Jeu du set
2. Analyse apriori
Nous allons donner dans cette section, des éléments succints d’analyse apriori du problème. Une analyse plus détaillée se trouve dans ? ? ?.
2.1. Petite analyse mathématique. Considérons le problèmeP0avec t = 1, toute carte est un 1-set, de ce fait il n’est pas possible de construire un jeu de cartes sans 1-set.
Pour le problème P0 avec t= 2, tout ensemble de cartes de cardinalité 2 est un 2-set. De ce fait, les plus grands (n, c)-jeux sans 2-sets sont les ensembles de cardinalité 1.
2. ANALYSE APRIORI 107
Nous allons maintenant consacrer le reste de l’analyse mathématique à l’étude du problème P0 avec t = 3, c’est-à-dire, que nous ne considérerons que des sets composés de 3 cartes.
2.1.1. Problèmes en jeu. Afin de simplifier l’analyse mathématique, nous nous limiterons à l’étude de 3-set. En premier lieu, nous pouvons observer qu’étant donné un jeu sans 3-set de cardinalm dans lequel toutes les cartes sont différentes, nous obtenons un jeu sans 3-set de cardinal 2men duplicant chacune des cartes. Cette technique est exemplifiée sur la figure VII.7.
Fig. VII.7. Un exemple de duplication d’un (5,3)-jeu
De plus, un jeu contenant 3 fois la même carte contient un set. Ces premiers résultats nous permettent de voir que résoudre P0 avec t= 3 est équivalent à résoudre le problème P1 suivant : étant donné 2 entiersn et c déterminer le plus grand (n;c)-jeu dont toutes les cartes sont distinctes et qui ne contient pas de 3-set.
Nous appelons max(n;c) la solution de P1.
Pour résoudreP1, une possibilité est de chercher à résoudre àP2 :com- ment construire un (n, c)-jeu sans 3-set ? Nous pouvons remarquer que la résolution de P2 permet d’obtenir un minorant à la solution de P1.
Expérimenter pour résoudre P2, nous confronte alors au problèmeP3 : déterminer une technique (algorithme) pour savoir si un jeu est sans 3-set.
Ce problème peut nous amener à nous poser le problème de l’efficacité de notre technique et ainsi à nous poser le problèmeP3′ :quelle est la technique la plus efficace pour savoir si un jeu contient un 3-set ?
Les nouveaux problèmes que nous avons identifiés, ne permettent pas encore de résoudre complétement P1 puisqu’ils ne nous permettent pas de savoir si un jeu sans 3-set est maximal, c’est le problème P4. Un premier moyen de résoudre P4 est le problème P5 : est-il possible de rajouter une carte ? Une réponse positive montre que le jeu n’est pas maximal, toutefois une réponse négative ne permet pas de conclure que le jeu est maximal comme le montre les figures VII.8 et VII.9.
Nous disons qu’un (n;c)-jeu sans set est localement maximal, lorsqu’il n’est pas possible de lui rajouter une carte sans faire apparaître un set. De
Fig. VII.8. Un (3; 3)-jeu de cardinal 8 sans 3-set auquel il n’est pas possible de rajouter une carte sans créer un 3-set.
Fig. VII.9. Un (3; 3)-jeu de cardinal 9 sans 3-set.
ce fait, l’exemple précédent montre qu’un jeu localement maximal n’est pas nécessairement maximal.
Un autre moyen de savoir si le jeu est maximal est de connaître un majorant à la solution deP1. Ce qui nous amène au problèmeP5:déterminer un majorant à max(n;c). Les problèmesP2 etP5 permettent alors d’obtenir un encadrement de max(n;c). Nous allons rechercher des encadrements dont la distance entre le majorant le minorant est la plus petite possible (s’ils sont les mêmes nous avons trouvé la solution).
Nous allons maintenant donner des éléments de réponses aux problèmes que posés précédemment.
