Caractéristiques d’un milieu a-didactique

1.1. L’élève doit prendre l’expérimentation à sa charge. Par cela, nous entendons que l’élève doit effectuer des expériences qu’il a construit lui même afin d’avancer dans la résolution du problème. L’élève doit pouvoir faire ses propres choix expérimentaux. En particulier, l’élève doit prendre à sa charge le problème de la validation du produit de l’expérimentation.

Pour réaliser cela, l’enseignant devra donc dévoluer cette responsabilité aux élèves. D’autre part, nous faisons l’hypothèse que fournir du matériel aux élèves va les inciter à effectuer des expériences (utilisant ce matériel) pour avancer dans la résolution du problème.

1.2. Les outils matériels contenus dans le milieu doivent être maîtrisés par les élèves. À la suite de notre étude de manuel, page 101, nous avons fait l’hypothèse suivante :

Hypothèse

Le milieu doit permettre d’utiliser des outils d’expérimentations maîtrisés par les élèves..

Nous avons fait cette hypothèse (p. 101) en réponse à ce qui est, selon nous, un frein à la pratique de la démarche expérimentale : l’utilisation d’outils non maitrisés par les élèves.

Nous proposons donc d’utiliser les médians suivants : – support matériel : plateau en bois ou en carton, jetons. . . – papier et crayon ;

– outils de contruction géométrique ;

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– logiciel informatique simple d’accès ne retranscrivant que les actions des élèves.

De plus, Pour que ces éléments soient dans le milieu, nous préconisons l’utilisation de situations qui seront porteuses d’incertitudes (Zaslavsky (2005)) pour l’élève, l’utilisation des médians apparaissant alors comme un outil permettant de réduire cette incertitude (voir sous-section 1.6).

1.3. Les instances du problème initial doivent être des objets apparaissant comme non-usuels pour les élèves. Les travaux deLith- nermontre que l’utilisation de problèmes éloignés de ceux que les élèves ont l’habitude de traiter favorise l’utilisation du » raisonnement plausible« que nous considérons comme étant au cœur de la démarche expérimentale.

Lithner (2000) identifie 2 types de raisonnements : le raisonnement

« PR », en référence au « Plausible Reasonning » de Polya (1990) et le raisonnement « EE », pour « Established Experiences ». Pour Lithner, le raisonnementP Rest fondé sur les propriétés mathématiques des objets alors que le raisonnement EE est fondé sur l’expérience personnelle concernant les objets du problème.

Un exemple de raisonnement EE, sur une tâche T donné par Lithner est le suivant :

The solutions to all maximisations tasks I have solved have been found wheref^′(x) = 0. SoT is solved by finding where f^′(x) = 0

Un exemple de raisonnement P R, sur la même tâche T est le suivant : If one sees the graph of a function as hills and valleys, a

maximum is found at the top of a hill. At the top slope is zero, and the slope is described by the derivative. So T is solved by examining the points where f^′(x) = 0.

Même si le raisonnement EE n’est pas sans intérêt au cours d’une re- cherche, le raisonnement P R nous semble être au cœur de la démarche ex- périmentale. Lithner (2000) remarque qu’en situation de résolution d’un problème d’optimisation continu, les élèves¹, qui n’ont pas réussi à résoudre le problème, ont utilisé le raisonnementEEdans la construction de leur stra- tégie de résolution. Le raisonnement PR étant seulement utilisé de manière locale.

De plus, dans un article plus récent,Lithner(2010) montre que lorsque les élèves sont confrontés à des problèmes qui sont proches de ceux rencon- trés dans leurs manuels, ils utilisent principalement le raisonnement « Imi- tative Reasonning » alors que confronté à des tâches qui s’éloignent de celles données par les manuels, ils vont utiliser des raisonnements basés sur le rai- sonnement plausible et les propriétés mathématiques des objets, créant par la même de nouvelles démarches de résolution.

Cela nous amène ainsi à faire l’hypothèse qu’utiliser, pour les instances, des objets proches² de ceux que les élèves ont travaillé ou travaillent va

1Les élèves avaient, normalement, les connaissances nécessaires pour résoudre le problème

2Proche au niveau des représentations. L’utilisation d’objets proches au niveau conceptuel est indispensable, toutefois il faut que le milieu puisse être enrichi par de

1. CARACTÉRISTIQUES D’UN MILIEU A-DIDACTIQUE 121

les amener à favoriser l’utilisation de raisonnement EE au détriment du raisonnement PR, ce qui va être un obstacle à la construction de nouveaux objets mathématiques et à la formulation de nouveaux problèmes.³.

Nous pourrions nous demander aussi pourquoi ne pas simplement consi- dérer des problèmes avec des instances usuelles et des questions différentes.

Nous faisons l’hypothèse que les instances, notamment à travers leurs re- présentations favorisent l’utilisation du raisonnement EE, bien plus que la question. Toutefois, il se peut aussi que si la tâche est identifiée comme étant proche d’une tâche que les élèves ont l’habitudes de réaliser (même si les ins- tances sont différentes) entraînent les élèves à utiliser du raisonnement EE, cela peut par exemple être le cas dans le problème d’optimisation,la chasse à la bête, que l’on pourrait essayer de résoudre en cherchant à dériver une fonction. . .

