Chapitre B4.
Conclusion de l'analyse institutionnelle comparative entre la France et le Vietnam sur l’objet de savoir « intégrale »
Nous avons commencé l’étude du savoir à enseigner « intégrale » par une première analyse institutionnelle comparative entre deux institutions d’enseignement : la classe de terminale en France et la classe 12 au Vietnam (chapitres A1, A2, A3). Nous avons poursuivi le travail par l’étude du baccalauréat en France et au Vietnam, et du concours d’entrée universitaire au Vietnam pour déterminer des indices sur les pratiques institutionnelles effectives et stables des enseignants des deux institutions (chapitre B1). Pour étudier le savoir apprêté par les enseignants, nous avons effectué une enquête auprès des enseignants français et vietnamiens (chapitre B2). Nous avons effectué enfin une enquête épistémologique sur l’objet « intégrale » pour revenir sur l’analyse institutionnelle et déterminer l’écart entre un savoir de référence et le savoir à enseigner dans EMS en France et au Vietnam (chapitre B3).
Nous présenterons dans ce chapitre les principaux résultats de la comparaison institutionnelle sur l’objet de savoir « intégrale ». Nous nous centrerons ensuite sur trois éléments spécifiques du savoir à enseigner dans l’institution vietnamienne : les ostensifs ∫ et dx, et le contrat institutionnel sur le calcul d’aire. Nous formulerons enfin les questions sur l’effet des contraintes et conditions sur l’OM effectivement enseignée au Vietnam.
une fin en soi, mais elle peut être attendue pour justifier l’existence par exemple d’une limite de suite représentant une somme de Riemann.
Dans les deux dernières périodes (1990 – 2000, 2000 – 2006), après avoir étudié le problème général de calcul d’aire sous la courbe, les manuels mènent à la définition de l’intégrale par la formule de Newton – Leibniz. L’intégrabilité disparaît dans ces deux périodes en même temps que la formule de Newton – Leibniz joue le rôle d’élément technologique pour l’existence et le calcul d’intégrale.
Les évolutions supra montrent que les deux institutions ont l’intention d’éviter l’étude de l’intégrabilité et de maintenir, sous une forme ou un autre, un lien épistémologique entre aire et intégrale que nous aborderons particulièrement dans la suite.
Nous pouvons dire que les deux institutions privilégient le calcul : calcul de primitive et calcul de grandeurs (calcul d’intégrale et calcul d’aire en particulier).
I.1.2. Intégration par parties
Dans les trois périodes observées, l’intégration par parties est la méthode d’intégration commune aux deux institutions, bien que les formules enseignées dans chacune des deux institutions ne soient pas tout à fait les mêmes :
- En France : ∫b
a
dx x v x
u( ) '( ) =
[
u(x)v(x)]
ba - ∫ba
dx x v x u'( ) ( )
- Au Vietnam : ∫b
a
udv =
[ ]
uvba - ∫ba
vdu I.1.3. Applications du calcul intégral
Dans les deux institutions, les applications du calcul intégral au calcul de grandeurs sont stables durant les deux dernières périodes : le calcul d’aire et le calcul de volume sont toujours présents. De plus, le calcul d’aire est privilégié en France comme au Vietnam par son existence dans deux habitats : de façon implicite dans l’introduction de la notion d’intégrale et le calcul d’intégrale, et de façon explicite dans les applications de l’intégrale.
I.1.4. Liens entre aire, primitive et intégrale
Dans chacune des deux institutions, les liens entre aire, primitive et intégrale restent inchangés durant les trois périodes observées. Ils deviennent des invariants institutionnalisés du savoir à enseigner que les enseignants de deux pays doivent respecter dans l’apprêtage du savoir.
I.2. Dissemblance entre les deux institutions I.2.1. Calcul de primitive
Dans les deux dernières périodes, le calcul de primitive en France est proposé sans l’ostensif ∫. Il est donc séparé du calcul d’intégrale. L’intention de considérer une primitive comme une fonction est de plus marquée par la donnée constante de l’intervalle de définition associé. Dans la dernière période, cette intention se voit renforcée par l’introduction de l’étude de la fonction « intégrale dépendant de la borne supérieure » comme primitive s’annulant en un point.
