COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2011

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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2011

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA:

_______

TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 3 ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos)

1) Um time do vôlei apresenta média das alturas entre seus seis atletas de 1,92m. No meio do jogo, três jogadores foram substituídos e a média do time passou a ser de 1,90m. Calcule a diferença entre as médias, em metros, das alturas dos atletas que entraram e a dos que saíram.

Solução. Considerando P

1

, P

2

e P

3

os jogadores substituídos (saíram) e P’

1

, P’

2

e P’

3

os substitutos (entraram), temos:

   

       

04 ,0 X

X 04 3 ,0

'P 'P 'P 3

P P ) P

3 ( 12 ,0 'P 'P 'P P P P

40 , 11 52 , 11 'P 'P 'P P P P 'P

'P 'P ) 90 ,1 .(

6 P P P ) 92 ,1 .(

6 'P 'P 'P ) 90 ,1 .(

6 J 3 90 6 ,1

'P 'P 'P J 3

P P P ) 92 ,1 .(

6 J 3 92 6 ,1

P P P J 3

entraram saíram

3 2 1 3 2 1 3

2 1 3 2 1

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3

2 1

3 2 1 3

2 1

3 2 1 3

2 1







 

 



 







































 



 













 















 





.

2) Calcule a mediana de uma sequência de 49 números consecutivos cuja soma vale 7

⁵

. Solução. Como há 49 elementos, a mediana será o termo

²⁵

2 1

49

a

_

 . Considere a

1

o 1º termo da sequência e a

49

, o último. Se os números são consecutivos, então formam uma progressão aritmética de razão 1. Aplicando as fórmulas do termo geral e da soma da PA, temos:

       

3 d

25 25

1 1

3 1

5 2 1 1 5

5 49

1 1 49

1 49 1

49 7 ou 243 a: M

Mediana

343 24 319 1).

1 25(

319 a

319 a 24 343 a 7 24 a 7 7.

24 a 2 7

49. 48 a2 7

S

2 49.

48 a S a

48 a a 1).

1 49(

a a



 

       























 

 

 







 













.

(2)

3) Uma empresa de segurança registrou o número de vezes que um alarme era acionado em cada um dos

12 meses de um ano.. Estabeleceu seu resultado de acordo com a função:

 













 



12 x 5, 12 x

5 x 1,1 )x( x2

f Q IN:

f

. Calcule a

mediana estatística dos 12 registros.

Solução. Numerando os meses na ordem, como aparecem ao ano, 1-janeiro; 2-fevereiro;...; 12-dezembro observa-se que a variável “x” corresponde ao número do mês na organização. A tabela mostra o cálculo dos registros mês a mês.

Ordenando os registros, temos:

{0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7}. A mediana será:

5 , 2 3

4 3 2

x x 2

x x

M

² ¹ ⁶ ⁷ ⁶ ⁷

12 2 12

d

      





^

^.

4) Um laboratório realizou uma experiência medindo massas de objetos e construiu um gráfico com os resultados. Chegaram ao laboratório n objetos de massa 4kg.

Verificou-se que juntando esses aos demais a média das massas permanecia a mesma, mas o desvio padrão reduzia à metade.

Calcule o valor de n.

Solução. O gráfico mostra a distribuição em dados agrupados. Construindo a tabela e calculando média e desvio padrão, temos:

6 4 24 1

3 2

1 ).

6 ( 3 ).

4 ( 2 ).

3 X (  



  ; 1

6 6 1

3 2

1 ).

4 ( 3 ).

0 ( 2 ).

1 Var

²

(  



 



 ; DP    1  1 .

Com a chegada dos n objetos de 4kg, a média continuou 4kg e o desvio padrão passa a ser 0,5. A nova tabela fica:

2

(3)

18 n 24 n 4 6 1 n 6

6 2 1 n 6

6 5,0

' DP

n 6

6 1

n 3 2

1).

4(

)n 3 ).(

0(

2).

Var 1(

'

DP ²











 



 

 



 







 



 





.

5) Determine os números complexos z

1

e z

2

, tais que

 













i 13 z.

z

i5 1 z z

2 1

2 1 . (Lembre que z é o conjugado de z).

Solução. Considerando z

₁

 a  bi ; z

₂

 c  di e z

₂

 c  di e substituindo no sistema, temos:

 





 

 





 

 





 

 





i13i)bcad()bdac(

i51i)db()ca(

i13bdibciadiac i51i)db()ca(

i13)dic).(bia(

i51)dic()bia(

i13z.z i51zz

21 2 21

.

Igualando as partes reais e imaginárias de cada equação do sistema, vem:

3

(4)

   

 









 

 



 

















































































 

 















 

 













 

 















 

 











 

 





 

 









i3 2 di c z

i2 3 bi a z

2 )3(

5 d5 b

32 1c 1a

3 13 10 13 )2(5 13 c5 d

2c : vem ,do Substituin

2c 0 )2 c(

04 c4 c) 26(

0 104 c104 c26

0 65 c25 169 c130 c25 c c 0 13 c55 13 c5 c c

13 c5 d 13 c5 d

0d 5 dc c 13 cd c5 cd d

0d 5 dc c 13 c)d 5(

d)c 1(

0d )d 5(

c)c (*) 1(

13 bc ad

0 bd ac

d5 (*) b

c1 a 5 db

1c a

2 1 2 2

2 2 2 2

2 .

4