Au niveau de l'enseignement des mathématiques au lycée en France, la notion d'intégrale marque son sens à partir des années 1970. En revanche, une analyse scientifique de ces choix peut contribuer à améliorer l’enseignement de cette notion complexe dans les deux systèmes.
Outils théoriques et problématique
- Rapport institutionnel à un savoir comme contrainte du rapport personnel
- Praxéologie mathématique
- Transposition didactique
- Ostensif et non-ostensif
Quelles sont les conditions particulières, notamment d'un point de vue épistémologique, de la notion d'intégrale en mathématiques, dans son enseignement. Ces difficultés sont-elles le résultat de choix pédagogiques ou sont-elles constitutives de la notion d’intégrale ?
Choix méthodologiques
Recours à une enquête épistémologique pour décrire un « modèle d’OM »
Identifier les écarts entre la vie de l'objet avec les savoirs intégrés dans chacune des deux institutions choisies, entre elles et avec les savoirs appris de référence. Étant donné que l'un des principaux types de tâches didactiques de l'enseignant est la reconstruction de l'objet d'étude OM, la première étape que nous proposons est d'analyser le contenu mathématique officiel de l'enseignement secondaire et que l'enseignant sera enclin à soutenir ses élèves.
L’analyse institutionnelle synchronique et diachronique et ses matériaux
Nous renvoyons à Le Van (2001) concernant le choix du matériel d'analyse institutionnelle : programmes et manuels. Ils définissent donc les attentes des responsables de l'enseignement (les noosphériques) par rapport à ces objets de connaissance.
Recours à des expérimentations diversifiées et permanentes
La transposition didactique d'un objet de connaissance se caractérise par la textualisation des connaissances, c'est-à-dire, en première approximation, par la construction de programmes et de manuels. Les programmes définissent les objets de connaissances à enseigner, répartissent et organisent ces objets selon les cycles ou niveaux scolaires.
Organisation de la thèse
Observations de cours réguliers de correction du calcul intégral et du calcul des aires. Dans le Nord, cela ne prend que dix ans et il n'y a aucune notion d'intégrale dans les programmes.
Étude de programmes
Période 1975 – 1990
Les méthodes d'intégration selon certains types de fonctions sont systématiquement et généralement étudiées pour l'intégrale indéfinie : fonctions rationnelles, fonctions. L'étudiant a le droit d'utiliser les techniques introduites lors de l'intégrale indéfinie pour calculer l'intégrale définie de fonctions analogues.
Période 1990 – 2000
Les applications de l'intégrale se réduisent au calcul de l'aire et du volume d'un corps de révolution. Ainsi, l'intégrale indéfinie est supprimée, mais les deux méthodes d'intégration pour l'intégrale [définie] et les deux applications de l'intégrale sont conservées.
Période 2000 – 2006
Introduction complète de la notion de différentielle dans le chapitre Dérivée de la classe 11 : définition, signification géométrique, application au calcul approximatif et règles de différenciation. Réintroduction simplifiée de la notion de différentielle dans le chapitre Dérivée ou Intégrale : définition, exemple simple de son application pour aborder le calcul.
Étude de manuels
Période 1975 – 1990
Après avoir explicitement énoncé le changement de variable u = ψ(x), le manuel présente implicitement le changement de variable x = ϕ(t) à l'occasion de l'étude générale de l'intégrale. Dans le graphique de l'exercice 2 du manuel, le domaine ombré indique la surface dont l'aire doit être calculée.
Période 1990 – 2000
Ils commencent donc la section Cours en définissant l'intégrale à l'aide de la formule de Newton-Leibniz. L'absence de notion de différence entraîne la présentation du changement de variable et l'intégration par parties sans intervention.
Période 2000 – 2006
Dans le Guide de l'enseignant, les auteurs du manuel expliquent clairement l'utilisation de la formule ci-dessus. Dans la quatrième figure, le contour de la surface est constitué d'une partie de l'axe y.
Calcul de l’intégrale définie
Sur les trois périodes, la notion de différentiel joue un rôle plus important dans le changement de variable que dans l'intégration de parties. Il permet, comme dans le calcul primitif, d'effectuer le changement de variable de manière opérationnelle sans se référer aux formules nécessaires.
Calcul d’aire
Malgré les différentes définitions, les méthodes d'intégration sont les mêmes : changement de variable et intégration par parties. Un nouvel élément technologique est implémenté, analogue à celui de ET'0 pour le calcul primitif, qui permet de changer une variable "implicite" sans paramétrer une nouvelle variable.