Par contre, le calcul de primitive au Vietnam est proposé avec l’ostensif ∫ dans les première et dernière périodes. Par là, il est lié étroitement au calcul d’intégrale. Les enseignants vietnamiens identifient les primitives (d’une fonction) à l’intégrale indéfinie (de cette fonction). De plus, l’intervalle de définition de primitive reste implicite et il n’est jamais demandé aux élèves dans le calcul de primitive. On peut se demander alors si la nature du résultat du calcul d’une primitive est bien une fonction pour les élèves.
I.2.2. Primitivation et changement de variable
Outre l’intégration par parties commune aux deux institutions, l’autre méthode d’intégration à enseigner est la primitivation en France et le changement de variable au Vietnam.
Le manuel en vigueur au Vietnam présente deux types de changement de variable : x = ϕ(t) et u = ψ(x). Dans la praxis, la différentiation devient un élément technologique qui permet d’effectuer le changement de variable comme une substitution littérale formelle sans se référer aux formules présentées dans le manuel. En particulier, le manuel de la dernière période propose une manipulation sur l’ostensif dx qui permet d’effectuer un changement de variable implicite en économisant une nouvelle variable.
En France, la primitivation qui s’appuie sur l’élément technologique : Si F est une primitive de f alors les primitives de (f Du)u′ sont FDu + C
peut se ramener au changement de variable du type u = ψ(x). Certaines intégrales, nécessitant le changement de variable du type x = ϕ(t), peuvent être calculées dans l’institution française au moyen des formules élémentaires de calcul d’aire.
I.2.3. Calcul approché et encadrement d’intégrale
Dans les programmes de la période 1980 – 2002 en France, l’approximation d’intégrale est effectuée par un calcul numérique. Cette technique est cependant absente du baccalauréat et remplacée par un encadrement numérique. Ce dernier est aussi présent dans la partie exercices des manuels de la période 2002 – 2006.
Le calcul approché d’intégrale est toujours absent au Vietnam. L’encadrement numérique est présent dans la partie exercices des manuels des deux dernières périodes au Vietnam.
Mais il ne sert pas au calcul approché.
I.2.4. Calcul d’aire
Dans la dernière période, le calcul d’aire dans l’institution vietnamienne peut être proposé sous deux formes : dans un problème d’étude de fonctions, ou hors de l’étude de fonctions.
La première forme nécessite le respect de règles implicites d’un contrat institutionnel pour déterminer la surface dont on doit calculer l’aire. La deuxième ne le nécessite pas. Dans les deux cas, le domaine dont on doit calculer l’aire est toujours introduit par des mots.
En France, dans la dernière période, le calcul d’aire est toujours proposé dans un problème d’étude de fonctions. Le domaine dont on doit calculer l’aire peut être défini par des mots ou par un système d’inéquations. Dans les deux cas, les abscisses minimale et maximale du domaine qui deviendront les deux bornes d’intégration sont préalablement données pour éviter toute ambiguïté dans la localisation du domaine.
I.2.5. Liens entre aire, primitive et intégrale
Dans la praxis de l’institution française, les liens entre aire, primitive et intégrale peuvent être schématisés comme suit :
Primitive Intégrale Aire Cela signifie que :
- La primitive sert à calculer l’intégrale et l’intégrale (dépendant de la borne supérieure) sert à calculer la primitive (s’annulant en un point donné).
- L’intégrale sert à calculer l’aire (sous la courbe) et l’aire (sous la courbe) sert à calculer l’intégrale.
- Le lien direct entre primitive et aire n’est pas établi.
Dans la praxis de l’institution vietnamienne, les liens entre aire, primitive et intégrale sont monodirectionnels :
Primitive → Intégrale → Aire
- La primitive sert à calculer l’intégrale, mais l’intégrale (dépendant de la borne supérieure) ne sert pas à calculer la primitive (s’annulant en un point donné).
- L’intégrale sert à calculer l’aire (sous la courbe), mais l’aire (sous la courbe) ne sert pas à calculer l’intégrale.
- Le lien direct entre primitive et aire n’est pas établi.
Ces liens influencent fortement le statut de l’interprétation géométrique de l’intégrale.
Cette dernière est présente dans l’institution française mais absente de l’institution