Le problème de couplage

Sur(−ε, ε),Φ^±_λ(z)est uniformément bornée enz, donc il existe deux constantesC > 0etC^′ > 0 telles que

|fb_⋆^±(x^′, λ)|= ∫

R⁺f⋆(x^′, z^′) Φ^±_λ dz^′ ≤C

∫

R⁺|f(x^′, z^′)|dz^′ ≤C^′∥f⋆(x^′, .)∥L²(R⁺). Donc

∥fb_⋆^±(., λ)∥²_L²_(X±)=

∫

x^′∈X^±|fb_⋆^±(x^′, λ)|²dx^′ ≤C^′2a∥f_⋆^±∥²_L²_(O±),

et ∫

(−ε,ε)

|λ|^−1/2∥fb_⋆^±(., λ)∥²_L²_(X±) dmes^±(λ)≤C^′2a∥f_⋆^±∥²_L²_(O±)

∫ _ε

−ε

|λ|^−1/2p^±_λ dλ.

Ceci achève la preuve.

Enfin, pour le quatrième point, remarquer que l’équation (4.12) est équivalente à : F^±φ^±₁(x, λ) =

∫

O^±γ_λ^±(x, x^′) Φ^±_λ(z)f_⋆^±(x^′, z^′) dx^′dz^′.

D’une part, Φ^±_λ(z)est analytique (par rapport à λ) dans C, d’autre part,γ_λ^±(x, x^′) est analytique dansC\iR⁺(voir la définition deγ_λ^±(4.13) et d’après le choix que nous avons fait pour la racine carrée). On en déduit le résultat, puisquef_⋆^±est à support compact. Le même argument peut être développé pour(∂/∂x)F^±φ^±₁.

Démonstration. Dans la thèse d’Axel Tillequin ([Til01] ou l’article [BBT00]), cette propriété est prouvée. Nous rappelons ici la démonstration, puisqu’elle est simple : elle relève du théorème de Lax–Milgram. Commeu = φ2|Σ,uest dans l’espaceV⁻∩V⁺. Écrivons la formulation varia- tionnelle associée à l’équation (4.18), en notantub^±_λ =F^±u(λ): trouveru∈V⁻∩V⁺tel que pour toutv ∈V⁻∩V⁺,

a⁻(u, v) +a⁺(u, v) =ℓ(v) où

a^±(u, v) :=

∫

Λ^±

√λbu^±_λ bv_λ^±dmes^±(λ), ∀u, v∈V^±,

ℓ(v) :=

∫

Σ

(∂φ⁺₁

∂x −∂φ⁻₁

∂x )

ψdz+ 2

∫

Λ⁻

√λF⁻u0(λ)F⁻v(λ) dmes^±(λ), ∀v∈V^±.

De manière rigoureuse, les intégrales ci-dessus devraient être écrites comme des crochets de dua- lité entre(Vb^±)^′ etVb^±.

Nous pouvons alors vérifier que le théorème de Lax–Milgram s’applique :V⁻∩V⁺est un espace de Hilbert muni du produit scalaire :

(u, v)_V−∩V⁺ = (u, v)_V−+ (u, v)_V+.

Par ailleurs,a⁻+a⁺est une forme sesquilinéaire continue et coercive surV⁻∩V⁺. En effet, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a facilement :

|a^±(u, v)| ≤ ∥u∥V^±∥v∥V^±. Puis,

|a⁻(u, v) +a⁺(u, v)| ≤ ∥u|V⁻∥v|V⁻+∥u|V⁺∥v|V⁺

≤(∥u|V⁻+∥v|V⁺) (∥u|V⁻+∥v|V⁺)≤2∥u|V⁻∩V⁺∥v|V⁻∩V⁺. Donc,a⁻+a⁺est une forme sesquilinéaire continue. De plus, en notantub^±_λ =F^±u(λ),

2|a(u, u)| ≥ℜe(

a⁻(u, u) +a⁺(u, u))+ℑm(

a⁻(u, u) +a⁺(u, u))

