Une formalisation de la notion de conception sur un problème Dans cette section, nous allons donner notre point de vue sur la concep-

La notion de concept-problème

1. Une formalisation de la notion de conception sur un problème Dans cette section, nous allons donner notre point de vue sur la concep-

CHAPITRE II

Nous avons identiﬁé diﬀérents types de relations possibles, par exemple, les relations binaires suivantes par rapport à un problème P :

– une relation suﬃsante : la résolution de P₁ entraîne la résolution de P, nous la notonsP₁→P;

– une relation nécessaire : la résolution de P entraîne la résolution de P2, nous la notonsP2 ←P;

Nous donnons maintenant des exemples de telles relations.

ExempleII.1 (Relation binaire). Considérons le problème de la chasse à la bête, que nous appelonsP_cb, et considérons les deux problèmes suivants :

– P₋ déterminer un minorant à l’optimum deP_cb; – P+ déterminer un majorant à l’optimum dePcb.

Alors nous avons les relations suivantes :P_cb→P₋ et P_cb→P₊. Les relations ne sont toutefois pas, exclusivement, de nature binaire.

Des problèmes peuvent entretenir une relation avec le problème à travers un autre problème, en voici un exemple :

ExempleII.2 (Relation ternaire). Nous reprenons les notations de l’exemple précédent, nous avons vu que nous avions les relations suivantes :P_cb→P₋ et P_cb → P₊. Nous pouvons établir une nouvelle relation entre P_cb,P₊ et P₋, en eﬀet, lorsque nous trouvons une solution à P₊ qui est égale à celle de P₋ nous avons résoluP_cb, nous avons ainsi une relation entre P₊,P₋ et P, nous la notons : (P+, P₋)→P_cb.

D’autre part, nous sommes dans le cas où P_cb →P₋ et P_cb →P₊, il y a donc équivalence, ce que nous notons (P₊, P₋)↔P_cb.

Cet exemple est un cas particulier dans lequelP_cbentretient une relation suﬃsante avec les 2 problèmes mentionnés. Cela n’est pas toujours le cas, nous présentons dans ce qui suit un exemple pour lequel nous pensons¹que la résolution du problème initial n’entraîne pas la résolution des problèmes intermédiaires.

Exemple II.3 (Relation ternaire non équivalente). Considérons le pro- blème de la chasse à la bête pour une bête et un jardin carré de côté de longueur 4. La configuration de la figure II.1 est une solution admissible que nous qualifions de localement maximale, car quel que soit le piège que nous supprimons, la bête peut se poser. Une solution est une solution admissible localement maximale, de ce fait, des problèmes qui nous permettent de résoudre la chasse à la bête sont les suivants :

– P_max : Déterminer l’ensemble des solutions localement maximales ; – P_card : Déterminer le cardinal le plus grand d’une solution localement

maximale.

La résolution de ces problèmes entraînent la résolution de P_cb. Cepen- dant, connaître l’optimum de P_cb ne permet pas de résoudre P_max.

1Nous utilisons le terme penser, car s’il est possible de montrer que la résolution d’un problème va entraîner la résolution d’un autre problème, nous ne savons pas montrer que la résolution d’un problème ne permet pas la résolution d’un autre problème. Nous ne pouvons que croire que la résolution d’un problème n’entraîne pas la résolution d’un autre, généralement, car nous ne savons pas comment utiliser le premier pour résoudre le second.

1. FORMALISATION DE CONCEPTION SUR UN PROBLÈME 23

Fig. II.1. Une solution localement maximale.

Nous pouvons aussi avoir des relations de nature fraternelle, c’est-à-dire, des problèmes qui sont des cas particuliers d’un même problème. Voici un exemple :

Exemple II.4 (Relation fraternelle). Considérons les deux problèmes suivants :

– P : le problème avec une bête est en forme de ; – P : le problème avec une bête en forme de .

Ce sont des cas particuliers de P_cb. Le fait que 2 problèmes soient fra- ternels est pertinent au niveau de la résolution, car il est possible que ces problèmes puissent se résoudre en utilisant une même preuve.

