La notion de concept-problème
2. L’utilisation du concept-problème en didactique
est correcte ou non est un problème complexe, nous verrons dans la sous- section 2.2.1 page 54 que l’expérimental peut être une aide au contrôle de la preuve.
2. L’utilisation du concept-problème en didactique.
Nous allons voir dans ce chapitre, de quelle manière utiliser le concept- problème à des fins didactiques. Voici les utilités que nous avons détermi- nées :
– Le concept-problème est une aide à l’analyse apriori d’une situation, il permet de faire des hypothèses sur certains obstacles, difficultés et problème ou représentation manquante. L’établissement de la concep- tion d’un élève (à l’aide d’une expérimentation) et de sa confrontation au concept-problème permet alors de vérifier ces hypothèses. Nous détaillons cela dans la section 1 de ce chapitre.
– Le concept-problème est une aide aux choix des variables de recherche (Godot, 2005 ;GrenieretPayan, 2002). Nous détaillerons cela dans la section 2 de ce chapitre.
2.1. Obstacles, difficultés et problème ou représentation man- quant. Dans un premier temps, nous allons rappeler les définitions usuelles d’obstaclesobstacle et de difficultés en didactique des mathématiques. Nous nous référons aux travaux de Duroux (1983), El Bouazzaoui (1988) et Brousseau (1989) concernant les notions d’obstacle et de difficulté en di- dactique des mathématiques.
2.1.1. Obstacles. Selon, Duroux (1983, p. 54), un obstacle a nécessai- rement les caractéristiques suivantes :
1 il s’agit d’une connaissance qui fonctionne comme telle sur un ensemble de situations et pour certaines valeurs des variables de ces situations. [. . . ].
2 L’obstacle est une connaissance qui, en tentant de s’adap- ter à d’autres situations ou a d’autres valeurs des va- riables, va provoquer des erreurs spécifiques, repérables, analysables.
3 L’obstacle est une connaissance stable. Dans les situa- tions qui sortent de son domaine de validité, son rejet coûtera plus à l’élève qu’une tentative d’adaptation à tout prix, même si cela alourdit notablement les proces- sus de résolution employés. C’est le symptôme classique de l’élève qui « fait compliqué » alors qu’il pourrait « faire simple ».
4 L’obstacle ne pourra donc être franchi que dans des situations spécifiques de rejet et ce rejet sera consti- tutif du savoir. Par exemple, l’acquisition du concept de convergence d’une suite numérique se fera contre la conception selon laquelle tout nombre a une représenta- tion décimale exacte. Le retour même sur la conception obstacle sera partie intégrante du nouveau savoir.
En didactiques des mathématiques, l’obstacle apparaît donc comme étant une connaissance antérieure ou une conception utilisée en dehors de son do- maine de validité. Brousseau(1989) identifie alors 4 types d’obstacles :
– Obstacle ontogénétique : ce sont les obstacles qui sont dûs à des « li- mitations du sujet à un moment de son développement ».
– Obstacle didactique : ils sont dûs au système éducatif.
– Obstacle épistémologique : ce sont des obstacles qui constituent la connaissance visée, on ne peut y échapper.
– Obstacle culturel: ils sont dûs à l’influence de la culture et de la société.
2.1.2. Différences entre obstacles et difficultés. Dans sa thèse,El Bouaz- zaoui(1988, p. 32-33) différencie obstacle et difficulté, il décrit unedifficulté de la manière suivante :
Si le problème se pose, à une époque donnée, dans une cer- taine théorie mathématique, vient à être résolu sans que sa solution ne remette en cause de façon décisive le point de vue de la théorie en question, dans tel cas, on dit qu’une dif- ficulté a été vaincue. Le signe qu’il y a eu difficulté, c’est que les mathématiques de l’époque ont été bloquées, même si les moyens de le résoudre étaient peut-être déjà disponibles. . . Il décrit la notion d’obstacle de la manière suivante :
Si, par contre, le problème qui se pose vient à être résolu après avoir exigé une restructuration de la connaissance et un changement important de point de vue, alors on dit qu’un obstacle a été surmonté. Le signe qu’il y a eu obstacle, c’est que la théorie de l’époque a freiné et empêché la résolution du problème.