2.1.2. Éléments de réponses. Nous allons commencer par résoudre le problème pour un (n; 2)-jeu, c’est-à-dire, des jeux comportant des cartes qui ne sont construites qu’avec 2 couleurs. Nous pouvons nous apercevoir qu’un (n; 2)-jeu, dont toutes cartes sont distinctes, ne contient jamais de 3- set. En effet, supposons qu’un tel jeu contienne un 3-set alors il contient un sous-ensemble de 3 cartes {C1, C2, C3} tel que toutes les lignes de ce sous- ensemble soient mauvaises. Or comme nous n’utilisons que 2 couleurs, une mauvaise ligne est unicolore doncC1=C2 =C3, ce qui est en contradiction avec le fait que toutes les cartes soient disctinctes. Nous donnerons plus loin une autre preuve de ce résultat. Nous obtenons un premier théorème : Théorème VII.4
Pour tout entiern≥1,max(n; 2) = 2n
Une stratégie naïve,S31, de résolution de deP3(vérification de la présence d’un 3-set) consiste à tester tous les triplets de 3 cartes, cette stratégie a un coût élevé puisque pour un jeu dem cartes, nous devons tester m3triplets.
Remarquons que la mise en place d’une stratégie pose le problème1suivant : comment savoir tous les triplets ont été testés ? Il peut alors être intéressant d’ordonner les couleurs et d’utiliser, par exemple l’ordre lexicographique, pour construire un ordre sur les cartes.
Une stratégie, S23 plus efficace utilise la notion debloc.
Définition VII.5 (Bloc). Un α-bloc d’un (n;c)-jeu est l’ensemble des cartes du jeu ayant la couleur α sur la première ligne.
La stratégie S32 consiste à :
(1) Vérifier la présence de sets dans chacun des blocs.
(2) Vérifier que les triplets de cartes composés de cartes issues de blocs différents ne forment pas de set.
1De manière générale, toutes les stratégies énumératives nécessitent de s’assurer que tous les cas ont été testés.
2. ANALYSE APRIORI 109
Comme pour S31, S32 requiert de définir un ordre sur les cartes. Cette stratégie est, généralement, plus rapide, car elle ne teste pas les triplets dont la première ligne n’est pas une mauvaise ligne.
La notion de bloc peut aussi être utilisée pour répondre à P2. En effet, considéronsG, un (n−1;c)-jeu sans 3-set, de cardinalmalors ce jeu peut être utilisé pour construire un (n;c)-jeu sans 3-set de cardinal 2m. La méthode de construction, S21 est expiquée sur la figure VII.10.
Fig. VII.10. Méthode de construction S21.
Cette méthode de construction inductive fonctionne, car comme le jeu construit ne contient que 2 blocs, les seuls 3-sets possibles sont ceux consti- tués de cartes appartenant à un même bloc et ce n’est pas possible, car G est sans 3-set.
Cette méthode de construction nous permet aussi de déterminer un mi- norant à max(n;c), 2 max(n−1;c)≤max(n;c).
Par rapport àS21, le problème suivant se pose :est-il possible de rajouter des cartes à un jeu construit avecS12? Lorsque le (n−1;c)-jeu sans 3-set est localement maximal, c’est impossible sans créer un 3-set. En effet, appelons G′ le jeu construit avec S21 en utilisantG alorsG′ est composé d’unα-bloc et d’un β-bloc.
D’une part, comme G est localement maximal, il n’est pas possible de rajouter une carte au α-bloc et au β-bloc. D’autre part, soit γ une couleur différente de αetβ alors il n’est pas possible de rajouter une carte ayant la couleurγ sur sa première ligne. En effet, considéronsC = (γ, a2, . . . , an) une carte à nlignes et la carte àn−1 lignes,C′ = (a2, . . . , an). Alors, commeG est localement maximal, il existe 2 cartes appartenant à G,C1 etC2, telles que {C′, C1, C2} soit un 3-set. De ce fait, les cartes (α, C1) ; (β, C2) et C′ forment un 3-set.
