 tal que

kf(x)k ≤Ckxk para todox∈E.

Denotamos

L(E, F) .

={f :E →F : f ´e linear e cont´ınua}.

Se f ∈L(E, F), temos uma norma kfk .

= sup{kf(x)k : kxk ≤1}.

Tamb´em vale

kfk= inf{C : kf(x)k ≤Ckxk para todox∈E}.

Assim L(E, F) se torna um espa¸co normado.

Com essa norma, L(E, F) é de Banach desde queF seja de Banach. Em particular, se E é normado,L(E,C) é um espa¸co de Banach.

Nota¸c˜ao. E⁰ .

=L(E,C).

E espa¸co vetorial,k · k1, k · k2 normas sobreE. Dizemos que essas normas s˜ao equivalentes se existemc >0, C >0 tais que

ckxk₁ ≤ kxk₂ ≤Ckxk₁ para todo x∈E.

Teorema 1.1. Se E tem dimens˜ao finita, duas normas quaisquer sobre E s˜ao equivalentes.

(7)

Defini¸c˜ao. E espa¸co normado, F subespa¸co fechado. Se x ∈ E, dizemos que x´e “ortogonal” a F se

d(x, F) =kxk.

Teorema 1.2 (Riesz, existˆencia de vetores quase ortogonais). Dados E espa¸co normado, F ( E subespa¸co fechado, e ε > 0, existe xε ∈ E com kx_εk= 1 com d(x_ε, F)>1−ε.

Demonstra¸c˜ao. Existe x∈E, x /∈F. d(x, F) .

= inf

y∈Fkx−yk;

temos d(x, F) >0 pois x /∈F e F ´e fechado. Seja ε >0. Existe y₀ ∈ F tal que

kx−y0k< d(x, F)(1 +ε).

Defina

xε .

= x−y₀ kx−y₀k.

Temos kx−y0k>0 pois x /∈F ey0 ∈F. kxεk= 1. Sejay ∈F. kx_ε−yk=

x−y₀ kx−y0k−y

= 1

kx−y0kkx−y₀− kx−y₀kyk

≥ 1

kx−y₀kd(x, F)> 1

d(x, F)(1 +ε)d(x, F)

> 1

1 +ε >1−ε.

Logo d(xε, F)≥1−ε.

Corolário 1.3. Se E é um espa¸co normado de dimensão infinita, então S .

={x∈E : kxk ≤1} n˜ao ´e compacto.

Demonstra¸cão. Vamos construir uma sequência{x_n}n∈Nem E, por indu¸cão, satisfazendo as seguintes propriedades:

1. kx_nk= 1 para todon ∈N; e 2. se n6=m, ent˜aokx_n−x_mk ≥1/2.

Isso implica a tese, pois {x_n}_n não poderá ter subsequência convergente.

Tomo x₁ ∈ E com kx₁k = 1. Suponha j´a contru´ıdos x₁, . . . , x_n com kx_ik= 1 para todo i≤n, e kx_j−x_kk ≥1/2 se j, k≤n, j 6=k. Tome

F_n .

= [x₁, . . . , x_n]

(8)

Como então F_n tem dimensão finita, F_n é completo, logo F_n é fechado em E. Como E tem dimensão infinita, temos F_n (E. Logo, pelo Teorema 1.2, existe x_n+1 ∈ E tal que kx_n+1k= 1 e d(x_n, F_n) ≥1/2, o que bastas, pois se j < n+ 1, temos x_j ∈F_n.

1.2 Somas infinitas

Defini¸cão. SeE é um espa¸co normado, e (x_i)i∈I é uma fam´ılia de elementos de E, dizemos que (xi)i∈I é somável com soma x∈E se: dadoε >0, existe F_ε⊆I finito tal que, para todo F ⊆I finito com F_ε ⊆F, tem-se

X

i∈F

xi−x

< ε.

Nota¸c˜ao.

X

i∈I

x_i =x.

Observa¸c˜oes. 1) SeP

i∈Ix_i =x,P

i∈Iy_i =yeλ∈C, ent˜aoP

i∈I(x_i+λy_i) = x+λy.

2) Se (x_i)i∈I ´e uma fam´ılia em E, P

i∈Ix_i = x e f ∈ L(E, F), ent˜ao P

i∈If(x_i) =f(x).

Defini¸cão. A fam´ılia (x_i)i∈I de elementos deE satisfaz o Critério de Cauchy (para somabilidade) se: dado ε >0, existe G_ε ⊆I finito tal que, se G⊆I é finito e disjunto de G_ε, então

X

i∈G

xi

< ε.

Proposi¸cão 1.4. Se (x_i)i∈I é somável, então (x_i)i∈I satisfaz o Critério de Cauchy.

Demonstra¸c˜ao. Temos P

i∈Ix_i =x. Seja ε >0. Existe F_ε ⊆I finito tal que se F ⊆I ´e finito,F_ε ⊆F, ent˜ao

X

i∈I

x_i−x

< ε 2.

(9)

SejaG⊆I finito disjunto de F_ε. Ent˜ao

X

i∈G

x_i

=

X

i∈G∪F_ε

x_i−X

i∈F_ε

x_i

=

X

i∈G∪Fε

xi−x

!

− X

i∈Fε

xi−x

!

≤

X

i∈G∪Fε

x_i−x

+

X

i∈Fε

x_i−x

< ε.

Observa¸cão. Se (x_i)_i∈I satisfaz o Critério de Cauchy, então {i∈I : x_i 6= 0}

´

e no m´aximo enumer´avel. De fato, se

I_n={i∈I : kx_ik ≥1/n}, ent˜ao {i∈ I : x_i 6= 0} =S

n≥1I_n. Logo basta mostrar que cada I_n ´e finito.

Dado n∈ N, existe G_n ⊆I finito tal que se i /∈G_n, ent˜aokx_ik<1/n. Logo I_n ⊆G_n ´e finito.

Teorema 1.5. E espa¸co de Banach,(x_i)i∈I fam´ılia emE. Se(x_i)i∈I satisfaz o Critério de Cauchy (para somabilidade), então (x_i)i∈I é somável.

Demonstra¸c˜ao. Defina In .

= {i ∈ I : kxik ≥ 1/n}, n ∈ N. Vimos que cada I_n ´e finito. Seja I^∗ .

= {i ∈ I : x_i 6= 0}; I^∗ =S∞

n=1I_n. Para cada n, defina y_n .

=P

i∈Inx_i.

