Exemples

Nous présentons deux exemples de dimensionnement d'un ressort de torsion sur mesure. Le premier exemple reprend le cahier des charges du ressort de torsion pour appareil photo du paragraphe 2.6. Le deuxième exemple a été conçu pour tester la robustesse des algorithmes lorsqu'une valeur précise de α0 est requise.

Pour chaque exemple, les trois méthodes (MS + PM, ES, ES + PM) sont mises en œuvre.

Le maillage séquentiel (MS) teste 20 valeurs pour n et 10 valeurs pour d et D.

La méthode stochastique (ES) fait évoluer une population de 5 parents et 20 enfants pendant 100 générations. La fonction de génération des nombres aléatoires n'est initialisée qu'une seule fois, lorsqu'on démarre le logiciel. De cette manière, on obtient des résultats différents à chaque fois qu’on lance un calcul. Nous présentons ici, un seul résultat, représentatif de la moyenne des résultats qui peuvent être obtenus.

Les phases ES et MS durent environ 4 secondes sur un PC de type pentium 300 Mhz et la phase PM moins de 3 secondes.

3.4.1 Un ressort de torsion pour un appareil photo

Nous reprenons l’exemple du ressort de l’appareil photo décrit au paragraphe V 2.6.

Nous allons chercher cette fois le dimensionnement complet d’un ressort de torsion sur

mesure en inox. Le cahier des charges est détaillé sur la figure V.21. Les résultats obtenus avec les diverses méthodes sont illustrés sur les figures V.22, V.23 et V.24. Ces résultats synthétisés dans la table V.7.

Figure V.21 Cahier des charges pour le ressort d'appareil photo sur mesure Table V.7 Résultats du problème de l'appareil photo : sécurité statique maximale

Méthode Objectif

MS + PM 4.08

ES 2.48

ES + PM 3.70

Le résultat obtenu avec la méthode stochastique seule (ES) est nettement inférieur aux deux autres résultats. Dans ce cas, la phase d'optimisation par programmation mathématique (PM) arrive à améliorer considérablement les résultats obtenus avec les méthodes ES ou MS seules (le coefficient de sécurité obtenu avec la méthode MS seule vaut 2.20).

Le meilleur résultat est obtenu avec la méthode MS + PM c'est à dire la méthode utilisant un maillage séquentiel de l'espace des solutions pour initialiser les variables avant d'effectuer une optimisation avec une méthode déterministe.

Figure V.22 Exemple de l'appareil photo avec méthode MS + PM

Figure V.23 Exemple de l'appareil photo avec méthode ES

Figure V.24 Exemple de l'appareil photo avec méthode ES + PM

3.4.2 Un problème test

Afin de vérifier si notre inquiétude sur la capacité de convergence globale de la méthode MS + PM est fondée (V 3.1), nous avons réalisé le test suivant. Dans cet exemple, nous essayons de mettre en défaut la méthode MS + PM. Nous avons testé les divers algorithmes à partir d’un problème conduisant à maximiser le nombre de spires n du ressort alors que le domaine admissible pour la variable n est défini par morceaux. Voici le cahier des charges que nous avons retenu :

De = 10 mm ; d ≥ 1 mm ; LK0 ≤ 50 mm ; Ra = Rb = 15 mm ; 150 ≤ α0 ≤ 155°.

Le calcul de α0 est effectué en considérant le ressort centré sur son axe.

Le ressort est en acier.

L'objectif est d'obtenir la plus grande valeur de α2.

Dans ce cahier des charges (figure V.25) les rayons d'appuis sont fixés. Le calcul analytique de α0 montre que la variable n doit être égale à un entier auquel on ajoute un nombre compris entre 0.025 et 0.107. La variable n est donc continue mais définie par morceaux.

L’objectif choisi (maximiser α2) conduit à maximiser n. En effet, sans contrainte supplémentaire dans le cahier des charges, l’optimum pour un ressort donné est atteint pour α2 = αn et αn est d'autant plus grand que le nombre de spires est élevé.

Figure V.25 Cahier des charges du problème test

Les figures V.26, V.27, V.28 donnent les divers résultats obtenus. Ces résultats sont synthétisés dans la table V.8

Figure V.26 Exemple de problème test avec méthode MS + PM

Figure V.27 Exemple de problème test avec méthode ES

Figure V.28 Exemple de problème test avec méthode ES + PM

Table V.8 Résultats du problème test : α2 maximal

Méthode Objectif

MS + PM 410

ES 1237

ES + PM 1240

L’objectif est nettement supérieur avec les deux approches utilisant une stratégie évolutionnaire (ES) par rapport à l’approche utilisant le maillage séquentiel (α2 est environ 3 fois supérieur).

D'autre part, la phase d'optimisation PM n'améliore que peu la valeur de la fonction objectif.

En effet, dans l'exemple présenté, les points de départ des processus d'optimisation avaient pour valeur objectif α2 = 404° avec MS et α2 = 1237° avec ES. Ces valeurs sont très proches des valeurs obtenues après la phase PM (410° et 1240°).

Quelle que soit la méthode de définition de l’initialisation des variables, la procédure d’optimisation utilisant la programmation mathématique ne parvient pas à sauter les domaines non valides pour la variable n (n est quasiment identique après la phase d’optimisation). Une recherche sur le nombre de spires a montré que le nombre de spires maximal admissible est inférieur à 49. Seul les algorithmes utilisant une stratégie évolutionnaire ont convergé vers cet optimum (figure V.27 et figure V.28).

Les résultats obtenus pour ce deuxième exemple permettent de confirmer les limites de l’optimisation avec la programmation mathématique et de montrer le succès de l’approche utilisant une stratégie évolutionnaire.

Toutefois, les résultats obtenus pour l'ensemble des deux exemples ne permettent pas de mettre en évidence la supériorité d'une méthode par rapport à une autre. Les approches testées sont intéressantes mais demandent encore à être affinées.