CHAPITRE III LE RESSORT DE COMPRESSION
3. L ES RESSORTS DE COMPRESSION SUR MESURE
3.3 Résolution du problème : méthode MS + PM
Notre objectif est de trouver une méthode de résolution rapide et efficace qui puisse être appliquée sans intervention de l'utilisateur. Nous nous sommes orientés vers l’utilisation d’un outil de Programmation Mathématique (PM) pour réaliser la phase d’optimisation.
Il existe de nombreux outils de programmation mathématique (II 4.2). Nous nous sommes orientés vers l’utilisation d’une méthode primale car ce type de méthode d'optimisation a pour particularité de toujours chercher à faire évoluer les variables du problème à l'intérieur du domaine des solutions réalisables jusqu'à l'obtention de l'optimum. L'avantage d’une telle approche est que si l'algorithme est stoppé par le concepteur avant la fin du processus de résolution (si le temps de calcul est trop long par exemple), la solution en cours est généralement à l'intérieur du domaine des solutions réalisables. Elle est donc exploitable puisqu'elle représente alors une conception acceptable. Dans ce domaine, Excel intègre des fonctionnalités d'optimisation qui sont intéressantes pour le problème à résoudre. L'approche proposée est basée sur la procédure de gradient réduit généralisé [FRO 00]. Excel offre la possibilité de choisir entre deux options de résolution : gradient conjugué ou approche quasi- newtonienne (BFGS). Nous avons sélectionné la méthode BFGS qui présente de grandes qualités de robustesse [LAF 92].
L'inconvénient majeur des méthodes primale est qu'elles requièrent des valeurs initiales correspondant à une solution située à l'intérieur du domaine des solutions réalisables (ou qui soit très proche de celui-ci). Nous avons donc développé un algorithme pour initialiser les variables avant de lancer l'optimisation avec Excel. Il utilise un Maillage Séquentiel (phase MS) de l’espace des variables pour construire un catalogue de ressorts virtuels adaptés au problème considéré. Le meilleur ressort est retenu comme point de départ du calcul d'optimisation par programmation mathématique.
Nous avons appelé notre approche de résolution : méthode MS + PM.
Nous allons maintenant détailler la phase de Maillage Séquentiel.
Au départ, chaque variable a une borne inférieure et une borne supérieure. L'espace de variation des variables est donc un hyper-parallélépipède exinscrit. Pour construire le catalogue virtuel, un simple maillage régulier de l'espace, conduit à tester de nombreuses combinaisons pénalisées (hors du domaine des solutions réalisables).
Un maillage plus efficace peut être réalisé. Nous savons que chaque limite renseignée dans le cahier des charges, peut restreindre le domaine acceptable d'autres paramètres. On dit alors qu'une contrainte est propagée vers les autres [ZHY 97]. La restriction des limites pour
chaque variable est d'une grande utilité car elle permet d’affiner le maillage et d’éviter de tester un grand nombre de solutions non acceptables.
Lorsque les relations sont de forme simple, il est possible de calculer analytiquement l'influence des limites d'un paramètre sur les autres grâce à l'arithmétique des intervalles [MOO 79]. Avec cette approche nous pouvons resserrer rapidement et économiquement les variables considérées. Nous n’exploiterons ici que les expressions les plus simples. Nous obtiendrons donc, pour chaque variable, un domaine de variation un peu plus important que le domaine minimal théorique. De ce fait aucune solution acceptable ne sera écartée.
Pour réaliser le maillage, notre technique consiste à ordonner les variables. Dès qu'une variable est fixée, les deux contraintes associées (limite minimale et limite maximale) sont propagées vers la variable suivante pour restreindre le domaine à mailler. Nous aurons donc un maillage séquentiel adapté au problème posé.
La figure III.38 illustre la différence entre un maillage régulier simple et notre maillage séquentiel. Dans ce problème simplifié, nous cherchons les valeurs de d et D tout en satisfaisant aux contraintes sur w venant des normes : wIN ≤ D/d ≤ wSN.
