Méthodes proposées

Les diverses approches présentées ci-après explorent la base considérée en testant les éléments discrets (ressorts) contenus dans une succession d’espaces restreints jusqu’à satisfaction d’un critère d’arrêt. On retrouve le principe de limitation de l’espace de recherche ou de déplacement pour les variables continues dans les méthodes des directions réalisables [VAN 84]. Toutes les approches ont été conçues pour pouvoir être utilisées avec chacune des trois méthodes de sélection des ressorts de stock décrites en III 2.5.

4.2.1 Point de départ de l’exploration

Le point de départ de l’exploration du domaine discret est le résultat du calcul sur mesure dans lequel des variables continues ont été utilisées.

Ce point peut être celui obtenu par la résolution du problème présenté au paragraphe III 3 que nous appellerons ici "problème primaire" car il ne tient pas compte des particularités de la base considérée.

Nous pouvons compléter le problème d’optimisation primaire par les contraintes qui représentent les limites de la base. Dans notre cas, nous rajoutons aux 43 contraintes du problème primaire (table III.15), les 12 contraintes de la table III.19. Les 6 premières contraintes expriment les limites du parallélépipède formé par la base, les 6 autres représentes les courbes limites précédemment calculées.

Table III.19 Contraintes liées à la spécificité de la base

Contrainte sur : Limite supérieure Limite inférieure

De g44(X) : De – 45 ≤ 0 g45(X) : 1.6- De ≤ 0

d g46(X) : d - 6 ≤ 0 g47(X) : 0.16 - d ≤ 0

L0 g48(X) : L0 - 200 ≤ 0 g49(X) : 7.5 - L0 ≤ 0

d g50(X) : d - 0.246De^0.9108 ≤ 0 g51(X) : 0.07066De^0.9949 - d ≤ 0 L0 g52(X) : L0 - 23.1De^0.6677 ≤ 0 g53(X) : 1.4177De^0.8301 - L0 ≤ 0 L0 g54(X) : L0 - 175.56d^1.098 ≤ 0 g55(X) : 0.07066d^0.9049 - L0 ≤ 0 Nous obtenons alors un problème "enrichi" comprenant 55 contraintes. La résolution de ce problème permet de définir un nouveau point de départ de meilleure qualité dans la mesure où il a toutes les chances d’être à l'intérieur du domaine des solutions discrètes potentielles.

Du résultat du problème d'optimisation considéré (primaire ou enrichi), on ne retient que les valeurs de De, d et L0 qui permettent de définir les cordonnées du point de départ dans l’espace [X,Y,Z].

4.2.2 Première méthode d’exploration : l′explosion simple

Le point optimal discret n’est pas obligatoirement au voisinage direct du point optimal en variables continues. La méthode consiste donc à tester les ressorts qui entourent le point de départ en s’éloignant par couches successives.

L'algorithme commence par tester les éléments les plus près (première couche) puis s’étend progressivement (figure III.58).

: p o in t d e d épart (o p tim u m en v ariab les co n tin u es), : p o in ts à tester ap p artenan t à la p rem ière co u ch e, : p o in ts à tester ap p artenan t à la d eu xièm e cou ch e.

Figure III.58 L’explosion simple

Nous avons choisi d'arrêter la progression de l'algorithme lorsque l’exploration d’une couche n’aura pas amélioré l’objectif obtenu sur la couche précédente.

Le critère d’arrêt retenu est le suivant : on s’arrête lorsqu’à la fin de l’exploration de la couche n, le ressort optimal est sur la couche n-1.

Ce critère est valable pour les trois méthodes de sélection des ressorts de stock (III 2.5) et conduit systématiquement à explorer au moins les deux premières couches soit 64 points. En effet, dans un espace de dimension n, un point en variable continu est entouré par 2ⁿ éléments discrets. Dans notre cas où l’espace est de dimension 3, la première couche est constituée de 8 points (les sommets du cube entourant le point de départ). De la même manière, la couche

‘n’ est constituée par les éléments situés sur les faces d’un cube de coté 2n. Elle a donc

(

)

6× − ² + × − éléments.

Lorsque la base est de grande dimension (≥3), l'exploration des couches de rang élevé conduit ainsi à évaluer beaucoup de ressorts. Pour pallier cet inconvénient, une méthode alternative est proposée : l'explosion plus propagation.

4.2.3 Deuxième méthode d’exploration : l'explosion plus propagation

Cette méthode reprend la précédente mais le processus d'explosion est stoppé un peu plus tôt et est suivi par le processus de propagation. Le processus de propagation consiste à n'explorer que le voisinage de la solution optimale en cours. Cela permet d'évaluer uniquement les ressorts qui sont situés dans une fenêtre placée autour des solutions optimales intermédiaires (figure III.59) jusqu'à ce que la solution en cours ne puisse être améliorée.

: C en tre d e la fe n ê tre d e l'é tap e S : C en tre d e la fe n ê tre d e l'é tap e S + 1

S

S + 1

Figure III.59 La propagation

Les critères d'arrêt dépendent ici des méthodes de sélection du meilleur ressort de stock.

Lorsque la sélection est réalisée avec la méthode de choix simple ou robuste, la phase d'explosion est effectuée jusqu'à ce qu'au moins un ressort qui respecte rigoureusement le cahier des charges soit trouvé. Ensuite, la phase de propagation démarre et déplace la fenêtre autour du meilleur ressort en cours.

Avec la méthode de choix souple, il n'y a pas a priori de préférence pour un ressort non pénalisé, la seule grandeur observée est l'objectif corrigé Obj’. Nous avons donc choisi d'effectuer la phase d'explosion jusqu'à ce qu'un ressort soit évalué (pour rentrer dans le domaine des solutions potentielles), ensuite la phase de propagation est réalisée.

Pour économiser des évaluations de ressorts, la phase de propagation peut être commencée encore plus tôt. Nous avons appelé cette méthode d'exploration, la propagation simple.

4.2.4 Troisième méthode d’exploration : la propagation simple

Cette fois, la phase de propagation est lancée le plus tôt possible, c'est à dire dès qu'un ressort a pu être évalué. Avec cette approche, la phase d'explosion permet uniquement d'atteindre le domaine des solutions potentielles (lorsque le point de départ est à l’extérieur de celui-ci).

Lorsque le point de départ spécifié est à l'intérieur du domaine, la phase d'explosion conduit à examiner seulement les 8 ressorts entourant la solution optimale en variables continues (une seule couche). Le meilleur de ces ressorts est le centre de la première fenêtre de la phase de propagation.