Du problème continu au problème numérique

3.1 C

ALCULS NUMÉRIQUES DE MODES À FUITE

Dans cette section, nous allons chercher à calculer numériquement les modes à fuite. Nous avons vu que ce sont des valeurs propres d’un opérateurAα, avec PML. Nous allons tirer parti de cela pour les calculer numériquement.

Première étape : de la PML de taille infinie à la PML de taille finie

Quand nous tronquons la PML, nous devons imposer une condition au bout de la PML. Le plus simple est d’imposer une condition de Dirichlet ou de Neumann homogène. Nous pouvons éga- lement envisager d’autres conditions. À ce sujet, citons le papier [SLHC01] où c’est une condition de périodicité qui est utilisée en fin de PML, parce que c’est la condition qui rentre facilement dans le code de calcul des auteurs de ce papier. En ce qui nous concerne, nous allons souvent utiliser une condition de Neumann car c’est une condition naturelle et nous n’aurons rien à rajouter dans l’espace d’approximation pour la formulation variationnelle.

Explicitons maintenant l’opérateurAe_α, avec PML de taille finie. Partons de l’opérateurA_α avec PML infinie. Commençons par le cas d’un opérateur 1D. Dans le cas où cet opérateur est celui de la section 2.2 (i.e. avec condition de Dirichlet homogène en0mais nous pourrions très bien prendre une condition de Neumann homogène en 0), nous notonsh_⋆ la coordonnée de la frontière exté- rieure de la PML. Ainsi la PML remplit le segment]h₂, h_⋆[. Nous notonsΩe le domaine physique sur lequel vit l’opérateurAe_α :Ω :=]0, he _⋆[. Nous rappelons que nous considérons toujours indif- féremment deux types de PML, le type abrupt et le type doux sachant que pour les applications numériques, c’est toujours le type abrupt (plus facile à implémenter) qui sera choisi. En prenant une condition de Neumann homogène enz =h_⋆, l’opérateur avec PML finie est l’opérateurAe_α deL²(0, h_⋆)défini par :

Ae_αu:=−α µ

d dz

( α µdu

dz )

−k²u,

∀u∈D(Aeα) :=

{

u∈H¹(0, h⋆), α µdu

dz ∈H¹(0, h⋆), u(0) = 0,du

dz(h⋆) = 0 }

. Quand la géométrie transverse est bidimensionnelle (cas de la section 2.3), nous noteronsR_⋆ le

« bout » de la PML. Ainsi, la PML sera la couronne B(0, R_⋆)\B(0, R₂) dans le cas de la PML radiale et la zone]−R⋆,−R2[∪]R2, R⋆[×]−R⋆,−R2[∪]R2, R⋆[dans le cas de PMLs cartésiennes.

Nous notonsΩele domaine physique sur lequel vit l’opérateurAe_α:Ωeest la boule de centre0et de rayonR_⋆,B(0, R_⋆), dans le cas de la PML radiale etΩ :=]e −R_⋆, R_⋆[×]−R_⋆, R_⋆[dans le cas de PMLs cartésiennes. Les définitions des opérateursAe_αavec PML radiale ou cartésienne de taille finie se déduisent aisément des définitions des opérateursAα avec PMLs radiale (2.15) ou cartésiennes (2.22), en mettant une condition de type Neumann homogène ou Dirichlet homogène en bout de PML.

En prenant une PML de taille finie, nous avons changé la structure du spectre de l’opérateur sous-jacent. En effet, nous avons le résultat suivant.

Théorème 3.1 : L’opérateurAeαest à résolvante compacte.