Nous pourrions aussi envisager une relation représentation, pour laquelle le lien entre les problèmes est que les objets sur lesquels portent le problème peuvent se représenter de manière identique ; toutefois, établir ce type de représentation sans construire de relation entre les questions ne permet pas de fabriquer un lien pertinent pour la résolution de problème.

D’autre part, nous considérons que tout changement de représentation s’accompagne d’un changement de problème (qui peut être équivalent). Cela peut se rattacher à l’aspect modélisation de l’activité de résolution de pro- blème mathématiques. De ce fait, les relations entre les problèmes prennent aussi en compte des outils de modélisation permettant de passer d’une repré- sentation à une autre. Voici un exemple illustrant le lien entre représentation et problème :

Exemple II.5 (Représentation/problème). Cet exemple porte sur le jeu du set à 3 lignes, set de taille 3 et 3 couleurs. Pour résoudre ce problème, nous pouvons essayer de « voir » le problème autrement. Pour cela, nous pouvons assigner à chacune des cartes un point de l’espace en associant la couleur de la i-ème ligne à lai-ème coordonée. Il nous faut aussi associer à chaque couleur un chiﬀre. Par exemple en associant rouge à 0, bleu à 1 et vert à 2 alors la carte de la ﬁgure II.2 devient le point de coordonées (1,0,2).

Fig. II.2. Une carte de coordonnée (1,0,2).

En utilisant cette représentation les cartes deviennent donc des points de (Z/3Z)³, l’ensemble des cartes peut donc être représenté par la ﬁgure II.3². Dans cette nouvelle représentation, les sets deviennent des triplets de points alignés verticalement, horizontalement et diagonalement. Le problème

2Nous avons tracées ces arrêtes pour faire apparaître la forme de cube, elles permettent aussi de faire apparaître certains plans.

Fig. II.3. Une représentation géométrique des cartes.

change et devient alors le problème suivant : quel est le plus grand ensemble de points qui ne contient pas 3 points alignés horizontalement, verticalement et diagonalement ? Nous avons donc, ici, la même question que concernant le problème initial mais elle ne porte pas sur les même objets, puisque la représentation géométrique fait apparaître les objets droites ou encore hypercubes.

Une question qui se pose alors est de savoir si le nouveau problème est équivalent au problème initial. Pour répondre à cette question positivement nous devons nous assurer que trouver un jeu sans set est équivalent à trouver un ensemble de points ne contenant pas 3 points alignés. Ce qui est bien le cas ici. La relation entre les deux problèmes est alors la suivante : résoudre le problème du set pour des sets de taille 3 avec 3 couleurs est équivalent à résoudre le problème de l’alignements de points dans des hypercubes.

Cet exemple illustre le lien qu’il peut y avoir entre représentation et pro- blèmes. C’est ce lien qui nous semble être caractéristique de la modélisation mathématique. Nous déﬁnissons ainsi lamodélisation mathématique comme l’action de construire de nouvelles représentations/problèmes.

Dans cet exemple, nous tombons sur un cas où les deux problèmes sont équivalents. Ce n’est pas tout le temps le cas, en voici un exemple :

Exemple II.6 (Représentations/problèmes non-équivalents). Considé- rons P_cb et la représentation de la figure II.4 où le chiffre de chaque case représente le nombre de positions qu’un peut prendre lorsqu’il recouvre cette case. Le problèmeP_recassocié à cette représentation est le suivant : dé- terminer des configurations qui minimisent le nombre de positions éliminées, tout en éliminant, au moins, le nombre total de bête (changement d’objets mais pas de question).

Fig. II.4. Représentation par recouvrement.

Ce problème met en jeu une nouvelle optimalité basée sur le nombre de bêtes éliminées. Le cas idéal étant de trouver une conﬁguration qui élimine exactement le nombre de positions total qu’une bête peut prendre.

1. FORMALISATION DE CONCEPTION SUR UN PROBLÈME 25

La relation qu’entretiennent P_rec et P_cb est la suivante : une solution admissible de P_rec est une solution admissible deP_cb et réciproquement une solution admissible deP_cbest une solution admissible deP_rec, toutefois, une solution deP_recn’est pas nécessairement une solution deP_cb(voir ﬁgure II.5) et une solution deP_cb, n’est pas nécessairement une solution pourP_rec³(voir ﬁgure II.6).

