4.3 U NICITÉ DES PROBLÈMES DE RADIATION ET DE DIFFRACTION
4.3.3 Analyticité dans la variable spectrale
lemme 4.4. Ainsi, on en déduit que pourn≥2,φ(n)p (x, αx) =o(1/√
x).Ceci induit que, pour tout n≥2, pour toutα∈]0,+∞[,
P(ξB)ξBn−1B(ξB) +P(ξB) (−ξB)n−1D(−ξB) = 0.
On en déduit que B(ξ) = 0 pour tout ξ ∈]0, k∞[et D(ξ) = 0 pour tout ξ ∈]−k∞,0[. Puis, en prenantα∈]− ∞,0[etx→ −∞, on obtient de la même manière :B(ξ) = 0pour toutξ∈]−k∞,0[
et D(ξ) = 0pour tout ξ ∈]0, k∞[. Puisque B et D sont continus, on a alors B = D = 0 : les composantes propagatives s’annulent pourn≥1. De l’équation (4.26), on déduit que
b
φξ(z) =κ(z)δ0+A(ξ) ξ e−
√ξ2−k2∞(z−b),
oùδ0est la mesure de Dirac enξ= 0,κ(z)est une fonction dezetA(ξ)est de classeC∞et s’annule sur[−k∞, k∞]. Ainsi,
φ(x, z) = 1
√2πκ(z) +φ(0)e (x, z).
L’équation (4.25) impose alors queκ(z) = 0. Puisqu’il n’y a que les composantes évanescentes, le comportement donné par le lemme 4.4 nous permet alors de démontrer le résultat de la proposi- tion 4.8.
le cas deub+λ =F+u(λ). Bien entendu, la même procédure peut être appliquée pourub−λ =F−u(λ).
Nous savons queuest solution de (4.18), ce que nous pouvons réécrire :
√λbu+λ +F+(F−)−1√
λF−(F+)−1ub+λ =F+ [∂φ1
∂x ]
Σ
. (4.30)
Remarquer queF+[
∂φ1
∂x
]
Σ=bvλ+− F+(F−)−1vbλ−où b
v±λ :=
∫
O±
∂γλ±
∂x (0, x′) Φ±λ(z′)[
k2(x′, z′)−k2⋆(x′, z′)]
φ(x′, z′) dx′dz′.
Nous pouvons intervertir les signes dérivée et intégrale puisque nous intégrons sur un compact.
Dans la proposition 4.3, on montre quebvλ±se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ. Nous voulons démontrer queub+λ a la même propriété. En regardant l’équation (4.30), nous voyons que les termes suivants interviennent :F+(F−)−1bvλ−et/ouF+(F−)−1√
λF−(F+)−1bu+λ. Dans les deux cas, apparaissent les opérateursF−(F+)−1etF+(F−)−1. Nous allons avoir besoin d’un résultat permettant de transférer des propriétés d’analyticité entreF−etF+. Ce résultat est le suivant :
Lemme 4.6 Pour toutw∈L1(R+), pour toutλ∈Λc,
F+w(λ) =σλF−w(λ) +Few(λ),
oùσλetFw(λ)e se prolongent par continuité en des fonctions analytiques (par rapport àλ) dansQ.
Nous reportons la preuve de ce lemme après la démonstration de la proposition 4.9. Notons que dans les hypothèses de ce lemme, la fonctionwappartient àL1(R+), nous allons voir que c’est la raison pour laquelle nous avions besoin de démontrer la proposition 4.8 à la sous-section précé- dente.
Traitons pour commencer le terme F+(F−)−1bv−λ. Remarquer que (F−)−1bvλ− = ∂φ−1/∂x|Σ ∈ L1(R+)(cf. proposition 4.3, premier point). Ainsi, en utilisant le lemme 4.6, on obtient :
F+(F−)−1bv−λ =σλvλ−+Fe∂φ−1
∂x |Σ.
Grâce aux propriétés deσλ et deF, nous déduisons quee F+(F−)−1bv−λ se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ.
Regardons maintenant le termeF+(F−)−1√
λF−(F+)−1ub+λ. Nous suivons la même procédure.
Nous avons :(F−)−1√
λF−(F+)−1bu+λ =∂φ−2/∂x|Σ ∈L1(R+)grâce à la proposition 4.8. Donc en utilisant le lemme 4.6, nous obtenons :
F+(F−)−1√
λF−(F+)−1ub+λ =σλ
√λF−(F+)−1ub+λ +Fe∂φ−2
∂x |Σ. De même,(F+)−1ub+λ =φ|Σ ∈L1(R+). Ainsi, en utilisant le lemme 4.6,
F−(F+)−1bu+λ = 1
σλ ub+λ − 1 σλ
Feφ|Σ.
