CHAPITRE IV LE RESSORT DE TRACTION
1. N OTIONS DETAILLEES ( REVISE )
2.4 Optimisation du fonctionnement d'un ressort de traction (révisé)
L’étude présentée ne prend pas en compte la notion d’énergie (g37, g38 enlevées).
Cela permet de conserver la structure du manuscrit d’origine. La notion d’énergie peut être intégrée en reprenant l’étude présentée pour les ressorts de compression.
Dans une première étape nous fusionnons les contraintes fonctionnelles des ressorts de traction de stock (table IV.3).
Le calcul de L1 et IN L2SN est effectué à partir de la valeur de Ln, en fonction de la norme sélectionnée (IV 1.5).
R F0 k
D R 8
d L0 zul
Ln
3
IST −
+
= α π
τ
avec αIST = 1 (calcul classique) ou
αIST = 0.75 (en tenant compte des extrémités).
Les nouvelles limites acceptables pour L1:
L1S = Min (L1SC , L0+F1SC/R) regroupe g27 et g31 L1I = Max (L1CI , L0+F1IC/R, L1 ) IN regroupe g28, g32 et g41 Le calcul des limites sur L2 est un peu plus complexe.
Pour prendre en compte la limitation sur l'angle maximal des spires, il faut considérer : Di
2 d D n π ) z ( tan
Lz= SN + +
Le calcul de la contrainte maximale dans les extrémités amène une limitation supplémentaire.
Dans le catalogue utilisé, les extrémités sont des boucles anglaises, la limitation peut venir soit de la contrainte maximale de flexion, soit de la contrainte maximale de torsion (pour des boucles allemandes seule la contrainte de flexion est prise en compte) :
R
D 16
d) - (D d Re π D ;
32 d zulπ Min 3
L0 Lb
2 3 3
+
=
τ
Voici la formulation finale des limites de L2 : L2S = Min (L2SC , L0+F2SC/R,
2 S C
De 2 Vol 4
π , L2SN, Lz, Lb)
regroupe g29, g33, g39, g42, g43 et g44 L2I = Max (L2CI , L0+F2IC/R,
2 I C
De 2 Vol 4
π ) regroupe g30, g34, et g40 Limites de la course Sh proviennent directement des données du cahier des charges:
ShS = Sh SC ShI = Sh IC
Il convient aussi de vérifier la durée de vie en fatigue en vérifiant que αF (venant de la norme DIN ou de l'IST) est supérieur à 1. On obtient ainsi un problème d'optimisation à 7 contraintes (table IV.4) et deux variables L1 et L2.
Table IV.4 Contraintes fonctionnelles fusionnées d'un ressort de traction de stock
Critères : Limite supérieure Limite inférieure
F1, L1, L1 IN g’1(X) : L1 – L1S ≤ 0 g’2(X) : L1I – L1 ≤ 0 F2, L2, Vol2, L2SN, z, αb g’3(X) : L2 – L2S ≤ 0 g’4(X) : L1I – L1 ≤ 0
Sh g’5(X) : L2 – L1 - ShS ≤ 0 g’6(X) : ShI – L2 + L1 ≤ 0
αF g’7(X) : 1- αF ≤ 0
La forme de la table IV.4 est similaire celle de la table III.8 pour les ressorts de compression.
Nous pouvons donc de manière identique construire un problème avec les 7 contraintes (problème 1) et un autre avec seulement les six premières (problème 2).
Le problème 1 représente le cas général (sans considérer l’énergie) et permet de définir le domaine des solutions réalisables (figure IV.8). Le problème 2 permet de définir le domaine de fonctionnement (figure IV.9). Le domaine de fonctionnement obtenu est éventuellement corrigé pour qu'il soit compatible avec les longueurs critiques L0 et Ln (III 2.4.5).
C’est à partir de ces deux problèmes que sont déterminées les longueurs L1 et L2 pour chaque ressort.
En cas d'incompatibilité dans la définition des limites, la procédure définie pour trouver les longueurs de fonctionnement des ressorts de compression est réutilisée (III 2.4.6).
g’2 g’1
L2 g’3
g’4
L1
g’5 g’6
g’7
Domaine des solutions réalisables
Figure IV.8 Domaine des solutions réalisables (problème 1)
g’2 g’1
L2 g’3
g’4
L1
g’5 g’6
Domaine de fonctionnement
Figure IV.9 Domaine de fonctionnement (problème 2)
2.4.1 Fonctionnement optimal pour durée de vie maximale
Afin de vérifier que le ressort peut respecter le nombre de cycles requis, les paramètres fonctionnels (L1 et L2) sont tout d'abord calculés de manière à maximiser le coefficient de fatigue. Comme pour les ressorts de compression, nous travaillons dans ce cas sur le problème fusionné sans la contrainte g’7 dont le rôle est de fixer un seuil minimal au coefficient de fatigue (problème 2). Il y a donc six contraintes à prendre en compte (g’1..g’6).
Les graphiques de la figure IV.10 représentent l’état des contraintes susceptibles d'être actives à l'optimum (les points optimaux potentiels sont représentés par des ronds). L'analyse des graphiques montre que dans chaque cas, on retient le point qui a la plus grande valeur de L2.
Lorsque deux points sont en concurrence (figure IV.10.a et figure IV.10.c), on retient celui qui a la plus petite valeur de L1.
Solution L2
g’4
g’1 L1
L2
g’4
g’6
L1 Solution
L2
g’2 L1
Solution
a) : g’4∩g’6 b) : g’2∩g’6 c) : g’1∩g’4
g’6
Figure IV.10 Points solution maximisant la durée de vie
L'algorithme calcule le couple (L1, L2) relatif à chacun des trois points de la figure IV.10.
Il retient ensuite le couple ayant la plus grande valeur de L2. Lorsque deux couples sont à égalité, c'est celui qui à la plus petite valeur de L1 qui est retenu pour affecter les valeurs L1 et L2. Le coefficient de fatigue αF peut alors être calculé.
2.4.2 Fonctionnement optimal pour obtenir une longueur L2 maximale
On cherche à trouver le point de fonctionnement sur la figure IV.8 qui maximise L2 pour répondre à l'un des objectifs suivant : maximiser L2, maximiser le volume enveloppe pour L = L2 (Vol2) ou maximiser F2.
Lorsque le coefficient de fatigue qui vient d’être calculé est supérieur à 1, le domaine des solutions réalisables pour le problème 1 existe. Nous exploitons à nouveau, la méthode utilisant les diagrammes de variation (II 4.1) pour trouver le point de fonctionnement maximisant la valeur de L2. Dans ce cas, L1 est implicitement maximisée de manière à minimiser la contrainte de cisaillement alternée
τ
a.Les cinq cas possibles sont indexés sur la figure IV.11 (les points optimaux potentiels sont représentés par des carrés). La démonstration du fait que la contrainte relative à la durée de vie en fatigue est une droite de pente positive inférieure à 1 est présentée en annexe II.
L1 L2
solution
L1 solution
L1 solution
L1 solution
L1 solution a) : g’1∩g’7
L2 L2
L2 L2
g’7
g’1
g’6 g’3
g’3
g’1
g’7
g’1
g’6 g’5
b) : g’3∩g’6 c) : g’1∩g’3
d) : g’6∩g’7 e) : g’1∩g’5
Figure IV.11 Points solution maximisant L2
Le point de fonctionnement retenu (parmi les cinq potentiels) est, dans tous les cas, celui qui correspond aux valeurs minimales à la fois pour L1 et L2. L'algorithme calcule donc L1 et L2 pour les cinq points répertoriés et retient les valeurs les plus petites pour L1 et L2.