{yn}n é uma sequência de Cauchy em E: seja ε > 0. Existe Fε ⊆ I^∗ finito tal que, se F ⊆ I^∗ finito e F ∩F_ε = ∅, então kP

i∈F x_ik < ε. Como F_ε ´e finito, existe n₀ ∈ N tal que F_ε ⊆ I_n₀. Logo, se m > n ≥ n₀, temos Fε ⊆In0 ⊆ In ⊆Im, portanto (Im\In)∩Fε =∅, donde kP

i∈I_m\I_nxik< ε, mas

kym−ynk=

X

i∈Im\In

xi

< ε.

Portanto (y_n)_n ´e de Cauchy.

ComoE ´e completo, existe x∈E tal que yn→x.

P

i∈Ix_i = x: seja ε > 0. Existe n₀ ∈ N tal que se m ≥ n₀ ent˜ao ky_m−xk< ε/2.

Existe Gε ⊆ I^∗ finito tal que se G ⊆ I^∗ finito e G∩ Gε = ∅, ent˜ao kP

i∈Gx_ik< ε/2.

(10)

Existem₀ ∈Ntal queG_ε ⊆I_m₀, em₀ ≥n₀. Seja F ⊆I^∗ finito,I_m₀ ⊆F. Ent˜ao

X

i∈F

xi−x

=

X

i∈Im0

xi−x+ X

i∈F\Im0

≤ ky_m₀ −xk+

X

i∈F\I_m₀

x_i

< ε,

pois como G_ε⊆I_m₀, temos (F \I_m₀)∩G_ε=∅.

Defini¸cão. E normado, (x_i)_i∈I fam´ıilia em E. Dizemos que (x_i)_i∈I é absolutamente somável se a fam´ılia (kx_ik)i∈I for somável em R.

Corolário 1.6. Se E é um espa¸co de Banach e (xi)i∈I é uma fam´ılia em E, (x_i)i∈I absolutamente somável implica ser (x_i)i∈I somável.

Demonstra¸cão. Basta mostrar que (x_i)i∈I satisfaz o Critério de Cauchy. Seja ε > 0. Então existe Fε ⊆ I finito tal que, se F ⊆ I é finito e F ∩Fε = ∅, então P

i∈F kx_ik< ε. Logo

X

i∈F

x_i

≤X

i∈F

kx_ik< ε.

1.3 Os 5 teoremas fundamentais dos espa¸ cos normados

Teorema 1.7 (Hahn-Banach). E espa¸co normado,F ⊆E subespa¸co, f ∈F⁰ (isto ´e, f : F → C ´e linear e cont´ınua). Existe f˜: E → C linear cont´ınua tal que f|˜_F =f e kfk˜ =kfk.

Teorema 1.8 (Princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme). Seja E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e B ⊆ L(E, F). Se, para cada x ∈ E, o conjunto {f(x) : f ∈ B} é limitado em F, então B é limitado em L(E, F).

Teorema 1.9 (Banach-Steinhaus). Sejam E espa¸co de Banach e F espa¸co normado. Seja {f_n}n∈N sequˆencia em L(E, F). Se para cada x ∈ E existe limn→+∞fn(x), definindo

f(x) .

= lim

n→+∞f_n(x) para cada x∈E, ent˜ao f ∈L(E, F) e kfk ≤lim infn∈Nkf_nk.

(11)

Teorema 1.10 (da Aplica¸cão Aberta). Sejam E, F espa¸cos de Banach e f ∈ L(E, F). Então ou f(E) é um conjunto magro em F, ou f(E) = F. Além disso, se f(E) = F então f é uma aplica¸cão aberta.

Observa¸cão. SeGé um espa¸co métrico, entãoA⊆GémagroseA=S

n∈NAn

sendo que, para cadan,A_n⊆G´e fechado com interior vazio. (Em particular, G\A=T

nO_n com O_n abertos densos. Assim seG for completo, segue que G\A ´e denso.)

Corolário 1.11. E, F de Banach. Se f ∈ L(E, F) é bijetora, então f⁻¹ ∈ L(F, E).

Observa¸cão. SejaE espa¸co vetorial sobreC,k · k₁ ek · k₂ normas sobreE tais que (E,k · k₁) e (E,k · k₂) sejam espa¸cos de Banach. Suponha também que exista c >0 tal quekxk₁ ≤ckxk₂. Entãok · k₁ ek · k₂ são equivalentes. (Pois então Id : (E,k · k₂) → (E,k · k₁) é cont´ınua, logo sua inversa é cont´ınua, pelo Corolário 1.11.)

Exemplo. Seja C([0,1]) com kfk∞ = sup

x∈[0,1]

|f(x)|, e kfk₂ .

= Z 1

0

|f(x)|²dx ^1/2

, f ∈E.

Note que

kfk2 ≤ kfk∞ para todof ∈E

mas as normas não são equivalentes (pois (C([0,1]),k · k_∞) é completo, mas o completamento de (C([0,1]),k · k₂) éL²([0,1])).

Defini¸cão. A, B conjuntos não-vazios, λ : A → B. O gráfico de λ é o conjunto

G_λ .

={(a, λ(a))∈A×B : a∈A}.

Se A, B forem espa¸cos métricos e λ é cont´ınua, então Gλ é fechado em A×B (pois ele é sequencialmente fechado).

E, F espa¸cos normados. Ent˜aoE×F ´e normado, com norma k(x, y)k .

=kxk+kyk, x∈E, y ∈F.

Teorema 1.12 (do Gráfico Fechado). E, F espa¸cos de Banach, f :E →F transforma¸cão linear. Se G_f for fechado em E×F, então f ∈L(E, F).

Observa¸cão. G_f é fechado ⇐⇒ para todo x_n ∈ E, se (x_n, f(x_n))→ (x, y), então y = f(x) ⇐⇒ para todo x_n ∈ E, se x_n → x e f(x_n) → y então y =f(x) ⇐⇒ para todox_n ∈E, se x_n →0 e f(x_n)→y, então y= 0.

(12)

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.12. Vamos considerar, em E, as normas k · k e k|xk| .

= kxk+kf(x)k, x ∈ E. Temos dois espa¸cos: (E,k · k) Banach e (E,k| · k|) normado. Note que

kxk ≤ k|xk|, para todox∈E.

Se mostrarmos que existe c >0 tal que

k|xk| ≤ckxk para todox∈E,

ter´ıamos em particular kf(x)k ≤ ckxk e assim f seria cont´ınua. Pela Ob- serva¸c˜ao anterior, basta mostrar que (E,k| · k|) ´e completo.