≥

∫

Λ⁻∩R⁺

√λ|bu⁻_λ|²dmes⁻(λ) +

∫

Λ⁺∩R⁺

√λ|bu⁺_λ|²dmes⁺(λ)

+

∫

Λ⁻∩R⁻

√λ|bu⁻_λ|²dmes⁻(λ) +

∫

Λ⁺∩R⁻

√λ|bu⁺_λ|²dmes⁺(λ)

≥ ∥u|²_V−+∥u|²_V⁺ ≥ ∥u|²_V−∩V⁺. Donc,a⁻+a⁺est donc coercive. Enfin, le second membre de la formulation variationnelle est une forme linéaire continue surV qui vérifie :

|ℓ(v)| ≤C

[∂φ⁺₁

∂x (0, .) (V⁺)^′

∥ψ∥V⁺+

(∂φ⁻₁

∂x (0, .) (V⁻)^′

+∥u0∥V⁻

)

∥ψ∥V⁻

] ,

pour tout v ∈ V⁻ ∩V⁻, ce qui montre que ℓ est continu. L’application du théorème de Lax–

Milgram donne l’existence et l’unicité de la solutionuavec l’estimation (4.19).

Remarque 4.8 : Le fait que l’équation sur l’interfaceΣentre les deux demi-guides relève du théorème de Lax–Milgram justifie a posteriori notre choix des espacesV⁻etV⁺.

Noter que si nous avions une équation vectorielle (par exemple les équations de Maxwell au lieu de l’équa- tion de Helmholtz), si l’on cherche à appliquer la même méthode pour obtenir une équation surΣ, celle-ci ne relève pas du théorème de Lax–Milgram. Ceci pose un problème pour la généralisation de notre méthode à des cas vectoriels.

Jusqu’à maintenant, nous avons cherché à construire une solution au problème(P₂). Nous avons défini, de manière formelle,φ₂par l’équation (4.17) oùuest la solution unique (dansV⁺∩V⁻) de l’équation (4.18). Le lemme suivant démontre queφ2 est alors bien une solution de(P2). Notam- ment, on démontre queφ₂est dans le bon cadre fonctionnel.

Lemme 4.1 φ2 est solution du problème(P2). De plus,φ2 dépend continûment des données : il existe une constanteC >0telle que pour toutx∈R^±,

∥φ2(x, .)∥V^± ≤C (

∥f⋆∥L²(O)+∥u0∥V⁻

), (4.21)

et pour tout domaine bornéOb⊂ O^±, il existe une constanteC(Ob)>0telle que

∥φ₂∥H¹(Ob) ≤C(Ob) (

∥f_⋆∥L²(O)+∥φ₀∥V⁻

). (4.22)

Démonstration. Nous allons traiter le cas deφ⁺₂, mais la même méthode s’applique pourφ⁻₂ avec des changements mineurs. SurΛ⁺,|e^−√λ|x|| ≤ 1, donc pourx ∈ R⁺,∥φ⁺₂(x, .)∥V⁺ ≤ ∥u∥V⁺ On en déduit queφ⁺₂(x, .) ∈ V⁺ pour toutx ∈ R⁺, et cela donne également les estimations (4.21), grâce à l’équation (4.20). On en déduit également que φ⁺₂ ∈ L²_loc(O⁺), puisque V⁺ ⊂ H_loc^1/2(R⁺) (cf. proposition 4.1).

On cherche maintenant à montrer queφ⁺₂ vérifie les équations de(P₂)dansO⁺. L’équation (4.17) se réécrit de manière plus explicite :

φ⁺₂(x, z) =

∫

Λ⁺

e⁻

√λxF⁺u(λ) Φ⁺_λ(z) dmes^±(λ), ∀x >0.

