Modes guidés et modes de radiation

l’existence du mode fondamental), en notant comme à la proposition 1.7N(ω)le nombre de valeurs propres strictement inférieures à−k²_∞,

N(ω)≥1,∀ω si, et seulement si, c₀ < c_∞.

En d’autres termes, il faut et il suffit que la vitesse soit plus faible dans le cœur que dans la gaine pour qu’il y ait au moins une valeur propre.

Démonstration. Montrons tout d’abord que si N(ω) ≥ 1, pour toutω alors c₀ < c_∞. Supposons par l’absurde que c₀ ≥ c_∞. Alors, on a vu que le spectre discret deAest vide, ce qui se réécrit N(ω) = 0.

Montrons maintenant la réciproque. Supposonsc₀ < c_∞. On va utiliser le principe du min-max pour la première valeur propre :

λ₁(A) = inf

V1∈V1(V) sup

u∈V1,u̸=0

(µ Au, u)_L2(Ω)

(µ u, u)²_L2(Ω)

.

On noteΩBla boule de centreOet de rayonR, qui contient le cœur du guide (là oùk=k0,c=c0, µ=µ₀,ρ=ρ₀). SoitM > R >0. Soitu_M défini par :

u_M =





1 sir≤R,

ln( _r

M

)/ln(_R

M

) siR < r≤M,

0 sir > M.

On vérifie alors que∫

R²|∇u_M|²dΩ = 2π/ln(_M

R

). Donc,∫

R²|∇u_M|²dΩ→0quandM →+∞. On a par principe du min-max :

λ₁(A)≤ (µ AuM, uM)_L²_(Ω) (µ u_M, u_M)²_L2(Ω)

= ∫ 1

R²µ|uM|²dΩ (∫

R²µ|∇u_M|²dΩ−

∫

R²µ k²|u_M|²dΩ )

. En faisant tendre M vers +∞, comme −k² ≤ −k_∞² , on a :λ1(A) < −k²_∞. Ceci implique, par principe du min-max, queN(ω)≥1.

oùβ, le nombre d’onde longitudinal est relié àλpar la relationλ =−β² etλvit dansΛ(A). On choisit, comme dans le cas 1D vu à la section 1.1,

β:=

{ √

−λ siλ≤0, i√

λ siλ >0.

Pourλ∈Λ_p(A), la notion demode guidéest la même que précédemment (section 1.1).

Ensuite, pour λ ∈ Λ_c(A), il n’y a pas de fonction propre associée à λ. Par contre, on peut dé- finir la notion de fonction propre généralisée (voir section A.1.5). Dans le cas 1D, nous avons dé- fini les fonctions propres généralisées comme les fonctions bornées, et n’appartenant pas au do- maine deA, vérifiant l’équationAu= λu. Ici, l’idée est la même : nous cherchons un espaceX_↑ qui est plus « gros » queL²(Ω)(qui autorise des comportements oscillants au voisinage de l’in- fini). Les fonctions propres généralisées sont alors les éléments qui vérifient u ∈ X_↑, u ̸= 0 et Au = λu.⁴ Soit Φ_λ(y, z) une fonction propre généralisée associée àλ ∈ Λ_c(A). Les modes sui- vants φ^→_λ (x, y, z) = Φλ(y, z) e^iβx etφ^←_λ (x, y, z) = Φλ(y, z) e^−iβx sont alors desmodes de radiation.

Ils peuvent être propagatifs siλ < 0: dans ce cas, on a, comme pour les modes guidés, une dé- pendance du typee^±iβx, avecβ ∈R⁺ouévanescentssiλ >0: dans ce cas, leur dépendance est du typee^∓γx, avecγ =√

λ∈ R⁺ : dans ce cas,φ^→_λ est exponentiellement décroissant pourx→ +∞ etφ^←_λ est exponentiellement décroissant pourx→ −∞.

« Avec les mains », nous pouvons dire, comme dans le cas 1D présenté à la section 1.1, qu’un mode guidé correspond à un mode qui est localisé dans le cœur du guide et un mode de radiation est un mode qui, au contraire, est oscillant à l’infini dans les directions transverses.

C

ONCLUSION SUR L

’

ÉTUDE SPECTRALE DE L

’

OPÉRATEUR TRANSVERSE

Dans ce chapitre, nous avons défini les notions de modes guidés et de modes de radiation. Les modes guidés sont liés aux valeurs propres de l’opérateur transverse alors que les modes de radia- tion sont liés au spectre continu. Ceci nous donne une famille de solutions particulières des équa- tions dans le guide d’ondes ouvert uniforme. Une question naturelle à se poser est la suivante : est-ce que cette famille de solutions est suffisante pour représenter « n’importe quelle onde » vé- rifiant les équations dans le guide uniforme ?