Seja (x_n)n∈Nsequência de Cauchy em (E,k|·k|). Pela fórmula dek|·k|, isso implica que (x_n)_né sequência de Cauchy em (E,k · k), e (f(x_n))_né sequência de Cauchy em (F,k · k) (pois kxk ≤ k|xk| e kf(x)k ≤ k|xk|). Como esses espa¸cos são completos, existem x∈E,y ∈F tais que x_n→X e f(x_n)→y.

Como G_f ´e fechado, temos y=f(x). Logo

k|x_n−xk|=kx_n−xk+kf(x_n−x)k

=kx_n−xk+kf(x_n)−f(x)k →0.

Logo (x_n)_n´e convergente em (E,k| · k|).

Exemplo. T : L²([0,1]) → L²([0,1]) cont´ınua. Suponha que T(L²[0,1]) ⊆ C([0,1]) (C([0,1]) com a norma do sup). Logo temos

T₀ :L²[0,1]→C([0,1]) u7→T u.

T₀é cont´ınua? De fato, pelo Teorema do Gráfico Fechado, basta mostrar que seun →uem L²[0,1] e T0un →v emC([0,1]), entãov =T0u. MasT un→v em C([0,1]) implicaT u_n →v em L²[0,1]. Como T :L²([0,1]) →L²([0,1]) é cont´ınua, segue que T u=v, logo T₀ é cont´ınua.

2 Espa¸ cos com produto interno

H espa¸co pr´e-hilbertiano. h,i:H×H →C,kxk .

=hx, xi^1/2norma. |hx, yi| ≤ kxkkyk (Cauchy-Schwarz). Valem:

• Lei do paralelogramo:

kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²), para todosx, y ∈H.

(13)

• F´ormula de polariza¸c˜ao:

hx, yi= 1

4 kx+yk²− kx−yk²+ikx+iyk²−ikx−iyk² . Teorema 2.1. H espa¸co pré-hilbertiano, A ⊆ H conjunto convexo e completo. Então existe um único a^∗ ∈A tal que

ka^∗k ≤ kak para todo a ∈A.

Demonstra¸c˜ao. Seja δ .

= d(0, A), e suponha δ > 0 (A é fechado). Então existe {a_n}_n∈_N sequência emA tal que ka_nk →δ. Provemos que {a_n}_n é de Cauchy:

ka_m−a_nk² = 2ka_mk²+ 2ka_nk²− ka_n+a_mk², (1) pela Lei do Paralelogramo. Temos (a_m+a_n)/2∈A pois A´e convexo. Logo k(a_m+a_n)/2k ≥δ, e assim ka_m+a_nk² ≥4δ². De (1) temos

ka_m−a_nk² ≤2ka_mk²+ 2ka_nk²−4δ² →0

pois a_n → δ. Como A ´e completo, existe a^∗ ∈ A tal que a_n → a^∗, e assim ka^∗k= limka_nk=δ.

Unicidade: sea₁, a₂ ∈As˜ao tais que ka₁k=ka₂k=δ temos, pela Lei do Paralelogramo,

ka₁−a₂k² = 2ka₁k²+ 2ka₂k²− ka₁+a₂k² ≤2δ²+ 2δ²−4δ² = 0, isto ´e,a₁ =a₂.

Nota¸c˜ao. x⊥y se, e somente se hx, yi= 0. Se A⊆H, temos A^⊥ .

={x∈H : x⊥y, ∀y∈A}.

Note que A^⊥ ´e sempre fechado.

Exerc´ıcio. Vale [A]⊆(A^⊥)^⊥.

Tamb´em vale quex⊥y implica kx+yk² =kxk²+kyk² (Pit´agoras).

Lema 2.2. Seja H pr´e-hilbertiano, F ⊆ H subespa¸co, z ∈ H. S˜ao equivalentes:

a) kzk=d(z, F); (⇐⇒ kzk ≤ kz−yk para todo y∈F) b) z ∈F^⊥.

(14)

Demonstra¸c˜ao. a) ⇒ b): Suponha que z /∈F^⊥. Ent˜ao existe x∈ F tal que hz, xi 6= 0, e posso assumir kxk= 1.

kzk² =kz− hx, zix+hx, zixk² =kz− hx, zixk²+khx, zixk²

=kz− hx, zixk²+|hx, zi|² >kzk² absurdo.

b)⇒ a): Se z ∈F^⊥, ent˜ao dado y∈F,

kz−yk² =kzk²+kyk² ≥ kzk².

Teorema 2.3. H pr´e-hilbertiano, F ⊆H subespa¸co completo. Dado x∈H, existe um ´unico x_F ∈ F tal que x−x_F ⊥ F (ou seja, pelo Lema 2.2, ⇐⇒

kx−x_Fk=d(x−x_F, F) = d(x, F)).

Demonstra¸c˜ao. Dado x∈H, tomo A .

=x−F ={x−y : y∈F}.

Pelo Teorema 2.1, existe xF ∈F tal que

kx−x_Fk ≤ kx−yk para todo y∈F, e x_F ´e ´unico. Logo kx−x_Fk=d(x, F).

Digress˜ao. Esse teorema fornece uma aplica¸c˜ao pF :H →H dada por p_F(x) =x_F.

A fun¸cão p_F está bem definida (pois o x_F é único), p_F(x) = x para todo x∈F, e Imp_F =F. Além disso, é fácil ver que p_F é linear.

SeF ={0}, ent˜aop_F = 0.

SeF 6={0}, ent˜aokp_Fk= 1 (em particular, p_F ∈L(H)). De fato, kxk² =kx−x_F +x_Fk² =kx−x_Fk²+kx_Fk² ≥ kx_Fk² =kp_F(x)k², logo kp_Fk ≤1. Seja x₀ ∈ F com kx₀k= 1. Logo p_F(x₀) =x₀, e kp_F(x₀)k= kx₀k = 1, e assim kp_Fk = sup{kp_F(x)k : kxk = 1} ≥ kp_F(x₀)k = 1.

Portanto de fato kp_Fk= 1.

Note tamb´em que p²_F =p_F.

Observa¸cão. Se H é pré-hilbertiano, dado y ∈ H, podemos considerar λ : H →C dada por

λ(x) .

=hx, yi.

(15)

Ent˜ao λ∈H⁰ e kλk=kyk. De fato,

|λ(x)|=|hx, yi| ≤ kxkkyk para todo x∈H.

