Résultats numériques

de bloc de Jordan, ainsi ces contributions d’ordre−n, pourn≥2sont nulles.⁵On en déduit que Res((Ae_α+ξ²)⁻¹fb(ξ, z) e^iξx, β) = 1

2βP_λ(fb) e^iβx.

Ensuite, l’expression dePλnous est donnée par le théorème 3.2 (en utilisant la bi-orthogonalité) : P_λnv(z) = 1

∫_h⋆

0 µ(z)

α(z)Φ²_n(z) dz (∫ _h⋆

0

µ(z^′)

α(z^′)v(z^′) Φ_n(z^′) dz^′ )

Φ_n(z).

Formellement, en remplaçantf par une mesure de Dirac⁶, on obtient, pourx >0: G(x, z;x^′, z^′) =−∑

n

1

2iβ_nP_λn(δ_z=z′) e^iβnx=−∑

n

1 2iβ_n

∫_h⋆ 1

0 µ(z)

α(z)Φ²_n(z) dz µ(z^′)

α(z^′)Φ_n(z^′) Φ_n(z) e^iβnx. En se rappelant que le cas oùx^′ ̸= 0se traite en remplaçantxparx−x^′, on retrouve la décom- position (3.23) pour(x−x^′)>0. Pour(x−x^′)<0, la même démarche s’applique (en prenant en compte les modes−βn).

Cette dernière méthode a l’avantage de nous donner la décomposition modale de la fonction de Green sans hypothèse de base pour les fonctions propres, ce qui semble difficile à démontrer.

Par ailleurs, elle permet également d’obtenir des estimations d’erreur lorsque l’on tronque la série (3.23). En effet, reprenons l’étude précédente avec un terme sourcefetx >0. Si, au lieu d’intégrer sur le contour de la figure 3.17, on intègre sur un contour du type[−R, R]∪[R, R+iγ]∪[R+ iγ,−R+iγ]∪[−R+iγ,−R](voir figure 3.18), par application du théorème des résidus sur ce contour et en faisant tendreRvers+∞(les intégrales sur[R, R+iγ]et[−R+iγ,−R]tendant vers 0lorsqueR →+∞), on obtient :

√2πG −

∫ _+∞+iγ

−∞+iγ

(Aeα+ξ²)⁻¹fb(ξ, z) e^iξxdξ

= 2iπ ∑

βpôles tels que0<ℑm(β)<γ

Res((Ae_α+ξ²)⁻¹fb(ξ, z) e^iξx, β), On choisitγ de telle façon qu’aucun nombre d’ondeβne vérifieℑm(β) =γ.

L’idée est ensuite d’estimer le terme∫_+∞+iγ

−∞+iγ(Aeα+ξ²)⁻¹fb(ξ, z) e^iξxdξ. En utilisant des résultats de [KMR97] ou [NBP94], nous déduisons que ce terme appartient àL²_γ(R)par rapport àx; si l’on a par exemple un second membref de classeC^∞et à support compact.⁷

En conclusion sur cette méthode, nous dirons qu’elle nous semble prometteuse pour justifier des décompositions sur les fonctions propres deAeα, sans hypothèse de base pour celles-ci. Au cha- pitre 5, nous utiliserons également de telles décompositions pour développer des conditions aux limites transparentes dans le cas de la jonction entre deux guides d’ondes ouverts. Par contre, à ce stade, la justification n’est pour l’instant pas rigoureuse.

FIGURE3.18 –Deuxième contour d’intégration utilisé pour obtenir une estimation d’erreur lorsque l’on tronque la série intervenant dans la formule de représentation de la fonction de Green.

modes, il faudra tronquer la série. À l’origine, nous ne voulions prendre en compte que les modes guidés (s’il y en a) et les modes à fuite les moins évanescents dans la direction longitudinale. Nous négligions ainsi les modes résultant du spectre continu, ceux-ci n’ayant a priori pas de significa- tion physique, puisqu’ils sont uniquement liés à la PML. Mais si l’on suit l’étude précédente, on est amené à prendre en compte tous les modes (guidés, à fuite et résultant du continuum, sans les distinguer) tels queℑm(β) <seuilcar on sait évaluer l’erreur commise. En fait, nous allons voir que dans le cas 2D présenté, nous pouvons faire la distinction entre les différents types de modes et nous n’allons utiliser que les modes à fuite (et pas les modes résultant de la discrétisation du continuum). Au contraire, dans le cas 3D présenté, la distinction n’est pas facile à faire et notre critère sera alors celui-ci :ℑm(β)<seuil. Ainsi, nous négligeons les modes très évanescents dans la directionx. On s’attend donc à ce que la formule soit bonne dès que l’on a|x−x^′|suffisamment grand.

