Je tiens tout d'abord à remercier les membres de l'Institut Fourier, tant le personnel administratif et technique que les enseignants, chercheurs et doctorants, de m'avoir accueilli durant mes années de thèse ainsi que lors de mes précédentes études. Je tiens également à remercier Michèle et Évelyne de m'avoir permis de faire mes expériences dans leurs classes.
Introduction
Pour définir une « approche expérimentale en mathématiques », nous avons utilisé les travaux de Perrin (2007) ainsi que des éléments issus des traités de Dahan (2005) et Dias (2009). Le cadre théorique permettra de caractériser un modèle situation-problème favorisant la pratique de la démarche expérimentale.
Problématique et contexte
Problématique et contexte
Quel est l’apport de la pratique de la démarche expérimentale en situation de résolution de problème ? L’approche expérimentale en mathématiques est une compétence qui ne peut s’acquérir que par la pratique dans une situation de résolution de problèmes.
Objectifs de la recherche
Quelles sont les conditions d’un véritable apprentissage de la démarche expérimentale par les étudiants ? Les expérimentations nous apporteront également des éléments de réponses aux apports des étudiants issus de la pratique de la démarche expérimentale.
Première partie
Un point de vue épistémologique et didactique sur la démarche
Un point de vue épistémologique sur la démarche expérimentale
- Par rapport à la définition de Perrin
- L’origine de la démarche
- Proposer de nouveaux problèmes
- Expérimenter-observer-valider
- Lien entre expérience générative et expérience validative
- Expérimenter permet de découvrir des arguments locaux
- Tentative de preuve
- Conclusion
- Outils experimentaux
Avec une solution admissible, nous sommes confrontés au problème suivant : la solution est-elle localement maximale6. changement de question), ce qui peut nous amener à rechercher des solutions de cardinalité supérieure et ainsi à nous poser des questions telles que : existe-t-il des solutions de cardinalité X. On peut aussi avoir des changements d'instance, qui peuvent être vus comme des sous-problèmes. La validation du produit stratégique consiste donc à vérifier s'il existe une solution à P2,n pour un n donné.
La notion de concept-problème
Une formalisation de la notion de conception sur un problème Dans cette section, nous allons donner notre point de vue sur la concep-
Considérez le problème de la chasse à la bête que nous appelons PCB et considérez les deux problèmes suivants. Nous avons vu que le problème de la chasse à la bête est un problème de programmation linéaire en nombres entiers que l’on peut représenter sous forme matricielle.
L’utilisation du concept-problème en didactique
Un problème ou une représentation manquante, c'est lorsqu'un problème ou une représentation manque dans la conception de l'élève. Considérons le problème de la chasse à la bête, Pcb, et le problème, Paving, qui consiste à paver le jardin avec des animaux.
Démarche expérimentale et conception sur un problème
Développement de la conception sur le problème
- Lien entre expérimenter et tenter de prouver
- Lien entre tenter de prouver-expérimenter et proposer de nouveaux problèmes
En construisant des configurations, nous voyons que nous n'avons qu'une seule possibilité pour les diagonales des coins (voir Figure III.8), mais que pour cette seule possibilité, les diagonales des coins se trouvent sur la même diagonale. Nous soupçonnons également des ccons ; en plaçant les cases comme sur la figure III.9 on obtient une solution admissible.
Autres apports de la démarche expérimental
- Rôle des exemples
Passons maintenant à une roue dont le cercle extérieur est constitué de 4 couleurs, nous pourrons alors trouver la solution sur la figure III.20. Pour un cercle extérieur composé de 6 couleurs, on trouve la solution sur la figure III.21.
Quelques différences entre les mathématiques et les sciences expérimentales
L’induction entre découverte et validité
En science expérimentale, la validation d’une hypothèse nécessite donc une comparaison entre les faits pouvant découler de l’hypothèse et les résultats expérimentaux.
Protocole-Reproductibilité : validation
Travaux didactiques autour de la démarche expérimentale
- Une synthèse : le dossier de veille de l’INRP
- La démarche expérimentale et la construction de savoirs notionnels
- Un accès aux concepts élémentaires de théorie des nombres
- La démarche expérimentale et l’apprentissage de la preuve Nous avons vu précédemment que le processessus de preuve est un des
- La démarche expérimentale et la perception des mathématiques
- La démarche expérimentale et le développement de compétences relatives à la résolution de problème
- La démarche expérimentale et le processus de définition Ouvrier-Buffet (2003) mentionne que les exemples et les contre-
- La prise en compte de la dimension expérimentale des mathématiques dans les analyses didactiques
- Les travaux autour des situations de recherche en classe Des thèses ont été faites ou sont en cours autour des situations de re-
Cartier (2008) a travaillé sur l'utilisation de graphes d'objets mathématiques pour l'apprentissage de la preuve et de la modélisation. Elle a proposé des situations impliquant cette notion pour enseigner l'essai et la modélisation.
