Dans ce chapitre nous montrons qu’à partir d’une simple mesure du débit de méthane, il est possible d’estimer le taux de croissance et la concentration des bactéries méthanogènes. Le taux de croissance ainsi calculé permettra d’identifier les paramètres d’un modèle de Haldane, ou servira à détecter des régimes d’inhibition.
6.4.1 Construction d’un observateur asymptotique pour la biomasse mé- thanogène et son taux de croissance
6.4.1.1 Equation de l’observateur
Nous considérons les équations décrivant l’étape de méthanogénèse dans les modèles AM2 et AM2G :
X˙2 = (µ2(.)−αD)X2 (6.13)
S˙2 = D(Sin−S2) +k1µ1(.)X1−k3µ2(.)X2 (6.14)
qM = k6µ2(.)X2 (6.15)
Nous introduisons une variable auxiliaire,v = k6X2. La dynamique dev découle directement du sous-système formé des équations (6.13) et (6.15) :
(S0) :
( v˙ = µ2(.)v−α D v
qM = µ2(.)v (6.16)
Cadre d’étude 4
1. Le débit de méthaneqM et le taux de dilutionDsont les seules mesures accessibles.
2. Le taux de croissanceµ2(.)est inconnu.
3. Les paramètresk6 etαsont connus.
Propriété 2 Estimateur asymptotique
Le systèmeOest un observateur asymptotique pour le taux de croissanceµ2(.)et la concentration de la
biomasse méthanogèneX2:
O :
˙ˆ
v = qM −αDˆv ˆ
µ2 = qMˆv Xˆ2 = kvˆ
6
(6.17)
Preuve :
La dynamique de l’erreur d’estimationev =v−ˆvest très simple et montre que cette erreur tend asymp- totiquement vers 0 :
˙
ev=−αDev
Le paramètrek6 étant supposé parfaitement connu, le système (6.17) permet d’estimer à la fois le taux de croissanceµˆet la concentration de la biomassex.ˆ
6.4.1.2 Application
6.4.1.2.1 Estimation des paramètres du modèle de taux de croissance des méthanogènes dans les modèles AM2 et AM2G
Les modèles AM2 et AM2G considère un modèle de Haldane (équation 3.1) pour représenter le taux de croissance des bactéries méthanogènes. En vue de l’utilisation des ces modèles le vecteur de paramètreθ= (¯µ2, KS2, KI2)doit être déterminé.
Pour ce faire nous avons cherché à minimiser l’écart entre le taux de croissance estim鵈2et le taux de croissanceµ2(AGV, θ)calculé à partir de la mesure des AGV (AGV). Le critère à minimiser s’écrit :
J(θ) = kˆµ2 − µ2(AGV, θ)k|
µ2(AGV, θ) = ¯µ2 AGV AGV+KS2+AGV2
KI2
Nous avons utilisé un algorithme de minimisation, utilisant la méthode directe de Nelder-Mead, proposé par le logiciel Matlab®. Par ailleurs pour faciliter ce calcul, nous avons choisi de fixer le taux maximal de croissanceµ¯2à la valeur définie dans Bernard et al. (2001).
6.4.1.2.2 Détection des régimes d’inhibition
Lorsque le substrat est également mesuré, l’estimation du taux de croissance peut permettre d’identi- fier des régimes d’inhibition, en comparant l’évolution du substrat avec l’évolution du taux de croissance estimé. Un régime d’inhibition sera marqué par des tendances opposées pour le taux de croissance estimé et le substrat mesuré.
Nous illustrons ce principe à l’aide des données des séries d’expériences 1 et 2, en comparant le taux de croissance estimé à la mesure des AGV (c.f. figures 6.18 et 6.19).
Dans le cas de la série 1, le substrat et le taux de croissance estimé, affichent tout au long des expé- riences, des tendances similaires, ce qui indique que les concentrations de substrats étaient limitantes, et non pas inhibantes. Pour la série 2, nous remarquons à partir du jour 10, une opposition entre l’évolution des AGV qui croissent, tandis que le taux de croissance est décroissant, suggérant une inhibition des bactéries méthanogènes par les AGV.