Dans le cas d’un guide fermé, c’est-à-dire de section transverseΩbornée, nous avons vu en intro- duction que grâce au théorème de Rellich (l’injection deH¹(Ω)dansL²(Ω)est compacte siΩest borné), on montre que l’opérateur transverseAest à résolvante compacte. Il n’y a donc plus de spectre continu. De plus, la théorie spectrale (voir l’annexe A.1) nous permet alors d’affirmer que l’ensemble des fonctions propres forme une base hilbertienne deL²(Ω): toute fonctionu∈L²(Ω) peut se décomposer sous la forme d’une série de Fourier, par exemple dans le cas d’un milieu transverse 1D :

u(z) =∑

n

(u,Φ_n)_L²_(Ω)Φ_n(z), (1.23)

en notant Φ_n les fonctions propres orthonormalisées. Ainsi, comme nous l’avons vu en intro- duction de ce mémoire, nous pouvons décomposer toute fonctionφvérifiant les équations dans

4En fait, l’écritureAu=λu, pouru∈X_↑est formelle. De façon rigoureuse, nous définissonsX_↑comme l’espace dual d’un espaceX_↓, qui est plus petit queL²(Ω)(qui impose des comportements plus décroissants à l’infini). L’écriture Au=λu, pouru∈X_↑signifie alors :

⟨u, Av⟩_X↑,X↓ =λ⟨u, v⟩_X↑,X↓, ∀v ∈X_↓, où⟨., .⟩X_↑,X_↓est le produit de dualité entreX_↑etX_↓.

le guide comme une série de Fourier sur les modes aller et retour (en utilisant le fait que φ(x, .)∈L²(Ω)pour toutx) :

φ(x, z) =∑

n

Φn(y) (

ane^iβnx+bne^−iβnx )

. (1.24)

Dans le cas d’un guide ouvert, nous avons vu qu’il y a, en plus d’un spectre discret, un spectre continu. La formule de représentation (1.24) n’est plus valable. En fait, on peut montrer que l’en- semble des fonctions propres et des fonctions propres généralisées forme une base, en un certain sens, deL²(Ω), oùΩest la section transverse. Dans la formule de décomposition d’une fonction u(z)sur les fonctions propres et les fonctions propres généraliséesΦ_λ (l’analogue de (1.23) pour un guide fermé), il y a maintenant, en plus d’une somme finie sur les fonctions propres, une inté- grale faisant intervenir les modes de radiation :

u(z) = ∑

λ∈Λp(A)

(u,Φ_λ)_L²_(Ω)

∥Φ_λ∥²_L2(Ω)

Φ_λ(z) +

∫

λ∈Λc(A)

⟨Φ_λ, u⟩Φ_λ(z)p_λdλ. (1.25)

Nous voyons alors que le coefficient devant une fonction propre généralisée n’est pas une simple normalisation, comme pour le coefficient devant une fonction propre, puisque les fonctions propres généralisées ne sont pas des éléments de L²(Ω). Nous utiliserons cette décomposition et nous expliquerons comment l’obtenir dans le cas de l’opérateurAde la section 1.1, en faisant intervenir ce qu’on appelle latransformation de Fourier généraliséeassociée à l’opérateurA, au cha- pitre 4. Par contre, d’un point de vue numérique, le fait qu’il y ait un continuum de modes (et non plus un nombre discret de modes comme dans le cas du guide fermé) nous semble problématique.

Nous allons chercher, dans la suite, à « discrétiser » ce continuum, c’est-à-dire à nous ramener à une série au lieu d’une intégrale dans la formule (1.25) : pour cela, pour allons introduire la notion demodes à fuite.

2

S^OMMAIRE

2.1 LE CAS D’UN GUIDE2DÀ COEFFICIENTS CONSTANTS DANS LE CŒUR . . . 37 2.1.1 Description des modes à fuite . . . . 37 2.1.2 Les modes à fuite : les modes guidés lorsqu’ils ont passé la borne inférieure du

spectre essentiel . . . . 39 2.1.3 Les modes à fuite : les modes d’un guide fermé lorsque celui-ci est plongé dans un

milieu homogène infini . . . . 41 2.2 LE CAS D’UN GUIDE2DQUELCONQUE . . . 42 2.2.1 Introduction d’une PML infinie enzou prolongement analytique dans la variablez 44 2.2.2 Spectre de l’opérateur transformé . . . . 48 2.3 LE CAS D’UN GUIDE3D. . . 58 2.3.1 Introduction d’une PML radiale ou prolongement analytique dans la variable radiale 60 2.3.2 Spectre de l’opérateur transformé . . . . 62 2.3.3 Et si on utilisait des PMLs cartésiennes ? . . . . 71

L’

^ÉTUDEspectrale de l’opérateur transverse a fait apparaître deux types de modes : un nombre fini de modes guidés (éventuellement zéro), qui sont localisés au niveau du cœur du guide ouvert et qui se propagent sans atténuation selon la direction de propagation, et un continuum de modes de radiation, qui sont oscillants dans les directions transverses et qui peuvent être propa- gatifs ou évanescents dans la direction de propagation. Nous avons également mentionné que les fonctions propres (liées au spectre ponctuel) et les fonctions propres généralisées (liées au spectre continu) forment, en un certain sens, une base deL²(Ω), oùΩest la section transverse du guide ouvert. La formule de décomposition sur cette base fait alors intervenir une intégrale sur le spectre continu, ce qui paraît très coûteux à mettre en œuvre dans une méthode numérique.