Chez El Bouazzaoui, nous retrouvons donc l’idée qu’un obstacle est une connaissance qui empêche la résolution d’un problème. Une difficulté ap- paraissant lorsque tous les « outils » sont disponibles mais que nous n’avons pas encore trouvé comment les utilisés pour résoudre le problème. Une dif- ficulté n’est donc pas un obstacle, car elle n’est pas une connaissance mais une absence de connaissance.
Toutefois, toute absence de connaissance ne peut se voir comme une difficulté, en effet, considérons le problème de la chasse à la bête (Pcb), comme nous avons pu le voir page ? ? ? ? ?, il est nécessaire pour résoudre ce problème d’avoir connaissance du problème dual (Pdual), l’absence de Pdual peut-elle alors être considérée comme une difficulté ? Étant donné que l’apparition de Pdual exige de modéliser Pcb différemment, il nous semble que cette absence ne peut pas être considérée comme une difficulté, car elle exige un changement de point de vue sur le problème. Cette absence n’est pas non plus un obstacle au sens didactique, car elle n’entraîne pas l’apparition d’erreurs. Dans ce cas, nous parlerons donc d’unproblème ou représentation manquants.
2.1.3. Identification à l’aide du concept-problème. Dans cette section, nous cherchons à utiliser le concept-problème pour identifier des obstacles,
2. L’UTILISATION DU CONCEPT-PROBLÈME EN DIDACTIQUE. 35
des difficultés et des problèmes ou représentations manquantes. L’établis- sement du concept-problème sur le problème P à l’aide d’une analyse ma- thématiques va nous permettre de faire des hypothèses sur les obstacles, difficultés, problèmes ou représantations manquants. De plus, l’établisse- ment, expérimentale, de la conception d’un élève sur P permet de vérifier ces hypothèses.
Pour cela, nous utiliserons les relations entre les problèmes. En référence, aux travaux cités précédemment, nous considérerons que :
– Il y a un obstacle transversal lorsque, dans la conception de l’élève, une relation établie entre 2 problèmes est erronnée. Le terme obstacle est approprié, car « l’erreur » effectuée peut se voir comme l’appli- cation d’une connaissance en dehors de son domaine de validité. En référence à Brousseau(1989), nous parlerons d’obstacle épistémolo- giquelorsque le franchissement de celui-ci est nécessaire à la résolution du problème.
– Il y a une difficulté lorsqu’il manque une relation entre 2 problèmes connus dont l’un au moins est présent dans la conception de l’élève.
Nous pouvons parler de difficulté, car les moyens pour résoudre le pro- blème sont présents, seul l’établissement des relations est manquant.
– Il y a unproblème ou représentation manquant lorsqu’un problème ou une représentation est absent de la conception de l’élève.
Exemple II.13 (problème/représentation manquant). Considérons le problème de la chasse à la bête Pcb avec une bête et des rectangles de grandes dimensions, en regardant le concept-problème de la chasse à la bête que nous avons développée, (voir page) Pcb, la résolution passe par la détermination d’un minorant à l’optimum. L’étude de Pdual permet de répondre à cette question. L’absence de Pdual dans une conception est un problème ou représentation manquant.
Exemple II.14 (obstacle transversal). Nous avons vu, au chapitre I section formalisation de la conception d’un problème, que les problèmesPcb etPrec7entretiennent le lien suivant : une solution admissible dePcbest une solution admissible de Prec et réciproquement. Dans l’optique de résoudre Pcb, une conception que nous pourrions établir concernant la relation entre ces problèmes est la suivante : une solution de Prec est une solution dePcb.8 Nous sommes face à un obstacle transversal, car c’est une erreur portant sur la relation entre 2 problèmes. Nous la qualifions pas d’épistémologique, car Prec n’est pas nécessaire à la résolution dePcb.
Exemple II.15 (Obstacle épistémologique). Considérons le problème de la chasse à la bête,Pcb et le problème,Ppavage qui consiste à paver le jardin avec des bêtes. Nous avons vu que le problème Ppavage permet de donner une réponse à P− mais ne donne pas de réponses à P+. Bien souvent les
7Prec: déterminer les configurations qui minimisent le nombre de positions éliminées, tout en éliminant, au moins, le nombre total de bête.
