Lien entre expérimenter et tenter de prouver

1.2.1. L’émission d’une conjecture : le début d’une phase de preuve.

Nous considérons que l’émission d’une conjecture peut être à l’origine de l’action « tenter de prouver ». En effet, la formulation d’une conjecture, si- gnifie que nous avons identifié un résultat que nous croyons vrai, que nous pouvons voir comme un problème d’existence, est ce que cet objet a bien cette propriété ? Nous pouvons alors, pour résoudre ce problème, tenter de prouver que la réponse est positive.

D’autre part, nous considérons qu’expérimenter permet l’apparitition de conjectures à travers les exemples et les contre-exemples produits, ce qui nous permet de justifier un premier lien entre expérimenter et tenter de prouver. Or pour donner à un fait le statut d’exemple ou de contre-exemple, il est nécessaire d’avoir développé une conception du problème qui permet d’identifier ce qui est un exemple de ce qui est un contre-exemple.

Les conjectures issues d’une démarche expérimental peuvent être basées sur l’étude d’exemples, contre-exemples produits à la suite d’expérimenta- tions. Nous pouvons alors parler de raisonnement inductif, Polya(1994) le définit de la manière suivante :

1. DÉVELOPPEMENT DE LA CONCEPTION SUR LE PROBLÈME 47

L’induction est une manière de raisonner qui conduit à la dé- couverte de lois générales en partant de l’observation d’exemples particuliers et de leur combinaison, elle est employée dans toutes les sciences même en mathématiques. (...) L’induc- tion essaie de découvrir derrière l’observation la régularité et la cohérence.

Nous rajoutons à cette citation, que nous prendrons comme définition de l’induction, que ce raisonnement ne peut se faire qu’à travers un problème et une confrontation à une conception de ce problème. En effet, même si nous ne remettons pas en cause le fait que la seule observation (qui se rapproche ici de l’expérience vécue) puisse amener à établir des lois générales, l’induction fait partie d’un processus où nous sommes actif du point de vue scientifique et nécessite donc la présence d’une problématique.

Nous présentons dans ce qui suit un exemple pour illustrer le raisonne- ment inductif au cours d’une démarche expérimentale.

ExempleIII.2. Nous allons donner un exemple de démarche³sur le clob- ber qui permet de résoudre cas du la bande de deux alternée. Nous considé- rons que nous avons résolu le problème de la grille monochromatique pour des rectangles et que nous avons connaissance de l’invariant et donc du fait qu’il est impossible de terminer avec un seul jeton sur des rectangles alter- nés dont l’un des côtés est un multiple de 3. Notre conception du problème comporte donc tous les éléments que nous avons utilisés pour résoudre le problème monochromatique, en particulier les outils et les représentations que nous avons utilisés.

La connaissance de l’invariant nous permet de réduire le problème de la bande de 2 alternée aux bandes dont le nombre de colonnes n’est pas un multiple de 3. Ce problème est de type recherche de solution. Nous cherchons des solutions en faisant varier la longeur de la bande de manière croissante, car nous considérons que les bandes de petites tailles sont plus faciles à résoudre.

Lorsqu’il n’y a qu’une seule colonne, nous terminons. Pour le cas avec deux colonnes, nous jouons comme sur la figure III.10.

Fig. III.10. Bande de 2 avec 2 colonnes.

Après quelques essais, nous trouvons la solution de la figure III.11 pour la bande de 4 colonnes. Pour la bande de 5 colonnes, nous trouvons la solution de la figure III.12, pour la bande de 7 colonnes la solution de la figure III.13.

Fig. III.11. Bande de 2 avec 4 colonnes.

Fig. III.12. Bande de 2 avec 5 colonnes.

Fig. III.13. Bande de 2 avec 7 colonnes.

Nous observons alors que la stratégie que nous utilisons semble utiliser les mêmes manipulations. Cette observation nous mène à étudier les exemples de parties précédemment jouées. Nous observons que nous utilisons le cas de 2 colonnes pour résoudre le cas à 4 colonnes, le cas de 4 colonnes pour résoudre le cas de 5 colonnes et le cas de 5 colonnes pour résoudre le cas de 7 colonnes. Cela nous mène à émettre la conjecture suivante : il est possible de faire toute la bande de 2 sauf avec un nombre de colonnes multiple de 3. Cette conjecture est supportée par les exemples que nous avons produits précédemment, par le fait que nous pensons pouvoir résoudre ce problème par la construction d’un algorithme récursif et par la connaissance de l’in- variant. Cette conception est aussi soutenue par le fait que certains des cas que nous avions traités auparavant (par exemple le cas monochromatique) ont été résolu par l’utilisation de l’outil⁴, algorithme récursif. Nous tentons alors de prouver la conjecture, par la résolution du problème, construire un algorithme récursif. C’est un problème d’existence.

Le raisonnement inductif a, ici, été utilisé pour produire la conjecture mais aussi pour produire l’argument qui la justifie à savoir qu’il existe un algorithme de résolution récursif. Nous nous sommes basés sur les différents exemples que nous avons produits pour à la fois émettre la conjecture et l’argument qui la supporte.

