Spectre discret, Λ disc (A) , et propriétés

Maintenant que nous avons étudié le spectre essentiel, passons au spectre discret. À la section 1.1, nous avons vu que l’on pouvait caractériser les valeurs propres par une relation de dispersion explicite. Dans le cas général, une telle relation de dispersion n’est pas facilement accessible et ce sont les formules dites du min-max qui permettent de démontrer des résultats sur le spectre discret.

Proposition 1.6 Le spectre discret de l’opérateurA, notéΛ_disc(A), est constitué d’un nombre fini de valeurs propres, incluses dans]−k_max² ,−k_∞² [.

Démonstration. Comme le spectre est inclus dans[−k_max² ,+∞[et que le spectre essentiel est égal à [−k²_∞,+∞[, on en déduit directement que le spectre discret est inclus dans[−k_max² ,−k_∞² [.

Tout d’abord, −k²_max ne peut pas être une valeur propre deA. En effet, distinguons deux cas : k_max = k_∞ et k_max > k_∞. Dans le cas où k_max = k_∞, alors on a vu que k_max ∈ Λ_e(A), donc kmax ∈/ Λdisc(A). Supposons maintenant que kmax > k_∞. Alors, en multipliant l’équation aux valeurs propres parµuet en intégrant par parties, on obtient :

∫

Ω

µ|∇u|²dΩ =−

∫

Ω

(k_max² −k²)µ|u|²dΩ.

Le terme de gauche est toujours positif, le terme de droite est toujours négatif. On en déduit qu’ils sont nuls, donc que∇u = 0, puis queuest une constante, ce qui ne peut appartenir au spectre discret.

Il ne reste plus qu’à vérifier que les valeurs propres du spectre discret sont en nombre fini. Pour cela, nous allons appliquer le principe du min-max (voir, dans l’annexe, la proposition A.2 pour un énoncé du principe du min-max).

2Le principe de prolongement unique est valable pour tout opérateur elliptique, dans notre cas avecµ∈W^1,∞(Ω), par morceaux, et tel qu’il existe deux constantesC1, C2telles que pour tout(y, z)∈Ω,0< C1< µ(y, z)< C2 <+∞, et avecρ∈L^∞(Ω), voir par exemple [RL09, théorème 4.2].

Notons Ω_B la boule de centre0 et de rayonR. L’idée est de comparer les valeurs propres de A situées en dessous de la borne inférieure du spectre essentiel deAavec les valeurs propres d’un opérateur à résolvante compacte, que l’on va noterAB. L’opérateurABest défini par :

A_Bu:=−1

µdiv(µ∇u)−k²u, ∀u∈D(A_B) :={u∈H¹(Ω_B),div(µ∇u)∈L²(Ω_B),∂u

∂n|∂ΩB = 0}. Il est alors facile de vérifier queA_Best un opérateur autoadjoint à résolvante compacte (on utilise le fait que l’injection de H¹(ΩB) dans L²(ΩB) est compacte (théorème de Rellich)). La théorie spectrale nous assure alors qu’il existe une suite de valeurs propres croissanteλ^B_n, qui tend vers +∞ et une base hilbertienne de L²(Ω_B) constituée des fonctions propres u^B_n ∈ D(A_B) deA_B, telles queABu^B_n =λ^B_nu^B_n. Ces valeurs propresλ^B_n sont caractérisées par la formule suivante, dite du min-max :

λ^B_n = sup

Vn−1∈Vn−1(L²(ΩB))

inf

u∈V_n^⊥₋₁∩H¹(ΩB),u̸=0

a_B(u, u) (µ u, u)_L²_(ΩB),

oùVn−1(L²(ΩB))est un sous-espace deL²(ΩB)de dimensionn−1,W^⊥désigne l’orthogonal de W, i.e.{u ∈ X,(µ u, v)_X = 0,∀v ∈ W}eta_B(u, v)est la forme associée à l’opérateurA_B, définie par

aB(u, v) =

∫

ΩB

(µ∇u· ∇v−ω²ρ u v) dΩ.

Cette forme est définie surH¹(Ω_B).

Maintenant, la formule du min-max appliquée àAdonne : λn(A) = sup

V_n−1∈Vn−1(L²(Ω))

inf

u∈V_n^⊥₋₁∩H¹(Ω),u̸=0

a(u, u) (µ u, u)_L²_(Ω), oùa(u, v)est la forme associée àA:

a(u, v) =

∫

Ω

(µ∇u· ∇v−ω²ρ u v) dΩ,

définie sur H¹(Ω). Considérons V_n−1 le sous-espace deL²(Ω)engendré par lesn−1premières valeurs propres deAB, complétées par0dansΩ\ΩB. On a :

λn(A)≥ inf

u∈W,u̸=0

a(u, u) (µ u, u)_L²_(Ω),

oùW =V_n^⊥₋₁∩H¹(Ω) ={u∈H¹(Ω),(µ u, u^B_k)_L²_(ΩB) = 0,∀k= 1, . . . , n−1}.

On remarque alors que

a(u, u) =aB(u, u) +µ_∞

∫

Ω\ΩB

|∇u|²dΩ−ω²ρ_∞

∫

Ω\ΩB

|u|²dΩ.

Par définition deλ^B_n, pour toutu∈W,

a_B(u, u)≥λ^B_n(µ u, u)_L²_(ΩB). Au final, on a, pouru∈W :

a(u, u)≥λ^B_n(µ u, u)_L2(ΩB)−k_∞²

∫

Ω\ΩB

µ|u|²dΩ≥min(λ^B_n,−k_∞² )(µ u, u)_L2(Ω).