Max
d D
Min
Min Max
Domaine des solutionsréalisables
Max
d D
Min
Min Max
Maillage régulier simple Maillage Séquentiel
S
wN wSN
I
wN I
wN
Figure III.38 Illustration de divers maillages
Dans les deux cas, 16 points sont testés. Avec le maillage régulier simple, seuls 6 points sont à l'intérieur du domaine des solutions réalisables. Avec le maillage séquentiel, (découpage sur d puis sur D) tous les points testés sont à l'intérieur du domaine des solutions réalisables.
Cette technique a été étendue au problème complet et a conduit à l'algorithme suivant.
Début
Initialiser les variables avec la meilleure combinaison 1. Calcul des limites de d
2. Analyse de l'influence du fonctionnement sur R et L0
Discrétisation sur d
3. Calcul des limites de D
Discrétisation sur D
Discrétisation sur n 4. Calcul des limites de n
5. Choix de L0
6. Choix de L1 et L2
7. Sélection de la meilleure combinaison
Rebouclages
d, D et n sont fixés d est fixé
d et D sont fixés
Figure III.39 Algorithme MS de détermination du point de départ Voici les différentes étapes de l'algorithme MS (figure III.39) :
Etape1 : tout d'abord les limites de d sont calculées. Pour calculer ces limites les considérations géométriques exprimées dans le cahier des charges ainsi que les limites constructeurs sur D, d et w sont prises en compte.
La nomenclature (table III.2) indique les relations de base suivantes : De = D + d ; Di = D – d ; w = D / d
A partir de ces relations, on peut déterminer toutes les formules possibles pour exprimer la variable d en fonction de deux des paramètres De, D, Di et w :
w D 1 w
Di 1 w
De 2
Di Di De
- D D - De
d =
= −
= +
= −
=
=
Toutes les bornes de la norme et du cahier des charges sont positives. L'arithmétique des intervalles permet de calculer les limites de d :
− +
−
−
−
=
I N
S N S C I
N S C I
N S C I C S C I C S
N S C I
C S C S N S C S
w ) D , Min(D 1,
w , Di 1 w
De 2 ,
Di ,De
Di ) D , Min(D ,
D De , d , d Min d
− +
− −
−
= S
N I C S
N I C S
N I C S
C I S C C I
C S N S C I
C I N I C I
w , D 1 w , Di 1 w , De 2
Di , De
Di D ), D , Min(D De
, d , d Max d
Etape 2 : il s'agit ensuite de déterminer l'influence des paramètres fonctionnels (F1, F2, L1, L2 et Sh) sur les limites de R et L0.
Cette influence est illustrée sur la figure III.40 dans laquelle les limites de la longueur libre et de la raideur sont représentées en fonction des entrées sur F1, F2, L1 et L2.
S
2C
F
Longueurs Efforts
I
2C
L L2SC L1CI L1SC
S
1C
F
I
1C
F
I
2C
F
I
0F
L L0SF
I
RF RSF
Figure III.40 Influence des paramètres fonctionnels sur les limites de R et L0 Les limites de L1, L2 et Sh sont tout d'abord resserrées :
[
SC SC SC]
S MinL1 , L2 Sh
1
L = +
[
IC]
I C I C
I MaxL1 , L2 Sh
1
L = +
[
IC]
S C S C
S MinL2 , L1 Sh
2
L = −
[
IC IC SC]
I MaxL2 , L1 Sh
2
L = −
[
Sh , L1 L2 ,ε]
Min
ShS = SC SC− IC
[
Sh , L1 L2 ,ε]
Max
ShI = IC IC− SC
ε représente une toute petite valeur strictement supérieure à zéro (pour éviter les divisions par zéro dans les calculs qui suivent).