Cette expression peut être dérivée par rapport à x et z, en permutant les signes dérivée et in- tégrale, grâce au caractère exponentiellement décroissant de e⁻

√λx lorsqueλ → +∞ (en utili- sant le théorème de convergence dominée de Lebesgue). Ceci nous montre queφ⁺₂ est de classe C¹ dans ]0,+∞]×[0,+∞]et de classeC^∞ dans les deux domaines]0,+∞]×[0, h](le cœur) et ]0,+∞]×[h,+∞](la gaine) et vérifie :

−△φ⁺₂ −k⁺(z)²φ⁺₂ = 0, dansO⁺, (4.23)

φ⁺₂ = 0 surΓ⁺. (4.24)

Le problème est maintenant de comprendre en quel sens φ⁺₂ = u sur Σ. Nous ne savons pas encore queφ⁺₂ ∈H_loc¹ (O⁺), nous savons uniquement queφ⁺₂ ∈L²_loc(O⁺). Pourx >0, définissons Ox :=]x,+∞[×[0,+∞[etΣx := {x} ×[0,+∞[. En utilisant les équations vérifiées parφ⁺₂ (4.23)- (4.24) et la formule de Green, on a :

∫

O^xφ⁺₂ (−△ψ−k⁺(z)²ψ) dxdz=

∫

Σx

φ⁺₂ ∂ψ

∂x dz−

∫

Σx

∂φ⁺₂

∂x ψdz, pour toutψ∈ C^∞(O⁺)à support compact et tel queψ|Σ∪Γ= 0.

La question est maintenant : quelle est la limite de cette expression lorsquex→ 0? Tout d’abord, l’intégrale surOx converge vers la même intégrale surO⁺, puisqueφ⁺₂ ∈ L²_loc(O⁺). Ensuite, les intégrales surΣxpeuvent être interprétées comme des crochets de dualité entre(Vb^±)^′etVb^±. Tout d’abord, on a :lim_x→0⁺φ⁺₂(x, .) =udansV⁺, puisque

x→0lim⁺∥φ⁺₂(x, .)−u∥V⁺ = lim

x→0⁺∥(e^−√λx−1)F⁺u∥_Vb+ = 0

par convergence dominée. D’autre part, nous avons : ∂φ⁺₂

∂x (x, .) _(b

V⁺)^′

=−√ λe⁻

√λxF⁺u

(Vb⁺)^′ ≤|λ|^1/2F⁺u

(Vb⁺)^′ =∥F⁺u∥_Vb+ =∥u∥V⁺. En utilisant la proposition 4.1, on a∥ψ(x, .)∥V⁺ ≤C∥ψ(x, .)∥_H^1/2_(R⁺₎ →0lorsquex →0⁺. On en déduit que pour toutψ∈ C^∞(O⁺)à support compact et tel queψ|Σ∪Γ= 0,

∫

O⁺φ⁺₂ (−△ψ−k⁺(z)²ψ) dx dz=

⟨∂ψ

∂x|Σ, u

⟩

(V⁺)^′,V⁺

.

On rappelle que nous avons pris comme définition du dual l’ensemble des formes antilinéaires continues. Ainsi,φ⁺₂ est une solution au sens des distributions de (4.23)-(4.24) avec la condition φ⁺₂ =usurΣ. Commeu∈H_loc^1/2(R⁺)(cf. proposition 4.1), des arguments standards de régularité pour les équations elliptiques (voir par exemple [Neˇc67]) montrent queφ⁺₂ ∈H_loc^1/2(O⁺)et satisfait la condition de stabilité (4.22).

Nous sommes désormais en mesure de démontrer que le problème(P2)est bien posé.

Proposition 4.5 Le problème(P2)admet une unique solutionφ2 qui dépend continûment des données, au sens où les estimations (4.21) et (4.22) sont vérifiées.

Démonstration. Jusqu’à maintenant, nous avons exhibé une solution au problème (P₂). Il reste à vérifier que cette solution est unique. Pour cela, nous résolvons les équations vérifiées par φ^±₂ sans onde incidente (φ0 = 0) et sans terme source sur Σ ([∂φ1/∂x]Σ = 0). Nous résolvons ces équations homogènes au sens des distributions, i.e. dans D^′(R^±)⊗ S_A^′±(R⁺). En appliquant la transformation de Fourier généralisée, on obtient, en notantφb^±₂ =F^±φ₂:

−∂²φb^±₂

∂x² +λφb^±₂ = 0 dansD^′(R^±)⊗Sb_A^′ ±(Λ^±).