Liens entre aire, primitive, intégrale
C'est si important que le manuel de la deuxième période propose deux conventions u'(x)dx = du, v'(x)dx = dv. De même, l’intégrale dépendant de la borne supérieure est présente dans les trois périodes, mais elle n’est jamais utilisée pour calculer les primitives.
Période 1970 – 1980
La circulaire 71-244 du 26 juillet 1971 propose d'établir un lien entre aire et primitive : l'aire variable sous la courbe est une primitive de la fonction considérée. Les applications de l'intégrale autres que le calcul d'aire ne font pas partie des épreuves de mathématiques du baccalauréat.
Période 1980 – 2002
Les élèves doivent savoir si une instance donnée d’une fonction est l’une de ces formes. Certaines de ces propriétés (relation de Chasles, intégration des inégalités, valeur moyenne d'une fonction, etc.) doivent être interprétées en termes de domaines pour clarifier leur signification.
Période 2002 – 2006
Mais les formules données plus haut dans le cours libèrent la solution de ces équations de la primitivisation. Nous nous limiterons à des cas simples où l'étudiant devra lui-même trouver l'usage de la technique de l'intégration par parties.
Période 1970 – 1980
Dans la suite, le manuel présente « le calcul de l'intégrale définie au moyen de primitives. Nous résumons notre analyse de l’existence du concept intégral dans le manuel de M2 dans le tableau 16.
Période 1980 – 2002
Les propriétés suivantes de l'intégrale sont présentées : linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité de la moyenne. Selon le programme, toutes les propriétés de l'intégrale sont interprétées autant que possible comme des aires.
Période 2002 – 2006
C est un demi-cercle de centre O et de rayon 1 situé dans un demi-plan d'équation y ≥ 0. Pour la tâche de type T5 : calcul de l'aire d'une surface plane, le manuel n'a pris qu'un des deux systèmes d'inégalités.
Conclusion de l’étude des programmes et des manuels en France (1970 – 2006)
Calcul de primitive
Le didacticiel commence par définir l'intégrale d'une fonction en escalier, puis l'interprète comme une zone algébrique. La présence de l'intégrale dépendant de la borne supérieure comme primitive permettra un travail (justifié) sur les techniques d'intégration.
Calcul d’intégrale (définie)
Pour une intégrale définie, les modalités d'intégration sont plus stables sur les trois périodes dans les deux établissements. Cela signifie que la connaissance du premier drain permet le calcul de l'intégrale, et le calcul de l'intégrale est utilisé pour calculer l'aire.
Baccalauréat en France
Conclusion pour le baccalauréat en France
On peut en déduire que la question de l’intégrabilité d’une fonction disparaît également de la pratique institutionnelle. L'absence d'ostensive ∫ fait disparaître l'intégration de parties du calcul primitif dans les deux dernières périodes.
Baccalauréat au Vietnam
Conclusion pour le baccalauréat au Vietnam
Dans les trois périodes, le calcul d'aire dans les tests est fixé après une étude classique de fonction et résolu en s'appuyant sur le graphique de la fonction étudiée. Dans la dernière période, le calcul de superficie en dehors de l'étude des fonctions est mis en parallèle avec le calcul de superficie « classique ».
Concours d’entrée universitaire au Vietnam
- Période 1975 – 1990
- Période 1990 – 2000
- Période 2000 – 2006
- Conclusion pour le concours d’entrée universitaire au Vietnam
Dès lors, l’étude de l’intégrabilité, le calcul de la primitive et de l’intégrale dépendant de la borne supérieure disparaissent de la mêlée, initiant ainsi une réflexion sur les pratiques institutionnelles des EMS. Le calcul de surface, une fois proposé, semble très peu important et distinct de l'étude des fonctions.
Conclusion
Sous les contraintes des savoirs à enseigner (A1, A2) et de l'examen final (B1), un enseignant est en partie responsable de la transposition interne des savoirs par le fait qu'il prépare les savoirs pour les enseigner efficacement (Ravel 2003). . Lors de la préparation des savoirs à enseigner, l'enseignant doit organiser des moments d'institutionnalisation (partie cours) et des moments de travail sur la technique et l'évaluation (partie exercices) pour mener à bien l'étude des savoirs à enseigner.
