cette méthode est l’utilisation de faisceaux d’observateurs (Bernard et Gouzé, 2004). L’idée est d’obte- nir l’intervalle le plus restreint possible autour de l’état pour obtenir l’estimation la meilleure ; plusieurs couples d’observateurs par intervalles, avec des gains différents, sont utilisés en parallèle, et l’intersec- tion des observateurs permet d’obtenir les bornes supérieures et inférieures les plus proches de l’état réel. Pour s’affranchir de la simulation des faisceaux d’observateurs, Moisan et al. (2007) ont amélioré cette méthode en construisant un critère pour déterminer les gains optimaux des bornes supérieure et inférieure.
6.1.3 Utilisation de l’information pour le diagnostic des fermenteurs
En complétant les mesures disponibles en-ligne avec les sorties de capteurs slogiciels, il devient pos- sible de construire un réseau de capteurs (physiques et virtuels). Les informations récoltées et estimées pourront par la suite servir à des stratégies de contrôle pour optimiser le fonctionnement du digesteur (voir chapitre 7.2), ou elles pourront être utilisées par des systèmes de surveillance et de diagnostic (Do- chain, 2001).
Les procédures de surveillance et de diagnostic de pannes (SDP) reposent sur la connaissance d’un état de référence et sur l’utilisation d’informations sur le procédé pour
1. détecter un défaut,
2. identifier les problèmes à l’origine du dysfonctionnement, 3. décider des actions pour corriger ces problèmes.
Les systèmes de détection des défauts sont composés de deux parties ;
– un générateur de résidus qui compare les données à ce qui devrait être observé en fonctionnement normal (résidus nuls en cas de fonctionnement normal et non nul en cas de défaut),
– un système de diagnostic qui analyse les résidus et en déduit les défauts les plus probables.
La définition du mode de fonctionnement normal et le calcul des résidus sont donc une phase essentielle.
Les méthodes utilisées pour la détection des défauts peuvent être regroupées en trois domaines : – les méthodes basées sur les modèles (Venkatasubramanian et al., 2003b),
– les méthodes basées sur les signaux ,
– les méthodes basées sur la connaissance experte et l’historique du système (Venkatasubramanian et al., 2003a).
Parmi les procédures SDP basées sur l’expertise, les techniques de l’intelligence artificielle, comme la logique floue, ont été largement utilisées. C’est par exemple le rôle des systèmes experts qui à partir d’un ensemble de règles simples (par exemple des conditions logiques SI, ET, OU,... ), réalisent une synthèse des signaux disponibles à la manière d’un expert, pour en extraire une information pertinente. Genovesi et al. (1999) et Puñal et al. (2002) ont ainsi proposé des systèmes de détection de pannes à base de logique floue pour la surveillance d’un procédé de digestion anaérobie. La méthode présentée par Genovesi et al.
(1999) identifie différentes classes de pannes, au niveau des capteurs, au niveau des actionneurs, ou au niveau de la phase biologique. Carrasco et al. (2004) ont également développé un système expert basé sur la logique-floue, pour surveiller l’acidification d’un fermenteur méthanogène. Le système de diagnostic proposé par ces auteurs permet de détecter une acidification du procédé, et dans ce cas d’en identifier la cause (surcharge organique ou surcharge hydraulique).
Une fois les causes identifiées, un système dit "de décision" définit les actions à entreprendre pour ramener le procédé dans un état normal.
Dans ce chapitre nous présentons des méthodes basées sur des modèles pour surveiller les procédés de digestion anaérobie. Pour commencer, nous introduisons un critère de stabilité qui permet d’évaluer le risque potentiel de déstabilisation associée à la conduite d’un fermenteur.
Dans la section 6.3, nous présentons une méthode de suivi dynamique de l’état d’un fermenteur.
A partir de la mesure de certaines variables (débit de méthane, DCO), nous déterminons la trajectoire qualitative du système dans le plan de phase. Des indices dynamiques de risque, basés sur les zones traversées par les système, peuvent ainsi être construits.
