Contrairement à la France, le baccalauréat au Vietnam sanctionne la fin des études secondaires, mais n’ouvre pas l’accès à l’enseignement supérieur.
Le baccalauréat se compose de 6 épreuves écrites. Variant d’année en année, la liste des 6 épreuves du baccalauréat est annoncée fin mars, plus de deux mois avant l’examen ayant lieu début juin. Trois épreuves y sont toujours présentes : littérature, mathématiques, et langue étrangère. Trois autres épreuves varient parmi les cinq disciplines suivantes : histoire, géographie, physique, chimie, et biologie.
Bien qu’aucun coefficient ne soit appliqué, les mathématiques donnent lieu à une épreuve importante par leur présence permanente au baccalauréat ainsi que par la durée de l’épreuve.
Le sujet des mathématiques touche principalement le programme de la classe 12.
3 épreuves permanentes Les disciplines concernant 3 épreuves non
permanentes Littérature 150 minutes Histoire 90 minutes Mathématiques 150 minutes Géographie 90 minutes
Physique 90 minutes
Chimie 90 minutes
Langue étrangère 90 minutes
Biologie 90 minutes Tableau 23. Épreuves du baccalauréat vietnamien
II.1. Période 1975 – 1990
Nous rappelons ici les types de tâches présents dans le manuel analysé : T3. Calculer ∫f(x)dx (ou déterminer les primitives d’une fonction) T5. Calculer ∫b
a
dx x f( )
T6. Établir (ou démontrer) une égalité ou inégalité entre deux intégrales définies T8. Calculer une grandeur autre que l’aire
et les types de tâches absents :
T1. Étudier l'intégrabilité d'une fonction f sur un intervalle [a, b]
T2. Démontrer les propriétés reliant les opérations entre les fonctions à intégrer, les bornes d’intégration à la valeur de l’intégrale
T4. Établir (ou démontrer) une relation entre deux intégrales indéfinies T7. Calculer approximativement une intégrale
II.1.1. Existence de l’intégrale
En 1981, dans un texte officiel sur la révision pour le baccalauréat, le ministère de l’Éducation nationale prescrit l’étude de l’intégrabilité comme suit :
[L’élève doit] maîtriser les conditions nécessaire et suffisante enseignées de l’intégrabilité, et les propriétés de l’intégrale définie.
et joint un exercice servant de modèle : Soit f la fonction déterminée par
f(x) =
=
≠
−
0) ( 0
) 1 (
1
x x e x
x
f est-elle intégrable sur [0, 1] ? f est-elle intégrable sur [1, 2] ? Solution attendue.
• − lim→1
x x
x
−
1 = +∞. Il en résulte que − lim→1
x f(x) = − lim→1 x
x x
e1− = +∞. La fonction f n’est donc pas bornée sur [0, 1]. Elle n’est pas intégrable sur cet intervalle.
• + lim→1
x x
x
−
1 = -∞. Il en résulte que + lim→1
x f(x) = + lim→1 x
x x
e1− = 0 = f(1). La fonction f est continue à droite en 1 et donc continue sur [1, 2]. Elle est intégrable sur cet intervalle.
La fonction à étudier est donnée par deux expressions algébriques. L’étude de son intégrabilité sur chacun de deux intervalles donnés nécessite, entre autres, un calcul de limite et les notions de « fonction bornée », « fonction continue » (et non « continue » comme en France dans la même période). La fonction est intégrable sur un intervalle, mais ne l’est pas sur un autre. Ce résultat montre que l’intégrabilité dépend non seulement de la fonction, mais encore de l’intervalle.
Voici l’intention de l’institution, mais dans les faits, l’étude de l’intégrabilité n’est jamais présente dans les épreuves du baccalauréat de cette période. Apparaîtra-t-elle dans la période suivante ?
II.1.2. Calcul de primitive
Le texte ministériel ci-après décrit les exigences institutionnelles du calcul de primitives au baccalauréat comme suit :
- Maîtriser les propriétés de l’intégrale indéfinie.
- Savoir par cœur et utiliser aisément le tableau des intégrales indéfinies usuelles (incluant les formules complétées).
- Maîtriser à fond les deux méthodes d’intégration. Les utiliser pour résoudre tous les exercices du manuel.
Cela légitime encore une fois :
- le statut d’élément technologique du tableau des intégrales indéfinies usuelles, surtout en présence de l’ostensif ∫ ;
- la stabilité des exercices du manuel.