Pour construire un algorithme récursif, nous commençons par étudier le sous-problème (spécification), peut-on résoudre la bande à 8 en utilisant la stratégie que nous avons utilisé pour la bande à 7 colonnes ?

Nous avons vu (voir figure III.13) qu’avec la bande de 7, nous pouvons finir dans le coin haut droit avec un jeton de couleur opposée à celle du jeton, initialement, situé dans ce coin. Il ne nous reste donc qu’à résoudre le cas de la figure III.14.

Fig. III.14. Cas à résoudre.

3C’est un exemple issu d’une démarche utilisée par un élève du CLEPT lors d’un MATh.en.JEANS. Nous n’avons énoncé que les grandes étapes de la démarche.

4La bande de 2 alternée et les rectangles monochromatiques, sont en relation outil.

1. DÉVELOPPEMENT DE LA CONCEPTION SUR LE PROBLÈME 49

Nous résolvons ce cas et finalement jouons comme sur la figure III.15.

Fig. III.15. En utilisant le résultat de la bande à 7.

Nous savons qu’il n’est pas possible de résoudre le cas où le nombre de colonnes est 9, nous passons donc au cas de 10 colonnes. Nous étudions alors le problème du passage de la bande de 8 à la bande de 10. Cela revient à résoudre le cas suivant de la figure III.16.

Fig. III.16. Cas à résoudre.

Nous jouons alors comme sur la figure III.17.

Fig. III.17. En utilisant le résultat de la bande à 8.

Nous observons alors que nous passons de la bande à 10 à la bande à 11 de manière analogue au passage de la bande à 7 à la bande à 8. De même, le passage de la bande à 11 à la bande à 13 se fait de manière analogue au passage de la bande à 8 à la bande à 10. Cela nous entraîne à décomposer notre problème en les 2 sous-problèmes suivants⁵ :

(A) Le passage des bandes de 4 à 5, 7 à 8, 10 à 11 et ainsi de suite ; (B) Le passage des bandes 2 à 4, 5 à 7, 7 à 9 et ainsi de suite.

Nous pouvons alors remarquer que le problème (A) concerne le passage de 3k+ 1 vers 3k+ 2 et que le (B) concerne le passage de 3k+ 2 vers 3k+ 4.

Par rapport aux exemples que nous avons traités, nous pouvons observer que le passage de 3k+ 1 vers 3k+ 2 se fait comme sur la figure III.18 et le passage de 3k+ 2 vers 3k+ 4 se fait comme sur la figure III.19.

Fig.

III.18. Cas 1.

Fig. III.19. Cas 2.

5Nous ne savons pas a priori si nous avons effectué une « bonne » décomposition.

Nous faisons, ici, l’hypothèse que cette décomposition permet de résoudre le problème, cette hypothèse est soutenue par les exemples de passages que nous avons produits.

D’autre part, comme nous savons terminer avec un seul jeton dans le coin supérieur droit de la bande de deux (voir figure III.10), cela prouve que toutes les bandes de 2 dont le nombre de colonne n’est pas un multiple de 3 peuvent être terminées avec un seul jeton. De plus, ce jeton peut être situé dans le coin supérieur droit du rectangle.

Dans l’exemple précédent, nous avons fait ce que nous pourrions appeler une induction constructive, nous avons observé en résolvant des cas parti- culiers que nous pouvions construire un algorithme permettant de terminer avec un seul jeton. Nous avons pu faire cette observation, car la stratégie que nous utilisions nous ramenait périodiquement vers les même motifs.

Nous avons alors pu remarquer que le problème pouvait se ramener à deux sous-problèmes (A) et (B).

La conception du problème est intervenue dans un premier temps dans les choix de cas particuliers sur lesquels nous avons expérimentés. Des exemples se sont alors rajoutés à la conception du problème, exemples qui ont, à tra- vers un raisonnement inductif, appuyés la conjecture puis le découpage de la preuve en 2 sous-problèmes. D’autre part, la conception a servi de guide de l’observation à travers la recherche d’une stratégie inductive.

La preuve que nous avons effectuée précédemment est une preuve par induction. Elle est issue d’un raisonnement qui procède du particulier au gé- néral. Cependant comme mentionné parGohau(1992), la formulation d’une hypothèse ou d’une conjecture n’est pas focémment issue de l’observation et d’un raisonnement inductif :

L’énoncé d’une hypothèse n’exige pas une observation préa- lable répétée. Elle peut naître sans que l’observation la sou- tienne. Elle vient à l’esprit d’une manière qu’on ne saurait codifier. C’est au sens propre une invention. . .

Toutefois, nous faisons l’hypothèse que la démarche expérimentale favo- rise l’émission de conjectures issues du raisonnement inductif.

1.2.2. Expérimenter pour produire des contre-exemples et des nouvelles conjectures. L’action d’expérimenter sur un problème d’existence peut ame- ner à la production d’un fait qui va être interprété comme un contre-exemple et de ce fait entraîner l’action tenter de prouver.