Démonstration. Nous n’allons traiter que le cas 1D. Les cas bidimensionnels se montrent de la même manière. Regardons la formulation variationnelle associée à l’équation(Aeα−λ)u=f. Pour cela, multiplions l’équation par µ/α v et intégrons par parties. On obtient alors la formulation variationnelle suivante : trouveru∈Ve tel que pour toutv∈Ve, on ait :

∫ _h⋆

0

( α µdu

dz dv

dz−µk²+λ α u v

) dz=

∫ _h⋆

0

µ

αf vdz,

où Ve = {u ∈ H¹(0, h_⋆), u(0) = 0}. En prenant λ = −k²_max+i, par les mêmes arguments que dans le lemme 2.2, on vérifie que l’on se trouve dans le cadre d’application du théorème de Lax–

Milgram : il y a donc existence et unicité de la solutionuet continuité par rapport aux données :

∥u∥H¹(0,h⋆) ≤ C∥f∥L²(0,h⋆). On en déduit que la résolvante R_Ae

α(λ) est compacte, par injection compacte deH¹(0, h⋆)dansL²(0, h⋆).

Ainsi, le spectre deAe_αest constitué exclusivement de spectre discret. Dans [KP09], Kim et Pasciak démontrent, dans le cas de PMLs douces, que le spectre deAe_αse rapproche de celui deA_αlorsque la taille de la PML augmente. La figure 3.1 permet ainsi de se représenter comment est transformé le spectre en prenant une PML de taille finie. Les modes guidés et les modes à fuite « dévoilés » (i.e. le spectre discret deA_α) sont faiblement perturbés. La différence majeure concerne le spectre essentiel deAα qui est « discrétisé ». Mais lorsque la taille de la PML augmente, alors la branche correspondant à la « discrétisation du continuum » (les ronds bleus à droite sur la figure 3.1) se densifie et quand la taille est infinie, on retrouve le spectre essentiel deA_α. Nous distinguerons alors trois types de modes :

• les modes guidés approchés,

• les modes à fuite approchés,

• les modes venant de la discrétisation du spectre continu.

Nous verrons que, numériquement, une telle distinction sera assez facile à faire dans le cas d’un opérateur 1D mais beaucoup plus délicate dans le cas d’un opérateur 2D.

modes à fuite dévoilés modes guidés

spectre essentiel

approx. modes à fuite approx. modes guidés

discrétisation du spectre essentiel

FIGURE3.1 –Représentation de la transformation du spectre lorsque l’on passe d’une PML infinie (à gauche) à une PML de taille finie (à droite).

Pour généraliser ce que l’on fait dans le cas d’un guide fermé, on aimerait obtenir une propriété de base pour les fonctions propres de l’opérateurAeα. En effet, avec une telle propriété, on pourrait représenter n’importe quelle fonction qui est dansL²(Ω)e comme une série sur fonctions propres deAeα, puisque nous avons montré que l’opérateurAeαest à résolvante compacte (théorème 3.1), donc que son spectre est discret. Ainsi, comme dans le cas du guide fermé, on pourrait représenter toute onde vivant dans le guide avec PMLs comme un superposition de modes guidés, de modes à fuite et de modes résultant de la discrétisation du spectre continu. Nous aurions ainsi atteint notre but, que nous avons exposé en conclusion du chapitre 1 : transformer l’intégrale sur les modes de radiation en une série. Mais contrairement à ce que nous avions annoncé, nous ne prendrions pas que les modes à fuite : la série ferait intervenir les modes à fuite dévoilés et les modes résultant de la discrétisation du spectre continu. A priori, il semble qu’il faille prendre en

compte en priorité les modes à fuite, puisqu’on a vu qu’ils permettent de rendre compte de la physique du phénomène, qu’ils ne sont pas liés à la PML, qu’ils ont une existence intrinsèque au guide d’ondes ouvert. Au contraire, les modes liés à la discrétisation du continuum ne sont liés qu’à la PML et, par conséquent, il paraît moins important de les prendre en compte. Nous verrons que, numériquement, la distinction entre les différents modes est en général difficile à faire et il semble, par conséquent, qu’il faille traiter les différents types de modes indifféremment.