On en déduit que l’équation (4.30) se réécrit : comme∂φ/∂x=∂φ−1/∂x+∂φ−2/∂xsurΣ, 2√
λub+λ =√
λFeφ|Σ − Fe∂φ
∂x|Σ + bv+λ − σλvλ−.
Le second membre de cette équation se prolonge par continuité en une fonction analytique dans Q (en utilisant les propriétés deσλ et deF). Nous en déduisons qu’il en est de même poure bu+λ. Ceci achève la preuve.
Démonstration. (lemme 4.6).
Le premier point consiste à montrer que pourλ∈Λc, la fonction propre généraliséeΦ+λ peut être vue comme une perturbation de la fonction propre généraliséeΦ−λ :
Φ+λ(z) =σλΦ−λ(z) +Φeλ(z), (4.31) oùσλ est une fonction qui se prolonge par continuité en une fonction analytique dans Q et où Φeλ(z)est une ondeentrante: elle se prolonge deΛcdansQen une fonction analytique vis-à-vis de λet en une fonction exponentiellement décroissante par rapport àzquandz→+∞: de la forme dλe−iβ∞z, où l’on rappelle queβ∞=√
λ+k∞2 .
Pour démontrer ce premier point, nous allons utiliser la décomposition des fonctions propres généralisées (1.12), vue au chapitre 1. Les fonctionsΘ±λ etΨ±λ sont définies par (1.9)-(1.10). On en déduit l’équation (4.31) avec
σλ := Θ+λ(0)
Θ−λ(0) et Φeλ := Φ+λ(z)−σλΦ−λ(z).
Montrons maintenant les propriétés deσλ. Nous allons montrer qu’il existe deux constantesC1 >
0, C2 >0telles que pour toutλ∈ Q ∪Λc,
C1 <|Θ±λ(0)|< C2. (4.32) Pour toutλ∈Λc, l’équation (4.32) vient du fait que nous excluons la possibilité d’avoirΘ±λ(0) = 0.
En effet, nous avons supposé que nous ne nous situons ni sur une fréquence de coupure du demi- guide de gauche ni sur une du demi-guide de droite.
DansQ,Θ±λ(0)est une fonction analytique qui ne s’annule pas. En effet, dans le cas contraire, la décomposition (1.12) nous permettrait de montrer queΦ±λ est proportionnelle àΘ±λ. MaisΘ±λ est exponentiellement décroissant par rapport àzpour toutλ∈ Q. Ainsi,λserait une valeur propre deA±, ce qui n’est possible que pourλ∈Λ±p, qui n’intersecte pasQ.
Ainsi, nous déduisons de l’équation (4.32) que σλ se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ.
Traitons maintenant Φeλ(z). On a : Φeλ(z) est analytique pour tout λ ∈ Q. De plus, pour z ≥ max(h−, h+), la définition deΦeλ(z)se simplifie :
Φeλ(z) = Θ+λ(0) 2iβ∞
(Ψ−λ(0)
Θ−λ(0)−Ψ+λ(0) Θ+λ(0)
)
e−iβ∞z, ce qui permet de montrer queΦeλ(z)est une onde entrante.
La deuxième étape consiste à définirFe: Few(λ) :=
∫
R+w(z)Φeλ(z) dz, ∀λ∈Λc.
Commew ∈ L1(R+), en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, nous véri- fions que Fwe se prolonge par continuité dansQ. Puis, pourλ ∈ Q, comme Φeλ(z) est une onde entrante (exponentiellement décroissante par rapport àz), nous déduisons queFwe est analytique dansQ. Ceci achève la preuve du lemme.
Remarquer que c’est grâce au caractèreL1dewque l’on a continuité deFew(λ)surΛc∪ Q.
Nous sommes maintenant en mesure de donner la preuve du résultat principal de cette section : le théorème 4.4.
Démonstration. (théorème 4.4). Soit±x≥a. En utilisant le résultat de la section 4.3.1, nous avons : F±φ(x, λ) = 0,∀λ∈Λ±∩R−. Puis, en utilisant celui de la section 4.3.3, nous avons :F±φ(x, λ), en tant que fonction deλ∈Λc, se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ. Ainsi, en utilisant le principe de réflexion de Schwarz pour les fonctions analytiques (cf. [Con78, section IX.1]), comme F±φ(x, λ) est réelle surΛc ∩R− (puisque qu’elle est nulle), nous déduisons que F±φ(x, λ) se prolonge dans{ζ ∈ C,ℜe(ζ) > −k2∞} \R+et que ce prolongement est analytique par rapport àλ. Puis, en appliquant le principe des zéros isolés, nous déduisons queF±φ(x, λ) est égal à0dans tout le domaine{ζ ∈C,ℜe(ζ) >−k2∞} \R+. Enfin, par continuité, nous avons : F±φ(x, λ)s’annule pour toutλ∈Λc.