On sait alors que la solution de cette équation est donnée par : b

φ^±₂(x, λ) =bσ_λ^±e⁻

√λx+ηb_λ^±e

√λx.

C’est le fait queφb^±₂ est une fonction deλqui nous permet d’affirmer cela (voir l’annexe 4.4, nous avons déjà utilisée ceci à la remarque 4.4 pour justifier l’équation (4.1)).

Les conditions de rayonnement modales(R^±)imposent alors : b

φ^±₂(x, λ) =F^±u(λ) e⁻

√λ|x|, ∀ ±x≥0,∀λ∈Λ^±,

oùu =φ₂|Σ ∈ V⁻∩V⁺ est la solution unique de l’équation (4.18) avec un second membre nul.

On en déduit queu= 0, puis queφ₂= 0.

Dans la section suivante, comme pour les problèmes découplés, nous allons avoir besoin de quelques propriétés de la solution au problème (P2), qui sont regroupées dans la proposition suivante.

Proposition 4.6 La solutionφ2du problème(P2)satisfait les propriétés suivantes :

• Il existe une constanteC >0telle que pour toutx̸= 0, pour toutz∈R⁺,

|φ₂(x, z)| ≤C (

1 + 1

|x|^1/2 )

, ∂φ2

∂x (x, z) ,≤C

(

1 + 1

|x|^3/2 )

et ∂φ2

∂z (x, z) ≤C

(

1 + 1

|x|^3/2 )

.

• φ₂∈L^∞(O) +L²(O).

Démonstration. Nous allons démontrer les propriétés pour φ⁺₂ puisque la présentation est plus simple dans ce cas mais la même démarche peut être appliquée pourφ⁻₂.

Pour le premier point, soitx ̸= 0. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et en utilisant l’expression deφ⁺₂ (4.17), nous avons :

|φ⁺₂(x, z)|²≤ (∫

Λ⁺

|λ|^1/2|F⁺u(λ)|²dmes⁺(λ) ) (∫

Λ⁺

|λ|^−1/2|Φ⁺_λ(z)|² e⁻

√λ|x|² dmes⁺(λ) )

. La première intégrale vaut∥u∥²_V+ par définition. Il reste à montrer que la seconde est bornée par C(1 + 1/|x|^1/2), avec C > 0, une constante indépendante de x et de z. Pour cela, nous allons utiliser des estimations de|Φ⁺_λ(z)|²p⁺_λ, qui sont regroupées dans un lemme technique (lemme 4.7) dont la preuve est reportée en annexe de ce chapitre. Tout d’abord, remarquer que la contribution de Λ⁺_p est bornée car Φ⁺_λ(z) est exponentiellement décroissant par rapport à z et |e^−√λ|x|| = 1.

Sur Λc, a priori, des problèmes d’intégrabilité peuvent apparaître en λ = 0 et λ = +∞. Nous décomposons alors l’intégrale en deux morceaux : sur les modes propagatifs :λ∈[−k²_∞,0], nous avons|Φ⁺_λ(z)|²p⁺_λ ≤ C/√

λ+k²_∞pour tout z ∈ R⁺ et sur les modes évanescents : λ ∈]0,+∞[,

|Φ⁺_λ(z)|²p⁺_λ ≤Cpour toutz∈R⁺(cf. lemme 4.7). Ainsi,

|φ⁺₂(x, z)|² ≤C∥u∥²_V⁺ (∫ ₀

−k_∞²

√ 1

|λ|(λ+k²_∞)dλ+

∫ _+∞

0

e^−2√λ|x|

√|λ| dλ )

.

La première intégrale est bornée. La deuxième vaut 1/|x|. En effet, grâce au changement de va- riableγ =√

λ, on a :

∫ _+∞

0

|λ|^−1/2e⁻²

√λ|x|dλ= 2

∫ _+∞

0

e^−2γ|x|dγ = 1

|x|.