Logo λ ∈H⁰ ekλk ≤ kyk. Se y= 0, temos λ= 0. Sey 6= 0,

λ

y kyk

=

y kyk, y

=kyk.

Como ky/kykk= 1, segue que kλk=kyk.

Teorema 2.4 (Riesz). Seja H um espa¸co de Hilbert. Dado f ∈ H⁰, existe um ´unico y ∈H tal que

f(x) = hx, yi para todo x∈H e, pelo que vimos acima, kfk=kyk.

Demonstra¸c˜ao. Se f = 0, tomamos y = 0. Suponha f 6= 0. Seja F .

= kerf.

Como f é cont´ınua, F é fechado, e como H é de Hilbert, segue que F é completo. Seja b₀ ∈F^⊥ (comof 6= 0,F (H, e assim o Teorema 2.3 implica que existe tal b₀; tomo x∈H\F, e b₀ .

=x−x_F).

Se definirmos

b .

= 1

f(b₀)b0

(f(b₀)6= 0 pois b₀ ∈/F), temos f(b) = 1, e b∈F^⊥. Note que x=f(x)b+ x−f(x)b

, com f(x)b∈F^⊥ e x−f(x)b∈F. Logo

hx, bi=hf(x)b, bi=f(x)kbk². Ent˜ao

f(x) =

x, b kbk²

, para todo x∈H.

Assim se H ´e de Hilbert, a aplica¸c˜ao H →H⁰

y7→ h·, yi

´

e bijetora, preserva a norma, e ´e antilinear (αy 7→αh·, yi).

(16)

2.1 Adjuntos

H espa¸co de Hilbert, A∈L(H).

Teorema 2.5. Existe um ´unico A^∗ ∈L(H) com kAk=kA^∗k e tal que hAx, yi=hx, A^∗yi, para todos x, y ∈H.

Ainda mais, (A^∗)^∗ =A.

Demonstra¸c˜ao. Fixado y∈H, considere o funcional λ_y :H→C

x7→ hAx, yi.

Obviamente λ_y ´e linear e se x∈H,

|λ_y(x)|=|hAx, yi| ≤ kAxk.kyk ≤ kAk.kxk.kyk.

Portanto λ_y ´e cont´ınuo e kλ_yk ≤ kAkkyk. Pelo Teorema de Riesz, existe z_y ∈H com kz_yk=kλ_yke λ_y(x) =hx, z_yi para todo x∈H.

Assim, obtivemos uma aplica¸c˜aoy7→z_y, isto ´eA^∗ :H→H dada por A^∗(y) = z_y.

E f´´ acil ver que A^∗ ´e linear. Tamb´em,

kA^∗yk=kz_yk=kλ_yk ≤ kAkkyk, para todoy ∈H.

Logo A^∗ ´e cont´ınua, ekA^∗k ≤ kAk. Agora,

hAx, yi=λ_y(x) =hx, z_yi=hx, A^∗yi, para todosx, y ∈H.

Tamb´em,

kAxk² =| hAx, Axi |=| hx, A^∗Axi | ≤ kxk.kA^∗Axk

≤ kxk.kA^∗k.kAxk

logo kAxk ≤ kA^∗k.kxk para todo x ∈ H. Portanto kAk ≤ kA^∗k e assim kAk=kA^∗k.

Note que A^∗ é único pela unicidade do Teorema de Riesz. (Ou também

´

e f´acil provar diretamente que, se hx, A1yi = hx, A2yi para todos x, y ∈ H, ent˜ao A₁ =A₂.)

Finalmente, sex, y ∈H,

hAx, yi=hx, A^∗yi=hA^∗y, xi=hy,(A^∗)^∗xi

=h(A^∗)^∗x, yi logo (A^∗)^∗ =A.

(17)

Defini¸cão. H Hilbert, A ∈L(H). Dizemos qeu Aéauto-adjunto ouhermi- tiano se A=A^∗. Isto é, se

hAx, yi=hx, Ayi para todosx, y ∈H.

Podemos estender essa defini¸c˜ao para espa¸cos pr´e-hilbertianos:

Defini¸cão. H pré-hilbertiano,A ∈L(H). Dizemos queAéauto-adjunto ou hermitiano se

hAx, yi=hx, Ayi para todosx, y ∈H.

Exemplo. H pré-hilbertiano, F ⊆ H subespa¸co completo. Considere p = pF ∈ L(H) a proje¸cão ortogonal sobre F. Então p é auto-adjunto. De fato, se x ∈ H, temos p(x) = x_F ∈ F com x−x_F ∈ F^⊥. Mais, se y ∈ H, temos y−y_F ∈F^⊥ logo x−x_F ⊥y_F e y−y_F ⊥y_F. Dessa forma,

hx, y_Fi − hx_F, y_Fi=hx−x_F, y_Fi= 0 e

hx_F, yi − hx_F, y_Fi=hx_F, y−y_Fi= 0.

Portanto

hp(x), yi=hx_F, yi=hx_F, y_Fi=hx, y_Fi=hx, p(y)i.

2.2 Bases hilbertianas

H espa¸co pr´e-hilbertiano fixado. Uma fam´ılia {e_α : α ∈ A} ⊆ H ´e dita ortonormal (o.n.) se

ke_αk= 1 para todoα ∈A e

he_α, e_βi= 0 para todos α, β ∈A distintos.

Sex∈H, o n´umero complexo xα .

=hx, eαi, α∈A é chamado o α-ésimo coeficiente de Fourier de x com rela¸cão a {e_α : α∈A}.

Exemplo. S¹ ⊆ C o c´ırculo unit´ario. Escrevemos S¹ ={e^iθ : 0≤ θ ≤ 2π}.

Dizemos que θ ´e a vari´avel emS¹. O espa¸co C_L²(S¹) .

={f :S¹ →C cont´ınua}

com o produto interno

hf, gi .

= Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ) dθ

(18)

´

e um espa¸co pr´e-hilbertiano.

Seja{e_n : n∈Z} ⊆C_L²(S¹) com e_n .

= 1

√2πp_n S¹

, em que p_n(z) .

=zⁿ. O conjunto {e_n : n ∈Z}´e ortonormal: sem, n∈Z,

hen, emi= Z 2π

0

e^inθe^−imθdθ =δm,n =

(1, sem =n 0, sem 6=n.

