Stabilité des équilibres selon les paramètres opératoires

# eq. int. acidi.

1. αD < µ(S_in) 2 g.e.s. in.

2. αD=µ(S_in) 2 l.e.s. in^†.

3. αD∈]µ(S_in), µ_M[ 3 S^1?l.e.s.

S^2?in. l.e.s.

4. αD=µM 2 in^†. l.e.s.

5. αD > µ_M 1 / g.e.s.

eq. : nombre d’équilibres possibles, l.e.s. : localement exponentiellement stable, g.e.s. : globalement exponentiellement stable , in. : instable, int. : équilibre intérieur, acidi. : équilibre d’acidification.

Remarque :

les deux cas mentionnés par in.^†correspondent à des équilibres hyperboliques :

• Cas 2. : (0, Sin) pour αD = µ(Sin). On remarque que le domaine {S ≤ Sin, X ≥ 0} est positivement invariant. De plus la variableXest croissante dans l’intervalle{X >0, S^1? ≤S ≤ S_in}. L’unique façon de converger vers l’équilibreX^?= 0à partir de la région{S ≤S_in}, est de choisir une condition initiale nulle. L’équilibre(0, Sin)est donc bien instable.

• Cas 4. :(X^?, S^?)pourαD=µ_M. Il est évident dans ce cas de figure queS˙ ≤0, et l’équilibre est donc instable (il existe tout de même une région de l’espace au dessus deX =X^?pour laquelle le système converge vers cet équilibre).

6.2.2.3 Conclusions et remarques

L’analyse de stabilité du système à mis en avant le cas 3. (Sin > S^M), avecαD ∈ (µ(Sin), µ_M), où le système possède deux équilibres intérieurs, l’un d’eux étant localement stable (l.e.s), tout comme l’équilibre d’acidification. Dans cette situation (voir figure 6.4), il n’est pas possible de prédire a priori l’évolution du système qui dépendra des conditions initiales. L’ensemble des conditions initiales pour lesquelles le système converge vers l’équilibre utile X^1?, S^1?

constitue le bassin d’attraction de l’équilibre utile.

Dans la section suivante, nous cherchons à évaluer la taille de ce bassin d’attraction dans le cas 3.

a)

Equilibre d'acidification localement stable

Separatrice

X

S



^†



^2



^1 Equilibre utile localement stable

Equilibre instable

b)

Equilibre instable non hyperbolique

Equilibre d'acidification

Separatrice

X

S FIG. 6.4 – Trajectoires possibles dans le plan de phase : a) dans le cas 3, b) dans le cas 4.

6.2.3 Bassin d’attraction du point de fonctionnement normal et critère de stabilité

6.2.4 Définition du bassin d’attraction et du critère de stabilité

Nous avons montré précédemment que l’étatξ restait borné dans R². On considère alors le sous- domaine de définition suivant :

K =

0,S_in αk

×h

0, S_ini

(6.8)

Définition 1 Bassin d’attraction

Nous définissons pour l’équilibre utile du système (6.4),ξ^1? = X^1?, S^1?

, son bassin d’attractionΛ^1?, comme l’ensemble des conditions initiales dansKtelles que le système converge vers l’équilibreξ^1? :

Λ^1?(D, ξin) =

ξ0 ∈K| lim

t→+∞ξ(ξ0, t) =ξ^1?

.

On définit de la même façon le bassin d’attraction de l’équilibre d’acidificationξ^†= 0, S^† : Λ^†(D, ξ_in) =

ξ₀ ∈K| lim

t→+∞ξ(ξ₀, t) =ξ^†

.

Notre objectif est d’évaluer la taille du bassin d’attractionΛ^1?. La stabilité du système pourra alors être reliée à la taille relative deΛ^1?dans le domaine initialK(équation 6.9).

L’analyse des équilibres (voir Tableau 6.1) a montré que dans le cas 4(αD=µ_M), il existait tout de même un bassin d’attractionΛ^? = Λ ^µ_α^M, ξin

, dans lequel l’équilibre intérieur est instable (c.f. figure 6.4 b) ; toute trajectoire initialisée dans la région du plan située au dessus,Λ^?, atteindra cet équilibre. Il est cependant évident que la moindre perturbation¹déstabiliserait le système, conduisant inévitablement

1e.g. une surcharge organique ou hydraulique.

Separatrice

X

S



^†

Equilibre instable non hyperbolique



^

K ∖ 

^

FIG. 6.5 – Domaine maximal pour les conditions initiales dans le domaine de définitionK(cas 4.).