La différence majeure avec le cas d’un guide fermé est que l’opérateurAeα, tout comme l’opérateur A_α (avec PML infinie), n’est pas autoadjoint. Par conséquent, nous n’avons pas à disposition le théorème spectral qui nous permet d’affirmer, comme pour un opérateur autoadjoint à résolvante compacte (ce qui est le cas pour un guide d’ondes fermé), que les fonctions propres forment une base Hilbertienne. Nous avons ainsi, grâce aux PMLs, transformé une difficulté (la présence d’un spectre continu) en une autre difficulté (le caractère non autoadjoint de l’opérateur transverse). En annexe de ce chapitre (section 3.4), nous expliquons en quoi démontrer la propriété de complé- tude des fonctions propres¹ est difficile dans le cas de l’opérateurAeα. Désormais, nous n’allons plus nous intéresser à la notion de complétude ou de de base des fonctions propres. Nous al- lons simplement nous poser la question suivante : comment décomposer ? Nous allons pour cela mettre en exergue une propriété importante de l’opérateurAeα: labi-orthogonalité.

Théorème 3.2 : Soit deux valeurs propres distinctes : λ_n ̸= λ_m, alors nous avons la relation de bi- orthogonalité suivante :

(Φ_n,Φ^∗_m)_L2(eΩ) = 0

où l’on a noté Φ_n la fonction propre associée à la valeur propreλ_n et où Φ^∗_m dénote la fonction propre associée à la valeur propreλ_mde l’adjoint deAe_α, notéAe^∗_α. Dans le cas 1D,

(Φ_n,Φ^∗_m)_L2(eΩ)=

∫ _h⋆

0

µ

αΦ_nΦ_mdz. (3.1)

Dans le cas 2D avec PML radiale,

(Φn,Φ^∗_m)_L2(eΩ) =

∫

B(0,R⋆)

µ

αγ ΦnΦmrdrdθ. (3.2)

Dans le cas 2D avec PMLs cartésiennes, (Φ_n,Φ^∗_m)_L2(eΩ) =

∫ _R⋆

−R⋆

∫ _R⋆

−R⋆

µ

α^yα^z Φ_nΦ_mdydz. (3.3) Démonstration. Nous savons que AeαΦn = λnΦn et Ae^∗_αΦ^∗_m = λmΦ^∗_m. Nous avons ainsi, d’une part, (AeαΦn,Φ^∗_m)_L2(eΩ) = λn(Φn,Φ^∗_m)_L2(eΩ). D’autre part, (AeαΦn,Φ^∗_m)_L2(eΩ) = (Φn,Ae^∗_αΦ^∗_m)_L2(eΩ) = λ_m(Φ_n,Φ^∗_m)_L2(eΩ). On en déduit, commeλ_n̸=λ_m, que(Φ_n,Φ^∗_m)_L2(eΩ)= 0.

Il nous reste maintenant à calculer l’adjoint deAα. Nous allons traiter le cas de l’opérateur 1D avec condition de Dirichlet en z = 0et de Neumann en z = h_⋆. Les autres cas se traitent de la

1La complétude est une notion beaucoup plus faible que celle de base de Riesz, et non suffisante pour justifier que l’on peut décomposer sur les fonctions propres. Mais cette notion plus faible est déjà difficile à démontrer.

même manière. Pour l’instant, calculons formellement(A_αu, v)_X. (Aαu, v)_X =

∫ h⋆

0

{

−α µ

d dz

( αµdu

dz )

v−k²uv }

dz

=

∫ _h⋆

0

{ α µdu

dz d dz

(α µv

)

−k²u v }

dz− [

α²vdu dz

]h⋆

0

=

∫ _h⋆

0

{

−u d dz

( α µ d

dz (α

µv ))

−k²u v }

dz− [

α²vdu dz

]h⋆

0

+ [

α µ d dz

(α µv

) u

]h⋆

0

. On en déduit que l’adjoint deA_αest l’opérateurA^∗_αdéfini par :

A^∗_αv(z) :=− d dz

(

α(z)µ(z) d dz

( α(z) µ(z)v(z)

))

−k²(z)v(z),

∀v∈D(A^∗_α) :=

{

v∈L²(0, h_⋆), d dz

( α µ d

dz (α

µv ))

∈L²(0, h_⋆), v(0) = 0,dv

dz(h_⋆) = 0 }

. Ainsi, si Φm est une fonction propre de Aeα associée à λm, µ/αΦm est une fonction propre de Ae^∗_α associée àλm. L’expression de(Φn,Φ^∗_m)_L2(eΩ) en découle. La même démarche dans le cas des opérateurs 2D donne les relations (3.2) et (3.3).