On en déduit queλ_n(A)≥min(λ^B_n,−k_∞² ).

Commeλ^B_n →+∞, alorsλn(A) =−k_∞² au delà d’un certain rang. Ceci montre d’après le principe du min-max qu’il n’y a qu’un nombre fini de valeurs propres en dessous de la borne inférieure du spectre essentiel.

Proposition 1.7(croissance du nombre de valeurs propres avec la fréquence) Nous notonsN(ω) le nombre de valeurs propres strictement inférieures à−k_∞² . AlorsN(ω) est une fonction croissante par rapport àω.

Démonstration. On applique ici aussi le principe du min-max. Commeλ_n(A), défini par la formule du min-max, est toujours inférieur ou égal à−k_∞² , on a :

λn(A) +k_∞² = inf

Vn∈Vn(V) sup

u∈Vn,u̸=0

min (

0, a(u, u) (µ u, u)X

+k_∞² )

. Remarquons que

a(u, u)

(µ u, u)_X +k²_∞= ∫ 1

Ωµ|u|²dΩ

∫

Ω

(µ|∇u|²−ω²(ρ−ρ_∞)|u|²) dΩ.

En fixant la fonctionu, on voit que la quantité min

(

0, a(u, u)

(µ u, u)_X +k²_∞ )

est décroissante vis à vis deω: c’est une fonction du typemin(0, a−ω²b), avec a > 0. Donc sib est positif, c’est bien une fonction décroissante et sibest négatif alorsmin(0, a−ω²b) = 0, qui est bien une fonction décroissante.

Ainsi, la fonctionω 7→ λ_n(A) +k_∞² est décroissante car l’inf et lesupd’une famille de fonctions décroissantes sont également des fonctions décroissantes. Or,N(ω)est défini par :

N(ω) = sup{

n≥1, λn(A) +k_∞² <0} . On en déduit queN(ω)est croissant par rapport àω.

Ce résultat nous permet de définir la notion defréquence de coupure(cut-off frequency en anglais) : une fréquence de coupure est une fréquence pour laquelle un mode guidé apparaît ou disparaît.

La proposition 1.7 nous montre que le nombre de valeurs propres est une fonction croissante par rapport à ω. Ainsi, en augmentant ω, des valeurs propres apparaissent. Les valeurs deω pour lesquelles cela se produit sont les fréquences de coupure. Cette notion coïncide avec celle que nous avons vue à la section 1.1. En effet, à la section 1.1, une fréquence de coupure est définie comme une fréquence pour laquelle −k²_∞ est solution de l’équation de dispersion : une valeur propre apparaît de la borne inférieure du spectre essentiel.

Nous appelons lemode fondamentalla plus petite valeur propre strictement inférieure à la borne inférieure du spectre essentiel.³

Proposition 1.8(Existence du mode fondamental, dans le cas du guide constant par morceaux) Dans le cas du guide constant par morceaux, nous rappelons que nous notons c₀ la vitesse, constante, dans le cœur. Nous avons l’équivalence suivante (qui donne une condition nécessaire et suffisante pour

3Nous ferons souvent la confusion de vocabulaire entre la notion de mode et la valeur propre associée au mode. En toute rigueur, on devrait dire la valeur propre associée au mode fondamental.

l’existence du mode fondamental), en notant comme à la proposition 1.7N(ω)le nombre de valeurs propres strictement inférieures à−k²_∞,

N(ω)≥1,∀ω si, et seulement si, c₀ < c_∞.

En d’autres termes, il faut et il suffit que la vitesse soit plus faible dans le cœur que dans la gaine pour qu’il y ait au moins une valeur propre.

Démonstration. Montrons tout d’abord que si N(ω) ≥ 1, pour toutω alors c₀ < c_∞. Supposons par l’absurde que c₀ ≥ c_∞. Alors, on a vu que le spectre discret deAest vide, ce qui se réécrit N(ω) = 0.

Montrons maintenant la réciproque. Supposonsc₀ < c_∞. On va utiliser le principe du min-max pour la première valeur propre :

λ₁(A) = inf

V1∈V1(V) sup

u∈V1,u̸=0

(µ Au, u)_L2(Ω)

(µ u, u)²_L2(Ω)

.

On noteΩBla boule de centreOet de rayonR, qui contient le cœur du guide (là oùk=k0,c=c0, µ=µ₀,ρ=ρ₀). SoitM > R >0. Soitu_M défini par :

u_M =





1 sir≤R,

ln( _r

M

)/ln(_R

M

) siR < r≤M,

0 sir > M.

On vérifie alors que∫

R²|∇u_M|²dΩ = 2π/ln(_M

R

). Donc,∫

R²|∇u_M|²dΩ→0quandM →+∞. On a par principe du min-max :

λ₁(A)≤ (µ AuM, uM)_L²_(Ω) (µ u_M, u_M)²_L2(Ω)

= ∫ 1

R²µ|uM|²dΩ (∫

R²µ|∇u_M|²dΩ−

∫

R²µ k²|u_M|²dΩ )

. En faisant tendre M vers +∞, comme −k² ≤ −k_∞² , on a :λ1(A) < −k²_∞. Ceci implique, par principe du min-max, queN(ω)≥1.

No documento Etude mathématique et numérique de guides d’ondes ouverts non uniformes, par approche modale (páginas 36-39)