Attaché à l’ostensif ∫ et donc au changement de variable et à l’intégration par parties, le calcul de primitive du baccalauréat est identique à celui du manuel. L’intégrale indéfinie
devient une intégrale définie sans bornes, et vice versa l’intégrale définie devient une intégrale indéfinie avec bornes.
II.1.3. Calcul d’intégrale, d’aire et d’autres grandeurs Le type de tâches T5. Calculer ∫b
a
dx x
f( ) (incluant le calcul d’aire) apparaît constamment au baccalauréat.
Les intégrales à calculer (n’étant pas présentées comme des aires) sont analogues aux intégrales proposées dans le manuel de la période.
Le calcul d’aire est toujours proposé après l’étude de l’un de quatre types de fonctions suivants : fonctions du troisième degré, fonctions bicarrées, fonctions homographiques, et fonctions x
' '
2
b x a
c bx ax
+ +
6 + . Dans ce calcul, la classe de fonctions à intégrer se restreint considérablement, mais les règles du contrat institutionnel fonctionne et nécessite fortement des connaissances en dehors de l’intégrale. C’est par ces règles que le calcul d’aire n’est pas identique au calcul d’intégrale ∫b
a
dx x
f( ) . Nous avons effectivement deux types de tâches différents :
T5. Calculer ∫b
a
dx x
f( ) (excluant le calcul d’aire) T’5. Calculer l’aire délimitée par des courbes
Pour le type de tâches T8. Calculer une grandeur autre que l’aire (longueur, volume, centre de gravité, moment d’inertie, travail d’une force, etc.), seul le calcul de volume d’un corps de révolution est présent quelquefois au baccalauréat.
Les types de tâches suivants sont absents du baccalauréat :
T6. Établir (ou démontrer) une égalité ou inégalité entre deux intégrales définies T7. Calculer approximativement une intégrale
Ainsi, le calcul d’aire et d’autres grandeurs au baccalauréat consiste en T5, T’5 et T’8 (calculer le volume d’un corps de révolution).
II.1.4. Conclusion pour la période 1975 - 1990
Malgré la tentative de l’institution, l’étude de l’intégrabilité est absente des épreuves du baccalauréat.
Le calcul de primitive et le calcul d’intégrale existent, et se concentrent sur le calcul exact.
Ni le calcul approché, ni l’encadrement fonctionnel ou numérique n’apparaissent.
Le calcul d’aire est toujours proposé dans le cadre d’une étude classique de fonction. La liste des courbes délimitant la surface plane est très limitée.
II.2. Période 1990 – 2000
Nous rappelons ici les types de tâches présents dans le manuel analysé, et précisons en italique le changement par rapport à la période précédente :
T’3. Calculer les primitives des fonctions simples (disparition de l’ostensif ∫) T5. Calculer ∫b
a
dx x f( )
T’6. Démontrer une inégalité entre deux intégrales T8. Calculer une grandeur autre que l’aire
et les types de tâches absents :
T1. Étudier l'intégrabilité d'une fonction f sur un intervalle [a, b]
T2. Démontrer les propriétés reliant les opérations entre les fonctions à intégrer, les bornes d’intégration à la valeur de l’intégrale
T4. Établir (ou démontrer) une relation entre deux intégrales indéfinies T7. Calculer approximativement une intégrale
II.2.1. Existence de l’intégrale
L’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé, borné étant définie par la formule de Newton – Leibniz, le manuel ne propose aucun exercice sur l’intégrabilité, voire sur la justification de l’existence de l’intégrale.
De même, ce type de tâches est absent du baccalauréat.
Nous pouvons en déduire que la vérification de la continuité de la fonction à intégrer est absente des pratiques effectives.
II.2.2. Calcul de primitive
En l’absence de l’ostensif ∫ et des méthodes de calcul, le calcul de primitive dans le manuel n’est proposé que pour des fonctions simples, et effectué par la déduction directe du tableau des primitives usuelles et de la linéarité.
Au baccalauréat, ce calcul n’est jamais explicitement proposé. Il intervient implicitement dans le calcul d’intégrale, comme technique, à travers la formule de Newton - Leibniz.
II.2.3. Calcul d’intégrale, d’aire et d’autres grandeurs
Au baccalauréat, le calcul d’aire est très présent, succédant toujours à une étude classique de fonction. La détermination de la surface doit toujours se faire dans le respect des règles du contrat institutionnel sur la lecture du graphique et la résolution d’inéquations.