à l’équilibre d’acidificationξ^†. Cette situation devrait correspondre à un indice de stabilité nul, et nous excluons la régionΛ^? du domaine d’étude.

Définition 2 Indice de stabilité

Nous définissons l’indice de stabilitéI_S, comme la taille relative du bassin d’attraction de l’équilibre ξ^1?dans le domaineK\Λ^?(c.f. figure 6.5) :

IS(D, Sin) = S(Λ (D, ξin)\Λ^?)

S(K\Λ^?) (6.9)

oùS(.)est l’aire du domaine considéré.

6.2.4.1 Calcul de l’indice de stabilité

Il est possible de déterminer numériquement l’équation de la séparatrice en intégrant le système en temps inverse le long de la séparatrice, qui est la direction stable de l’équilibreξ^2?, pour des conditions initiales très proches de l’équilibre. Le calcul du bassin d’attraction s’en suit aisément.

Cette évaluation numérique deI_S ne permet cependant pas de disposer d’une expression analytique qui servirait de base à une stratégie de surveillance d’un procédé. Dans la section suivante nous dévelop- pons un critère plus simple pour représenterIS.

6.2.4.2 Marge de stabilité du procédé : un critère plus simple

Si nous supposons que le taux de dilution est augmenté progressivement depuis une valeur nulle, l’équilibre intérieur restera globalement stable (g.e.s) jusqu’à ce que le taux de dilution prenne la valeur D = ^µ(S_αⁱⁿ⁾ (cas 1, 2). Ensuite le deuxième équilibre intérieur apparaît, ainsi qu’une séparatrice asso- ciée au bassin d’attractionΛ (D, ξin)qui n’occupe plus entièrement le domaine des conditions initiales

K\Λ^?(cas 3, figure 6.4 a). La taille relative deΛ (D, ξ_in)va diminuer et le bassin disparaîtra dès que D ≥ ^µ_α^M (cas 4, figure 6.4 b). Il est important de noter que la distance entre les deux équilibres inté- rieurs évolue de manière similaire : elle va décroître depuis une distance maximale lorsqueD= ^µ(S_αⁱⁿ⁾, jusqu’à zéro pour D = ^µ_α^M (voir figure 6.6 a et b). Lorsque D > ^µ_α^M, le seul équilibre possible est l’équilibre d’acidification et la distance entre les deux équilibres intérieurs n’est plus définie. A partir de ces conclusions, nous définissons la notion de marge de stabilité (MS).

a)

Marge

de stabilité : M X

S

Equilibre d'acidification localement stable

Separatrice



^†



^1 Equilibre utile localement stable

Equilibre instable



^2

b)

Marge critique de stabilité: M_c X

S



^†



^1 Equilibre utile localement stable

Equilibre instable Equilibre d'acidification localement stable

FIG. 6.6 – Définition de a) la Marge de Stabilité, b) La Marge Critique de Stabilité dans le plan de phase.

Définition 3 Marge de stabilité

PourαD ∈[µ(S_in), µ_M], on appelle marge de stabilité, notéeM, la distance entre les deux équilibres intérieurs (voir figure 6.6 a).

M(D) =kξ^2?−ξ^1?k (6.10)

On appelle marge critique de stabilité (MCS), notéeMc, la valeur maximale de la marge de stabilité, obtenue pourD= ^µ(S_αⁱⁿ⁾ (voir figure 6.6 b).

Le critère de stabilité que l’on considère en pratique est appelé marge relative de stabilité (MRS), et se calcule comme suit :

m(D, ξin) =











0 pourαD > µ_M

M(D)

Mc(ξin) pourαD∈[µ(Sin), µM] 1 pourαD < µ(S_in)

Pour un modèle de Haldane (3.1), la distance entre les deux équilibres intérieurs se calcule facilement à partir de l’équation (6.7) et du système (6.5) :

M(D) = 2 s

1 + 1 α²k12

s K_I

2 µ¯

α D −12

−K_IK_S (6.11)

Cette relation montre en particulier que la marge de stabilité MS est une fonction strictement décroissante du taux de dilution. Par ailleurs cette expression est indépendante de la concentration du substrat entrant Sin.