Les élèves pratiquent-ils la démarche expérimentale ?
Une grille d’analyse
- Quelques éléments issus des sciences expérimentales
L'auteur ajoute que ce type d'incertitude est présent en probabilité et en combinatoire. Les exercices de type B ont été choisis car nous avons vu que, selon notre modèle de démarche expérimentale, il y a initialement un problème ouvert, ces exercices sont donc susceptibles de provoquer la mise en œuvre d'une démarche expérimentale.
Étude d’une collection de manuels
- Seconde
- Première scientifique
- Terminale scientifique
Nous avons également un autre exemple d'exercice de type A avec la figure VI.6, dans lequel le manuel semble prévoir la possibilité d'une fausse présomption de la part des étudiants. La figure VI.10 est un exercice de type A ; le manuel vous demande de formuler une conjecture après avoir étudié certains termes d'une série récurrente.
Conclusion
L’apprentissage de la démarche expérimentale ne peut se faire qu’en permettant aux étudiants d’utiliser des outils expérimentaux qu’ils maîtrisent. L’apprentissage de la démarche expérimentale nécessite la présence d’une personne pouvant servir de guide aux étudiants.
Jeu du set
- Présentation du problème
- Analyse apriori
- Présentation dela situation expérimentale
- Résultats des expérimentations
- Résultats généraux
- Conclusion
Considérons G, un jeu (n−1;c) sans 3-ensembles de cardinal, alors ce jeu peut être utilisé pour construire un (n;c) jeu sans 3-ensembles de cardinal 2m. Les élèves ont commencé par essayer de construire un jeu (3 ; 4) sans 3 sets en utilisant la stratégie S22.
Deuxième partie
Construction d’un milieu et hypothèses de recherche
Hypothèses de recherche et de travail
Postulats
Hypothèses de recherche et de travail Nous faisons les hypothèses de recherche suivante
La pratique de la démarche expérimentale en mathématiques nécessite la mise en place d’un contrat didactique différent de celui habituel. Ce contrat devrait laisser plus de responsabilité à l'étudiant dans la résolution du problème.
Éléments constitutifs d’un milieu pour la démarche expérimentale
Caractéristiques d’un milieu a-didactique
- Un grand nombre de propositions doivent être vérifiables expérimentalement sur des cas particuliers. Selon Bernard (2008),
Cela nous amène à émettre l'hypothèse que nous utilisons des objets pour les instances proches des objets sur lesquels les étudiants ont travaillé ou sont en train de travailler. L'apprentissage de la démarche expérimentale nécessite des problèmes dont la solution nécessite des objets mathématiques sur lesquels les élèves n'ont pas encore travaillé.
Par rapport aux caractéristiques d’un « milieu pour l’expérience » de Durand-Guerrier
En particulier, nous émettons l’hypothèse qu’un problème de quasi-recherche possède un grand espace de problèmes. Ainsi, nous aborderons les caractéristiques de l'environnement de ces situations, notamment par rapport aux positions et objectifs respectifs de l'enseignant et des étudiants, l'idée d'une problématique de recherche proche ainsi que celle des variables de recherche.
Portrait robot d’un problème
L’intérêt d’aborder une problématique proche de la recherche est de s’assurer que le domaine présente des problématiques importantes. Le rôle de l'analyse a priori est donc de s'assurer qu'un certain nombre de ces exemples soient accessibles aux étudiants.
Troisième partie
Analyse mathématique
Présentation du jeu
Étant donné un territoire vide, le joueur 1 doit trouver la frontière cachée par le joueur 2. Pour ce faire, le joueur 1 a le droit de demander au joueur 2 la couleur de n'importe quelle case du territoire.
Analyse mathématique de la situation pour le chercheur Nous utilisons le vocabulaire suivant : un algorithme est un algorithme
Ainsi, puisqu'il existe un algorithme de recherche qui définit f dans 2 requêtes, A définit f dans 2 requêtes. Si A est un algorithme de recherche dans un rectangle R, F l'ensemble des bornes possibles dans RetA(f) le nombre de requêtes utilisées par A pour trouver la borne f.