Maintenant, une question se pose : à quoi comparer les résultats ? La fonction de Green, même dans le cas d’un guide 2D, n’est pas connue explicitement. Pour avoir une solution de référence, nous avons fait un calcul par éléments finis de la fonction de Green, en bornant le domaine de calcul par des PMLs cartésiennes, à la fois dans la (ou les) direction(s) transverse(s) et dans la direction longitudinale. Les PMLs tout autour de la zone physique permettent ainsi de prendre en compte le caractère sortant des ondes (dans toutes les directions).

La difficulté est la suivante : comment simuler un Dirac ? En fait, nous allons isoler une petite partie autour de la source, dans un domaineOi, dans lequel nous allons résoudre une équation en champ diffracté (en soustrayant la fonction de Green du milieu homogène, que l’on connait explicitement). Par ailleurs, dansOe:=Ob\ Oi, oùObest le domaine de calcul (borné dans toutes les directions), l’équation vérifiée par la fonction de Green est une équation sans second membre, donc facile à résoudre. Il reste ensuite à écrire les conditions de raccord surΓ :=Oi∩ Oe.

Nous allons expliciter cette démarche dans le cas 2D (où la présentation est plus simple) mais la même démarche s’applique également dans le cas d’un guide 3D. Voir la figure 3.19 pour un schéma représentant les différents domaines.

FIGURE3.19 –Exemple de géométrie pour la simulation par éléments finis. En rouge, le domaine Oi, en bleu le domaineOe. L’étoile rouge correspond à la position de la source (du Dirac). On utilise des PMLs cartésiennes. Le bleu foncé correspond aux zones PMLs.

On résout le problème suivant surOi:

−∂²u_d

∂x² −∂²u_d

∂z² −k₀²u_d= 0.

SurOe, le problème est le suivant :

−αx

µ

∂

∂x (

µ α_x ∂u

∂x )

−αz

µ

∂

∂z (

µ α_z ∂u

∂z )

−k²u= 0.

Par ailleurs, nous imposons les conditions de bord sur∂Ob (de type Dirichlet ou Neumann ho- mogène). Il reste à imposer les conditions de transmission suivantes surΓ :=Oi∩ Oe:

u = ud+g,

∂u

∂n = ∂u_d

∂n +∂g

∂n,

oùgdénote la fonction de Green du milieu homogène, dont on connaît une formule explicite. En écrivant la formulation variationnelle de ces équations et en discrétisant par éléments finis, cela nous donne notre solution de référence.

Voyons maintenant sur un exemple. Nous prenons l’exemple de l’article [BBGHP09], qui corres- pond aux ondes élastiques SH d’une plaque d’acier plongée dans un milieu infini de béton. Nous prenons également une condition de Neumann en z = 0, ce qui revient à ne considérer que les modes symétriques. Pour les applications numériques, nous prenons : ρ₀ = 7.932g/cm³, ρ_∞ = 2.3g/cm³, c0 = 3.260km/s, c_∞ = 2.6375km/s.La hauteur du guide ferméh(qui est également la taille du cœur du guide ouvert) est égale à5mm. La fréquence est de 1 MHz. Cela correspond à prendre (modulo un adimensionnement) :ρ₀ = 7.932, ρ_∞= 2.3, µ₀= 84.29, µ_∞= 15, ω= 2π.

Ces valeurs correspondent au cas d’un guide d’ondes constitué d’une plaque d’acier dans un milieu infini de béton. Nous avons déjà remarqué qu’en fait ce n’est pas un vrai guide d’ondes, puisquec0> c_∞(il n’y a pas de modes guidés).