Ainsi, nous avons démontré que pour tout|x| ≥ a, pour toutz ∈ R+, φ(x, z) = 0. Par principe de prolongement unique (voir par exemple [CK98, lemme 8.5] où le cadre fonctionnel n’est pas le même qu’ici mais le résultat reste valide dans notre configuration), nous déduisons queφ= 0.
Remarque 4.9 : Dans la démonstration (ci-dessus) du théorème 4.4, nous avons utilisé le fait que les zéros réels d’une fonction analytique dansQ et continue surQforment un sous-ensemble fermé deRde mesure nulle. Noter qu’ils peuvent contenir un point d’accumulation. Penser par exemple àcos(1/λ), qui a un point d’accumulation de zéros en 0. C’est une situation un peu différente de ce dont on a l’habitude avec les fonctions analytiques : les zéros d’une fonction analytique non nulle dans un ouvert n’ont pas de point d’accumulation. La différence réside dans le fait que les zéros sont soit sur le bord ou soit à l’intérieur du domaine d’analyticité.
G
ÉNÉRALISATIONS POSSIBLES DE LA DÉMARCHENous avons montré le caractère bien posé du problème de diffraction et de radiation dans la jonction entre deux guides d’ondes ouverts, dans le cas particulier où les guides d’ondes sont bidimensionnels. Pour simplifier les équations, nous avons imposé une condition de Dirichlet en z = 0 (surΓ). Mais, moyennant aménagements (notamment en construisant précisément la transformation de Fourier généralisée adaptée et son extension aux espaces de distributions), il nous semble que l’on peut généraliser l’approche pour des problèmes 2D ou 3D plus généraux, du typediv(µ∇).
Par contre, il semble que l’approche ne se généralise pas directement pour des problèmes vecto- riels. Si au lieu de l’équation de Helmholtz, nous avons les équations de Maxwell, par exemple, l’équivalent de l’équation (4.18) ne relève plus du théorème de Lax–Milgram.
Nous avons vu, à la remarque remarque 4.6, que nous conjecturons queV− =V+. Cela vient du fait quek∞− =k∞+. Dans le cas oùk∞− ̸=k∞+, nous sommes confronté à un dioptre et nous pensons que V− ̸= V+ et queV−∩V+ = H1/2( R+) (voir la thèse d’Axel Tillequin [Til01] où cela est démontré dans un cas plus simple où la transformation de Fourier généralisée n’est en fait que la symétrisée de la tranformation de Fourier standard, autrement appelée transformation de Fourier cosinus). Par ailleurs, dans le cas où k∞− ̸= k+∞, nous devons modifier la sous-section 4.3.2 car nous ne pouvons plus utiliser une transformation de Fourier standard dans la directionx, nous devons utiliser une transformation de Fourier généralisée également dans la directionx. Enfin, le cas k0− ̸= k0+ne pose pas de difficulté supplémentaire par rapport à ce qui a été fait ici, cela ne change strictement rien à la démonstration.
À titre de remarque, voyons ce qui se passe dans le cas de guides fermés. Comme nous l’avons déjà vu en introduction de la thèse, nous pouvons développer le même genre de conditions de rayonnement modales, la différence essentielle réside dans le fait que le spectre de l’opérateur transverse est exclusivement discret. Cela implique une différence essentielle par rapport aux guides ouverts. Nous n’avons plus la propriété d’analyticité (de la sous-section 4.3.3) et donc même si le problème relève toujours de l’alternative de Fredholm, l’unicité n’est pas assurée. Par contre, les composantes propagatives de la solution du problème homogène sont toujours nulles, par le même genre d’arguments sur les flux d’énergie (sous-section 4.3.1). Mais il peut rester des composantes évanescentes. Cela est du au fait qu’il peut y avoir des modes piégés par la structure (voir par exemple [ELV94]). Dans le cas d’un guide d’ondes ouvert, de tels modes piégés sont impossibles.
Enfin, notons que toute cette étude théorique pourrait donner naissance à une méthode numé- rique. Cette méthode numérique a été développée, pour la jonction abrupte notamment, dans la thèse d’Axel Tillequin [Til01]. Mais il s’avère qu’elle n’est pas très efficace numériquement, puis- qu’elle repose sur la transformation de Fourier généralisée et que le calcul des intégrales a semblé difficile. Nous avons donc décidé d’utiliser d’autres méthodes pour calculer numériquement la solution, c’est l’objet du chapitre suivant.