Le calcul de volume se restreint à celui d’un corps de révolution. Il apparaît moins que le calcul d’aire.
Le calcul d’intégrale est identique à celui de la période précédente.
La démonstration d’un encadrement numérique d’une inégalité est absente du baccalauréat.
II.2.4. Conclusion pour la période 1990 - 2000
Malgré le changement de la définition de l’intégrale, la justification de l’existence de l’intégrale continue à s’absenter dans les épreuves du baccalauréat de cette période.
La disparition de l’ostensif et des méthodes d’intégration associée efface le calcul de primitive du baccalauréat. Celui-ci intervient implicitement, à travers la formule de Newton – Leibniz, dans le calcul d’intégrale comme une technique, ou plus précisément,
comme une application directe du tableau des primitives usuelles et de la linéarité, car la primitivation n’est pas enseignée.
Le calcul d’aire ou d’autres grandeurs au baccalauréat est identique à celui du manuel.
L’étude des sujets du baccalauréat de cette période montre une cohérence avec l’OM à enseigner par les types de tâches proposés et les solutions attendues.
II.3. Période 2000 – 2006
De façon analogue aux périodes précédentes, nous rappelons ici les types de tâches présents dans le manuel analysé et précisons en italique le changement par rapport à la période précédente :
T3. Calculer ∫f(x)dx (réapparition de l’ostensif ∫) T5. Calculer ∫b
a
dx x f( )
T’6. Démontrer un encadrement numérique de l’intégrale T8. Calculer une grandeur autre que l’aire
et les types de tâches absents :
T1. Étudier l'intégrabilité d'une fonction f sur un intervalle [a, b]
T2. Démontrer les propriétés reliant les opérations entre les fonctions à intégrer, les bornes d’intégration à la valeur de l’intégrale
T4. Établir (ou démontrer) une relation entre deux intégrales indéfinies T7. Calculer approximativement une intégrale
II.3.1. Existence de l’intégrale
Par définition, l’existence de l’intégrale est institutionnellement identique à la continuité sur l’intervalle d’intégration. Dans le manuel comme au baccalauréat, la justification de cette existence est absente. Nous pouvons en déduire qu’elle ne fait pas partie des exigences stables dans les pratiques effectives.
II.3.2. Calcul de primitive
Malgré la réapparition de l’ostensif ∫, le calcul de primitive n’apparaît pas explicitement, sauf dans l’exercice suivant de la session 2003 :
Exercice 2.1.
Calculer la primitive F(x) de la fonction f(x) =
1 2
1 3 3
2 2 3
+ +
− + +
x x
x x
x en sachant que F(1) =
3 1. Solution attendue.
F(x) est de la forme F(x) = ∫
+ +
− +
+ dx
x x
x x x
1 2
1 3 3
2 2 3
= ∫ +
−
+ dx
x x
2 3
) 1 (
2 ) 1
( = dx
x x
∫
− +
+ 2
) 1 (
1 2 =
1 2 2
2
+ + +x x
x + C
Puisque F(1) = 3
1, on a 1 1 2
1+ + + C = 3
1. Soit C = - 6
13. Donc F(x) =
1 2 2
2
+ + +x x
x -
6 13.
L’enjeu de cet exercice n’est pas l’usage de l’intégrale dépendant de la borne supérieure (comme cela pourrait être le cas en France). Le choix de F(1) = 1/3 (et non de F(1) = 0) bloque mathématiquement l’usage de l’intégrale dépendant de la borne supérieure (qui
La solution attendue montre que l’étude préalable suivante n’est pas exigée et ne fait donc pas partie des pratiques institutionnelles :
La fonction f n’est pas définie en x = -1 et sa limite en cette valeur à droite ou à gauche est -∞ : elle est donc non bornée en -1. Elle ne possède des primitives que sur ]-∞, -1[ ou sur ]-1, +∞[.
Puisque 1 appartient à ]-1, +∞[, nous avons F(x) =
1 2 2
2
+ + +x x
x -
6
13 sur ]-1, +∞[.
Par une rupture du contrat aux fonctions « ordinaires », la solution attendue n’associe pas aux fonctions « primitives » F un intervalle de définition (sur lequel elles sont continues).