Analyse a priori du questionnaire pour l’enseignant
- Liens entre aire, primitive et intégrale (Partie 1)
- Propriétés de l’intégrale jugées la plus facile ou la plus difficile (Partie 1)
- Techniques d’intégration enseignées et ordre de leur difficulté (Partie 1)
- Exercice 1, non routinier dans les deux institutions : solutions possibles (Partie
- Exercice 2, solution géométrique à noter et commenter (Partie 2)
- Exercices faciles et difficiles du type « calculer ∫ b
Aire – Intégrale • Le calcul de l'aire (sous la courbe) conduit à la définition de l'intégrale (de Riemann). La preuve de l’existence et de l’unicité de la valeur α qui annule f est analogue à la solution 2.
Analyse a posteriori du questionnaire pour enseignant
- Liens entre aire, primitive et intégrale (Partie 1)
- Propriétés de l’intégrale jugées la plus facile ou la plus difficile (Partie 1)
- Techniques d’intégration enseignées et ordre de leur difficulté (Partie 1)
- Exercice 1, non routinier dans les deux institutions : solutions attendues
- Exercice 2, solution géométrique à noter et commenter (Partie 2)
- Exercices d’intégration facile et difficile du type « calculer f (x)dx
Nous présentons dans le tableau 33 le jugement d'enseignants français et vietnamiens sur la propriété de l'intégrale la plus facile. 2 des 9 enseignants vietnamiens souhaitent modifier l'enseignement pour éviter (ou affaiblir) l'intervention de l'intégrale en fonction de la borne supérieure.
Conclusion
Quels liens entre aire, primitif et intégral s'établissent dans l'émergence historique du terme intégral. C'est la seule trace de l'approche intégrée dans les examens du baccalauréat français pour les trois périodes.
Changement de variable et primitivation
Newton, lien entre le taux de variation instantanée de l’aire en x et l’ordonnée
Ainsi, les travaux de Newton ci-dessus établissent une relation entre la quadrature et le taux instantané de variation de l'aire, germe de la primitivation. Il place toujours le rythme instantané d'évolution du territoire au centre de son approche.
Leibniz, introduction de ∫ ydx comme sommation des aires de rectangles
La lecture en sens inverse, donc moins explicite, exprime le changement de variable x = g(t) (la variable initiale est fonction de la variable auxiliaire). La section cours du manuel indique donc expressément deux formules pour le changement de variable x = u(t) et t = v(x).
Conclusion
Ainsi, dans les trois exercices ci-dessus, on retrouve le créneau de l'interprétation géométrique de l'intégrale : permettre le calcul des intégrales en changeant les variables x = ϕ(t) sans avoir besoin de changer la variable.
Notion de différentielle et notation dx
Notion de différentielle et notation dx dans les références choisies
Plus tard, avec l’introduction de la notation fonctionnelle, nous écrirons ∫f(x)dx pour parler de l’aire variable et de b∫. Voici l'un des exemples utilisés par Lang pour illustrer la « commodité » de la notation dx.
Notion de différentielle et notation dx dans EMS au Vietnam et en France
Nous résumons ici le déroulement du manuel autour de la notion de différentiel au service de l'intégration. La notation dx a une valence sémiotique dans l'énoncé des formules d'intégration par parties et de changement de variable.
Conclusion
Calcul approché d’intégrale
Calcul approché d’intégrale dans le savoir savant
Le développement en série et le développement asymptotique donnent une primitive de la fonction à intégrer, exprimée par une série infinie. On peut obtenir une valeur approchée de l'intégrale en traitant les premiers termes de la série.
Calcul approché d’intégrale dans les traités de référence
Ci-dessous, nous extrayons du travail de Lang un calcul approximatif de l'intégrale de la série de Taylor avec reste. Ainsi, la série de Taylor avec le reste donne la « primitive approximative » de la fonction, qui doit être intégrée pour calculer la valeur numérique approximative de l'intégrale et en même temps estimer l'erreur de calcul.
Calcul approché d’intégrale dans EMS en France et au Vietnam
Pour une telle intégrale, si l'une de ses primitives peut être exprimée comme une intégrale en fonction de la limite supérieure, une valeur approchée de l'intégrale peut être calculée comme une valeur approchée de la primitive en un point donné. Cependant, les manuels de la période dans la partie exercice mobilisent le cadrage numérique de l'intégrale pour en dériver une valeur approchée de l'intégrale.
Liens entre aire, primitive et intégrale
Toutes les méthodes utilisées sont des cas particuliers de la méthode de Newton-Cotes limitée à l'ordre 1. Le cadrage numérique de l'intégrale existe rarement dans les exercices, mais il n'est jamais utilisé pour un calcul approximatif.