Ainsi, nous obtenons l’estimation pour |φ2(x, z)|. Pour ∂φ^±₂/∂x et ∂φ^±₂/∂z, remarquer tout d’abord que nous pouvons intervertir les signes dérivée et intégrale pourx ̸= 0grâce au terme exponentiellement décroissant (lorsqueλ→+∞)e⁻

√λ|x|. D’où,

∂φ⁺₂

∂x (x, z) =

∫

Λ⁺

F⁺u(λ) ∂

∂x (

e⁻

√λ|x|)

Φ⁺_λ(z) dmes⁺(λ),

∂φ⁺₂

∂z (x, z) =

∫

Λ⁺

F⁺u(λ) e⁻

√λ|x|∂Φ⁺_λ

∂z (z) dmes⁺(λ).

L’idée est ensuite la même : par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ∂φ⁺₂

∂x (x, z)

² ≤ ∥u∥²_V⁺ (∫

Λ⁺

|λ|^1/2|Φ⁺_λ(z)|² e^−√λ|x|2 dmes⁺(λ) )

, ∂φ⁺₂

∂z (x, z)

² ≤ ∥u∥²_V⁺ (∫

Λ⁺

|λ|^−1/2 ∂Φ⁺_λ

∂z (z) ² e⁻

√λ|x|² dmes⁺(λ) )

.

Comme ci-dessus, les modes propagatifs (modes guidés et modes de radiation propaga- tifs) donnent une contribution bornée. Puis, pour les modes évanescents, utiliser le fait que

|Φ⁺_λ(z)|²p⁺_λ ≤ C et |∂Φ⁺_λ(z)/∂z|²p⁺_λ ≤ Cλ (cf. lemme 4.7). Dans les deux cas, nous obtenons l’estimation voulue avec le changement de variableγ =√

λet en procédant à deux intégrations par parties : ∫ _+∞

0

√λe⁻²

√λ|x|dλ= 2

∫ _+∞

0

e^−2γ|x|γ²dγ = 1 2|x|³.

Ceci permet de prouver le premier point de la proposition.

Pour le deuxième point, l’idée est d’isoler les modes pour lesquels la variable spectraleλest près de0: nous décomposonsφ⁺₂ =φ^a₂(x, z) +φ^b₂(x, z)où

φ^a₂(x, z) := (F⁺)⁻¹

(χ(λ)b bu⁺_λ e⁻

√λ|x|)

, et φ^b₂(x, z) := (F⁺)⁻¹ (

(1−χ(λ))b ub⁺_λ e⁻

√λ|x|) , oùχ(λ)b est une fonction de troncature valant1 pour λ ∈ [−k²₀, α], avecα > 0 et valant0 pour toutλ > β, avecβ > α. Cette décomposition est à rapprocher de celle utilisée dans la proposition 4.1 pour montrer que n’importe quel élément deV^±peut se décomposer comme la somme d’une fonction deH^1/2(R⁺)et d’une fonction continue et tendant vers0à l’infini. Dans la décomposition utilisée ici,φ^a₂est la contribution des composantes spectrales propagatives et des composantes au voisinage deλ = 0. Ainsi, en appliquant la même méthode que celle que nous avons appliquée pour le premier point à φ⁺₂, nous obtenons : φ^a₂ ∈ L^∞(O^±). En effet, aucun problème ne peut provenir deλ= +∞(ce qui enlève la partie en1/x). Montrons maintenant queφ^b₂ ∈L²(O⁺):

∥φ^b₂∥²_L²_(O⁺₎ =

∫

O⁺|φ^b₂(x, z)|²dxdz=

∫

Λ⁺

∫

R⁺

(1−χ(λ))b bu⁺_λ e⁻

√λ|x|² dxdmes⁺(λ)

≤

∫ _+∞

α

bu⁺_λ² (∫

R⁺e⁻²

√λ|x|dx )

p⁺_λ dλ≤C

∫ _+∞

α

√1

λ bu⁺_λ²p⁺_λ dλ≤C∥u∥²_V⁺. Cela montre queφ^b₂ ∈L²(O⁺).

No documento Etude mathématique et numérique de guides d’ondes ouverts non uniformes, par approche modale (páginas 162-167)