Enfin nous développons des capteurs logiciels pour estimer les variables non mesurées (biomasse) ou
difficilement mesurables (taux de croissance de la flore bactérienne). Nous utilisons ces observateurs pour identifier les paramètres d’un modèle de Haldane pour le taux de croissance des bactéries méthanogènes.
6.2 Construction d’un indice de risque de déstabi- lisation d’un procédé de fermentation
Dans un soucis de synthèse, nous présentons dans la suite de ce chapitre l’analyse d’un modèle en une seule étape, que nous désignerons par le nom AMH1. Nous avons cependant montré dans l’article Hess et Bernard (2008) qu’une étude similaire pouvait être faite pour le modèle AM2, les conclusions générales étant dans ce cas identiques à celles présentées ici.
L’objectif est d’informer l’opérateur du procédé du risque de déstabilisation encouru avec son mode de gestion, automatique ou manuel. A partir d’une analyse globale de stabilité du système non-linéaire, nous cherchons à déterminer si le procédé évolue vers un mode de fonctionnement pérenne ou vers l’aci- dification. Pour cela, un indice de stabilité est développé ; il évalue la stabilité du procédé par la taille relative du bassin d’attraction du point de fonctionnement normal (i. e. l’espace des conditions initiales convergeant asymptotiquement vers cet équilibre), dans l’ensemble des conditions initiales possibles. Un critère simple est proposé pour calculer ce rapport à partir des entrées du digesteur et des paramètres du modèle. L’application de cet indice de risque, montre sa capacité à détecter des régimes potentiellement risqués (surcharge organique).
L’ensemble des définitions de convergence et de stabilité employées dans cette partie sont explicitées dans l’annexe 7.3, page 203. L’article Hess et Bernard (2008) et l’analyse du modèle AMH1 (Hess et al., 2006) qui a été présenté à la conférence STIC & Environnement 2006 sont tous les deux fournis en annexe.
6.2.1 Présentation du modèle AMH1
Nous considérons un modèle macroscopique d’un procédé en une seule étape (Bernard et al., 2006a).
Une biomasse(X) dégrade un substrat(S)et le transforme en méthaneCH4 etCO2 selon le schéma réactionnel suivant :
k S −−−→µ(.)X X+kmCH4+kcCO2,
oùµ(.)désigne le taux de croissance de la biomasse.
Dans un réacteur à lit fixe, le modèle simplifié est représenté par le système différentiel suivant :
X˙ =µ(.)X−αDX
S˙ =−kµ(.)X+D(Sin−S) qM =kmµ(.)X
(6.4)
Les différents paramètres et coefficients ont la même signification que pour le modèle AM2 (Chapitre 3.3) :αreprésente la part de biomasse libre etketkm sont des coefficient "pseudo-stoechiométriques".
Le vecteur d’état et l’entrée sont notés respectivementξ = (X, S), etξin= (0, Sin).
Dans le cadre de notre étude, le taux de croissanceµ(.)est une fonction générique vérifiant la pro- priété suivante :
Hypothèses 1
µest une fonction de S, croissante jusqu’à la concentrationSM puis décroissante au delà, telle que µ(SM) =µM etµ(0) = 0.
On suppose par ailleurs que les conditions opératoires sont constantes ; le taux de dilutionD, ainsi que la concentrationSinsont des constantes positives. Les conditions initiales sont également supposées être positives.
Nota :
Pour les applications (voir section 6.2.5) nous avons considéré un modèle de Haldane (3.1) pour le taux de croissanceµ(.):
µ(S) = ¯µ S S+KS+ KS2
I
avec une valeur maximale enSM =√
KSKI.
6.2.2 Etude du modèle
6.2.2.1 Analyse de la dynamique du modèle
Le système (6.4) est très proche du modèle de Andrews (3.7, page 69), mais le paramètreα com- plexifie son étude. En effet le modèle ne peut pas être ramené en dimension 1 à l’aide de l’équation de conservation de la masse. La propriété 1 détaille la stabilité du modèle selon les valeurs du taux de dilutionD.