La résolution de l’exercice repose sur l’usage de la valence instrumentale de l’ostensif ∫ pour donner les primitives d’une fonction sous la forme standard F(x) + C, puis déterminer la constante par la résolution d’une équation algébrique.
Dans les autres sujets de la période, le calcul de primitive n’est pas proposé explicitement.
À travers la formule de Newton – Leibniz, il intervient implicitement dans le calcul d’intégrale (sessions 2001, 2002, 2004, 2005, 2006).
II.3.3. Calcul d’intégrale, d’aire et d’autres grandeurs
Le calcul d’une aire délimitée par des courbes, sans l’étude préalable des fonctions, apparaît à trois reprises (2002, 2003, 2006) alors qu’il était absent des périodes précédentes. Ce type d’exercices est présent même si un calcul d’aire « classique17 » peut être proposé parallèlement comme dans le sujet 2002.
Nous en présentons ci-dessous un exemple et sa solution proposée par le ministère de l’Éducation et de la Formation :
Exercice 2.1. (Session 2006)
Calculer l’aire de la surface plane délimitée par la courbe représentative de la fonction y = ex et les droites d’équations y = 2, x = 1.
Solution attendue
Résoudre l’équation : ex = 2 ⇔ x = ln2 L’aire de la surface plane à chercher :
S = ∫1 −
2 ln
2dx
ex = ∫1 −
2 ln
) 2
(ex dx =
( )
12
2x ln
ex− = (e -2) – (2 – 2ln2) = e + 2ln2 – 4 (u.a) Dans la solution attendue, aucune étude préalable de fonction n’est demandée, ni par conséquent de tracé de courbe représentative. Par conséquent, les règles du contrat institutionnel de détermination d’une surface unique basée sur le graphique, n’interviennent plus dans de tels exercices. La fonction à intégrer étant donnée, la réponse attendue s’appuie sur une règle de correspondance simple entre deux valeurs de x et l’écriture d’une intégrale définie. La présence de tels exercices ne serait-elle pas une tentative de l’institution pour simplifier la production de la solution attendue dans le calcul d’aire ?
Par rapport à cinq apparitions du calcul d’aire dans les sujets, le calcul de volume d’un corps de révolution apparaît uniquement dans la session de 2004. Ceci montre l’importance du calcul d’aire dans l’épreuve du baccalauréat.
17 C’est-à-dire le calcul d’aire effectué après une étude préalable d’une ou des fonctions à intégrer.
L’encadrement numérique d’une intégrale est totalement absent des sujets de la période.
II.3.4. Conclusion pour la période 2000 – 2006
La justification de l’existence de l’intégrale continue à être absent des épreuves du baccalauréat.
Sauf un exercice de l’épreuve 2003, le calcul de primitive n’est pas explicitement proposé.
Intervenant implicitement dans le calcul d’intégrale à travers la formule de Newton – Leibniz, il devient une technique plutôt qu’un type de tâches explicite.
L’apparition du calcul d’aire hors de l’étude préalable des fonctions serait une tentative de l’institution pour simplifier la production de la solution attendue dans le calcul d’aire.
L’apparition permanente du calcul d’aire par rapport à celle du calcul de volume montre l’importance institutionnelle du premier.
L’encadrement numérique et le calcul approché d’une intégrale sont absents.
II.4. Conclusion pour le baccalauréat au Vietnam
Quelque soit la définition de l’intégrale, la justification de l’existence de l’intégrale est absente durant les trois périodes étudiées.
Le calcul de primitive est proposé explicitement dans la première période. Il ne l’est pas dans les deux dernières périodes, malgré la réapparition de l’ostensif ∫ dans la troisième période. Il devient une technique au service du calcul d’intégrale. Le calcul de la primitive prenant une valeur donnée en un point donné apparaît une seule fois, et est sans relation avec l’intégrale dépendant de la borne supérieure (pourtant présente dans la partie cours des manuels).
Dans les trois périodes, le calcul d’aire est posé dans les épreuves après une étude classique de fonction et résolu en s’appuyant sur le graphique de la fonction étudiée. Dans la dernière période, le calcul d’aire hors de l’étude de fonctions est posé parallèlement au calcul d’aire « classique ».
Le calcul d’intégrale ne concerne que le calcul exact. L’encadrement numérique et le calcul approché d’une intégrale sont toujours absents. L’intégrale n’intervient ni dans l’étude des suites, ni dans celle des équations différentielles, ni dans celle des probabilités, contrairement à la France actuellement.