Ainsi, quand un mode est simple et que(Φ_n,Φ^∗_n)_L2(eΩ) ̸= 0, alors l’expression de la projection sur le sous-espace propre est simplement :

Pλnv=

(v,Φ^∗_n)_L2(eΩ)

(Φn,Φ^∗_n)_L2(eΩ)

Φn.

Lorsque le mode est multiple et qu’il y a des blocs de Jordan, i.e. la multiplicité algébrique n’est pas égale à la multiplicité géométrique, on doit utiliser une chaîne de Jordan. En pra- tique, nous supposerons que les modes sont simples. Mais une question demeure : peut-on avoir (Φn,Φ^∗_n)_L2(eΩ) = 0? Dans les exemples numériques que l’on va traiter, cela n’arrivera pas, mais cette question reste ouverte.

Deuxième étape : discrétisation de l’équation aux valeurs propres

La deuxième étape consiste à utiliser notre technique de discrétisation préférée pour discrétiser l’équation aux valeurs propres :Ae_αu=λ u. En ce qui nous concerne, nous utiliserons la technique des éléments finis : on part de la formulation variationnelle de l’équation aux valeurs propres, qui s’écrit, dans le cas 1D : trouveru∈Ve tel que pour toutv∈Ve,

∫

Ωe

µ (

αdu dz

dv dz −k²

α u v )

dz=λ

∫

Ωe

µ αu vdz,

oùVe = {u ∈ H¹(0, h_⋆), u(0) = 0}. Dans le cas 2D radial, la formulation variationnelle s’écrit : trouveru∈Ve tel que pour toutv ∈Ve,

∫

Ωe

µ (

H∇u· ∇v− k² γαu v

)

rdrdθ=λ

∫

Ωe

µ

γαu v rdrdθ,

où Ve = H¹(B(0, R_⋆)) et où ∇désigne le gradient en coordonnées radiales et H est la matrice définie par :

H:=



 α γ 0 0 γ α



.

Enfin, dans le cas 2D cartésien, la formulation variationnelle s’écrit : trouveru ∈Ve tel que pour toutv∈Ve, ∫

Ωe

µ (

H∇u· ∇v− k² α^yα^z u v

)

dydz=λ

∫

Ωe

µ

α^yα^z u vdydz,

oùVe =H¹(]−R⋆, R⋆[×]−R⋆, R⋆[)et où∇est le gradient en coordonnées cartésiennes et H:=



 α^y α^z 0

0 α^z α^y



.

Après discrétisation par éléments finis, on arrive classiquement à une formulation matricielle sous la forme :

Aαu=λBαu.

Nous sommes ainsi confrontés à un problème aux valeurs propres généralisé. Un propriété im- portante des matricesAα etBα est qu’elles sont symétriques mais non hermitiennes, à cause de la présence des PMLs. Ainsi, pour calculer les valeurs propres, nous avons besoin d’un solveur qui peut prendre en compte ces caractéristiques des matrices. Ce n’est par exemple pas le cas du solveureigsde Matlab (la matriceBαa besoin d’être hermitienne). Avec Matlab, nous pou- vons utilisereigpour des matrices pleines de petite taille. Pour des matrices plus grandes, nous avons utilisé le solveur JDQZ, qui repose sur une méthode de Jacobi-Davidson (voir [SvdV96] et [FSvdV98]).

Cette deuxième étape dans le calcul numérique des modes à fuite converge : les valeurs propres et les fonctions propres trouvées numériquement convergent vers celles de l’opérateurAe_α, lorsque le pas du maillage diminue (voir [KP09]).

No documento Etude mathématique et numérique de guides d’ondes ouverts non uniformes, par approche modale (páginas 92-97)