093.83

(1)

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: _______________ DATA:

NOTA:

NOME: GABARITO

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 0,5)

Resolva, em lR, a inequação exponencial abaixo:

9 27 1 

³





 





^x

Solução. Escrevendo as bases em potências de base 3, temos:

 

2 9 9

2 3 2 6

) 1 (

3 3

1

3 2 3 3 6 2 3

3 2





























 



 





   



x x

x

base

x x

. S =

 



 

  

2 / x 9 IR x

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Uma pessoa aplicou um capital de R$ 20.000,00 num fundo de investimento. A expressão que fornece o capital acumulado Q(t) após t anos é

⁴

2 . 3 20000 )

(

t

Q 



 



  .

a) Qual será o valor do capital acumulado após 8 anos?

Solução. O valor da função daqui a 8 anos é calculado por P(8):

45000 4

. 9 20000 2

. 3 20000 2

. 3 20000 )

8 (

4 2 8

 



 



 

 

 



 

 

 



  Q

Logo, o capital acumulado será de R$45000,00.

b) Quanto tempo é necessário para que o capital acumulado atinja o valor de R$ 67.500,00?

Solução. Pede-se Q(t) = 67500.

12 4 3

2 3 2

3 8 27 2

3 20000 67500 2

3 2

. 3 20000 67500

4 3 4

4 4









 

 



 

 

 



 

 



 



 

 



 



 

 

 



  t t

t t

O capital acumulado será de R$67500,00 em 12 anos.

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

Resolva, em lR, a equação exponencial 3

²^x

 8 . 3

^x

 9  0 .

Solução. Observe que 3

^2x

= (3

^x

)

²

. Substituindo 3

^x

= y temos que 3

^2x

= (3

^x

)

²

= y

²

. Logo,

1

(2)

 



 













 













 



 

 

 









 













impossível x y

y

y y

y

x

x x

1 3 2 1

10 8

2 3

3 9 3 2 9

10 8 2

100 8 2

36 64 8

)1 (2

)9 )(

1(

4 )8 ( )8 0 (

9 8 0

9 3.

8 3

2 2

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

O gráfico abaixo representa a função f ( x )  a . 2

^x

 b :

a) Determine os valores de a e de b.

Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos (0, 2) e (2, 5). Substituindo cada um na função, temos:

i)  

2 2 )0(

2. )0( ⁰   

 











 a b

f

b a b a

f

ii)  

5 5 4

)2(

4 2.

)2( ²   

 











 a b

f

b a b a f

Resolvendo o sistema, vem:

 





 

 





 

 







112 33 1 54

2 54

)1(2

b a a ba ba ba ba

2

(3)

b) Calcule ^f ^( ¹ ⁾ .

Solução. A função é portanto f ( x )  1 .   2

^x

 1 . Logo,  

2 1 3 2 1 1 2 ) 1

(  

^¹

    f

3