8Cela a été le cas lors d’un MATh.en.JEANSavec des élèves de première scientifique.
Cette conception est fausse comme nous l’avons montré page ? ? ? ? ? ? ? ?. En traduisant ces problèmes en terme de programmation linéaire matricielle, nous pouvons nous rendre compte que ces problèmes n’ont pas la même fonction à optimiser.
personnes qui cherchent à résoudrePcbétablissent la relation suivante entre Ppavage et Pcb : Ppavage → Pcb. Nous considérons que ces personnes sont confrontées à un obstacle transversal, que nous pouvons décrire comme une confusion entre condition nécessaire et suffisante qui entraîne une relation entre 2 problèmes qui est erronée. C’est donc un obstacle transversal que nous qualifions d’épistémologique, car il est nécessaire pour la résolution de Pcb.
Exemple II.16 (Difficulté). Considérons le problème de la chasse à la bête, souvent des personnes qui ont connaissance du problème de pavage et du problème de minoration n’utilisent pas le problème pavage pour résoudre le problème de minoration. Ils n’établissent donc pas de relation entre ces problèmes. Il y a donc une difficulté.
2.2. Concept-problème et choix des variables de recherche. Gre- nier et Payan (2002) définissent les variables de recherche de la manière suivante :
[. . . ] si l’on considère, par exemple, comme un savoir, le tri- plet (question9, conjecture, preuve), on peut se poser la ques- tion de l’existence d’une situation fondamentale pour ce sa- voir et donc, l’existence de situations adidactiques associées.
Les éléments du triplet (Question, Conjecture, Preuve) sont les invariants de la SRC. Les variables didactiques associées sont des variables «de recherche», au sens où elles dé- terminent la compréhension et l’intérêt de la question, son ouverture à de nouvelles questions, l’élargissement des stra- tégies de recherche, les possibilités de transformation du pro- blème (modélisation).
Une variable de recherche est aussi une variable du problème que l’élève peut modifier.
Les variables de recherche apparaîssente donc comme un outil que l’ensei- gnant peut utiliser pour permettre aux élèves de développer leur conception par l’étude de nouveaux problèmes. Le choix pour l’enseignant est alors de déterminer quelles sont les variables du problèmes qu’il va utiliser comme variable de recherche. Ce choix se fait en fonction des questions, conjectures et preuves que ces variables sont susceptibles de faire produire aux élèves.
Les variables de recherche portent sur des questions ou des instances du problème. Les variables de recherche portant sur les instances du problèmes donnent aux élèves la possibilité d’étudier des cas particuliers mais aussi le problème de la généralisation des résultats obtenus sur ces cas particuliers.
D’autre part, les variables portant sur les instances peuvent aussi changer la nature des objets en jeu, c’est-à-dire changer la représentation du problème, ce qui est lié au processus de modélisation.
Quant aux variables de recherche qui portent sur les questions, apriori il est pus difficile d’en faire des variables de recherche effectives (pourquoi se poser une autre questions ?), toutefois la pratique de la démarche expéri- mentale permet de rendre ce type de variable effective grâce aux nouveaux
9Nous considérons que le terme question se rapproche de ce que nous appelons problème.
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problèmes que la pratique de la démarche expérimentale entraînent en par- ticulier le problème de la validation du produit de la stratégie. Par exemple, le jeu du set est un problème de recherche de solution, expérimenter pour le résoudre mène à mettre en place des stratégies de construction de jeu sans set, ce qui pose la nouvelle question : comment savoir qu’un jeu est sans set ? Cette question ouvre une nouvelle problématique dans laquelle nous pouvons aussi être amené à rechercher l’algorithme le plus efficace pour tester si un jeu est sans set, cette question n’est donc pas sans intérêt.
L’utilisation du concept-problème, en particulier de l’espace problème, peut alors être une aide au choix des variables de recherche. En effet, l’es- pace problème permet de déterminer les liens entre les problèmes et donc d’anticiper sur les nouveaux problèmes que les élèves pourraient être ame- nés à se poser ainsi que d’identifier les problèmes importants à la résolution.
De plus, il permet de déterminer les exemples, les savoirs notionnels, les re- présentations, les types de preuves que ces nouveaux problèmes mettent en jeu.
CHAPITRE III