Nous allons, dans ce chapitre, nous intéresser à un autre type de modes du guide ouvert, qui ne rentre pas dans le spectre de l’opérateur transverse, modes qui sont pourtant liés à cet opérateur.

Il s’agit des modes à fuites (leaky modes en anglais). Nous allons voir que ces modes forment un ensemble discret. L’idée qui nous poursuit est la suivante : nous voulons transformer, dans la formule de décomposition sur la base des fonctions propres et des fonctions propres généralisées, l’intégrale sur le spectre essentiel en une série sur les modes à fuite. En effet, du simple point de

35

vue de la dénomination des différents modes, les modes de radiation permettent de prendre en compte la radiation dans la gaine (là où les modes guidés permettent de prendre en compte le guidage dans le cœur). Quant aux modes à fuite, ils permettent de mettre en évidence les fuites dans la gaine. Il semble donc que modes de radiation et modes à fuite rendent compte du même phénomène physique. Mais nous verrons, au chapitre suivant, que la transformation de l’intégrale sur le spectre essentiel en une série sur les modes à fuite n’est pas évidente a priori. Avant toute chose, voyons ce que sont exactement ces objets appelés modes à fuite.

De manière à introduire simplement le concept de mode à fuite, nous allons nous poser deux ques- tions « physiques ». Ces deux manières d’introduite le concept de mode à fuite peuvent être trou- vées dans des manuels de physique, par exemple dans les références suivantes : [Vas91], [SL83]

ou [Mar74].

Une première question naturelle est la suivante : que devient un mode guidé du guide ouvert lorsque celui-ci se rapproche de la borne inférieure du spectre essentiel ? En effet, en diminuant la fréquenceω, on a vu que le nombre de modes guidés diminue (proposition 1.7). Ainsi des modes guidés disparaissent. Mais alors, que deviennent-ils ? Nous allons voir, dans un cas particulier, qu’ils deviennent des modes à fuite.

Une deuxième question est la suivante : que deviennent les modes d’un guide fermé lorsque l’on plonge celui-ci dans un milieu infini (i.e. lorsque le guide devient ouvert) ? En effet, lorsque le guide est fermé, la résolvante de l’opérateur transverse est compacte ; ainsi, il y a un ensemble discret (infini) de modes. Nous allons illustrer sur un cas particulier le fait qu’une trace de ces modes du guide fermé se retrouve dans les modes à fuite du guide ouvert correspondant.

Dans la section 2.1, nous définirons les modes à fuite comme les solutions complexes de la relation de dispersion des modes guidés (sous-section 2.1.1). Ceci nous permettra d’illustrer les deux phé- nomènes physiques cités ci-dessus (sous-sections 2.1.2 et 2.1.3). Lorsqu’une telle relation de dis- persion n’est pas facilement accessible, nous utiliserons une autre définition des modes guidés : ils correspondent aux pôles de la résolvante de l’opérateur transverse. Les modes à fuite apparaissent lorsque l’on cherche les pôles, non pas de la résolvante, mais du prolongement analytique de la résolvante au travers du spectre continu. Nous allons voir dans la section 2.2 (pour un guide 2D) et 2.3 (pour un guide 3D) comment procéder au prolongement analytique de la résolvante ; ceci nous amènera à construire un nouvel opérateur dont les propriétés spectrales seront détaillées.

En pratique, nous verrons que nous parviendrons à faire ce prolongement analytique grâce à l’introduction d’unePML(Perfectly Matched Layerou couche absorbante parfaitement adaptée en français) d’épaisseur infinie.

Avant de rentrer dans le vif du sujet, il est intéressant de noter que la notion de mode à fuite est en fait similaire à celle derésonance. Dans des problèmes de diffraction d’ondes par des obstacles dans des géométries non bornées (voir par exemple [HHK04] et [HHKS07]), ou dans des problèmes de physique quantique (voir par exemple [Sim78]), la recherche des résonances du système physique considéré revient à chercher les pôles du prolongement analytique de la résolvante d’un opérateur autoadjoint. La différence essentielle entre une résonance et un mode à fuite est la suivante : le paramètre temps (t) pour une résonance est remplacé par la direction de propagation (x) pour un mode à fuite. On verra qu’un mode à fuite est toujours atténué lorsquexaugmente, tout comme un mode résonant est atténué lorsque le temps augmente.

2.1 L

^{E CAS D}

’

^{UN GUIDE}

2D

À COEFFICIENTS CONSTANTS DANS LE CŒUR

De façon à appréhender ce qu’est un mode à fuite et ses propriétés, nous allons commencer par traiter le cas d’un guide 2D, avec coefficients constants dans le cœur, où les calculs sont explicites.

Nous généraliserons la notion de mode à fuite pour des cas plus complexes en section 2.2 (pour un guide 2D quelconque) et en section 2.3 (pour un guide 3D).

No documento Etude mathématique et numérique de guides d’ondes ouverts non uniformes, par approche modale (páginas 39-44)