Propriété 1 Stabilité du système
Le système (6.4), pour des conditions initiales dans le domaineΩ =R?+×R+, admet un point d’équilibre global dans le domaine intérieur dans le casαD < µ(Sin).
Siµ(Sin) < αD < µM, cet équilibre devient localement exponentiellement stable (l.e.s), et l’équilibre d’acidification est également l.e.s.
Pour αD > µM l’équilibre d’acidification devient globalement exponentiellement stable (g.e.s) (c.f. le Tableau 6.1 récapitulatif)
Preuve :
Avec l’hypothèse µ(0) = 0 nous montrons que les variables S et X restent positives en étudiant le champs de vecteur aux limites :S˙|S=0etX˙|X=0. On obtient alors les égalités suivantes
( S˙|S=0 = 0 X˙|X=0 = 0
C’est à dire que les variables restent nécessaires positives ou nulles.
Pour montrer qu’elles restent bornées, il faut considérer la quantitéZ = S +k X, et sa dérivée.
Commeα ∈ (0,1], nous déduisons du système (6.4) les inégalités suivantes : ( D(Sin−Z)≤ Z˙ ≤αD(Sαin −Z)
S˙ ≤D(Sin−S)
Comme par ailleurs la variable S reste positive, la borne supérieure pour Z est également une borne supérieure pourkX. Il en découle alors que les variables vérifient les inégalités suivantes :
min (Z0, Sin) ≤Z≤ max
Z0,Sαin
0 ≤S ≤ max (S0, Sin)
0 ≤X ≤ max
“ Z0,Sinα
”
k
Nous nous intéressons désormais aux équilibres du modèle (6.4). L’équilibre trivial correspondant à l’acidification du fermenteur est donné par les égalitésX†= 0, etS†=Sin.
Les équilibres intérieurs, qui vérifientX? ≥0etS? ≥0, sont solutions du système suivant : ( αD =µ(S?)
X? = (Sinαk−S?) (6.5)
Pour que l’équilibre de la biomasse vérifieX? ≥0, il faut que l’équilibreS?soit inférieur à la concen- trationSin;Sin ≥S?. De plus, si la concentration de l’influent vérifieSin≤SM, alors la fonctionµ(.) est monotone et croissante sur l’intervalle [0, Sin]. Dans ce cas on est ramené à l’étude d’un système proche d’un système de Monod (3.3), et l’équilibre intérieur est globalement exponentiellement stable (g.e.s). Le changement de variable de(X, S)à(Z, S)dans le système (6.4) conduit au système suivant :
( X˙ =µ(Z−kX)X−αDX Z˙ =D(Sin−Z) + (1−α)kX
On remarque que ce nouveau système est coopératif, i.e que les termes extra-diagonaux de la matrice Jacobienne sont non-négatifs. Il a également été montré que le système est asymptotiquement borné dans un ensemble compact deR2+. D’après le Théorème 2.2 du Chapitre 3 chez Smith (1995) pour les systèmes en deux-dimensions, la limite ne peut être qu’un point d’équilibre stable. L’équilibre d’acidification étant dans ce cas instable, le système converge nécessairement vers l’autre équilibre.
Dans la suite nous étudions le cas oùSin≥SM. Selon la valeur des paramètres du modèle, cinq cas sont envisageables comme le montre la figure 6.3.
Cas 1. et 2. αD ∈ (0, µ(Sin)]: dans ce cas l’équation µ(S) = αD admet une unique solution sur le domaineS∈[0, Sin):
(X?, S?) =
Sin−µ−1(αD)
αk , µ−1(αD)
Cas 3.αD ∈ (µ(Sin), µM): l’équationµ(S) = αDadmet dans cette situation, deux solutions sur le domaineS∈[0, Sin). On note ces solutionsS1?andS2?, telles que
S
µ (S)
Sin µM
cas 2.
cas 1.
cas 5.
SM
cas 3.
cas 4.