La marge critique de stabilité s’obtient facilement pourD= ^µ(S_αⁱⁿ⁾ : Mc(ξin) =

r

1 + 1 α²k²

Sin−KIKS

Sin

6.2.4.3 Comparaison entre l’indice de stabilité et la marge relative de stabilité

Nous avons utilisé les paramètres du modèle présenté dans Bernard et al. (2001), et nous avons cal- culé l’indice de stabilitéIS, ainsi que la marge relative de stabilité pour différentes couples de conditions opératoires(D, S_in).

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

m(D,S_in) I S(D,S in)

FIG. 6.7 – Relation entre l’indice de stabilitéI_S(D, S_in)et la marge relative de stabilitém(D, S_in)pour différentes concentrationsSin: 4,5 ; 1,5 ; 16,2 ; 31,8.

La figure 6.7 illustre le rapport entre l’indice de risque calculé numériquementI_S, et la marge de stabilité réduitem. Nous montrons ainsi que la MRS (m) est une très bonne approximation de l’indice de stabilitéI_S. La marge relative de stabilité se révèle être un critère plus simple à calculer pour évaluer la stabilité d’un fermenteur.

A partir de ce critère de stabilité, nous définissons un "indice de risque", qui servira à indiquer en- ligne à l’opérateur d’un procédé, le risque associé à son mode de gestion :

r(D, S_in) = 1−m(D, S_in). (6.12)

6.2.5 Application de l’indice de risque à un procédé réel

Nous avons appliqué l’indice de risque défini par l’équation (6.12) à une expérience qui s’est déroulée au LBE-INRA de Narbonne.

L’indice de risque a été calculé avec les paramètres de Bernard et al. (2001). Afin de représenter un cas critique, la constante d’inhibitionK_I a été multipliée par un facteur constantδ (pour nos exemples δ = 0,7). Pour de faibles valeurs deδla constante d’inhibition prise en compte pour le calcul de l’indice de risque est plus faible ; le système est donc plus facilement sujet à l’inhibition, et l’indice de risque doit réagir plus rapidement. A contrario des valeurs élevées deδreviennent à considérer une constante d’inhibition plus faible, et l’indice de risque est moins réactif à de petits changements des conditions opératoires. Ce paramètre supplémentaire permet d’ajuster la sensibilité de l’indice de risque proposé.

La figure 6.8 présente l’évolution de certaines mesures au cours de cette expérience, ainsi que l’indice de risque. Nous observons une augmentation des AGV et une baisse du pH consécutivement au change- ment du taux de dilution au jour 0. Il se produit de nouveau un accroissement des AGV et une chute du pH au jour 1,3 en réponse à l’augmentation de la charge en entrées au jour 1,2 (figure 6.9). Au jour 2,3 la charge en entrées et le taux de dilution sont ramenés à leur niveau du début des expériences, ce qui permet aux AGV de revenir vers leur concentration de départ. En revanche le pH ne baisse que de façon marginale ; ceci s’explique par le fait que le pH de l’alimentation a été régulé durant les expériences.

L’augmentation des AGV d’entrées au jour 1,2 nécessite l’ajout de soude pour éviter une chute de pH d’entrée, ce qui entraîne une augmentation de l’alcalinité dans le digesteur (et de fait le pH augmente).

Après le changement de conditions opératoires au jour 2,3 l’alcalinité qui n’est pas consommée par le procédé met du temps à être évacuée avec la phase liquide en raison du faible taux de dilution, ce qui explique que le pH mette plus de temps que les AGV à revenir à sa valeur initiale.

Concernant l’indice de risque, nous remarquons en premier lieu que les régimes associés à de fortes concentrations d’AGV (i.e plus de 1g.L⁻¹) sont caractérisés par un risque élevé. En revanche il peut paraître surprenant que certaines périodes visiblement peu risquées, au regard de la concentration des AGV, ne présentent pas un risque nul (ou très faible). C’est en particulier le cas au jour 5 sur la figure 6.8, où l’indice de risque est maximal, alors que la concentration des AGV n’apparaît pas alarmante. La figure montre à cette date un problème de régulation du taux de dilution, qui se traduit par une faible augmentation de celui-ci, et l’indice de risque réagit comme pour la surcharge hydraulique du début des expériences. Cette sensibilité accrue est due au paramètre supplémentaireδ.

Un point crucial est que l’indice de risque augmente immédiatement, alors que les AGV mettent du temps à s’accumuler, et les répercutions de cette surcharge sur le pH ne sont visibles que bien plus tard.

L’indice de risque permet donc d’anticiper une situation de crise avant qu’il ne soit trop tard et qu’une inhibition sévère de la biomasse ne survienne.