0 5 10 15 20 25 0.2
0.4 0.6 0.8
Temps (jours) ˆµ2(jours−1)
0 5 10 15 20 25
1
AGV (g.L−1 )
FIG. 6.18 – AGV (.) et taux de croissance es- timé (- -) pour la série 1.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Temps (jours) ˆµ2(jours−1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.5 1 1.5 2
AGV (g.L−1 )
FIG. 6.19 – AGV (.) et taux de croissance es- timé (- -) pour la série 2.
Pour confirmer ces conclusions, nous comparons sur les figures 6.20 et 6.21 l’évolution des AGV et du débit de méthane pour ces deux séries ; les évolutions opposées duQCH4 et des AGV à partir du jour 10 pour la série 2 corroborent les conclusions précédentes. Pour la série 1, le débit de méthane et les AGV affichent des évolutions synchrones tout au long des expériences (figure 6.20), ce qui suggère bien que les AGV n’étaient pas inhibants.
0 5 10 15 20 25
0 50 100 150
Q CH4 (L.h!1 )
Temps (jours)
0 5 10 15 20 250
0.5 1 1.5
AGV (g.L!1 )
FIG. 6.20 – AGV (.) et débit de méthane (o) pour la série 1.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temps (jours) Q CH4 (L.h!1 )
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
AGV (g.L!1 )
FIG. 6.21 – AGV (.) et débit de méthane (o) pour la série 2.
6.4.2 Discussion
Nous avons montré que la mesure du débit de méthane permettait de construire des observateurs asymptotiques pour la biomasse méthanogène et son taux de croissance. Il est alors possible d’identifier les paramètres d’un modèle de croissance bactérienne (dans notre cas un modèle de Haldane) en com- parant le taux de croissance estimé à ce que prédit le modèle considéré. Une extension possible de cette méthode est l’identification en-ligne de paramètres.
L’estimation du taux de croissance permet également d’étudier l’influence des conditions extérieures
(pH, température, concentration de substrats ou de toxiques) sur l’activité bactérienne. Il est par exemple possible de détecter des régimes d’inhibition en comparant les évolutions du substrat (ici les AGV) avec celles du taux de croissance estimé.
Cette information vient compléter l’indice de risque présenté dans le chapitre 6.2. Nous avons re- présenté sur la figure 6.22 a), l’évolution du taux de croissance estimé et des AGV, pour valider l’indice de risque figure 6.22 b. Le graphique montre que tout au long des expériences le taux de croissance et les AGV évoluent de manière synchrone, indiquant que les concentrations d’AGV sont limitantes mais non inhibantes, ce qui explique que le réacteur ait pu rapidement reprendre un mode de fonctionnement normal dès l’arrêt de la surcharge.
a)
0 1 2 3 4 5 6
0 0.5 1
Temps (jours)
ˆµ2(jours−1)
0 1 2 3 4 5 60
5 10
AGV (g.L−1 )
b)
0 1 2 3 4 5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Risque
Temps (jours)
FIG. 6.22 – Validation de l’indice de risque AGV (.) et taux de croissance estimé (- -) pour une série d’expérience en surcharge organique.
La 6.23 présente un cas de figure où l’indice de risque est nul alors que la comparaison des AGV et du taux de croissance révèle un phase d’inhibition (à partir du jour 10). Une surcharge organique, même si elle était détectée par l’indice de risque pourrait se révéler fatale au système en raison de cette phase d’inhibition.
L’indice de risque et la procédure de détection des régimes d’inhibition apparaissent bien être com- plémentaires, et leur utilisation conjointe permettrait une meilleure surveillance du procédé.
Lorsque seules les tendances du débit de méthane et de la DCO sont connues, les graphes réduits de transition ne fournissent qu’une information partielle. En ajoutant l’estimation des tendances du taux de croissance et de la biomasse fournies par les observateurs, le graphe complet (paragraphe 6.3), plus précis, peu être utilisé.
Cependant, l’observateur asymptotique nécessite une connaissance parfaite des paramètresαetk6. Dans la pratique les paramètres biologiques sont non seulement difficiles à estimer, mais de plus ils peuvent évoluer au cours du temps. Une alternative serait d’employer des observateurs par intervalles qui, à défaut de fournir une estimation exacte, permettent d’encadrer les variables, lorsque des bornes pour les paramètres sont connues.
0 5 10 15
−1
−0.5 0 0.5 1
Risque
Temps (jours)
FIG. 6.23 – Indice de risque pour les expériences de la série 2.