Les résultats sont sur la figure 3.20. Nous ne représentons ici que la zone physique. Nous ne décomposons que sur les modes à fuite (il n’y a pas de modes guidés et nous négligeons l’im- portance des modes résultant de la discrétisation du continuum ici). Nous pouvons visualiser les différents β correspondant à notre situation sur la figure 3.17, mais également sur la figure 2.3.

Nous prenons successivement les différents modes à fuite, en commençant par ceux qui sont très peu évanescents dans la direction longitudinale (i.e. tels queβ est presque réel, il y en a quatre) et en rajoutant un qui est très évanescent dans la direction longitudinale (i.e. tel queβest presque

FIGURE3.20 –Du haut vers le bas : partie réelle de la décomposition de la fonction de Green 2D avec 1,2,3,4,5 modes à fuite, partie réelle de la solution de référence (calculs élements finis) et erreur ponctuelle entre la solution de référence et la décomposition avec cinq modes à fuite :|u−uref|/∥uref∥L∞(Oe), oùuest la solution avec cinq modes eturef

est la solution de référence.

imaginaire pur). Les modes sont ici calculés grâce à la relation de dispersion (équation (2.4)), les fonctions propres sont connues de façon analytique. On s’aperçoit qu’en prenant uniquement cinq modes, la représentation est déjà très bonne, sauf à la verticale de la source, comme on s’y attendait.

Enfin, nous pouvons faire le même genre de décomposition pour un guide 3D. Nous avons consi- déré un guide constitué d’un cœur de section carrée (avec paramètres µ0, ρ0) plongé dans un milieu infini (µ_∞,ρ_∞). Nous prenons les mêmes caractéristiques physiques que dans le cas 2D étudié :ρ0 = 7.932, ρ_∞ = 2.3, µ0 = 84.29, µ_∞ = 15.En particulier, dans ce cas également, il n’y a pas de modes guidés. Nous fixonsω = 2.5. Ici, contrairement au cas 2D, les modes ne sont pas connus analytiquement. Nous les calculons numériquement, avec des PMLs cartésiennes (en y et z), de paramètresα^y_∞ = α^z_∞ = exp(−iπ/3)/2. Dans ce cadre, comme on l’a vu, la nature du spectre est parfois difficile à analyser, en particulier il est difficile de distinguer les modes résul- tant du continuum des modes à fuite. Nous avons donc choisi, comme critère, de prendre tous les modes tels queℑm(β)<1. Cela revient à prendre en compte 185 modes, dans le cas présenté.

Ceci constitue un nombre de modes considérablement plus important que dans le cas 2D présenté précédemment mais c’est logique, puisque la nature du spectre est considérablement plus riche.

La figure 3.21 illustre ce dernier point.

-4 -2 0 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Re(λ)

Im(λ)

FIGURE3.21 –Spectre de l’opérateurAeαdans le cas d’un guide 3D avec PMLs cartésiennes enyetz. La ligne bleue correspond au critèreℑm(β) = 1. Les modes que l’on prend en compte sont les modes situés au dessus et à gauche de cette ligne.

Sur la figure 3.22, on ne représente que la zone physique dans différents plans de coupe. On s’aperçoit également que la représentation est mauvaise à la verticale à la source (i.e. dans le plan x= 1, l’erreur est bien plus grande que dans le planx= 3).

Nous voyons ainsi qu’hormis à la verticale de la source, la formule de décomposition de la fonc- tion de Green d’un guide ouvert sur les fonctions propres deAeαest efficace : elle suppose simple- ment d’avoir calculé les valeurs propres et les fonctions propres de l’opérateurAeα. La mauvaise représentation à la verticale de la source n’est pas inhérente au caractère ouvert du guide, ni aux PMLs. Dans la formule (3.16), en guide fermé, le même problème survient.

FIGURE3.22 – À gauche, représentation de la partie réelle de la représentation modale de la fonction de Green du guide 3D en utilisant tous les modes tels queℑm(β)<1dans les plansz= 0(en haut),x= 1(milieu) etx= 3(en bas) et erreur ponctuelle (module de la différence entre la solution de référence, calculée avec PMLs, et la formule de représentation modale). Les lignes noires délimitent le cœur et la gaine.