6.2.6 Discussion

Le critère statique de stabilité présenté dans ce chapitre présente l’inconvénient de ne pas tenir compte de la position réelle du système dans le plan de phase, autrement dit de l’état réel du digesteur. En régime transitoire, les conditions opératoires peuvent garantir un bassin d’attractionΛ^1?de grande taille,

0 1 2 3 4 5 0

0.5 1 1.5

D (jours

−1

)

Temps (jours)

^{00 1 2 3 4 5}

2 4 6 8 10

AGV (g.L

−1

)

Temps (jours)

0 1 2 3 4 5

6.5 7 7.5 8

pH

Temps (jours)

^{00 1 2 3 4 5}

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Risque

Temps (jours)

FIG. 6.8 – Taux de dilution, AGV mesurés, pH et indice de risque pour une expérience en surcharge organique réalisée au LBE.

0 1 2 3 4 5

15 20 25 30 35

DCO in (g.L −1 )

Temps (jours)

FIG. 6.9 – Caractéristiques de l’alimentation pour une expérience en surcharge organique réalisée au LBE.

et donc un indice de risque très faible, alors que les trajectoires sont proches de la séparatrice, et qu’en conséquence, de faibles perturbations pourraient faire bifurquer le système. Les simulations de la figure

Pour pallier ce problème nous introduisons dans le chapitre suivant une méthode de suivi qualitatif de la position du système dans le plan de phase. Nous partageons le plan de phase en différentes régions où les tendances d’évolution (le signe des dérivées) des variables du système sont de signe constant.

Le passage d’une zone à une autre est marqué par un extremum pour au moins une des variables ; nous montrons alors comment le suivi des tendances d’évolution permet de détecter ces extrema, et ainsi d’identifier dans quelle zone évolue le système, ce qui permettra de déterminer vers quel équilibre il évolue.

6.3 Analyse dynamique du risque d’acidification d’un procédé de digestion anaérobie

A partir de la surveillance de certaines variables (e.g le débit de méthane), nous cherchons à évaluer de manière qualitative la position du système dans le plan de phase. La robustesse des différentes zones de l’espace d’état à des perturbations de la charge est également analysée ce qui permet d’associer un risque à chaque région du plan de phase.

6.3.1 Partitionnement du plan de phase

On considère toujours le système (6.4) pour le modèle AMH1, et les paramètres opératoiresDetS_in sont supposés constants par morceaux.

Pour analyser qualitativement la dynamique du système (6.4), on divise le plan de phase en plusieurs régions où les variables sont de signe constant de façon similaire à Bernard et Gouzé (2002). Le plan de phase(S, X) est divisé en 17 régions à l’aide des isoclines nulles², de la séparatrice, et des droites S =S^M etX=X^M (X^M est l’intersection de l’isoclineS˙ = 0et de la droiteS =S^M). Dans chacune de ces régions du plan le vecteur des tendances

X,˙ S,˙ µ,˙ q˙_M

est de signe constant.

On choisit de regrouper certaines zones ayant des caractéristiques similaires, et dans la suite on consi- dère 15 régions représentées sur la figure 6.11. Le tableau 6.2 résume les caractéristiques

X,˙ S,˙ µ,˙ q˙M

dans chacune de ces 15 zones.

Separatrice

1 3

4 5 7 6

10

8 9

11

15

13 14

12

Isocline

2

˙0

˙0

˙ q_M0

˙0

˙ q_M0

˙0

˙0

˙ q_M0

˙ q_M0

X^M X

S S^M

˙ q_M=0



^†



^2



^1

FIG. 6.11 – Partitionnement du plan de phase, avec la séparatrice et les isoclines nulles pourS,Xetq_M. Remarque :

Sur la figure 6.11, l’isocline nulle pourq_M est presque confondue avec celle deSdans la zone 1.

Le tableau 6.2 montre que cette subdivision du plan de phase n’est pas suffisante pour pouvoir distin- guer catégoriquement chaque zone ; par exemple les zones 5, 8 et 12 ont exactement la même signature (+, +, +, +), alors que les zones 5 et 8 sont dans le bassin d’attraction de l’équilibre utile et la zone 12 dans le bassin d’attraction du point d’acidification. En réalité seuls quatre groupements de zones (1, 2, 3+6, et

2ce sont les droites d’équation ;X˙ = 0,S˙= 0,µ˙ = 0etq˙M = 0

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