Desigualdade de Bessel. Para todo x∈H, vale X

α∈A

|x_α|² ≤ kxk². Mais ainda, vale P

α∈A|xα|² =kxk² se, e somente se x=X

α∈A

x_αe_α. Demonstra¸c˜ao. Seja B ⊆A finito. Temos

0≤

x−X

α∈B

x_αe_α

2

≤ kxk²−

* x,X

α∈B

x_αe_α +

−

* X

α∈B

x_αe_α, x +

+

* X

α∈B

x_αe_α,X

β∈B

x_βe_β +

≤ kxk²−X

α∈B

x_αhx, e_αi −X

α∈B

x_αhe_α, xi+ X

α,β∈B

x_αx_βhe_α, e_βi

≤ kxk²−X

α∈B

|x_α|². Logo

X

α∈B

|xα|² ≤ kxk² para todoB ⊆A finito.

Tomando o supremo sobre B (exerc´ıcio 1 da Lista 1), segue a desigualdade desejada.

Sex=P

α∈Axαeα, temos kxk² =

* X

α∈A

x_αe_α,X

β∈A

x_βe_β +

= X

α,β∈A

x_αx_βhe_α, e_βi

=X

α∈A

|x_α|²,

(19)

em que usamos a continuidade do produto interno e propriedades j´a vistas da soma infinita.

Sekxk² =P

α∈A|x_α|², dado B ⊆A finito, temos

x−X

α∈B

xαeα

2

=kxk²−X

α∈B

|xα|² (2)

pelas contas feitas anteriormente. Seja ε > 0. Como P

α∈A|xα|² = kxk² existe B_ε ⊆A finito tal que seB ⊆A ´e finito e B_ε⊆B, ent˜ao

kxk²−X

α∈B

|x_α|² ≤ε.

Assim segue de (2) que

seB_ε ⊆B ⊆A com B finito, ent˜ao

x−X

α∈B

x_αe_α

≤ε, isto ´e,x=P

α∈Ax_αe_α.

Teorema 2.6 (da Melhor Aproxima¸c˜ao). H pr´e-hilbertiano, {e_α : α ∈ A}

ortonormal em H. Dadox∈H, para todo B ⊆A finito, para todos λ_β ∈C, β ∈B, temos

x−X

α∈B

x_αe_α

≤

x−X

β∈B

λ_βe_β . Demonstra¸c˜ao. Note que

x−X

α∈B

x_αe_α

!

⊥e_β para todoβ ∈B, logo x −P

α∈Bxαeα é ortonormal ao espa¸co [eβ : β ∈ B] sendo então a melhor aproxima¸cão.

Teorema 2.7 (da Base). H espa¸co pr´e-hilbertiano, {e_α : α ∈ A} ⊆ H conjunto ortonormal. S˜ao equivalentes:

1. para todo x∈H, vale x=P

α∈Ax_αe_α; 2. para todos x, y ∈H, vale

hx, yi=X

α∈A

x_αy_α; (F´ormula de Parseval)

(20)

3. para todo x∈H, vale

X

α∈A

|xα|² =kxk²; e (Bessel) 4. [eα : α∈A] ´e denso em H.

Defini¸c˜ao. Uma fam´ılia ortonormal {e_α : α ∈A}´e dita base hilbertiana de H se valem as propriedades equivalentes do Teorema 2.7.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.7. E f´´ acil ver que 1., 2. e 3., s˜ao equivalentes.

1. ⇒ 4.: Sejamx∈H e ε >0. Existe B_ε ⊆A finito tal que

x− X

α∈B_ε

x_αe_α

< ε, e como P

α∈Bεx_αe_α ∈[e_α : α ∈A], temos que [e_α : α∈A] ´e denso emH.

4. ⇒ 3. Suponhamos que 3. n˜ao vale. Ent˜ao existe x∈H tal que kxk²−X

α∈A

|x_α|² .

=d >0,

sendo que d deve ser positivo por Bessel. Logo se B ⊆A ´e finito, kxk²−X

α∈B

|x_α|² ≥ kxk²−X

α∈A

|x_α|² =d e, como vimos antes,

x−X

α∈B

x_αe_α

2

=kxk² −X

α∈B

|x_α|² ≥d.

Dessa forma, pelo Teorema da Melhor Aproxima¸c˜ao, para todoB ⊆Afinito e para qualquer escolha de λ_β ∈C,β ∈B tem-se

x−X

β∈B

λ_βe_β

2

≥d >0 o que contradiz ser [e_α : α ∈A] denso em H.

Lema 2.8 (de Zorn). Seja X conjunto n˜ao-vazio parcialmente ordenado.

Suponha que todo Y ⊆ X totalmente ordenado admite limitante superior, isto ´e; para todo Y ⊆X existe z ∈X tal que

y≤z para todo y∈Y.

Então X possui um elemento maximal. (Isto é, existe x ∈ X tal que se y ∈X e y≥x, então y=x.)

(21)

Corolário 2.9. Todo espa¸co pré-hilbertiano (não-nulo) admite um subconjunto ortonormal maximal.

Teorema 2.10. Se H ´e um espa¸co de Hilbert, ent˜ao H possui uma base hilbertiana.

Demonstra¸cão. Seja {e_α : α ∈ A} um conjunto ortonormal maximal. A- firmo que esse conjunto é base hilbertiana de H. Se não fosse, ter´ıamos F .

= [e_α : α∈A] ( H. Como H é de Hilbert, poder´ıamos obter e ∈ F^⊥ e com norma 1, o que implicaria que {e_α : α ∈A}não é maximal.

Gram-Schmidt. H pr´e-hilbertiano, {fn}n∈N ⊆ H linearmente independente. Ent˜ao existe{e_n}n∈N ortonormal tal que para todo N ∈N,

[f₁, . . . , f_N] = [e₁, . . . , e_N].

Demonstra¸c˜ao. Tomo e₁ .

=f₁/kf₁k. Supondo constru´ıdos e₁, . . . , e_N, defini- mos

e^∗_N₊₁ .

=f_N+1− hf_N+1, e₁ie₁− · · · − hf_N+1, e_Nie_N. SejaeN+1 .

=e^∗_N₊₁/ke^∗_N+1k. Temos queeN+1é ortogonal aej para todoj ≤N, e também é fácil ver que [e₁, . . . , e_N+1] = [f₁, . . . , f_N+1].

Defini¸cão. Eespa¸co normado. Eé ditoseparávelse admite um subconjunto enumerável e denso em E.

Teorema 2.11. H pr´e-hilbertiano. S˜ao equivalentes:

1) H ´e separ´avel;

2) H possui base hilbertiana enumer´avel.