Organisation mathématique de référence et organisation mathématique à enseigner
Un modèle d’une organisation mathématique de référence
Ces techniques sont justifiées par les éléments technologiques suivants : définition du concept primitif, définition du concept dérivé, règles de dérivation, table des primitives ordinaires, linéarité, formule de changement de variable, formule d'intégration par parties, formule de développement d'une fonction en série, domaine de convergence de suites entières, lien entre convergence uniforme et intégration terme à terme. OM2 et OM3 ont des éléments technologiques communs tels que la linéarité, le changement de variable, l'intégration par parties.
Organisation mathématique à enseigner
Quant à OM'2, la trace de OM2, la réapparition de l'ostensive ∫ et l'introduction de l'élément technologique ET'0 (changement de variable implicite) relancent le type de tâches T3. Seul le type de tâche T7 est présent dans OM'3 et résolu par des méthodes numériques.
Comparaison institutionnelle sur l’objet de savoir « intégrale »
Ressemblance entre les deux institutions
On peut dire que les deux réglages privilégient les calculs : calcul de primitives et calcul de grandeurs (notamment calcul d'intégrale et calcul d'aire). Dans les deux contextes, les applications du calcul au calcul des grandeurs sont stables au cours des deux dernières périodes : le calcul de surface et le calcul de volume sont toujours présents.
Dissemblance entre les deux institutions
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire (sous la courbe) et l'aire (sous la courbe) est utilisée pour calculer l'intégrale. L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire (sous la courbe), mais l'aire (sous la courbe) n'est pas utilisée pour calculer l'intégrale.
Trois éléments spécifiques du savoir à enseigner dans l’institution vietnamienne
Ostensif ∫
La primitive est utilisée pour calculer l'intégrale et l'intégrale (en fonction de la limite supérieure) est utilisée pour calculer la primitive (s'annule à un point donné). La primitive est utilisée pour calculer l'intégrale, mais l'intégrale (en fonction de la borne supérieure) n'est pas utilisée pour calculer la primitive (s'annule à un point donné).
Ostensif dx
Contrat institutionnel sur le calcul d’aire
Questions sur l’effet des contraintes et conditions sur l’OM effectivement enseignée
L'enjeu de l'enquête est d'utiliser un questionnaire destiné aux étudiants pour mettre en évidence les résultats d'un enseignement efficace de la notion d'intégrale en les comparant avec les résultats d'une enquête auprès des enseignants vietnamiens. Selon eux, les problèmes de l'exercice sont de déchiffrer le tableau des variations et de relier la variation F au signe f.
Analyse a priori du questionnaire pour les élèves vietnamiens
Exercice 1 : calcul de primitive
Cette stratégie doit mobiliser l'ostensive ∫ pour ensuite effectuer l'intégration par parties pour « récupérer » une méthode de calcul de l'intégrale : le calcul de la primitive devient alors un calcul de l'intégrale indéfinie, considérée comme une intégrale sans limites.
Exercice 2 : Étude de sens de variation d’une fonction et d’un encadrement
Question : Liens entre aire, primitive et intégrale
Analyse a posteriori du questionnaire pour les élèves vietnamiens
Exercice 1 : Calcul de primitive
Exercice 2 : Étude de sens de variation d’une fonction et d’un encadrement
Question : Liens entre aire, primitive et intégrale
Analyse a priori
Exercice 1 : calcul d’aire
Exercice 2 : calcul d’intégrale séparé de l’aire
Analyse a posteriori
Repérage des types de tâches, techniques et technologies associées, susceptibles
Calcul de primitive
L’enjeu de cet exercice n’est pas l’utilisation de l’intégrale dépendant de la borne supérieure (comme cela pourrait être le cas en France). Dans la partie exercice, il propose l'interprétation géométrique de l'intégrale et le calcul d'aire par intégration.
Calcul d’intégrale séparé des grandeurs
Calcul d’aire: deux types de calculs et trois techniques associées
L’observation de deux classes ordinaires au moment des révisions du thème de
Calcul de primitive
Calcul d’intégrale séparé des grandeurs
Calcul d’aire
Calcul de primitive avec ou sans l’ostensif ∫
Calcul d’intégrale séparé des grandeurs
Sur la comparaison France – Vietnam : absence de la raison d’être de la notion
L’ostensif ∫, élément unificateur des notions de primitive et d’intégrale au
L’ostensif dx et ses trois valences instrumentale et sémiotique
Le calcul de primitive sans l’ostensif ∫, une rupture de contrat au Vietnam
La différenciation entre calcul d’aire et calcul intégrale
Le statut problématique de l’intervalle d’intégration au Vietnam
Limites de notre recherche et perspectives
