Le modèle de Stoney pour la détermination des contraintes

CHAPITRE I : Caractérisation Mécanique Des Couches Minces

24 Figure I.15. Evolution schématique du module d’Young d’un polymère en fonction de la

température

Nous verrons par la suite que certains équipements de caractérisation permettent de déterminer l’état de déformation du matériau, ainsi que sa température de transition vitreuse. La partie suivante présente une solution analytique qui, associée à une technique expérimentale, permet justement de calculer cet état de contrainte, pour des matériaux élastiques.

I.2.2. Le modèle de Stoney pour la détermination des contraintes

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25 L’expression de Stoney est intéressante dans la mesure où il n’est pas nécessaire de connaître les propriétés élastiques de la couche déposée pour en déterminer sa contrainte. Cependant, elle n’est rigoureusement applicable que dans les systèmes répondant à toutes les hypothèses qu’elle implique. Quand ce n’est pas le cas, de nouveaux modèles permettent de dépasser certaines hypothèses.

I.2.2.2. Application du modèle de Stoney à la détermination du CTE des couches minces

Le coefficient de dilatation thermique (CTE) d’un matériau définit sa capacité à se déformer linéairement sous l’effet d’une variation de température ΔT. En supposant que le matériau soit stable, c’est-à-dire que ses propriétés élastiques ne varient pas en température, la contrainte de la couche mince calculée par mesure de courbure et application du modèle de Stoney peut se calculer en fonction du budget thermique subi par la couche et de ses propriétés élastiques et thermiques.

Pour une couche mince d’épaisseur t_f déposée sur un substrat d’épaisseur ts, la contrainte ^f dans la couche mince s’écrit sous la forme (I.9) mais aussi de la sorte :

( )( ) (I.10) où T_ref représente la température de référence pour un état de contrainte nul (généralement la température de dépôt), et E_f,s, f,s et f,s respectivement le module d’Young, coefficient de Poisson et CTE de la couche mince (f) et du substrat (s). I représente la contrainte générée par le dépôt, indépendante de la température. Elle fera l’objet d’une étude détaillée dans le troisième chapitre de ce manuscrit. Avant dépôt, le Silicium est libre de se déformer. La courbure n’évolue pas avec la température. Une simple mesure de courbure du substrat à température ambiante (T_amb) suffit alors pour déterminer R_av(T)= R_av(T_amb) dans la formule (I.9).

En traçant la contrainte de la couche mince calculée par la formule de Stoney (I.9) en fonction de la température, et en supposant les CTE indépendants de la température, la partie linéaire élastique de la courbe obtenue permet d’évaluer le produit ( ) à partir de la formule (I.10). Connaissant les propriétés élastiques de la couche déposée et le CTE du substrat, il est alors possible de déterminer celui de la couche.

I.2.2.3. Limites du modèle de Stoney

Certaines hypothèses du modèle de Stoney limitent fortement son utilisation. Nous allons dans cette partie nous intéresser à certains modèles permettant de montrer les limites des hypothèses d’isotropie, de courbure et d’épaisseurs relatives des matériaux.

Dans le cas où le substrat est cristallin ou texturé, comme c’est le cas des plaques de Silicium utilisées en microélectronique, il faut prendre en compte l’anisotropie du substrat dans

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26 l’expression de Stoney. Nix est le premier à avoir considéré ce paramètre [23]. Il introduit le module d’élasticité M_s, dépendant des constantes d’élasticité C_ij du substrat. L’expression (I.9) devient alors :

(

). (I.11)

Dans le cas d’un silicium orienté (100) comme les plaques utilisées en microélectroniques, le module M_s est calculé selon :

. (I.12)

Dans certains cas, des non-linéarités aboutissent à des courbures non uniformes, dépendant de l’orientation par exemple. Finot et al. ont introduit dans les années 90 un paramètre A permettant de différencier les modes de déformations [29], dépendant de la contrainte de la couche σf, des épaisseurs couche (t_f)/substrat (t_s) et du diamètre D de la plaque selon :

(I.13)

Ce paramètre atteint une valeur critique A_c pour laquelle s’installe des instabilités géométriques. Si le ratio D/h > 50 comme c’est le cas pour des plaques de Silicium (D = 300 mm et t_s = 775 µm ou D = 200 mm et t_s = 720 µm), ce paramètre critique ne dépend plus que des propriétés élastiques du substrat. Par exemple pour du Silicium, cette valeur a été évaluée par éléments finis à 680 GPa. Finot et al. ont ainsi montré l’existence de trois régimes : un premier régime lorsque =A/A_c <0,2, pour lequel la solution de Stoney est valide avec une erreur jusqu’à 10 %, un deuxième régime pour 0,2< <1,0 où la courbure n’est plus uniforme sur la plaque entre le bord et le centre de la plaque. Le dernier régime correspond au cas où > 1,0, et où on observe un brusque changement d’une forme sphérique du wafer à une forme ellipsoïdale.

Enfin, dans le cas où l’hypothèse du ratio d’épaisseur entre la couche et le substrat n’est plus vérifiée, l’erreur observée avec l’estimation de Stoney augmente considérablement, comme l’illustre la Figure I.16. Différents modèles ont par la suite émergé afin de généraliser la solution de Stoney pour de plus forts ratio d’épaisseur couche/substrat [30, 31].

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27 Figure I.16. Erreur de l’équation de Stoney en fonction du ratio des épaisseurs et modules

des couche/substrat. [32]

L’analyse de Stoney nécessite de mesurer expérimentalement les rayons de courbure avant et après dépôt. Les autres modèles qui généralisent cette formule nécessitent en plus de prendre en compte les propriétés élastiques de la couche déposée. Une telle approche est présentée au chapitre III de ce travail. La partie suivante présente l’ensemble des techniques expérimentales disponibles et utilisées au cours de ce travail de thèse afin de déterminer l’état de contrainte d’une couche mince, ainsi que ses propriétés élastiques et thermiques.