I. Analyse a priori du questionnaire pour l’enseignant
I.4. Exercice 1, non routinier dans les deux institutions : solutions possibles (Partie
Il s’agit de rédiger la solution attendue à l’exercice suivant :
On donne le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur R : x -∞ 0 2 +∞
f(x) 3 2
-1 1 On définit la fonction F qui, à tout réel x, associe F(x) = ∫xf t dt
0
) ( . Étudier le sens de variation de la fonction F sur R.
Cet exercice s’inspire de ceux proposés dans la batterie d’exercices éditée en France par les inspecteurs généraux de l’éducation nationale en 2004 : il est non routinier en France par le fait qu’il associe la définition de l’intégrante par un tableau de variations et l’étude d’une intégrale dépendant de la borne supérieure. L’intention des auteurs de cette batterie est que ce type d’exercices devienne routinier.
D'après le programme de seconde en vigueur en France, une fonction peut être « définie par une courbe, un tableau de données ou une formule ». Le non-dit du programme sur la nature des données à afficher dans un tableau nous permet de penser qu’un tableau de variations est acceptable. Ainsi la représentation d'une fonction21 par son tableau de variations est conforme aux programmes en France. Par contre, le tableau de données en général et le tableau de variations en particulier ne sont pas mis en œuvre au Vietnam pour définir une fonction. L’exercice 1 est non seulement non routinier, mais en rupture par rapport au contrat didactique sur l’étude des fonctions au Vietnam.
Le fait que la fonction à intégrer f n'est donnée que par son tableau de variations :
- bloque totalement la recherche de la formule algébrique explicite de la fonction F par n’importe quel moyen mathématique ;
- oblige à utiliser les informations du tableau pour étudier le signe de f et en déduire le sens de variation de F.
21 Au plan mathématique, un tableau de variations ne détermine pas une seule fonction, mais une classe de fonctions.
La valeur annulant la fonction sur ]-∞, 0[ ne figurant pas explicitement dans le tableau, il devient nécessaire de démontrer son existence et son unicité pour étudier le signe de f.
Les variables didactiques et les valeurs choisies dans cet exercice sont les suivantes :
- Mode de représentation des fonctions (dans l'exercice : tableau de variations, intégrale dépendant de la borne supérieure)
- Les valeurs marquant les changements de signe de f(x) sont données ou non (dans l'exercice, elles ne sont pas données, mais on peut déduire qu’il y en a une et une seule et en donner un encadrement)
Pour les solutions possibles, nous faisons intervenir deux cadres : l'analytique (A) et le géométrique (G). Nous tenons compte aussi d’une règle du contrat didactique de l’étude des fonctions de l’institution vietnamienne : dans l’étude du sens de variation d’une fonction, il faut dresser son tableau de variations. Si son domaine de définition est R, il faut y faire figurer ses limites en l’infini. Nous présentons ci-dessous les solutions possibles à l’exercice en mettant en trame foncée la partie correspondante à la règle du contrat didactique que nous venons de mentionner pour l’institution vietnamienne.
Solution 1. Théorème des valeurs intermédiaires – Étude de signe de la dérivée. (A)
• Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer l’existence et l’unicité de la valeur α ∈ ]-∞, 0[ telle que f(α) = 0.
• Calculer la dérivée de F : F'(x) = f(x) pour tout x de R. La variation de F dépend donc du signe de f.
• Déduire du signe de f sur chacun des intervalles ]-∞, α[ et ]α, +∞[ le sens de variation de F : F est strictement décroissante sur ]-∞, α[ et strictement croissante sur ]α, +∞[.
• Calculer la limite de F en +∞ :
∀x > 0, f(x) ≥ 1 ⇒ ∀x > 0, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( ≥ ∫x dx
0
.
1 = x ⇒
+∞
xlim→ F(x) = +∞
• Calculer la limite de F en -∞ :
−∞
→
xlim f(x) = -1 ⇒ ∃ M > 0, ∀x ≤ -M, f(x) ≤ 2
−1
⇒ ∀x ≤ -M, −M∫
x
dt t
f( ) ≤ ∫ −−M
x
2dx
1 = ( )
2 1 x+M
⇒ ∀x ≤ -M, −M∫
x
dt t
f( ) + ∫
− 0 ( )
M
dt t
f ≤ ( )
2
1 x+M + ∫
− 0 ( )
M
dt t
f = x
2
1 + C où C = M 2
1 + ∫
− 0 ( )
M
dt t f
⇒ ∀x ≤ -M, ∫0 ( )
x
dt t
f ≤ x
2 1 + C
⇒ ∀x ≤ -M, F(x) = ∫x f t dt
0
)
( = -∫0 ( )
x
dt t
f ≥ x
2
−1 - C
⇒ xlim→−∞F(x) = +∞
• Dresser le tableau de variations de F:
x -∞ α +∞
f(x) – +
F(x) +∞ +∞
F(α)
Solution 2. Intersection des courbes. Étude du signe de F(x1) – F(x2). (G-A)
• Déduire du tableau de variations de f que la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en un point unique d’abscisse α ∈ ]-∞, 0[.
• Prendre deux réels x1, x2 tels que x1 < x2, former la différence F(x2) - F(x1) = ∫2
1
)
x (
x
dt t
f . Pour tout x1, x2 de ]α, +∞[, x1 < x2, ∫2
1
)
x (
x
dt t
f est égale à l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations x = x1, x
= x2. Il en résulte que F(x2) - F(x1) > 0 donc F est strictement croissante sur ]α, ∞[.