Fig. II.5. P_rec 9P_cb. Fig. II.6. P_cb9P_rec. Cependant, cette représentation peut être utilisée pour résoudre le pro- blème P₋ par l’étude du problème suivant : déterminer un minorant au nombre de pièges qui éliminent le nombre total de positions qu’une bête peut prendre. Pour cela, il nous faut résoudre le problème suivant : quel est le nombre de positions total qu’une bête peut prendre ? Nous pouvons ensuite eﬀectuer des raisonnements analogues à celui-ci : pour le rectangle de l’exemple de la ﬁgure II.4 (la bête est un ), nous pouvons voir qu’un piège élimine au plus 5 positions, le nombre total de position étant 34, il faut au moins 7 pièges pour éliminer les 34 positions. Donc il faut au moins 7 pièges pour empêcher la bête de se poser dans le jardin.

Comme nous l’avons vu dans les exemples précédents, l’apparition d’une nouvelle représentation entraîne un changement de problème. Elle peut aussi permettre la généralisation du problème initiale sous une nouvelle forme, en voici un exemple :

ExempleII.7. Le problème du jeu du set admet une représentation géo- métrique. Comme nous l’avons vu, le problème géométrique a pour origine un changement d’objets par rapport au problème initial. Dans l’exemple II.5, les objets que nous avons mentionnés sont isomorphes à ceux du problème initial. En particulier, l’ensemble des cartes est représenté par un hypercube.

e point de vue géométrique permet de dépasser ces limitations en prenant comme objet, par exemple, des tores, des cylindres. . . . Le changement de représentation peut donc amener à construire, non seulement un nouveau problème, mais toute une nouvelle classe de problèmes.

Enﬁn, nous considérons que toute représentation/problème est asso- ciée à des invariants opératoires qui comportent les éléments suivants : axiomes, propositions vraies/fausses/plausibles ⁴, éléments de validation et les exemples/contre-exemples ainsi que des concepts. Ces éléments forment un sous-ensemble des invariants opératoires sur lesquels reposent notre action lors de la résolution de P. En particulier, nous utilisons ces éléments théoriques pour valider les résultats que nous émettons. Voici un exemple d’invariants opératoires associés à une représentation :

3En utilisant une représentation en programmation linéaire matricielle de ces pro- blèmes, nous pouvons nous rendre compte que ces problèmes n’ont pas la même fonction à optimiser.

Exemple II.8 (Invariants opératoires). ConsidéronsP_cb et la représen- tation du problème en terme de programmation linéaire en nombre entier sous forme matricielle (pas de changement de question mais changement d’objets). Par exemple, pourP_cb sur un rectangle de dimensions 3×2 avec une bête de la forme , il existe une bĳection entre les solutions admissibles de ce problème et les solutions du problème suivant : résoudre l’équation (E) d’inconnue (x_i)₁_≤_i_≤₁₂, appartenant à {0,1}¹², suivante :







1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1











 x₁ x2

x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₁₀ x₁₁ x₁₂







≥





 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1







Une bĳection est la suivante :

Fig. II.7. Bĳection entre les solutions.

Le problème équivalent est alors de déterminer le minimum de la fonction f sur l’ensemble des solutions de (E) avec :

f((x1, . . . , x₁₂)) =

i=1

x_i

En programmation linéaire, ce problème est appelé le problèmeprimal.

Cette représentation nous amène aussi à nous poser le problème dual, qui est le suivant : déterminer le maximum de la fonction f^∗ sur l’ensemble des solutions de (E^∗), où (E^∗) est l’équation d’inconnue (yi)_1≤i≤10 ∈ {0,1}¹⁰ suivante :

1. FORMALISATION DE CONCEPTION SUR UN PROBLÈME 27

t















 y₁ y₂ y₃ y₄ y5

y₆ y₇ y₈ y₉ y₁₀







≤





 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1





 Etf^∗ la fonction déﬁnie par :

f^∗((y₁, . . . , y₁₀)) =

i=1

y_i

L’étude de ce nouveau problème pour résoudre le problème primal se justiﬁe par le fait que nous avons le théorème suivant : le cardinal d’une solution admissible de E^∗ est un minorant à l’optimum deE. Ce théorème fait donc partie de nos invariants opératoires en permettant de relier E^∗ à E. D’autre part, nous avons connaissance d’exemples de problèmes⁵dans lesquels nous avons l’égalité, ces exemples sont aussi des invariants opératoires, qui appuient l’utilisation du problème dual pour résoudre le problème de la chasse de la bête.