Demonstra¸cão. (⇒): tomo um conjunto linearmente independente dentro do enumerável denso e aplico o processo de Gram-Schmidt; o resultado será a base hilbertiana.

(⇐): se {e_n}n∈N é base hilbertiana, então o conjunto [(p+iq)e_n : n ∈N, p, q ∈Q] será enumerável e denso.

Observa¸c˜ao. H Hilbert com base hilbertiana enumer´avel{e_n : n∈N}. Para todo x∈H, temos

x=X

n∈N

x_ne_n e kxk² =X

n∈N

|x_n|².

(22)

Assim

H →l₂(N) x7→(x_n)n∈N

´

e um isomorfismo isom´etrico.

Exemplo. C_L²(S¹) ={f :S¹ →Ccont´ınua} munido da norma kfk_L² =

Z 2π

0

|f(e^iθ)|²dθ ^1/2

´

e um espa¸co pr´e-hilbertiano. A aplica¸c˜ao identidade id : C(S¹), k · k∞

→C_L²(S¹)

´

e cont´ınua:

kfk_L² ≤√

2πkfk∞ para todo f ∈C(S¹). (3) Teorema 2.12. {e^imθ/√

2π}m∈Z ´e uma base hilbertiana para C_L²(S¹).

Para provar esse Teorema, precisaremos usar o Teorema de Stone-Weier- strass:

Teorema 2.13 (Stone-Weierstrass). K espa¸co topológico compacto, A ⊆ C(K) subálgebra de C(K) (isto é, A é um C-subespa¸co vetorial de C(K)fechado algebricamente pela multiplica¸cão de fun¸cões ponto-a-ponto). Suponha que

a) A separa pontos de K, isto ´e; dados x, y ∈ K distintos, existe f ∈ A tal que f(x)6=f(y);

b) A cont´em todas as fun¸c˜oes constntes; e

c) se f ∈ A, então o conjugado dessa fun¸cão, f, também pertence a A.

Ent˜ao A ´e denso em C(K).

Exemplo. A hipótese c) do Teorema de Stone-Weierstrass é necessária: tome K .

={z ∈C : |z| ≤1} e A .

= ( _m

X

j=0

a_jz^j : a₀, . . . , a_m ∈C, m∈Z+

) .

A subálgebraA satisfaz a) e b), mas não c) (a fun¸cãoz 7→z não pertence a A), e de fatoA não é um conjunto denso emC(K), dado queA está contido no conjunto das fun¸cões holomorfas em K, pois limite uniforme de fun¸cões holomorfas é holomorfo.

(23)

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.12. Seja A .

= ( _m

X

j=−m

a_je^ijθ : a−m, . . . , a_m∈C, para todo m∈Z+

) .

Note que a fun¸cãoeîθ separa os pontos deS¹ (eîθ =z a identidade). De fato,

´

e fácil ver queA satisfaz todas as hipóteses do Teorema de Stone-Weierstrass e assim é denso emC(S¹) com a norma k · k_∞. Mas note que (3) implica que esse conjunto será também denso emC_L²(S¹). Isto é,A = [eîmθ√

2π, m∈Z]

´

e denso em C_L²(S¹).

Logo, para toda f ∈ C(S¹), isto é, f é uma fun¸cão de R em C que é 2π-periódica e cont´ınua, temos

f(θ) = 1

√2π X

m∈Z

C_m[f]eîmθ (Série de Fourier de f) em C_L²(S¹) (isto é, na norma k · k_L²; em geral não temos convergência pontual), em que

C_m[f] .

=

f, e^imθ

√2π

= 1

√2π Z 2π

0

f(θ)e^−imθdθ.

Tamb´em, por Bessel,

kfk²_L2 = X

m∈Z

|C_m[f]|².

Teorema 2.14 (Carleson). A s´erie de Fourier de f ∈ C(S¹) converge pon- tualmente para f quase-sempre.

Teorema 2.15. Existe F ⊆ C(S¹) conjunto magro tal que para toda f ∈ C(S¹)\ F, existe A⊆S¹ magro tal que a s´erie de Fourier de f diverge para todo θ ∈S¹\A.

Proposi¸cão 2.16. Seja f ∈ C¹(R) fun¸cão 2π-periódica. Então a série de Fourier de f converge para f uniformemente em S¹.

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que P

m∈Z|C_m[f]|converge, pois nesse caso o M-teste de Weierstrass implica que a Série de Fourier de f converge uniformemente para alguma fun¸cãog ∈C(S¹). Mas então ela converge na norma k · k_L² para g, mas nessa norma a Série de Fourier de f converge para f, e assim g =f quase-sempre. Como g, f são cont´ınuas, segue que g =f.

(24)

Provemos ent˜ao que P

m∈Z|C_m[f]| converge. Sem 6= 0, temos C_m[f] = 1

√2π Z 2π

0

f(θ)e^−imθdθ = 1

√2π Z 2π

0

f(θ)· d dθ

e^−imθ

−mi

dθ

= 1

√2π

f(θ)e^−imθ

−im

2π

0

+ 1

imC_m[f⁰]

= 1

imC_m[f⁰],

sendo que eliminamos um termo usando que f ´e 2π-peri´odica. Dessa forma, X

m∈Z

|Cm[f]|= X

m∈Z^∗

1

m|Cm[f⁰]|+|C0[f]|

=|C₀[f]|+ X

m∈Z^∗

1 m²

!1/2

· X

m∈Z^∗

|C_m[f⁰]|²

!1/2

<∞ usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Temos P

m∈Z^∗|C_m[f⁰]|² < ∞ pela Desigualdade de Bessel aplicada a f⁰.

3 Operadores Compactos

E, F espa¸cos normado,sk :E →F linear.

Defini¸c˜ao. O operadork ´ecompacto (ou absolutamente cont´ınuo) se o conjunto

{k(x) : x∈E, kxk<1}

´

e relativamente compacto em F.

Defini¸cão. Seja (X, d) um espa¸co métrico. Um conjunto A ⊆ X é dito relativamente compacto se o seu fecho Aé compacto.

Teorema 3.1. Seja A⊆X. S˜ao equivalentes:

1) A ´e relativamente compacto;

2) toda sequência emA admite subsequência convergente (com limite não necessariamente dentro de A).

Al´em disso, assumindo 1) ou 2), temos

3) A ´e totalmente limitado, isto ´e; para todo ε >0, existem A₁, . . . , A_n⊆ X tais que A⊆A₁∪ · · · ∪A_n e diam(A_j)< ε para todo j.