Pour cela nous préconisons l’utilisatin de problèmes issues des mathé- matiques discrètes, car ils existent de nombreux problèmes faciles d’accès dont les instances ne sont pas usuelles pour les élèves.

1.4. Le milieu doit permettre la construction de nouveaux ob- jets mathématiques. Nous avons fait dans le chapitre portant sur l’étude d’un manuel (p. 102), l’hypothèse suivante :

Hypothèse

L’apprentissage de la démarche expérimentale nécessite des problèmes dont la résolution fait appel à des objets mathématiques qui n’ont pas encore été travaillés par les élèves.

Nous faisons cette hypothèse, car une démarche expérimentale doit, selon nous, permettre le développement de nouveaux objets mathématiques. En effet, si les objets mathématiques clés de la résolution sont des objets qui sont connus des élèves, leur démarche peut être amputée de tout travail de modélisation.

1.4.1. Le milieu doit permettre la construction d’objets mathématiques à l’aide de l’expérimental. En particulier, il doit être possible d’identifier des propriétés sur les objets mathématiques afin d’émettre des conjectures.

Dans ce cas, l’expérimental participe au développement, chez l’élève, de sa conception sur le problème.

Nous dirons que cette construction est possible à travers l’expérimenta- tion lorsqu’expérimenter amène à formuler de nouveaux problèmes dont la résolution peut entraîner la construction de nouveaux objets.

Voici des exemples :

nouveaux objets construits par les élèves : ces nouveaux objets peuvent être des exemples, des contre-exemples, de nouvelles définitions. . .

3Remarquons que nous considérons l’apprentissage du raisonnementP R sur des si- tuations proches de celles travaillées en classe comme l’un des objectifs de l’apprentissage des mathématiques à l’école. Nous pourrions donc utiliser des problèmes dont les objets sont proches de ceux qui ont été travaillés en classe, toutefois, il nous semble que le fran- chissement de l’« obstacle »EE ne peut se faire qu’une fois que les élèves ont été mis en situation de chercher un problème.

Exemple IX.1. Dans le jeu de la chasse à la bête, à l’aide d’expéri- mentation générative nous pouvons construire des solutions admissibles et ainsi être confronté au probléme suivant : cette solution admissible est-elle solution (optimale) ?

Exemple IX.2. En essayant de résoudre le jeu du set de manière expé- rimentale, nous sommes confronté au nouveau problème suivant : comment vérifier qu’un jeu de carte contient un set ? La résolution de ce problème peut nous amener à construire la notion de bloc, que nous pouvons utiliser pour résoudre le problème du set dans certains cas particuliers.

Pour savoir si le milieu peut permettre de construire de nouveaux outils de résolutions, il est donc nécessaire de déterminer les nouveaux problèmes que l’activité expérimentale est susceptible de nous faire rencontrer.

1.5. Un grand nombre de propositions doivent être vérifiables expérimentalement sur des cas particuliers. Selon Bernard(2008), les hypothèses effectuées dans une « méthode expérimentale » doivent être vérifiable expérimentalement⁴. En reprenant cette idée, le problème proposé aux élèves doit pouvoir permettre la formulation de propositions et conjec- tures vérifiables expérimentalement.

1.6. Mais la validation expérimentale doit apparaître comme insuffisante. . . Toutefois, afin que la vérification expérimentale ne soit pas un obstacle à la preuve, la situation doit comporter une incertitude suffisamment élevée pour justifier une validation théorique. En référence à Zaslavsky (2005), voici des types d’incertitudes que la situation doit per- mettre de générer :

(1) hypothèses rivales ;

(2) chemin inconnu ou conclusion incertaine ; (3) hypothèse non vérifiable facilement.

D’autre part, nous différencions plusieurs niveaux d’incertitude expéri- mentale :

– le milieu estsans incertitude si l’élève connaît déjà la réponse au pro- blème ou s’il connaît une stratégie qui permet de la trouver.

– le milieu est d’un faible niveau d’incertitude expérimentale pour un élève lorsqu’il est porteur d’incertitude et lorsque l’incertitude ne per- siste pas expérimentalement, c’est-à-dire si l’élève n’est amené qu’à formuler peu de nouveaux problèmes. C’est par exemple le cas, dans le problème étudié dans le chapitre ? ? ? ? concernant les manuels sco- laires, l’expérimentation nous amenant à faire apparaître un cercle à chaque fois.

– Nous dirons que le milieu possèdeun haut niveau d’incertitude expéri- mentale pour l’élève lorsque l’incertitude persiste, c’est-à-dire lorsque expérimentalement l’élève est amené à formuler de multiples nouveaux problèmes.

4En sciences empiriques, généralement, ce qu’on vérifie ce sont des conséquences de l’hypothèse.