Cette nouvelle représentation amène de nouveaux objets comme des matrices, des inéquations, des fonctions. . . D’autre part, elle amène de nouveaux invariants opératoires liés à ces objets : opérations élémentaires sur les matrices, algorithme du simplexe, pivot de Gauss, transformation d’équa- tions. . . Nous pouvons aussi y retrouver la conception suivante : les solutions sont les parties entières des solutions du système réel (c’est-à-dire où l’inconnue est un vecteur réel).

D’autre part, en reconnaissant que ce problème est un problème de programmation linéaire en nombres entiers, qui est un problème N P-complet, cela pose un nouveau problème, celui de la complexité de P_cb. Cela va ainsi mettre en jeu de nouveaux invariants opératoires issus de la théorie de la complexité algorithmique.

Enﬁn, cette représentation amène aussi d’autres représentations, par exemple géométrique avec l’apparition d’objets comme des hyperplans, des polyèdres convexes. . . La question du problème est identique, par contre les objets sur lequels nous travaillons sont diﬀérents, ce qui va amener à utiliser d’autres résultats plus géométriques.

Cet exemple nous permet d’identiﬁer deux types d’invariants opératoires, ceux qui vont appuyer les changements de problèmes et de représentations

5D’ailleurs, ici, plus que des exemples, nous pourrions dire que nous avons connaissance du théorème suivant : il existe des problèmes pour lesquels l’optimum du dual est égal à l’optimum du primal. C’est par exemple le cas pour cet exemple.

et ceux qui vont soutenir le travail de résolution à l’intérieur d’une repré- sentation. En particulier, certains de ces invariants opératoires peuvent être des conceptions, en voici un nouvel exemple :

Exemple II.9 (Local ⇒ global). Nous avons vu précédemment (voir exemple II.3 page 22 ) que pourP_cb, une solution est une solution admissible localement maximale. De ce fait, une conception possible est la suivante : une solution admissible localement maximale est une solution. Cette conception est, généralement, fausse.

D’autre part, pour construire une solution nous pouvons utiliser la stra- tégie suivante :

– Découper le jardin en sous-jardins,

– Mettre le nombre minimum de pièges sur chacun des sous-jardins.

Cette stratégie consiste donc à découper le jardin en sous-jardins sur lesquels nous plaçons le nombre de pièges minimum. La conception qu’il peut y avoir derrière cette stratégie est la suivante : si la conﬁguration de piège est minimum sur tous sous-jardins alors elle est minimum pour le jardin.

Nous regroupons ces 2 conceptions sous l’appellation : local⇒global. En eﬀet, il y a derrière ces conceptions l’idée qu’une optimalité locale entraîne une optimalité globale.

D’autres part, les éléments d’une conception sur un problème, en particulier les problèmes/représentations n’ont pas tous le même « poids » . En eﬀet, nous pouvons préférer résoudre un problème en utilisant telle piste de recherche, telle représentation plutôt qu’une autre. . . Les raisons peuvent être de nature esthétique ou de nature plus pragmatique comme la diﬃculté estimée des problèmes à résoudre ou encore la pertinence du problème pour la résolution.

Exemple II.10 (Poids). Nous avons vu que le problème de la chasse à la bête est un problème de programmation linéaire en nombres entiers que nous pouvons représenter sous forme matricielle. Une représentation combinatoire du problème est aussi possible. Pour le problème dual, c’est la suivante : quel est le nombre maximum de disjoints qu’on peut placer dans un jardin ? Par rapport à la version matricielle, ici, nous avons changé les objets.

Nous préférons résoudre le problème sous sa forme combinatoire, en cher- chant le nombre maximum de que l’on peut placer dans le jardin plu- tôt que de chercher à optimiser une fonction (même si les problèmes sont équivalents). De ce fait, ici, nous donnons plus de poid à la représentation combinatoire qu’à la représentation matricielle.