• Pour tout x1, x2 de ]-∞, α[, x1 < x2, ∫2
1
)
x (
x
dt t
f est égale à l’opposé de l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations x = x1, x
= x2. Il en résulte que F(x2) - F(x1) < 0 donc F est strictement décroissante sur ]-∞, α[.
• Calculer la limite de F en +∞ : Pour x >
0, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( est l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, les axes des coordonnées et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses en point d’abscisse x. Cette aire est supérieure à l’aire du rectangle délimité par les axes des coordonnées, la droite d’équation y = 1 et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses en point d’abscisse x. Or cette dernière aire, ayant pour valeur x, tend vers l’infini (positif) quand x tend vers l’infini positif.
Donc
+∞
→
xlim F(x) = +∞.
• Calculer la limite de F en -∞ : Pour x < α < 0, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( = −∫0 ( )
x
dt t
f =−α∫
x
dt t f( )
−∫
α
0 f(t)dt. Or −α∫
x
dt t
f( ) est l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, la droite d’équation x = α et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses en point d’abscisse x. Quand la valeur absolue de x est assez grande, cette aire est supérieure à l’aire du rectangle délimité par l’axe des abscisses, la droite d’équation y = -1/2 et les droites perpendiculaires à l’axe des abscisses en points d’abscisses x et –M où f(-M) = -1/2. Or l’aire de ce rectangle ayant pour valeur
2 M x+
− , tend vers l’infini (positif) quand x tend vers l’infini négatif. Il en résulte que
−∞
→ xlim −α∫
x
dt t
f( ) = +∞, et donc
−∞
→
xlim F(x) = +∞.
• Dresser le tableau de variations de F: analogue à la solution 1.
-1 1 2 3
x y
α x1 x2
x1 x2
x y
α x
x
-1 2 1
-1/2 -M
Solution 3. Intersection des courbes. Interprétation de l’intégrale en terme d’aire (G)
• La démonstration de l’existence et l’unicité de la valeur α annulant f est analogue à celle de la solution 2.
• Pour tout x > 0, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( est égale à l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, les axes des coordonnées et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses en point d’abscisse x. Quand x parcourt du point d’origine vers l’infini positif (x augmente), cette aire augmente. Il en résulte que F est croissante sur ]0, +∞[.
• Pour tout x de ]α, 0[, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( = −∫0 ( )
x
dt t
f est l’opposé de l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f, et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisse en point d’abscisse x. Quand x parcourt du point d’origine vers le point d’abscisse α (x diminue), cette aire augmente et par conséquent, son opposé diminue. Il en résulte que F est croissante sur ]α, 0[.
• Pour tout x < α, F(x) = ∫xf t dt
0
)
( = −∫0 ( )
x
dt t
f = −α∫
x
dt t
f( ) + ∫
α
0f(t)dt. L’intégrale ∫
α 0f(t)dt est une constante. L’intégrale −α∫
x
dt t
f( ) est égale à l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, la droite d’équation x = α et la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses en point d’abscisse x. Quand x parcourt du point d’abscisse α vers l’infini négatif (x diminue), cette aire augmente. Il en résulte que F est décroissante sur ]-∞, α[.
• Le calcul des limites de F en +∞ et -∞ et la construction du tableau de variations de F sont analogues à ceux de la solution 2.
Mobilisant le cadre analytique, la solution 1 :
- démontre l’existence et l’unicité de la valeur α annulant la fonction f sur l’intervalle ]-∞, 0[ au moyen du théorème des valeurs intermédiaires,
- étudie le sens de variation de la fonction F sur R au moyen de deux théorèmes : l’un énonce que l’intégrale dépendant de la borne supérieure est une primitive de f, l’autre établit le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée.
Utilisant l’inégalité f(x) ≥ 1 pour tout x > 0, on obtient dans la solution 1 l’inégalité F(x) ≥ x pour tout x > 0 et on en déduit la limite de F en +∞:
+∞
→
xlim F(x) = +∞.
L’inégalité f(x) ≥ -1 pour tout x < 0 ne permet pas de calculer la limite de F en -∞. C’est la raison pour laquelle on doit établir, dans la solution 1, l’inégalité f(x) ≤ -1/2 (par exemple) pour tout x ≤ -M, pour en déduire
−∞
→
xlim F(x) = -1.
Dans la solution 2, on mobilise de façon mixte les deux cadres analytique et géométrique : - L’étude de l’existence de la valeur α appartenant à l’intervalle ]-∞, 0[ et annulant f est convertie en l’étude de l’intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses sur l’intervalle ]-∞, 0[. La continuité et la monotonie de f sur l’intervalle en question deviennent implicites.
- L’étude du signe de F(x2) – F(x1) qui remplace la dérivation d’une intégrale dépendant de la borne supérieure est effectuée par l’interprétation de F(x) en terme d’aire.
- L’interprétation en termes d’aire permet aussi de calculer les limites de F en l’infini en comparant les aires concernées.
-1 1 2 3
x y
α x
x
Dans la solution 3, on mobilise uniquement le cadre géométrique :
- L’étude de l’existence de la valeur α et le calcul des limites de F en l’infini sont identiques à celui de la solution 2.
- L’étude du sens de variation de F mobilise l’interprétation de F en terme d’aire, sans avoir besoin de l’intégrale dépendant de la borne supérieure, ni de la différence F(x2) – F(x1).
Parmi trois solutions supra, la dernière est optimale car elle n’a pas besoin de l’intégrale dépendant de la borne supérieure, ni de la différence F(x2) – F(x1).
De quelle nature sont les solutions attendues dans chacune de deux institutions ? Sont-elles différentes ? Si oui, quelles sont les conditions et les contraintes explicatives ? Quelles en sont les conséquences ?