Théorie DWBA pour des objets enterrés

Milieu semi-infini

Pour un objet diffusant noyé dans un substrat semi-infini d’indicens, la composante qez du transfert de moment corrigée des effets de réfraction est complexe,

e q_z = 2π

λ

hpn²_s −cos²(α_f) +p

n²_s −cos²(α_i) i

, (1.12)

et l’état non perturbé est l’onde transmise [9,49]. Ainsi, en utilisant l’Eq.1.7, l’intensité diffusée par un objet enterré à une profondeur z de la surface s’écrit dans le cadre de la DWBA :

I(qy, qz) =|t0,1(αi)|²|t0,1(αf)|²exp µ

−z z₀

¶

|F (eqy,qez)|², (1.13) avec

1

z₀ = 1

z_1/e(α_i) + 1

z_1/e(α_f). (1.14)

Dans l’Eq. 1.13, les effets liés au terme de transmission |t0,1(αf)|² et au terme d’absorp- tion e^−z/z0 sur l’intensité diffusée s’opposent. Le premier, lié au pic de Yoneda, entraîne une augmentation locale de l’intensité lorsque l’angle d’émergence α_f ≈ α_c; le second engendre au contraire une forte diminution de l’intensité, en particulier lorsque le parcours du faisceau diffusé dans le substrat est grand, c.-à-d. lorsqueα_f est petit. Comme illustré sur la Fig.1.8 qui représente l’intensité diffusée par une sphère de diamètre D= 5 nm enterrée dans un substrat de silicium, le poids de l’un par rapport à l’autre de ces effets dépend fortement de la profon- deur z. Ainsi, l’effet lié à la transmission est d’autant moins important que la profondeur z est grande. D’autre part, contrairement au cas précédent de l’îlot supporté, la Fig. 1.8 montre clairement que l’intensité diffusée est cette fois quasi-nulle dans la zone de l’espace réciproque correspondant à des angles d’émergenceα_f < α_c, ce qui peut s’interpréter comme résultant des effets de réfraction à l’interface air/substrat.

1.6 1.2 0.8 0.4 qz (nm-1 )

-1.0 0.0 1.0

q_y (nm^-1)

(a) z = 40 nm

10x10³ 8 6 4 2 0

-1.0 0.0 1.0

q_y (nm^-1)

(c) z = 1000 nm

40x10^-9 30

20 10 0

-1.0 0.0 1.0

q_y (nm^-1)

(b) z = 200 nm

100 80 60 40 20 0

Figure 1.8 – Intensité diffusée I(qy, qz) calculée dans le cadre de la DWBA avec αi = αc pour une sphère de diamètreD = 5 nm enterrée à une profondeurz dans un substrat plan de silicium à 12,4 keV.

(a)z = 40nm, (b) z = 200nm et (c)z = 1000 nm. La ligne pointillée blanche représente la valeur deqz

pour laquelleαf=αc.

1.2. Diffusion centrale des rayons X en incidence rasante 13 Enfin, en intégrant l’Eq. 1.13 entre z₁ et z₂, on peut montrer que l’intensité diffusée par une assemblée de N objets identiques répartis de façon aléatoire dans un substrat entre z =z₁ et z =z₂ s’exprime dans le cadre de la DWBA de la façon suivante [50,51] :

I(qy, qz) = N|t0,1(αi)|²|t0,1(αf)|² z₀ z₂−z₁

· exp

µ

−z₁ z₀

¶

−exp µ

−z₂ z₀

¶¸

|F (eqy,eqz)|². (1.15)

Milieu stratifié

Pour un objet diffusant situé à l’interfacez_j+1d’un milieu stratifié (Fig.1.9), il faut calculer les amplitudes du champ descendant A⁻_j(zj+1) et du champ ascendant A⁺_j (zj+1) (voir § 1.1.2) pour obtenir l’état de référence. Par analogie avec l’Eq. 1.11, l’amplitude diffusée par un tel objet s’écrit dans le cadre de la DWBA [25,27,52] :

F

³

qy,eki,z,ekf,z

´

= A⁻_j (αi)A⁻_j (αf)F

³

qy,ekf,z−eki,z

´

+A⁺_j (α_i)A⁻_j (α_f)F

³

q_y,ek_f,z+ek_i,z

´

+A⁻_j (α_i)A⁺_j (α_f)F

³

q_y,−ek_f,z−ek_i,z

´

+A⁺_j (α_i)A⁺_j (α_f)F ³

q_y,−ek_f,z+ek_i,z´

. (1.16)

Considérons l’empilement Si 70 nm/Au 50 nm/Si schématisé sur la Fig. 1.5(b) et une inclusion sphérique de diamètre D = 5 nm située à une profondeur z = 40 nm de la surface.

La Fig. 1.10(a) montre l’intensité diffusée I(q_z) par un tel objet calculée dans le cadre de la

z_j

z_j+1

k_f k_i

Terme 1 : q_z = k_f,z - k_i,z j

j+1 j-1

~ ~

~ ~ ~

z_j

z_j+1

k_f k_i

Terme 2 : q_z = k_f,z + k_i,z j

j+1 j-1

~ ~

~ ~ ~

z_j

z_j+1

k_f k_i

Terme 3 : q_z = -k_f,z - k_i,z j j+1 j-1

~ ~

~ ~ ~

z_j

z_j+1

k_f k_i

Terme 4 : q_z = -k_f,z + k_i,z j j+1 j-1

~ ~

~ ~ ~

Figure 1.9– Processus de diffusion possibles pour un objet enterré dans un milieu stratifié.

10^-1 10¹ 10³ 10⁵

Intensité diffusée (u.a.)