D’autre part, au niveau expérimental, nous pouvons préférer utiliser une représentation plutôt qu’une autre, en voici un exemple :

ExempleII.11 (Poids expérimental). Nous avons vu dans l’exemple II.5 page 23, que le problème du jeu du set pouvait être représenté géométrique- ment par un changement d’objets. Un des apports de cette représentation peut se voir au niveau expérimental où l’ensemble des cartes est « dessi- nable » quand le nombre de lignes est inférieure à trois. Il est alors plus facile de vériﬁer qu’un ensemble de points ne contient pas de droites que de

1. FORMALISATION DE CONCEPTION SUR UN PROBLÈME 29

vériﬁer qu’un ensemble de cartes ne contient pas de sets, car nous pouvons nous aider des symétries de l’objet géométrique.

Toutefois, lorsque le nombre de lignes est supérieur à 4, nous travaillons avec des objets géométriques qui sont de dimension supérieure à 4 ce qui rend cette représentation moins opérationnelle expérimentalement. Ceci n’est pas le cas de la représentation initiale puisqu’elle nous permet de représenter des jeux de cartes avec n’importe quel nombre de lignes sans problème.

Chaque représentation a donc des avantages et des inconvénients. De ce fait, la résolution d’un problème n’implique pas, généralement, l’utilisation d’une seule représentation mais de plusieurs. Ici, par exemple, nous pouvons utiliser la représentation géométrique pour déterminer un jeu sans set et la représentation analytique (représenter les couleurs par des variables) pour prouver qu’il est maximum.

Concernant le problème de la chasse à la bête, une conception sur ce problème possible est schématisée avec la ﬁgure II.8 où nous reprenons les éléments que nous avons développés dans les exemples précédents.

Nous allons maintenant nous attarder sur un aspect de la conception sur un problème, qui concerne les invariants opératoires de nature mathé- matique, que l’on peut associer à la validation. Nous prêtons une attention particulière à la validation théorique⁶des résultats, car l’objectif de la dé- marche n’est pas seulement la découverte de la solution du problème mais aussi la preuve de celui-ci.

1.2. Validation théorique. En mathématiques, les preuves sont dîtes de nature déductive, car elles consistent en des suites d’inférences déduc- tives. À la base de ces suites d’inférences déductives, nous retrouvons des axiomes que nous pouvons voir comme des propositions que nous admettons comme vraies. Effectuer la preuve d’un théorème consiste donc à effectuer une suite d’inférence déductives jusqu’à obtenir le résultat souhaité. Cepen- dant, comme nous l’avons déjà un peu vu et comme nous le verrons plus tard, l’activité de preuve ne consiste pas seulement en un jeu sur des inférences mais est une activité beaucoup plus complexe qu’il est difficile de décrire pouvant faire intervenir des processus de modélisation, de l’expérimental, des nouveaux problèmes. . .

Dans la sous-sous-section suivante, nous prenons en compte l’aspect dé- ductif de la preuve à travers les axiomes et les théorèmes. Cette sous-sous- section reprend le concept de théorie locale dû àDurand-Guerrier(2005).

1.2.1. Axiome-théorème. Dans (Durand-Guerrier, 2010), l’auteur ca- ractérise la démarche expérimentale en mathématiques de la manière suivante :

Ce qui caractérise la dimension expérimentale en mathéma- tiques, c’est le va-et-vient entre un travail avec les objets que l’on essaye de définir et de délimiter et l’élaboration et/ou la mise à l’épreuve d’une théorie, le plus souvent locale, visant à rendre compte des propriétés de ces objets.

6Nous parlons de validation théorique des résultats en opposition avec ce que nous pourrions appeler une validation expérimentale basée sur la répétition d’un même fait.

Fig. II.8. Une conception sur la chasse à la bête.

Durand-Guerrier (2005, p. 19) déﬁnit une théorie locale comme un ensemble :

Qui comporte les définitions, les énoncés théoriques assu- més (axiomes), et certaines propositions considérées comme vraies, découlant ou non des axiomes.

L’auteur utilise ce concept pour modéliser l’activité d’élèves essayant de résoudre un problème. Il nous semble que ce concept de théorie locale fait partie intégrante de l’aspect théorique de la conception à travers les

No documento de recherche pour la classe (páginas 42-54)