Pas k)
Un segment horizontal ou vertical contenant deux points de couleurs différentes contient un point limite. Cela pose donc le problème suivant : étant donné un segment dont les extrémités ont des couleurs différentes, comment trouver un point sur la frontière.
Deux points et pas)
De plus, si le bord est vertical, l’algorithme interroge les extrémités de la première ligne. Ceux-ci ont des couleurs différentes. De plus, il faudra encore au moins un interrogatoire pour trouver un deuxième point noir.
Deux points et subdivision)
Tout d’abord, nous nous concentrerons sur la recherche d’un algorithme nous permettant de déterminer la direction de la frontière. Puisque cela impliquerait d’utiliser des algorithmes à deux points, nous rechercherons des algorithmes qui trouvent la direction de la frontière sans que l’algorithme ait à trouver le point noir.
Correspondance coins-directions d’un carré) Nous avons la correspondance suivante entre la couleur des coins d’un
Cependant, la première question se pose : « est-il possible de trouver un algorithme qui permette de déterminer la direction de la frontière sans lui demander de trouver des points. Par conséquent, un algorithme qui détermine la direction de la frontière devra, dans certains cas, rechercher les coins du rectangle.
Correspondance coins-directions d’un rectangle) Nous avons les correspondances suivantes pour un rectangle dont la
Toutefois, cette stratégie est généralement moins efficace que celle qui consiste à rechercher un point noir sur une ligne puis à déterminer la direction de la frontière. En fait, la détermination de la direction de la frontière peut se faire « rapidement » une fois qu'un point sur la frontière a été trouvé.
Direction puis recherche d’un point noir sur des carrés)
Cet algorithme trouve la frontière car il détermine la direction de la frontière puis l'un de ses points. Une stratégie possible consiste à rechercher les quatre coins, puis un point noir, et enfin à utiliser le lemme X.18 pour déterminer la direction de la frontière.
Direction puis recherche d’un point noir sur des rectangles)
De plus, une fois qu’un point noir est trouvé sur la longueur, une seule interrogation suffit pour déterminer la direction de la limite. Cependant, une notion que nous avons du problème est que le nombre de requêtes augmente en fonction des dimensions des rectangles et tend vers l'infini à mesure que les dimensions tendent vers l'infini.
Elimination de points)
La modélisation de la situation que nous venons de réaliser s'appuie sur les propriétés géométriques de la droite. Cela concerne les objets tels que les directions, les coins des rectangles et les distances. Nous allons maintenant proposer un modèle de la situation basé sur le constat suivant : lorsque plusieurs cases ont la même couleur, on n'a pas besoin d'interroger certaines cases pour déterminer leurs couleurs.
Théorème d’intersection)
Un premier constat que l’on peut faire est que contrôler la plus grande surface n’est pas suffisant pour obtenir un algorithme optimal dans le pire des cas. La figure X.12 en est un exemple : sur a on trouve la limite en 4 interrogations, tandis que sur b on peut le faire en 2.
Algorithme des milieux)
Il faut maintenant compter le nombre de frontières possibles sur un rectangle vide, c'est le problème Pcard−f r. La Figure X.25 indique le nombre de limites dans chaque paquet en fonction de l'emplacement de la première requête.
Elimination de frontières)
Si le segment de couleurs inconnues est de longueur l, alors il suffit de noter qu'il est de longueur l + 1 et de jouer dans l'un de ces cercles. On dira qu'un segment est de type T1 lorsqu'il est de cette forme : et de type T2 lorsqu'il est de cette forme.
Algorithme de recherche sur un segment de type T 1 )
En fait, sur un segment on peut assimiler les frontières non vides et non-segments à des points. Les conditions d'arrêt sur un segment que nous considérons sont les suivantes : un point rouge et un point bleu à distance 1, deux points noirs, un point noir et un point de couleur rouge ou bleu et les deux points de même couleur.
Algorithme dichotomique)
Le théorème X.22, page 153, permet de montrer que si l n'est pas de la forme 2n−1, l'algorithme dichotomique est au pire optimal. En fait, en comptant le nombre de limites et non le nombre de points, on peut améliorer la borne inférieure et ainsi montrer que l'algorithme dichotomique est optimal dans le pire des cas.
Algorithme coins puis dichotomie) algorithme coins puis dichotomie Sur un rectangle
Ainsi, après recherche dans l’algorithme, le nombre de points de couleur inconnue est inférieur à l. Pour le cas où le carré a 5 côtés, l’algorithme trouve la limite, dans le pire des cas, en 5 questions.
Stratégie par densité de zone)