L’exemple III.2 illustre le fait que la phase de tentative de preuve n’est pas indépendante de l’expérimental. Nous étudions, ici, un nouvel exemple proposé dû à Polya (1990), dans lequel il montre que le rôle des contre- exemples ne se limitent pas à l’invalidation mais aussi à la production de nouvelles conjectures.

ExempleIII.3. Dans cet exemplePolyaessaye de résoudre le problème, est ce que la formule d’Euler est vraie pour les polyèdres ? C’est un problème d’existence. Il commence par tester la formule sur les polyèdres les plus connus comme le cube ou le tétraèdre, il voit que la relation est vérifiée. Il continue alors avec tous les polyèdres réguliers puis avec des polyèdres qui ne sont pas réguliers, la formule d’Euler est toujours vérifiée.

Il teste alors la formule sur un nouveau polyèdre. Ce polyèdre n’est pas choisit au hasard : il choisit un polyèdre non convexe. Ce choix est soutenu par le fait que tous les polyèdres qu’il a testés sont convexes. Ici, il a fait

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appel à une connaissance sur les polyèdres pour pouvoir les identifiés : il existe des polyèdres convexes et des non-convexes⁶.

Il essaye alors avec un polyèdre non convexe, il observe alors que celui-ci ne vérifie pas la conjecture. Elle n’est donc pas vraie. Cependant, il décide de ne pas s’arrêter là, car il se rend compte que la formule est vraie pour un grand nombre de polyèdres qui ont tous la particularité d’être convexes. Il propose donc un nouveau problème-conjecture, est ce que la formule d’Euller est vraie pour tous les polyèdres convexes ?

Dans cet exemple, Polya a été amené à modifié sa conception du pro- blème à travers les expériences qu’il a effectuées. Dans un premier temps, les faits produits lui permettent de croire que la formule est vraie et ensuite d’en découvrir un contre-exemple.

Nous pouvons, cependant, nous demandé pourquoi il choisit de commen- cer par expérimenter sur des polyèdres réguliers, puis des non réguliers. Une hypothèse est qu’il a identifié la classe de polyèdres comme une variable per- tinente du problème, dans ces expérimentations il teste donc les différentes classes dont il a connaissance.

Malgré la découverte de ce contre-exemple, il ne s’est pas arrêté à une ré- ponse négative. Il a observé les similarités et les différences entre les exemples de polyèdres pour lesquels la formule d’Euler est vraie et le contre-exemple, ce qui l’a amené à proposer une nouvelle conjecture. Nous parlerons de ce jeu sur les exemples et les contre-exemples, plus en détail, dans la section Pourquoi pratiquer la démarche expérimentale en mathématique ?.

De plus, cette idée de proposition d’une nouvelle conjecture à la suite d’un contre-exemple est aussi présente chezPerrin(2007) et chezGiordan (1999). Perrin signale aussi qu’il y a une différence entre la validité de la preuve associée à la conjecture et la validité de la conjecture, il résume ceci par deux maximes :

Maxime. Il ne faut pas jeter le bébé avec l’eau du bain.

Maxime. Démonstration fausse ne signifie pas idée fausse.

Concernant l’erreur, en citant Grothendieck, il rajoute la maxime sui- vante :

Maxime.La découverte de l’erreur est un des moments cru- ciaux, un moment créateur entre tous, dans tout travail de découverte.

1.2.3. Conclusion. Nous avons aussi vu qu’expérimenter pouvait per- mettre l’émergence d’arguments locaux, éléments théoriques de la concep- tion, qui peuvent nous amener à tenter de prouver par la question suivante : est ce que je pourrais utiliser cet argument pour prouver ce résultat ?

D’autre part, l’expérience à travers la production de faits observables peut permettre la formulation de conjectures à l’aide d’un raisonnement inductif.

6Nous faisons l’hypothèse qu’une personne ayant la conception : tous les polyèdres sont convexes, n’aurait pas pu choisir comme exemple un polyèdre non convexe. Ce moment montre aussi que nos conceptions sur les objets du problèmes vont influencer les choix expérimentaux que nous faisons.

Enfin, la réalisation d’une expérience validative peut permettre de pro- duire un fait qui peut être interprété comme un contre-exemple enclenchant l’action tentative de preuve : la résultat est faux, car il existe un contre- exemple. Ce qui peut amener à proposer un nouveau problème.

Pour conclure, expérimenter peut entraîner l’action de tenter de prouver grâce à ces 2 intéractions :

– arguments locaux ;

– cas particuliers : contre-exemple ou conjecture.

D’autre part, l’action tentative de preuve est reliée à l’action expéri- menter à travers les nouveaux problèmes qu’elle peut amener, comme la formulation d’une nouvelle conjecture où d’un « plan » de preuve à travers une suite de nouveaux problèmes et les relations qu’ils entretiennent avec la conjecture.

1.3. Lien entre tenter de prouver-expérimenter et proposer de