Ensuite, les limites de R sont calculées :
( ) ( )
−
− ε +
− ε
= + I S S SC I IC SC
C S C S
S I C
S S C
F ,R
Sh 1 F 2 , F 2 L 2
L , 0 L Max
2 , F
1 L 1
L , 0 L Max
1 Min F
R
( ) ( )
−
− ε +
− ε
= + S IC
S C I C I I
S C
I C I
I S C
I I C
F ,R
Sh 1 F 2 , F 2 L 2
L , 0 L Max
2 , F
1 L 1
L , 0 L Max
1 Max F
R
puis celles de L0 :
+
+ +
= + I S
F S C S
I F
S C S
N S C S
F L2
ε R , F2 ε L1
R , F1 L0 , L0 Min L0
+
ε + +
ε
= + S I
F I I C S
F I I C C I
F L2
R 2 , F 1 R L
1 , F 0 L Max 0
L
Etape 3 : à ce niveau, d est connu. Les formules de l'étape 1 sont réutilisées pour calculer les limites de D :
+
− + +
−
= 2
Di ,De
w d 1/w , 1 , Di 1/w 1 d, De Di d, De , D , D Min D
S C S C S I N N S C S
N S C S
C S
C S N S C S
+
− + +
−
= 2
Di , De
w d 1/w , 1 , Di 1/w 1 d, De Di d, De , D Max D
I C I C I S N N I C I
N I C I
C I
C I C I
Etape 4 : D et d sont connus (ainsi que De, Di et w). Les limites de n sont calculées en tenant compte des limites sur R et L0 précédemment calculées ainsi que des limites sur Lc, M, fe, Vol0, de l'angle maximal d'enroulement et de la contrainte maximale admissible à spires jointives.
− + −
ρ ε
− −
π + ρ
− +
−
=
I 2
2 S C I
C 2
2 2
S S C
F S
I C F 3
4 S
Sh ni) (nm d d
De Vol0 4000 d , 1 G ) , Max(fe D
d 560 3
, 2 d nm
D M 000 ni), 4 (nm d / L0 ni), (nm d / Lc R , D 8
d Min G n
− + −
ρ ε
− π −
ρ
− + − +
=
I 2
2 I C S
C 2
2 2
I C S
I C S C F 3
4 I
N I
Sh ni) (nm d d
De Vol0 4000 D
,xmin G ) , Max(fe D
d 560 3
2, d nm
D M 000 , 4 D
ni) (nm d xminL0
ni), (nm d / Lc R , D 8
d , G n Max n
avec xmin qui est fait pour tenir compte de l'angle maximal d'enroulement ainsi que de la contrainte maximale à spire jointive.
( )
+
=
k d G
c , D
z tan Max 1
xmin S
C 2 S
N k
d D
τ π π
Etape 5 : Puisque D, d et n sont connus, les nouvelles limites de L0 peuvent être calculées :
[
SC SC SC SC SF]
S Min F1 /R L1 ,F2 /R L2 ,L0
L0 = + +
[
IC CI IC CI IF]
I Max F1 /R L1 ,F2 /R L2 ,L0
L0 = + +
L0 est choisi de manière à avoir le pas le plus grand possible : L0 = d (ni + nm) + n D / xmin
Si la valeur trouvée (L0) n'est pas compatible avec les limites (L0I et L0S),
Alors Prendre pour valeur de L0, la limite acceptable la plus proche (L0I ou L0S).
Calculer une nouvelle valeur pour R avec le L0 choisi et le pas maximum :
( )
[
L0 d ni nm]
xmin D 8
d R 3 G
4
+
= −
Evaluer l'influence du choix de L0 sur les limites de R :
( ) ( )
−
− ε +
− ε
= SCS+ S SSC S SC I IC SC
S ,R
Sh 1 F 2 , F 2 L 2
L , 0 L Max
2 , F
1 L 1
L , 0 L Max
1 Min F
R
( ) ( )
−
− ε +
− ε
= ICI+ I IIC I IC S SC IC
I ,R
Sh 1 F 2 , F 2 L 2
L , 0 L Max
2 , F
1 L 1
L , 0 L Max
1 Max F
R
Si R est incompatible avec les nouvelles limites, prendre le R acceptable le plus proche.
Etape 6 : le ressort est connu. L1 et L2 sont déterminées en fonction du cahier des charges et de l'objectif comme pour les ressorts de stock (III 2.4).
Etape 7 : la méthode de choix simple (III 2.5.1) permet de retenir la meilleure combinaison des variables.
Certaines combinaisons donnent lieu à des incompatibilités (il n'est parfois pas possible de trouver une valeur de n valable pour une combinaison donnée de d et D), dans ce cas, les solutions correspondantes ne sont pas évaluées.
Par sécurité, si aucune solution n'a pu être évaluée, le meilleur ressort d'un catalogue réel (VANEL dans notre étude) selon la méthode de choix simple est retenu pour initialiser les variables. Cette approche garantit la définition d'un point de départ en toute circonstance.