Et comme, la carte (α, C1) appartient auα-bloc deG′, et la carte (β, C2) appartient au β-bloc deG′,G′SC′ contient un 3-set.
La notion de bloc peut aussi être utilisée pour répondre àP5(majorant).
En effet, la taille maximal d’un bloc d’un (n;c)-jeu est max(n−1;c). Comme nous avons ccouleurs, le nombre maximal de blocs que peut contenir un jeu est cd’où le résultat suivant : max(n;c)≤cmax(n−1;c). Cela nous donne le théorème suivant :
Théorème VII.6
Soitn≥1et c≥2des entiers alors :
2 max(n−1;c)≤max(n;c)≤cmax(n−1;c)
Remarquons que ce théorème appliqué avec c = 2 donne une autre preuve du théorème VII.4. Lorsque c ≥ 3, il existe des (n;c)-jeu sans 3- set de cardinalité supérieure à 2 max(n−1;c). Pour construire un tel jeu, nous pouvons utiliser les stratégies de construction suivantes :
– S22 : Commencer avec un jeuGsans set (qui peut être vide) et ajouter une carteCtelle queGSC soit sans set. Répéter cette opération tant qu’il est possible de rajouter une carte.
– S23 : Considérer un jeu de cartes G, dès qu’un set est trouvé, retirer de Gune des cartes formant le set. Répéter cette opération tant qu’il y a un set.
La cardinalité des jeux produits en utilisant l’une de ces stratégies va, apriori, dépendre de l’ordre dans lequel les cartes sont prises, sauf lorsque le nombre de couleur est de 2 (c= 2) puisque dans ce cas, un (n; 2)-jeu est sans 3-set. De ce fait, utiliser une de ces stratégies avec 2 couleurs permet de construire un jeu sans set maximal.
La stratégie S22 amène à construire des jeux localement maximaux, ce qui n’est pas, nécessairement, le cas de S23.
Dans tous les cas, ces stratégies permettent d’obtenir des jeux sans set localement maximaux. Le problème que pose ces stratégies est le suivant : Quel est l’ordre à utiliser pour obtenir un jeu sans set maximal ? Nous ne savons pas résoudre ce problème.
Utiliser avec un ordre lexicographique, la stratégie S22 donne des (n;c)- jeu de cardinalité 2n sans 3-set . Avec un ordre différent, nous pouvons trouver un (3; 3)-jeu de cardinalité 9 sans 3-set . En annexe (ou dans le mé- moire ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !), nous pouvons trouver une preuve du théorème suivant : Théorème VII.7
max(2; 3) = 4etmax(3; 3) = 9.
La preuve est une preuve énumérative par l’absurde, dans laquelle nous utilisons la notion de variable pour réduire le nombre de cas à traiter. La preuve du théorème suivant est du même type :
Théorème VII.8
Pour tout nombre entier c,max(2;c) = 4.
Remarque : Dans les exemples donnés en première partie, nous avons vu que le jeu du set admet une représentation géométrique dont l’un des intérêts est de permettre la généralisation du problème à d’autres formes que les hypercubes.
Nous n’étudierons pas, ici, la représentation géométrique du set pour des raisons didactiques : d’une part, nous faisons l’hypothèse que des élèves de secondaire ne vont pas utiliser d’eux-même cette représentation. D’autre part, elle oblige à considérer des objets géométriques de dimension supérieure à 4.
2.2. Petite analyse didactique. Ce problème admet 3 variables : n le nombre de ligne, cle nombre de couleur et tla taille d’un set. Nous avons décidé d’utiliser le nombre de lignes et le nombre de couleurs comme des variables des recherches, car elles laissent la possibilité, d’une part à étudier des cas particulier et à effectuer des généralisations, d’autre part de voir le problème de manière inductive. Par contre, nous avons décidé de fixer