2.0 1.5 1.0 0.5

q_z (nm^-1)

(a)

BA

DWBA (αi = 0,15°)

1.6 1.2 0.8 0.4 qz (nm-1 )

-1.0 0.0 1.0

q_y (nm^-1)

(c) 1.0x10⁵ 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 20

15 10 5 0

Intensité transmise

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Angle d'incidence (deg) α_i = 0,15° (b)

Figure 1.10–GISAXS pour une sphère de diamètreD= 5nm enterrée à une profondeur z= 40nm de la surface de l’empilement Si 70 nm/Au 50 nm/Si schématisé sur laFig.1.5(b) à 12,4 keV. (a) Intensité diffuséeI(qz)à qy = 0 calculée dans le cadre de l’approximation de Born et dans le cadre de la DWBA avecαi = 0,15^◦. (b) Intensité du champ incident transmis à la profondeurz= 40nm en fonction de l’angle d’incidence. (c) Intensité diffuséeI(qy, qz)calculée dans le cadre de la DWBA avecαi= 0,15^◦.

DWBA avec un angle d’incidence α_i = 0,15^◦ correspondant à un maximum d’intensité trans- mise [Fig.1.10(b)]. D’une part, celle-ci est nettement supérieure à celle obtenue dans le cadre de l’approximation de Born. D’autre part, elle présente des oscillations qui résultent d’inter- férences entre les quatre termes de l’Eq. 1.16 et dont la période dépend principalement de la distance entre l’inclusion et la couche d’or miroir. Sur le cliché GISAXS, il s’ensuit l’apparition de franges parallèles à l’axeq_y et dont l’amplitude diminue lorsque q_z augmente [Fig.1.10(c)].

De la même manière, l’intensité diffusée I(q_y, q_z) ∝ N|F(q_y, q_z)|² par une assemblée de N objets identiques répartis de façon aléatoire dans la couche j d’un milieu stratifié est donc l’intégrale entrez =z_j etz =z_j+1de la somme de 16 termes (4 termes indépendants et 12 termes croisés) [53]. Il est donc difficile d’obtenir une expression analytique simple de l’intensité diffusée dans un tel cas. Cependant, on considère en pratique que les termes croisés sont négligeables et que seuls les termes indépendants participent à la diffusion [28] :

|F (q_y, q_z)|² = ¯

¯A⁻_j (α_i)¯

¯²¯

¯A⁻_j (α_f)¯

¯²¯¯¯F

³

q_y,ek_f,z−ek_i,z

´¯¯

¯² z₀ tj

· exp

µt_j z0

¶

−1

¸

+ ¯

¯A⁺_j (αi)¯

¯²¯

¯A⁻_j (αf)¯

¯²¯

¯¯F

³

qy,ekf,z+eki,z

´¯¯

¯² y₀ t_j

·

1−exp µ

−t_j y₀

¶¸

+ ¯¯A⁻_j (α_i)¯¯²¯¯A⁺_j (α_f)¯¯²¯

¯¯F

³

q_y,−ek_f,z−ek_i,z

´¯¯

¯² y₀ t_j

· exp

µt_j y₀

¶

−1

¸

+ ¯

¯A⁺_j (α_i)¯

¯²¯

¯A⁺_j (α_f)¯

¯²¯¯¯F

³

q_y,−ek_f,z+ek_i,z

´¯¯

¯² z₀ t_j

·

1−exp µ

−t_j z₀

¶¸

,(1.17)

1.2. Diffusion centrale des rayons X en incidence rasante 15 où t_j =z_j+1−z_j est l’épaisseur de la couchej, z₀ est donné par l’Eq. 1.14 et

1 y0

= 1

z1/e(αi)− 1

z1/e(αf). (1.18)

La Fig. 1.11 montre l’intensité diffusée par une assemblée d’inclusions sphériques de dia- mètre D = 5 nm réparties de façon aléatoire dans la couche superficielle de l’empilement Si 70 nm/Au 50 nm/Si schématisé sur la Fig. 1.5(b). En comparaison avec l’exemple précé- dent d’une seule inclusion située à une profondeur z = 40 nm de la surface (Fig. 1.10), les effets d’interférence sont ici beaucoup moins prononcés et ne subsistent que pour des angles d’émergence αf proches de αc.

10^-1 10¹ 10³ 10⁵

Intensité diffusée (u.a.)

2.0 1.5 1.0 0.5

q_z (nm^-1)

(a)

BA

DWBA (αi = 0,15°)

1.6 1.2 0.8 0.4 qz (nm-1 )

-1.0 0.0 1.0

q_y (nm^-1)

(b) 1.0x10⁵ 0.8

0.6 0.4 0.2 0.0

Figure 1.11 – GISAXS pour une assemblée de sphères de diamètre D = 5 nm réparties de façon aléatoire dans la couche superficielle de l’empilement Si 70 nm/Au 50 nm/Si schématisé sur laFig.1.5(b) à 12,4 keV. (a) Intensité diffuséeI(qz)à qy= 0 calculée dans le cadre de l’approximation de Born et dans le cadre de la DWBA avec αi = 0,15^◦. (b) Intensité diffusée I(qy, qz)calculée dans le cadre de la DWBA avecαi= 0,15^◦.

Enfin, il convient de noter que dans le cas d’une couche mince nanocomposite déposée sur un substrat plan, si le contraste de densité électronique entre la couche et le substrat est faible, les amplitudes des champs ascendants A⁺_j(αi)etA⁺_j (αf)sont négligeables et l’Eq.1.17est alors équivalente à l’Eq. 1.15.

Chapitre 2

Application à l’étude de nanostructures enterrées

2.1 Défauts induits par implantation d’hélium et de néon

No documento faisceaux d’ions (páginas 43-48)