(25)

No caso em que X ´e completo, 1), 2) e 3) s˜ao equivalentes.

E f´´ acil ver que sef : (X, d)→(Y, d⁰) é cont´ınua eA ⊆X é relativamente compacto, entãof(A) é relativamente compacto. (É fácil ver por sequências.) Proposi¸cão 3.2. E, F espa¸cos normados, k :E →F linear. São equivalentes:

1) k ´e compacto;

2) k(B) ´e relativamente compacto em F para todo B ⊆E limitado;

3) se (x_n)n∈N ⊆E ´e limitada, ent˜ao k(x_n)

n∈N tem subsequˆencia convergente.

Demonstra¸c˜ao. 1) ⇒ 2): Seja B ⊆ E limitado. Ent˜ao existe r > 0 tal que B ⊆ {x∈E : kxk< r}. Logo

k(B)⊆k {x∈E : kxk< r}

=r.k {x∈E : kxk<1}

. Como k {x ∈ E : kxk < 1}

´e relativamente compacto, r.k {x ∈ E : kxk<1}

também o é, e assim k(B) é relativamente compacto, pois k(B)⊆ r.k({x∈E : kxk<1}) compacto.

As outras implica¸c˜oes ficam como exerc´ıcio.

Nota¸cão. Denotamos porK(E, F) o conjunto das fun¸cões lineares compactas deE em F; temos K(E, F)⊆L(E, F). (Toda fun¸cão compacta é cont´ınua.) Exemplo. Se k : E → F tem posto finito (isto é, dimk(E) < ∞) e k ∈ L(E, F), então k é compacta.

Observa¸c˜ao. Se temos

E₀ →^u E →^k F →^v F₀,

com u ∈ L(E0, E), k ∈ K(E, F) e v ∈ L(F, F0), ent˜ao k◦u ∈ K(E0, F) e v◦k∈K(E, F₀). Em particular,K(E)⊆L(E) ´e umideal bilateral deL(E).

Teorema 3.3. Se F é um espa¸co de Banach, então K(E, F) é fechado em L(E, F).

Demonstra¸c˜ao. Seja (k_n)n∈N ⊆ K(E, F) tal que k_n → g em L(E, F). Seja {x_m}_m∈_N⊆E limitada. Seja M >0 tal que

kx_mk ≤M para todom ∈N. Queremos mostrar que g(x_m)

m∈N possui subsequˆencia convergente. Existe {m_k}_k∈_N, m_k % +∞ tal que {k_n(x_m_k)}_k ´e convergente para todo n ∈ N.

(26)

(Por um argumento de diagonal de Cantor; tomo uma subsequência para k₁, uma subsequência dessa subsequência para k₂, uma subsequência dessa para k₃, etc., e tomo {x_m_k}_k a sequência formada pela diagonal.) Sejay_n .

= limk→+∞k_n(x_m_k); (y_n)_n ´e uma sequˆencia de Cauchy emF, pois

kyn−ypk ≤ kyn−kn(xm_k)k+kkn(xm_k)−kp(xm_k)k+kkp(xm_k)−ypk

≤ ky_n−k_n(x_m_k)k+kk_n−k_pkM +ky_p−k_p(x_m_k)k Fazendo k →+∞, obtemos

ky_n−y_pk ≤Mkk_n−k_pk,

com (k_n)_n de Cauchy em L(E, F), de modo que (y_n)_n ´e de fato de Cauchy em F e assim ´e convergente.

Sejay .

= limyn∈F. Vamos mostrar que g(xm_k)→y. De fato, kg(x_m_k)−yk ≤ kg(x_m_k)−k_n(x_m_k)k+kk_n(x_m_k)−y_nk+ky_n−yk

≤ kg−knk.M+kkn(xm_k)−ynk+kyn−yk. (4) Seja ε >0. Fixen ∈N tal que

ky_n−yk< ε

3 e kk_n−gk< ε 3M. Escolho agora k₀ tal que, para on fixado, temos

se k≥k₀, ent˜ao kk_n(x_m_k)−y_nk< ε 3. Com essas escolhas de n ek₀, segue de (4) que

se k ≥k₀ ent˜ao kg(x_m_k)−yk< ε.

Exemplo. Enormado,F Banach,{g_n}n∈N⊆E⁰,{y_n}n∈N ⊆F e{λ_n}n∈N⊆C tais que {gn}n e {yn}n s˜ao sequˆencias limitadas em seus respectivos espa¸cos, e P+∞

n=1|λ_n|<∞. Ent˜aof :E →F dada por f(x) =

∞

X

n=1

λ_ng_n(x)y_n

´

e uma fun¸cão linear cont´ınua (exerc´ıcio da lista 1). De fato f é compacta pois é limite (uniforme) das aplica¸cões

f_N(x) .

=

N

X

n=1

λ_ng_n(x)y_n,

as quais têm posto finito, logo são compactas. Como F é de Banach, o Teorema 3.3 implica que f é também compacta.

(27)

Exemplo. Fixe K ∈ C([c, d]×[a, b]); K = K(t, s). Defina k : C([a, b]) → C([c, d]) por

k(x)(t) = Z b

a

K(t, s)x(s) ds.

Para t∈[c, d] fixado,

|k(x)(t)| ≤ Z b

a

|K(t, s)x(s)|ds ≤ Z b

a

|K(t, s)|ds

· kxk∞. Isto ´e;

kk(x)k∞ ≤ sup

t∈[c,d]

Z b

a

|K(t, s)|ds

!

· kxk∞. Logo k ∈L C([a, b]), C([c, d])

com kkk ≤ sup

t∈[c,d]

Z b

a

|K(t, s)|ds.

Fato: k ´e um operador compacto (veremos depois da seguinte digress˜ao).

Digressão(O Teorema de Ascoli). Sejam (E, d) e (F, ρ) espa¸cos métricos,E compacto e F completo. Temos que C(E, F) é um espa¸co métrico completo com a distância

D(f, g) .

= sup

x∈E

ρ f(x), g(x) ,

sendo que o supremo existe pois f e g s˜ao cont´ınuas e E ´e compacto.

Teorema 3.4 (Ascoli). O conjunto F ⊆C(E, F) ´e relativamente compacto em C(E, F) se, e somente se valem as seguintes propriedades:

1) para todo x∈E, tem-se {f(x) : f ∈ F } ⊆F relativamente compacto em F; e

2) F ´e equicont´ınua, isto ´e; para todos x₀ ∈ E e ε > 0, existe δ > 0 tal que

se x∈E e d(x, x₀)≤δ, ent˜ao ρ f(x), f(x₀)

≤ε para todaf ∈ F. Demonstra¸c˜ao do Fato (de antes da digress˜ao). Seja

F .