1. CARACTÉRISTIQUES D’UN MILIEU A-DIDACTIQUE 123

Pour obtenir un haut niveau d’incertitude expérimentale, nous propo- sons d’utiliser des problèmes dont l’espace problème est important. Pour permettre le développement de cet espace problème, nous proposons de lais- ser la prise en charge de certaines variables du problème aux élèves : les variables de recherche (Godot, 2005 ;Grenier etPayan, 2002, p. 133 ;).

Enfin, il nous semble que la possibilité d’effectuer des généralisations basées sur des cas particuliers peut faire rentrer les élèves dans un processus de preuve, du fait du besoin de vérifier que le résultat est vrai pour un grand nombre de cas. Cela nous amène donc à utiliser des instances du problème comme variables de recherche.

Selon Bloch, pour que les élèves puissent effectuer des preuves, il est nécessaire que le milieu comportent des types de preuves qu’ils connaissent ou qu’ils construisent.

1.7. Le milieu doit permettre l’étude de cas particuliers. Nous avons vu que les cas particuliers peuvent jouer un rôle important dans l’avan- cée de la recherche, que cela soit, avec l’expérimentation générative, pour établir des propriétés sur des objets mathématiques ou, avec l’expérimenta- tion validative, pour faire des preuves. Un milieu favorable à la démarche ex- périmentale produit des objets mathématiques qui peuvent servir d’exemples ou de contre-exemples.

Pour permettre aux élèves d’étudier des cas particuliers, nous proposons d’utiliser des variables de recherche portant sur les instances du problème.

1.8. Le modèle de SiRC. Le modèle de situation que nous préconi- sons pour l’apprentissage de la démarche expérimentale se rapproche de celui des situations de recherche en classe(Grenier etPayan, 2002), ce dernier est caractérisé de la manière suivante :

(1) la situation s’inscrit dans une problématique de recherche profes- sionnelle ;

(2) le question initiale est facile d’accès ; (3) des stratégies initiales existent ;

(4) plusieurs stratégies d’avancée dans la recherche et plusieurs déve- loppements sont possibles ;

(5) une question résolue renvoie très souvent une nouvelle question.

Le milieu associé au SiRC est, d’après GrenieretPayan(ibid.), muni des caractéristiques suivantes :

– les concepts mathématiques en jeu ne sont pas désignés à l’avance et ne sont pas restreints a priori ;

– les apprentissages en jeu sont ceux qui sont constitutifs de l’activité de recherche mathématique : argumenter, formuler et étudier des conjec- tures, prouver, modéliser. . .

– des savoirs notionnels sont aussi en jeu, ils vont constituer les « points d’ancrage notionnels » pour l’enseignant ;

– aucune stratégie, aucune connaissance ne doit être a priori exclue ; – présence de variables de recherche ;

– pour l’élève, un critère de réussite « provisoire » est l’émission d’une conjecture forte ou la résolution d’un cas particulier ;

– pour l’enseignant, le critère de réussite est la reconnaissance d’appren- tissages liés au triplet (question, conjecture, preuve).

D’autre part, dans une SiRC, les élèves sont en position de chercheur et ont pour tâche de produire des résultats qui sont nouveaux pour eux. Tandis que, selonGrenieretPayan(2002), l’enseignant est dans une « double po- sition de chercheur et de gestionnaire de la situation ». Il est en position de chercheur, car les élèves peuvent se poser des problèmes pour lesquels il n’a pas les réponses, il peut alors s’associer à eux pour chercher des solutions.

D’autre part, il doit contrôler l’activité de l’élève par rapport aux objectifs d’apprentissage, les savoirs transversaux⁵. En particulier, il doit s’assurer des apprentissages reliés au débat scientifique (Legrand, 1993), Grenier etPayan(2002) donnent les exemples suivants : une affirmation doit être ar- gumentée, un contre-exemple est suffisant pour annuler une conjecture mais parfois il est possible de modifier celle-ci pour en faire une autre conjecture, des exemples ne suffisent pas à prouver. Concernant l’enseignant, Godot (2006) dit aussi qu’il est amené à interroger, relancer les recherches, à « pra- tiquer une pédagogie de l’encouragement » en référence à la gestion des problèmes ouverts développés à Lyon (ArsacetMante, 2007).

De part les caractéristiques que nous venons de développer, les SiRC sont susceptibles de générer une activité expérimentale pertinente chez les élèves. En particulier, nous faisons l’hypothèse qu’un problème proche de la recherche dispose d’un espace problème important.

Nous reprendrons donc les caractéristiques du milieu de ces situations notamment concernant les positions et objectifs respectifs de l’enseignant et des élèves, l’idée d’un problème proche de la recherche ainsi que celle des variables de recherche.

1.9. Le rôle des élèves et de l’enseignant. L’enseignant doit établir un nouveau contrat avec les élèves que nous avons représenté dans le tableau Pour résumer, l’enseignant doit créer des conditions qui mettent les élèves dans une position, la plus proche possible, de celle d’un chercheur, il ne doit donc pas apparaître comme ayant toutes les réponses et, s’il connaît des solutions, il ne doit pas les donner..

2. Par rapport aux caractéristiques d’un « milieu pour