=k({x∈C([a, b]) : kxk_∞≤1})⊆C([c, d]).

Para verificar que F ´e relativamente compacto em C([c, d]), usaremos o Te- orema de Ascoli.

(28)

Set∈[c, d], e x∈C([a, b]) ´e tal quekxk∞ ≤1, temos

|k(x)(t)| ≤ Z b

a

|K(t, s)||x(s)|ds≤ Z b

a

|K(t, s)|ds .

=R(t).

Logo {y(t) : y ∈ F } está contido na bola de centro 0 e raio R(t), de modo que esse conjunto é relativamente compacto e está satisfeita a condi¸cão 1) do Teorema 3.4.

Sejam t₀ ∈[c, d] eε >0. Se x∈C([a, b]) e kxk_∞≤1, temos

|k(x)(t)−k(x)(t0)|=

Z b

a

K(t, s)−K(t0, s)

x(s) ds

≤ Z b

a

K(t, s)−K(t0, s) ds.

Assim a equicontinuidade de F segue da continuidade uniforme de K. De fato, existe δ >0 tal que

se k(t, s)−(t⁰, s⁰)k ≤δ, ent˜ao

K(t, s)−K(t⁰, s⁰) ≤ ε

b−a. Assim, se t∈[c, d] e|t−t₀| ≤δ, temos

|k(x)(t)−k(x)(t₀)| ≤ Z b

a

K(t, s)−K(t₀, s)

ds≤ε

3.1 Preliminares para o Teorema Espectral

Lema 3.5. Sejam H pr´e-hilbertiano, A∈L(H). Ent˜ao kAk= sup

kxk≤1,kyk≤1

| hAx, yi |.

Demonstra¸c˜ao. Seja α .

= sup_kxk≤1,_kyk≤1| hAx, yi |. Podemos assumir A 6= 0.

Temos

| hAx, yi | ≤ kAxk · kyk ≤ kAk.kxk.kyk para todosx, y ∈H.

Logo α ≤ kAk. Por outro lado, se kxk ≤1, temos kAxk² =hAx, Axi=kAk ·

Ax, Ax kAk

≤ kAkα, pois kAx/kAkk ≤1. Logo segue que

kAxk ≤(kAkα)^1/2 para todox∈H, kxk ≤1.

(29)

Tomando o supremo para kxk ≤1, temos kAk ≤ kAkα1/2

e assim kAk ≤α.

Teorema 3.6. Sejam H pr´e-hilbertiano, A∈L(H) hermitiano. Ent˜ao kAk= sup

kxk≤1

| hAx, xi |.

Demonstra¸c˜ao. Seja q .

= sup_kxk≤1| hAx, xi |. Comparando com o Lema 3.5, temos q ≤ kAk. Resta mostrar que kAk ≤q. Se x, y ∈H;

hA(x+y), x+yi − hA(x−y), x−yi

=hAx, xi+hAx, yi+hAy, xi+hAy, yi−hAx, xi+hAx, yi+hAy, xi−hAy, yi logo

hA(x+y), x+yi − hA(x−y), x−yi= 2hAx, yi+ 2hAy, xi

= 2 hAx, yi+hy, Axi

= 4 Re hAx, yi . Logo

Re hAx, yi

= 1

4 hA(x+y), x+yi − hA(x−y), x−yi

. (5) Notemos que se z ∈H,

hAz, zi

≤qkzk². Se z = 0 ´e trivial. Se z 6= 0, vale

A z

kzk

, z kzk

≤q.

Assim (5) implica Re hAx, yi

≤ q

4 kx+yk²+kx−yk²

= q

2 kxk²+kyk² . Logo se kxk ≤1 e kyk ≤1, temos

Re hAx, yi

≤q.

Seja entãoθ ∈R tal que hAx, yi=eîθ| hAx, yi |. Então

hAx, yi

=e^−iθhAx, yi=

A(e^−iθ), y

= mas como | hAx, yi |´e real, de fato

hAx, yi

= Re

A(e^−iθx), y ≤q.

Portanto kAk ≤q pelo Lema 3.5.

(30)

3.2 O Teorema Espectral para operadores compactos hermitianos

E normado, A∈L(E).

Defini¸cão. Um número complexoλéautovalor deAse existirx∈E,x6= 0 tal que

Ax=λx.

Nota¸c˜ao. Seλ ∈C, N(λ, A) .

={x∈E : Ax=λx}= ker(λI −A).

Isto ´e, λ´e autovalor de A se, e somente seN(λ, A)6= (0).

Um vetorx∈E´e ditoautovetor associado ao autovalorλsex∈ N(λ, A).

Proposi¸c˜ao 3.7. Seja H um espa¸co pr´e-hilbertiano, A∈L(H) hermitiano.

Ent˜ao

(1) os autovalores de A s˜ao reais;

(2) se λ₁, λ₂ são autovalores de A distintos, então N(λ₁, A)⊥ N(λ₂, A); e (3) se λ é autovalor de A, então A(N(λ, A)^⊥) ⊆ N(λ, A)^⊥, isto é; o su-

bespa¸co N(λ, A)^⊥ ´e A-invariante.

Observa¸cão. A Proposi¸cão 3.7 prova que, em dimensão finita, todo operador linear hermitiano A é diagonalizável. De fato, seja (como visto em Álgebra Linear) λ₁ um autovalor de A. Considero depois A restrito ao subespa¸coA- invariante N(λ₁, A)^⊥ e tomo um autovalor λ₂ dessa restri¸cão. Continuando assim, obteremos N(λ₁, A), . . . ,N(λ_k, A) autoespa¸cos dos quais o espa¸co vetorial será soma direta.

Demonstra¸cão da Proposi¸cão 3.7. (1): Sejam λ ∈ C autovalor de A e x ∈ N(λ, A),x6= 0. Então

λkxk² =λhx, xi=hλx, xi=hAx, xi=hx, Axi=hx, λxi

=λkxk²,

de modo que λ=λ, isto ´e;λ ∈R.

(2): Sex∈ N(λ₁, A),y∈ N(λ₂, A), temos

λ₁hx, yi=hλ₁x, yi=hAx, yi=hx, Ayi=hx, λ₂yi

=λ₂hx, yi.